D1_5极限运算法则
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高等数学课件--D1_5极限运算法则
高等数学课件
第六节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 设
求 解:
是多项式 , 且
利用前一极限式可令
f ( x) 2 x 2 x a x b
3 2
再利用后一极限式 , 得
3 lim f ( x) x
x 0
lim ( a ) x 0 x
b
可见 故
2012-10-12 高等数学课件
2 2
因此
这说明当
2012-10-12
时,
为无穷小量 .
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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如，
1 1 1 lim n 1 2 2 2 n n π n 2π n nπ
推论: 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B, 且 f ( x) g ( x),
则 A B . ( P46 定理 5 ) 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
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内容小结
1. 极限运算法则
Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 Th7
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
注意使用条件
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法 1) x x0 时, 用代入法
0
( 要求分母不为 0 )
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例5 . 求 解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
高等数学1-5极限的运算法则
5
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求极限举例
例例11 求 lim (2x1) x1
解 lim (2x1) lim 2x lim 12 lim x12111
x1
x1
x1
x1
•讨论
若 P(x) a0xn a1xn1 an1x an
则 lim P(x)? x x0
•提示
lim
x x0
P(x)
P(x0
)
例例22
求 lim
x2
x2
x3 1 5x 3
解
6
lim
x 2
x3 1
lim (x3 1)
x2
x2 5x3 lim (x2 5x3)
23 1 22 103
7 3
x2
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例例33
求 lim
4
根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x3 x2 5x4
7
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•讨论
有理函数的极限 lim P(x) ? xx0 Q(x)
•提示
当 Q(x0 ) 0 时
lim P(x) P(x0) xx0 Q(x) Q(x0)
当 Q(x0 ) 0 且 P(x0 ) 0 时
lim P(x) xx0 Q(x)
当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0)
8
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1-5极限运算法则
三.复合函数的极限运算法则 定理7. 设 且 x 满足
时,
( x) a , 又 lim f ( u) A ,则有 u a
lim f (u ) A ,
u a
①
说明: 若定理中 lim ( x) , 则类似可得
x x0 x x0
f ( u) A lim f [ ( x) ] lim u
1. 极限运算法则
Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 Th7
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
注意使用条件
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法 1) x x0 时, 用代入法
( 分母不为 0 )
2) x x0 时, 对 0 型 , 约去公因子 0
推论: 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B, 且 f ( x) g ( x), 则 A B . 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
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例如：
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青岛理工大学琴岛学院
例1. 求
解:
sin x y x
1 lim 0 x x
利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 .
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二、 极限的四则运算法则 定理 3 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
x
1 x2 1 x2
1-5 极限的运算法则
11
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1 12 例8 计算 lim （ − 3 ） x→2 x − 2 x −8
解
1 12 （ lim − 3 ） x→2 x − 2 x −8
( x 2 + 2 x + 4) − 12 = lim x → 2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)
( x − 2)( x + 4) = lim x → 2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) x+4 1 = lim 2 = x→2 x + 2 x + 4 2
n→∞
(2) lim (xn ⋅ yn)= A⋅B ;
xn A (3)当 yn ≠0 (n=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)且 B≠0 时, lim = . n→∞ yn B 不等式 •定理5 如果ϕ(x)≥ψ(x), 而limϕ(x)=a, limψ(x)=b, 那么a≥b.
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§1.5 极限运算法则
无穷小的性质 极限的四则运算法则
1
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无穷小的性质 •定理1 有限个无穷小的和也是无穷小. 证明 仅就两个x→x0时的无穷小情形证明. 设α及β是当x→x0时的两个无穷小, 则∀ε >0, ∃δ1>0, 当0<|x−x0|<δ1 时, 有|α|<ε ; ∃δ2>0, 当0<|x−x0|<δ2 时, 有|β|<ε . 取δ =min{δ1, δ2}, 则当0<|x−x0|<δ时, 有 |α+β|≤|α|+|β|<2ε , 这说明α+β 也是当x→x0时的无穷小. 举例: 当x→0时, x与sin x都是无穷小, 所以x+sin x也是当 x→0时的无穷小.
