第五节极限的运算法则07653
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
极限的运算法则
定义 若函数 f(x) 在某个极限过程中以零为 极限, 则称f(x)为该过程中的无穷小量, 简称无 穷小.
注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数.
定理 2.5 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
特殊地，如果 lim 1,则称 与 是等价的无穷小;
记作 ~ ;
例如， 因为 lim x2 0，即 x2 o(3x) ( x 0).
x0 3x
所以 当 x 0 时，x2 是比 3x 高阶的无穷小;
因为lim
1 n 1
n n2
,所以当n
时, 1 是 n
(x 1)(x 2) (x 1)(x2 x 1)
lim
x1
x2 x2 x 1
3 1 3
例7 求 lim ( x 2 x ) (有理化法) x
解：原式
lim ( x 2 x )( x 2 x )
x
x2 x
lim x 2 x x x 2 x
所以当x
x0时,
f
1 为无穷大. (x)
类似地可证x 时的情形.
无穷小量 (0除外) 的倒数是无穷大量 (类似地,无穷大量的倒数是无穷小量).
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
4. 无穷小量阶的比较
例如,
当x0时,
3x,
x2,
sinx,x
2
sin
1 x
都是无穷小
但它们趋于零的快慢程度不同,我们
,且Q(x0)0,则有
极限的运算法则
n
a0 b0
lim xmn
x
a0 / b0 ,
0, ,
nm; nm; nm .
总结
(1) lim x
Pm ( x) Qn( x)
最高项，系数比，
0，
mn; mn; m n.
(2) lim Pm ( x)
xx0 Qn ( x)
Pm ( x0 ) ,
Q n ( x0 )
,
Q(x0) 0时； Q(x0)0且 P(x0)0时
8、lx i m (2x(2 3)x20(31)x502)30_____._
二、求下列各极限:
1、ln i m (11 21 4.. .21n);
2、lim(xh)2x2;
h0
h
3、lxi m 1(11x13x3);
4、lim 1x3; x8 23 x
5、 lim ( x x x x);
x
6、xlim42xx
xx0
复合函数极限运算法则---极限过程代换法则
设x 对 的连 某 变 续 个 化 有过
u(x)“ 趋 近 ＊ 于”
(＊ 为 u 0 ,u 0 0 , , );u ＊ 时 f(u ) A
(A R 或 为 , ),则
令u( x )
limf[(x)]
x的变化过程
lim f(u)A. u ＊
x x 0
x x 0
由定义, 对任意给定 ， 的 ,， 正使 数得
当 0 |xx|时， f(x ) 恒 a 1 2;有
当 0 |xx 0| 1时， g (x ) 恒 b 2 .有
取 m 0 1 , i 2 2 ,n 则0当 |xx0| 2时，
|[ f ( x ) g ( x ) ( a ] b ) |
第五节 极限运算法则
.
u⋅α = u ⋅ α < M ⋅
ε
M
= ε,
∴ 当x → x 0时, u ⋅ α为无穷小 .
推论1 在同一过程中, 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 乘积是无穷小. 推论2 推论2 推论3 推论3 常数与无穷小的乘积是无穷小. 常数与无穷小的乘积是无穷小. 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
x x
lim[λ f ( x) + µ g( x)] = λ lim f ( x) + µ lim g( x).
x x x
极限运算的线性性质可推广到有限个函数的情形. 极限运算的线性性质可推广到有限个函数的情形
推论2 推论2 若lim fi ( x) = Ai (常数) (i = 1,2,⋯, n), 则
0
则有 lim α( x ) = 0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α ( x ) 是当 x → x0 时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
二、极限的运算法则
1. 极限运算法则
定理
设lim f ( x) = A , lim g( x) = B , 则
x x x
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A± B ; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B ;
x
f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0 . x g( x) B
极限运算法则课件
减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任 意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
高等数学：第五节 极限运算法则
2/23
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
lim x2
x3 1 x2 3x 5
lim x 3 lim 1
x2
x2
lim( x 2 3x 5)
23 1 3
7. 3
x2
6/23
小结: 1. 设 f ( x) a0 x n a1 x n1 an ,则有
lim
x x0
f
(
x)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
lim 2 n
n2
lim
n
n2 n 2n2
1. 2
12/23
例6 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
lim sin x 0. x x
y sin x x 13/23
例7
设
f (x)
1 x,
x
2
1,
x 0,求 lim f ( x). x 0 x0
lim
x
a0 xm b0 xn
a1 xm1 b1 xn1
am bn
a0 ,当n m, b0 0,当n m,
,当n m.
