(完整版)极限四则运算法则.doc
极限四则运算法则
由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理 1：若lim f (x) A,lim g (x) B ，则 lim[ f ( x) g (x)] 存在，且
lim[ f ( x) g ( x)] A B lim f (x) lim g( x) 。
证明：只证 lim[ f ( x) g ( x)] A B ，过程为 x x0，对0, 1 0 ，当
0 x x0 1时，有 f (x) A
，对此， 2 0 ，当0 x x0 2
2
时，有 g ( x) B ，取min{ 1 , 2 } ，当0 x x0 时，有
2
( f ( x) g( x)) ( A B) ( f (x) A) ( g( x) B) f ( x) A g( x) B
2 2
所以 lim ( f ( x) g( x)) A B 。
x x0
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理 2：若lim f (x)A,lim g(x) B ，则 lim f ( x) g( x) 存在，且
lim f (x) g( x) AB lim f ( x) lim g( x) 。
证明：因为 lim f ( x) A, lim g( x) B ， f ( x) A, g (x) B,
（,均为无穷小） f ( x) g(x) ( A)( B) AB ( A B) ，记
A B，为无穷小，lim f ( x) g(x) A
B 。
推论 1：lim[ cf ( x)]clim f ( x) （ c 为常数）。
推论 2：lim[ f ( x)]n[lim f ( x)] n（ n 为正整数）。
定理 3：设lim f ( x) A, lim g( x) B 0 ，则 lim f ( x) A lim f ( x) 。
g( x) B lim g (x)
证明：设 f ( x) A, g(x) B（,为无穷小），考虑差：
f ( x) A A A B A
g( x) B B B B( B )
其分子 B A 为无穷小，分母 B( B ) B 2 0 ，我们不难证明 1
)
B(B
有界（详细过程见书上） B A 为无穷小，记为，所以 f ( x) A ，
B( B ) g (x) B lim f (x) A 。
g(x) B
注：以上定理对数列亦成立。
定理 4：如果(x) (x) ，且 lim ( x) a,lim ( x) b ，则a b。
【例 1】 lim (ax b) lim ax lim b a lim x b ax0 b 。
x x0 x x0 x x0 x x0
【例 2】lim x n [ lim x] n x0 n 。
x x0 x x0
推论 1：设f ( x) a0 x n a1 x n 1 a n 1x a n为一多项式，当
lim f ( x) a0 x0 n a1 x0 n 1 a
n 1
x
a
n f ( x0 ) 。
x x0
推论 2：设 P( x),Q( x) 均为多项式，且 Q (x 0 ) 0 ，则 lim P( x) P( x 0 ) 。
x x 0
Q( x) Q( x 0 )
【例 3】 lim ( x 2 5x 10 12 5 1 1
3 。
x 1
【例 4】 lim x
3 7x 9 03 7 0 9 3（因为 05
0 3 0 ）。
x 0
x 5
x
3
05 0
3
注：若 Q (x 0 ) 0 ，则不能用推论 2 来求极限，需采用其它手段。
【例 5】求 lim x 2 x 2 。
x
1
2x 2
x 3
解：当 x 1时，分子、分母均趋于 0，因为 x 1，约去公因子 ( x 1) ，
所以
lim x 2 x 2
lim
x 2 3 。
x 1
2x
2
x 3
x 1
2x 3 5
【例 6】求 lim (
1
3
) 。
x
1
x 1 x 3 1