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1 12 例8 计算 lim （ − 3 ） x→2 x − 2 x −8
解
1 12 （ lim − 3 ） x→2 x − 2 x −8
( x 2 + 2 x + 4) − 12 = lim x → 2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)
( x − 2)( x + 4) = lim x → 2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) x+4 1 = lim 2 = x→2 x + 2 x + 4 2
n→∞
(2) lim (xn ⋅ yn)= A⋅B ;
xn A (3)当 yn ≠0 (n=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)且 B≠0 时, lim = . n→∞ yn B 不等式 •定理5 如果ϕ(x)≥ψ(x), 而limϕ(x)=a, limψ(x)=b, 那么a≥b.
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§1.5 极限运算法则
无穷小的性质 极限的四则运算法则
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无穷小的性质 •定理1 有限个无穷小的和也是无穷小. 证明 仅就两个x→x0时的无穷小情形证明. 设α及β是当x→x0时的两个无穷小, 则∀ε >0, ∃δ1>0, 当0<|x−x0|<δ1 时, 有|α|<ε ; ∃δ2>0, 当0<|x−x0|<δ2 时, 有|β|<ε . 取δ =min{δ1, δ2}, 则当0<|x−x0|<δ时, 有 |α+β|≤|α|+|β|<2ε , 这说明α+β 也是当x→x0时的无穷小. 举例: 当x→0时, x与sin x都是无穷小, 所以x+sin x也是当 x→0时的无穷小.
1-5极限的运算法则
2
3x 5
.
2
lim ( x
x 2
3 x 5 ) lim x
x 2 2
lim 3 x lim 5
x 2 x 2
( lim x )
x 2
2
3 lim x lim 5
x 2 x 2
2
3 2 5 3 0,
lim
x x
2
3
定理. 设
x x0
lim ( x ) a , 且
x 满足 0
x x0 1
时,
( x ) a , 又 lim f ( u) A , 则有 u a
x x0
lim f [ ( x ) ] lim f ( u) A
u a
①
lim 说明: 若定理中 x x ( x ) , 则类似可得
1) x x0 时, 2) x x0 时,
用代入法 ( 分母不为 0 )
对
0 型 0
, 约去公因子
时,分子分母同除最高次幂 “抓大头” (2) 复合函数极限求法 设中间变量 (3)利用无穷小运算性质求极限
(4)利用左右极限求分段函数极限.
3) x
重点：运用极限的四则运算、复合函数的极限 法则求极限 难点：求极限的一些技巧，极限不存在时的一 些运算
lim
lim
x 4 2 x
0 ( 0 )型
x 0
x 4 2 x
1 x 4 2
lim
1 4
x x( x 4 2)
x 0
x 0
lim
x 0
（分子有理化）
0 ( 0 )
1-5极限的运算法则
x 1
o
1
x
小结
1.极限的四则运算法则及其推论;
2.求极限的多种方法：
(1) 多项式与分式函数代入法求极 限 ; 消去零因子法求极限; (2) (3) 无穷小因子分出法求极限; (4) 利用无穷小运算性质求极限; (5) 利用左右极限求分段函数极限.
思考题
若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限， 在某个过程中，
lim Pn ( x ) Pn ( x ) x x0 lim R( x ) lim x x0 x x0 P ( x ) lim Pm ( x ) m x x0 Pn ( x0 ) R( x0 ). Pm ( x0 ) 若Pm ( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
2 3 n 1 例 求 lim n2 n2 n2 . n n 2
解： 当 n 时, 是无穷多个无穷小之和．
先变形再求极限.