11/23
例5
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无穷小之和． 先变形再求极限.
极限的运算法则
证 Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α , g ( x ) = B + β . 其中α → 0, β → 0.
x → x0 x → x0
lim P ( x )
若Q( x0 ) = 0, 则商的法则不能应用.
-6-
第五节
极限的运算法则
4x − 1 . 例2 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
第一章 函数 极限 连续
( x 2 + 2 x − 3) = 0, 解 Q lim x →1
商的法则不能用
-8-
(消去零因子法)
第五节
极限的运算法则
2x3 + 3x2 + 5 ∞ . ( 例4 求 lim 型未定式 ) 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1 ∞
第一章 函数 极限 连续
解
x → ∞时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .
先用x 3去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限 .
3 2+ + 3 2 2x + 3x + 5 x lim 3 lim = x→∞ 7 x + 4 x 2 − 1 x→∞ 4 7+ − x
0
x → x0
lim ϕ ( x ) = u0 , lim f ( u) = A,
u→ u0
x → x0
时, 恒有
| f ( u) − A |< ε ,
- 15 -
第五节
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在一些点无限接近一些值的情况。
极限的运算法则涉及到极限的四则运算、复合函数的极限、反函数的极限以及夹逼定理等内容。
下面将详细介绍极限的运算法则及计算方法。
1.极限的四则运算法则:（1）和差运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的和差的极限存在，并且有以下公式：lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)（2）乘积运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的乘积的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)g(x) = lim f(x) · lim g(x)（3）商运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且lim g(x)≠0，那么函数f(x)和g(x)的商的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)/g(x) = lim f(x)/lim g(x)2.复合函数的极限:（1）设函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=limf(x)处极限存在，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = lim g(u) (u→lim f(x)) = lim g(u) (u→a) = lim g(v) (v→a)（2）特别地，如果函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=lim f(x)处连续，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(f(a))3.反函数的极限:（1）设函数y=f(x)在点x=a处具有反函数，并且在点x=a处极限存在，那么函数x=f^[-1](y)在点y=f(a)处极限存在，并且有以下公式：lim x→a f^[-1](y) = f^[-1](lim y→f(a))4.夹逼定理:假设函数g(x)≤f(x)≤h(x)在点x=a处成立，并且g(x)和h(x)在点x=a处极限都等于L，那么函数f(x)在点x=a处也存在极限，并且极限等于L，即有以下公式：lim f(x) = L以上就是极限的运算法则及计算方法的基本内容。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
其中 , 为无穷小.
f ( x) g( x) AB A B .
( 由定理1, 2 及推论知 ) A B 为无穷小,
从而 lim f ( x) g( x) A B .
定理1, 2, 3 及推论对于数列{xn}的极限也适用. 1 . 有限个无穷小的和也是无穷小. 2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 3 . 极限可以进行加, 减 , 乘 , 除四则运算.
三、 复合函数的极限运算法则
定理6. 设
且 x 满足
时,
(x) a , 又 lim f (u) A, 则有 ua
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim
x
2 7
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
(无穷小因子分出法)
例6 .
lim
x
2x2 6x 1 x3 5x 2
分子分母同除以
x
3
,
lim x
2 x
6 x2
1 x3
1
5 x2
2 x3
0000. 1 0 0
例 7.
lim
x
x3 5x 2 2x2 6x 1
如果 lim f ( x) , lim g( x) 存在 , 则由 f ( x) g( x) lim f ( x) lim g( x) .