解：当
1 3
全没有极限，故不能直接用定理 3，但当 x
1时，
x
1, x 1 ,
x 3 1
1
3
( x 1)( x 2)
x 2
，所以
x 1
x 3 1 ( x 1)( x 2
x 1) x 2
x 1
lim (
1 3 )
lim
x
2
1
2
1。
x1
x 1x 3 1
x
1
x 2
x 1 ( 1) 2
( 1) 1
【例 7】求 lim
x 2 。
x 2
x 2
解 ： 当 x
2 时 ， x 2 0 ， 故 不 能 直 接 用 定 理 5 ， 又 x 2 4 ， 考 虑 ：
x 2 2 2
0 ，
lim
x 2
4
x 2
lim
x 2。
2
x
2
x
【例 8】若 lim x
2
ax b 3 ，求 a,b 的值。
x 1
sin( x 2 1)
当 x
1时， sin( x 2 1) ~ x 2 1，且 lim ( x 2 ax b) 0
x 1
a b 1 0, b= (a 1)
x 2 ax b x 2
ax (a 1) ( x 1)(x a 1)
x 2 1
( x 1)(x
1)
( x 1)(x
1)
x 2 ax
b a 2
lim
2
3
x
1
x 1 2
a 4, b
5
【例 9】设 a 0
0, b 0
0, m, n 为自然数，则
a 0 当 n
时
b 0
m
a 0 x n
a 1 x n 1
a n
lim
当
n
时 。
b 0 x m b 1 x m 1
b m
m
x
当
n 时
m
证明：当 x
时，分子、分母极限均不存在，故不能用§ 1.6 定理 5，先变形：
a 0 x n
a 1 x n 1
a n
a 0 a 1 a n lim
lim x n m
x
x n
b 0 x m b 1 x m 1
b m
b 1
b m
x
x
b 0
x x
m
a 0 0
当 n m 时
1
b 0
a 0 0
当 n m 时
b 0
a 0 0
0 当 n m 时
b 0 0
【例 10】求 lim (
1 2 n ) 。
n
2
n
2 n
2
n
解：当 n
1，先变形：
时，这是无穷多项相加，故不能用定理
原式 lim 1 (1 2
n) lim 1 n( n 1) lim n 1 1 。
n 2
n 2
2
2n
2
n
n n
【例 11】证明 lim x
1, x 为 x 的整数部分。
x
x
证明：先考虑 1
x x
x
，因为 x
x 是有界函数，且当 x
时，
1
0 ，所
x
x
x
以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得
lim
x
x 0
lim (1
x ) 0 lim
x
1。
x
x
x
x
x
x。
高数极限运算法则
例如，y x2 9 是初等函数，x0 3 是其定义域内
一点，所以
lim x2 9 32 9 3 2.
x3
（2）极限的四则运算法则可以推广至有限个函数的情形；
（3）在作除法运算时，分母的极限不能为0.
例1
求
lim
xx0
a0 xn
a1xn1
an1x
an
.
解
lim
x x0
x
x0,
lim
x x0
xn
x0n ,
原式
lim
xx0
a0 xn
lim xx0
a1xn1
lim
xx0
an1x an.
a0x0n a1x0n1 an1x0 an.
am bn
为非负常数 )
分子、分母同除以x的最高次幂, 就可得到上式.
例7
求
lim
x
3x2 2x 1 x3 3x2 2x .
解 分子是2次多项式, 分母是3次多项式, 故
原式=0.
例8
求
lim
x
8x5 4x3
6x 3x2
1. 2x
解 分子是 5 次多项式, 分母是 3 次多项式, 故
原式= .
例9
求
(2x 1)20 (3x 5)30
lim
x
(5x 7)50
.
解 分子是50次多项式, 最高次幂的系数 a0=220·330 分母是50次多项式,最高次幂的系数的 b0=550
故
原式
a0 b0
220 330 550
.
