优选第五节极限运算法则
当
x x0
时, 有
M
取
min1 , 2 ,
则当 x ( x0 , ) 时 , 就有 u
u
M
M
故
即是
时的无穷小 .
【证完】
【推论1】 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
【推论2】 常数与无穷小的乘积是无穷小.
【推论3】 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如,当x 0时, x sin 1 , x2 arctan 1
f ( x0 ).
2.
设有理分式函数
F
(
x)
P( Q(
x) x)
,
且Q(
x0
)
0,
则有
lim P( x) lim F ( x) xx0
P( x0 )
F ( x0 ).
x x0
lim Q( x) Q( x0 )
x x0
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用. 需特别注意
【例3】求
lim
x1
【例5】
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
( 型)
【方法】抓大头（以消除不定性）—无穷小量分出法
【解】
x
时,
分子,分母的极限都是无穷大.
由于 lim g( x) B 0 由第三节定理3*得
x x0
U( x0 ) , 当 x U( x0 )时
g(x) B 2
即
1 1 2
g(x) B B
故
1
B(B )
1 B
1
B
2 B2
,
有界， (3)成立.
函数和,差,积,商的极限等于极限的和,差,积,商.
【推论1】如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[ cf ( x)] c lim f ( x).
x
x
都是无穷小
【例1】 求 lim sin x .
【解】
x x lim 1 0
y sin x x
x x
由定理 2 可知：
【说明 】 y = 0 是
的渐近线 .
二、极限的运算法则
【声明】以下符号lim表示自变量的同一变化过程
1.函数极限运算法则
【定理3】 设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则
n(n 1)
但
1 n2
2 n2
n n2
2 n2
n(n 2n2
1)
1 2
非无穷小
(n 时)
2）乘积的性质
【定理2】有界函数 u与无穷小 的 乘积是无穷小.
【分析】（仅证 x 时x0） 需证 0 , 0
当 0 x x0 时 , u
【证】设
u M（注：M为定值）
又设 lim 0, 即 0,
x
4x 1 2 2x
3
.
【方法】无穷大的倒数法
“( 1 ”型 ,为) 0
【解】 x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 商的法则不能用
但因
lim x2 2x 3 x1 4 x 1
0 0. 3
lim
x1
x
4x 1 2 2x
3
.
【例4】
求
lim
x1
x
2
x2 1 2x
3
.
( 0型) 0
【方法】消去零因子法
【解】 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小因子 x 1 后再求极限.
lim
x1
x2
x2 1 2x
3
lim
x1
(x (x
1)( x 3)( x
1) 1)
lim x 1 1 . 在x→1（但x≠1）时是相 x1 x 3 2 同的函数,故而极限相等
求极限方法举例
【例2】
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
【解】 lim( x 2 3 x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5 22 3 2 5 3 0,
x2
x2
x2
lim
x2
x2
x3 1 3x
(1) lim[ f ( x) g( x)] A B;
(2) lim[ f ( x) g( x)] A B;
推广到 有限项
(3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
【证】lim f ( x) A, lim g( x) B.
Байду номын сангаас
f ( x) A , g( x) B . 其中 0, 0.
由无穷小运算法则,得
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
( A B ) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A B A 0. g( x) B B B B(B )
优选第五节极限运算法则
1
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【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
【例如】
(1) n 时, 1 是无穷小，但n个 1 之和为 1 , 非无穷小.
n
n
lim(1 1 1 ) lim1 1
n n n
n
n
(2)
1 n2
,
2 n2
,,
n n2
n个 都是 n 时的无穷小
lim ( x) b 则 a b
【证】 令 f ( x) ( x) ( x)
则 f (x) 0
由定理3可知
lim f ( x) lim( x) ( x)
lim( x) lim ( x) a b
由第三节函数极限的局部保号性的推论可知
lim f ( x) 0 a b 0 a b 【证完】
5
lim x
x2
lim( x 2
3 lim 1 x2
3x 5)
23 3
1
7. 3
x2
【小结】
1. 设多项式 f ( x) a0 xn a1xn1 an ,则有
lim
x x0
f
(
x)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1
an
a0 x0n
a1
x n1 0
an
常数因子可以提到极限记号外面. 【推论2】 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
【注意】定理3及其两个推论成立的前提条件是：
“f (x)与g (x)的极限存在”
2.数列极限运算法则
【定理4】设数列xn, yn, 若
lim
n
xn
A
，lim n
yn
B
则
(1)
lim (
n
xn
yn )
A
B
(2)
lim
n
xn
yn
A B
(3)
lim xn n yn
A B
,当 yn
0(n 1,2,) 且 B 0
【提示】因数列是一种特殊的函数 , 故此定理4 可由
定理3（x→∞情形）与海因定理直接得出结论 .
3.极限保序性
【定理5】 如果 ( x) ( x) 而 lim( x) a
高等数学1.5极限运算法则
二、求极限方法举例
2x3 3x2 5 . 例4 求 lim 3 2 x 7 x 4 x 1
分子分母的极限都是无穷大 解 x 时， 先用
( 型) xຫໍສະໝຸດ 3再求极限 分出无穷小， 去除分子分母，
3 2 2 x3 3 x2 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x
例如 ,当x 0时,
1 x sin , x
1 x arctan x
2
都是无穷小
推论1 常数与无穷小的乘积是 无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积 也是无穷小.