保序性 : ""两侧可同时取极限, 只要两侧极限存在即可.
例题综合
例3.
lim
x1
x2 x
1 1
以 x 1 代入 , 分母为0, 分子不为0
设
f
(x)
推论: 若 lim f ( x) A, lim g( x) B,且 f ( x) g( x),
则 A B . ( P45 定理 5 )
证明: 令 ( x) f ( x) g( x) 0
利用保号性知:
lim( x) lim f ( x) lim g( x) 0
x x0
x x0
即 A B 0 A B.
例如，
lim 1 1 1 1
n n n
n
n个
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
证: 设
u M
又设 lim 0, 即 0,
当
x x0
时, 有
M
取 min1 , 2 , 则当 x (x0 , ) 时 , 就有
u u M
M
故
即是
时的无穷小 .
C
;
lim
x x0
x0
x0
;
lim 1 0. x x
一、 无穷小运算法则
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
当
时,有
当
时,有
取
则当
时, 有
因此 这说明当
时,
为无穷小量 .
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
x
2
lim
x
arctan x
2
当x 时,
1 x
为无穷小,
arctan x
有界 .
例11 .
1
lim e x lim e y ,
1
lim
x
e
lim
ey 0,
x0
y
x0
y
1x
lim e
不存在 , 也不是无穷大.
ห้องสมุดไป่ตู้
x0
常用变换:
lim
x0
f
( x)y 1x lim y
f
1 y
x 0; y x 0; y
第五节 极限运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则
复习P 40 . 定理 2 . 在 x 的同一趋限过程中:
f (x) 为无穷大
f
1 (x)
为无穷小;
f (x) 为无穷小且 f (x) 0
f
1 (x)
为无穷大
.
用定义证明的结论：lim C x x0
注 . 加 , 乘运算可以推广到多个极限的运算.
推论 .设 lim f ( x) A , c 为常数 , n 为正整数 .
则 limc f ( x) c lim f ( x) c A , (lim c c )
lim f ( x)n lim f ( x)n An .
只证乘法, 加 , 减及除法阅读课本. 证 . lim f ( x) A , lim g( x) B .
则 lim f ( x) g( x) A B lim f ( x) lim g( x) .
lim f ( x) g( x) A B lim f ( x) lim g( x) .
lim
f (x) g( x)
A B
lim lim
f (x) g( x)
.
(B0)
即 . 极限可以进行加, 减 , 乘 , 除四则运算.
x x2
1 1
,
则
lim
x1
f
(x)
lim
x1
x1 x2 1
0
.
lim
x 1
x2 1 x 1
lim
x 1
f
1 (x)
.
分母极限为0, 分子极限不为0, 则分式极限为无穷大!
例4
求
lim
x1
x2
x2 1 2x
3
.
解 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1
( x 1)( x 1)
lim
x1
x2
2x
3
lim
x1
(x
3)( x
1)
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
例5
求
lim
x
2x3 7x3
3 4
x2 x2
5 1
.
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大.( 型 )
先用x3去除分子分母,分出无穷小, 再求极限.
=?
一般有如下结果：
lim
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1
am bn
(例5 )
(例6 )
(例7 )
为非负常数 )
例 8 . lim x cos x x 2x sin x
lim
1
cos x
x
x
2
sin x
x
10 20
1 2
.
例9.
(2 x 3)20 (3 x 2)30
lim
x
(2 x 1)50
分子, 分母都是50次多项式
lim
x
220 330 x50 250 x50
分子, 分母同除以x50, 再取极限
220 330 250
3 2
30 .
例10 .
arctan x
lim
x
x
=0
因为
arctan x
x
1 x
arctan x ,
lim arctan x
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
例1. 求
解:
lim 1 0 x x
利用定理 2 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
y sin x x
二、 极限的四则运算法则 P 43 定理 3 .
设 lim f ( x) A , lim g( x) B .