例10 求 lim x ( x2 1 x) x
解 此题当 x 时，为 ( ) 的类型，
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
极限四则运算
函数极限的四则运算： 如果
lim
x x0
f ( x) a
lim g ( x ) b 那么
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim
x x0
x x0
f ( x) a ( b 0) g ( x) b
0 lk l l 1 a0n a1n al a0 l k lim k 1 b0 b n b n b n 0 k 1 k 不存在 l k
练习：P88 1，2
例3:求下列极限
P90
1， 2
1 2 3 n 1/2 lim n 4 7 3n 1 ] lim [ n ( n 1) n ( n 1) n ( n 1)
n 2
n
3/2
1/3
1 1 1 ] lim [ 1 4 4 7 ( 3n 2)( 3n 1)
n
x ax 3 例4： 已知 lim b， 求常数a , b的值 x 1
2 x 1
a=－2;b=－4
例5： 在半径为R的圆内接正n边形中，r 是边心距，
2 2 3 3 4
下去， 试求点P的极限位置。
作业：练习：P91
P4 P5
O
4a 2a , 5 5
P1 x
；/ 清货公司 ；
去?怎么才能去雨帝部落?" 夜妖娆虽然依旧静静の坐着,但是内心却是早已飞到数万里外の雨帝部落.这地方她是一刻也不想待下去了. "吱呀！" 石门打开了,走进来一些妖yaw女子,蛇一样の娇躯随着行走不断の扭
2.4 极限的运算法则
10
极限的运算法则
练习
x5 1 lim 7 x2 x 1 x3 x3 2 lim lim x3 x 2 9 x 3 x 3 x 3
高 等 数 直接代入法 学 经 1 济 6 消零因子法 类
8 x 3 8 x 3
x x
(2) lim[ f ( x ) g( x )] A B ;
f ( x) A (3) lim , 其中B 0. x g( x ) B
高 等 数 学 经 济 类
上一页 下一页 主页
2
极限的运算法则
推论1
如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则 lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
3 xlim 1
8 x 3 lim x 1 x 1
8 x 3
x 1
x 1
11
lim
x 1 8 x 3
x 1
1 6
上一页 下一页 主页
极限的运算法则
高 3x x 1 等 例6 求 lim 2 . ( 型) x 2 x 4 x 3 数 学 解 x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .经 济 2 先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.类
则 lim( x 2 ax b ) 1 a b 0.
x 1
x ＋ax b ( x 1 a )( x 1) 于是 lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
2
Байду номын сангаас经 济 类
x 1 a 2 a lim 2. x 1 x3 4 故a 6, b 7.
极限四则运算法则
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
极限的四则运算法则
2
2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
例如，
lim
n
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
1
( P56 , 题 4 (2) )
解答见课件第二节 例5
机动 目录 上页 下页 返回 结束
推论 1 . lim[C f (x)] C lim f (x) ( C 为常数 )
推论 2 . lim[ f (x)]n [ lim f (x) ] n ( n 为正整数 )
例2. 设 n 次多项式
试证
lim
xx0
Pn
(
x)
Pn
(
x0
).
证:
lim
x x0
Pn
(x)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0时,
lim
n
xn yn
A B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由
定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 设有分式函数
其中
都是
多项式 , 若
试证:
lim P(x)
证: lim R(x) xx0
xx0
lim Q(x)
x x0
说明: 若
不能直接用商的运算法则 .
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
(完整版)极限的运算法则及计算方法
一．极限的四则运算法则 定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B, 则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g( x) B 推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x). 常数因子可以提到极限记号外面.
3 5
（2）计算有理分式在 x 极限的运算
例4：求下列极限
2x2 2x 1
x2 4
x2
(1) lim
; (2) lim
; (3) lim
x x2 5x 4
x x 2
x x2 4
解: 由于当 x 时，分子分母均趋于无穷大，极限不存在
所以极限的四则运算法则不能用