2 n 1 2 n 1 lim 2 2 2 lim 2 n n n n n n 1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim 1 . 2 n n 2 n n 2
0 0
二、求极限方法举例
例
x3 1 求 lim 2 . x2 x 3 x 5
2 x2
2 lim x 3 x lim 5 解: lim( x 3 x 5) x 2 lim x2 x2
(lim x )2 3lim x lim 5
x2 x2 x2
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
例
x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
o
1
x
小结
1.极限的四则运算法则及其推论;
2.求极限的多种方法：
(1) 多项式与分式函数代入法求极 限 ; 消去零因子法求极限; (2) (3) 无穷小因子分出法求极限; (4) 利用无穷小运算性质求极限; (5) 利用左右极限求分段函数极限.
思考题
若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限， 在某个过程中，
lim Pn ( x ) Pn ( x ) x x0 lim R( x ) lim x x0 x x0 P ( x ) lim Pm ( x ) m x x0 Pn ( x0 ) R( x0 ). Pm ( x0 ) 若Pm ( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
2 3 n 1 例 求 lim n2 n2 n2 . n n 2
解： 当 n 时, 是无穷多个无穷小之和．
先变形再求极限.
2 n 1 2 n 1 lim 2 2 2 lim 2 n n n n n n 1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim 1 . 2 n n 2 n n 2
0 0
二、求极限方法举例
例
x3 1 求 lim 2 . x2 x 3 x 5
2 x2
2 lim x 3 x lim 5 解: lim( x 3 x 5) x 2 lim x2 x2
(lim x )2 3lim x lim 5
x2 x2 x2
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
例
x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
1-5极限运算法则
令 uxa lim 3 u 0
u2
0．
33 a2
三、小结
1、极限的四则运算法则及其推论; 2、极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
3、复合函数的极限运算法则
思考题
在某个过程中，若 f (x) 有极限，g(x) 无极限，那么f(x)g(x)是否有极限？为
5lim23xx53 1 x74xx13
2 7
.
(无穷小因子分出法)
小结:当 a00,b00,m和 n为非负整数
lx im ab00xxmn
a1xm1 b1xn1
am bn
0ab,00当 ,当 nnmm, , ,当nm,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
(u)
A，
则复合函数 f[(x)]当x x0 时的极限也存在，
limf[(x)]limf (u) A.
xx0
ua
意义：
lim f[(x)] 令u(x)
xx0
alim (x)
xx0
limf(u)
ua
例8
3
求lim
x3
a.
xa 3 xa
解 原式 li(m 3x3a)3(xa)2
x a
xa
lim 3(xa)2 xa3 x23ax3a2
例6 求limsinx. x x
解 当x时,1为无穷 , 小
x
而sinx是有界函 . 数
limsinx0. x x
y sin x x
例7
设 f(x ) x 1 2 x 1 ,,
D1.5 极限运算法则
例11 求极限 lim n 2 .
n 2n 3 1
解： lim n
n 2 lim 2n 3 1 n
1 2 n
1.
2
3 n
1 n2
2
高等数学
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例12 已知
求 a 的值.
解： 因为
根据已知条件，lim x2 x a 极限存在，所以只能 x2 x 2
§1.5 极限运算法则
一、极限的四则运算法则
第一章
二、复合函数的极限运算法则
山东交通学院高等数学教研室
一、 极限的四则运算法则
定理 1.5.1 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则
若B≠0 , 则
(证明略.)
注: (1)(2)可以推广到有限个函数的情形.
推论 1.5.1 lim[C f (x)] C lim f (x) ( C 为常数 )
推论 1.5.2 lim[ f (x)]n [ lim f (x) ]n ( n 为正整数 )
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例1 求 lim axn.
解:
lim
x x0
axxnx0
a
lim
xx0
xn
a
lim
x x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
n
a x0n.
有理整函数
∴ 设n次多项式
x bn xn bn1xn1
当
a0
b0
当
当
高等数学
为非负常数 )
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例10