在分子分母中同时除以 x 的最高次幂，可化为极限存在的情况
分子分母分解因式
2x2 5x 2 (2x 1)( x 2) , 3x2 7 x 2 (3x 1)( x 2)
2x2 5x 2 lim x2 3x2 7x 2
(2x 1)( x 2) lim
x2 (3 x 1)( x 2)
(2x 1) lim
x2 (3 x 1)
Q lim( x2 x 2) 0 , lim( x 2) 0
x2
x2
所以极限的四则运算法则不能用
但是 x2 x 2 ( x 2)( x 1)
x2 x 2
( x 2)( x 1)
lim
lim
lim( x 1) 3
x2 x 2
x2
x2
x2
从而可以总结出下列规律：
(完整版)极限四则运算.doc
§1.5极限的运算法则极限定义为我们提供了一种求极限的方法 , 但这种方法使用起来很不方便 , 并且在大多数情形下也是不可行的 . 这一节我们将给出极限的若干运算法则 , 应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算.一无穷小的运算定理设 , , 是 x x0 时的无穷小，即 lim ( x) 0, lim ( x) 0, lim ( x) 0, 下面x x0 x x0 x x0来叙述有关无穷小的运算定理。
定理 1 1 ）有限个无穷小的和也是无穷小；2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
推论： 1）常数与无穷小的乘积是无穷小；2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。
二极限的四则运算法则利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。
定理 2 如果 lim f x A ， lim g x B 则 f ( x) g(x), f ( x) g(x), f ( x)B 0 ，x x0 x x0 g( x) 的极限都存在，且（ 1）lim f x g x lim f x lim g x A B;x x0 x x0 x x0（ 2）lim f x g x lim f x lim g x AB;x x0 x x0 x x0f x lim f xA（ 3）lim x x0 ( B 0).g x lim g x Bx x0x x0证 1 因为 lim f x A， lim g x B ，所以，当 x x0时，0, 1 0 ，x x0 x x0当 0 x x0 1 时，有 f (x) A ，对此， 2 0 ，当0 x x0 2 时，2有 g (x) B2，取min{ 1 , 2 } ，当0 x x0 时，有( f (x) g( x)) ( A B) ( f ( x) A) ( g( x) B) f ( x) A g( x) B2 2所以 lim ( f (x) g( x)) A B 。
极限四则运算
(3n 2)(3n 1)
1/3
例4： 已知lim x2 ax 3 b， 求常数a,b的值
x1
x 1
a=－2;b=－4
例5： 在半径为R的圆内接正n边形中，r 是边心距， n
p 是周长，S 是面积
n
n
1） S 与p 有什么关系
n
n
2）
求 lim
rn与lim
p n
n
n
3） 利用1),2)的结果， 说明圆面积公式S R2
例6：1） 已知首项为a , 公比 1
为q(0 | q | 1)的无穷递缩等
比数列的前n项和为S ， n
求 lim
S n
n
R O rn
2)如图， 在直角坐标平面内， 动点P由原点O出发，
沿x轴正方向前进a个单位， 到达P点， 接着沿y轴 1
的正方向前进a 个单位， 到达P点， 而后又沿x轴
2
2
的负方向前进个 a 单位， 到达P点， 再沿y轴的负
22
3
方向前进 a 个单位到达P点，
23
4
y
以后将以上述方式运动无限继续
下去， 试求点P的极限位置。
P3
P2
P4 P5
作业：练习：P91 4a , 2a O 5 5
P1 x
极限的 四则运算
引入 1、当 x
∞时， 函数f(x)的极限
lim f ( x) lim f (x) a lim f ( x) a
x
x
x
x x 2 、 当
0 时，函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f (x) a
高等数学 极限运算法则
x)
Pn ( x0 ) Pm ( x0 )
f ( x0 ).
16
极限运算法则
例 求 lim x2 2x 3 ( 0 型 )
x3 x 3
0
解 方法：消去零因子
x2 2x 3 lim
lim ( x 3)( x 1)
x3 x 3
x3 ( x 3)
lim( x 1) 4 x3
预习：
1.无穷小
无穷小的定义和性质 等价无穷小替换的使用规则
2. 无穷大
无穷大的定义和性质 无穷大和无穷小的关系
1
第三节 极限运算法则
极限四则运算法则 极限的复合运算则 两个极限存在准则
第一章 函数与极限
2
极限运算法则
一、极限四则运算法则
lim f ( x)泛指任一种极限
定理1(四则运算) 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则
limqn 0(| q | 1)
n
解 方 法 先作恒等变形, 变成基础极限。
2n 3n lim n 2n 3n
2 n 1 lim 2 n lim1
lim 3
n 3
n
n 2 n 1 lim 2 n lim1
3
n 3 n
1
例
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
1 lim 0 n n
x21,源自x 0,求 lim f ( x). x 0 x0
解 x 0 是函数的分段点,
10
lim f ( x) A
x x0
左极限f ( x0 0)和右极限f ( x0 0)均存在
f ( x0 0) f ( x0 0) A