§5. 极限运算法则
极限运算法则 定理3
设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B;
( 2) lim[ f ( x ) g( x )] A B;
f ( x) A ( 3) lim , 其中 B 0. g( x ) B
定理3 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B; 分析： 要证 ( f ( x ) g ( x )) ( A B ) 0 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B . 证
有
u
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x0 2 时有 M u M , M
当 x x0 时
u
是无穷小.
1、无穷小的运算性质: 定理1. 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
第五节极限运算法则07872
lim
x
7 2 x
4 x
1 x3
3 x2
5 x3
.
小结:
当 a00,b00,m和 n为非负整数时有
lx im ab00xxmnab11xxm n11 banm
a0 0b0,
,
,
当nm,
当nm, 当nm,
例5 求 ln i (m n 12n 22 n n 2).
又设 是x当 x0时的无 , 穷小
0 , 2 0 ,使 0 x 当 x 0 2 时 M 有 .
取 m1 i,n 2}{ ,则0 当 xx 0时 ,恒有
uu M ,
M
当 x x0时 ,u为无 . 穷小
limx 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
例4 (1) 求 lx i m 5 3x x33 4 2x x2 5 1.
解 x时,分子 ,分母的极限都是 .( 无型穷 ) 大
先x3用 去除分 ,分子 出分 ,再 无母 求 穷 . 极 小限
lx im 53xx3342xx251
(A B ) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A g( x) B B B B(B )
B A 0 .
又 0 ,B 0 ,0, 当 0xx0时 ,
B , B B B 1 B 1 B
M
M
当 0x11时 ,就有 1 M.lim 1 .
渐近线 (vertical asympotote)
如l果 im f(x)或lim f(x),则称直线
x x0
x x0＋
xx0是函 yf数 (x)的图铅形 直渐的 近线.
第五节 极限运算法则
.
u⋅α = u ⋅ α < M ⋅
ε
M
= ε,
∴ 当x → x 0时, u ⋅ α为无穷小 .
推论1 在同一过程中, 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 乘积是无穷小. 推论2 推论2 推论3 推论3 常数与无穷小的乘积是无穷小. 常数与无穷小的乘积是无穷小. 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
x x
lim[λ f ( x) + µ g( x)] = λ lim f ( x) + µ lim g( x).
x x x
极限运算的线性性质可推广到有限个函数的情形. 极限运算的线性性质可推广到有限个函数的情形
推论2 推论2 若lim fi ( x) = Ai (常数) (i = 1,2,⋯, n), 则
0
则有 lim α( x ) = 0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α ( x ) 是当 x → x0 时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
二、极限的运算法则
1. 极限运算法则
定理
设lim f ( x) = A , lim g( x) = B , 则
x x x
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A± B ; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B ;
x
f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0 . x g( x) B
第五讲极限的运算法则及存在准则
练习：
x - 16 求 lim . x 4 x - 4 x 2 - 16 解 lim = lim( x + 4) = 4 + 4 = 8 x 4 x - 4 x 4
2
3) 型 ( 记号 ) 3 x2 + x + 1 lim 2 例4 x 2 x - x + 1 = 3 2 1 + + 3 x = lim x 1 2- + x 1 lim ( 3 + 2 x = x 1 lim( 2 x2 x 1 + x 1 + x 1 2) x 1 2) x
x+ 2-4 4 1 = lim 2 解 lim - 2 x 2 x - 2 x - 4 x2 x - 4 x-2 1 1 = lim 2 = lim = x2 x - 4 x2 x + 2 4
C 5) 型 0
2x + 4 例7 求 lim . x -1 x + 1 x+1 因为 lim =0 x -1 2 x + 4
小结
一、函数极限的四则运算
二、多项式商的极限 三、复合函数的极限
第五讲 • 内容提要
函数极限的运算法则 与存在准则
1. 极限的运算法则；
2. 两个极限存在准则。
• 教学要求
1. 熟练掌握极限的四则运算法则； 2. 了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界法 则）.
一、极限的运算法则
+ x x 对于 下面仅给出x x0时的运算法则， 0 x x0 , x , x + , x - 等情况的运算
x 0
lim cos x = 1
x 0
定义1 对于数列 { x n }, 如果存在正数M, 使得对于 一切 xn , 都满足不等式 | xn | M ,
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在一些点无限接近一些值的情况。
极限的运算法则涉及到极限的四则运算、复合函数的极限、反函数的极限以及夹逼定理等内容。
下面将详细介绍极限的运算法则及计算方法。
1.极限的四则运算法则:（1）和差运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的和差的极限存在，并且有以下公式：lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)（2）乘积运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的乘积的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)g(x) = lim f(x) · lim g(x)（3）商运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且lim g(x)≠0，那么函数f(x)和g(x)的商的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)/g(x) = lim f(x)/lim g(x)2.复合函数的极限:（1）设函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=limf(x)处极限存在，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = lim g(u) (u→lim f(x)) = lim g(u) (u→a) = lim g(v) (v→a)（2）特别地，如果函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=lim f(x)处连续，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(f(a))3.反函数的极限:（1）设函数y=f(x)在点x=a处具有反函数，并且在点x=a处极限存在，那么函数x=f^[-1](y)在点y=f(a)处极限存在，并且有以下公式：lim x→a f^[-1](y) = f^[-1](lim y→f(a))4.夹逼定理:假设函数g(x)≤f(x)≤h(x)在点x=a处成立，并且g(x)和h(x)在点x=a处极限都等于L，那么函数f(x)在点x=a处也存在极限，并且极限等于L，即有以下公式：lim f(x) = L以上就是极限的运算法则及计算方法的基本内容。
极限运算法则总结
极限运算法则总结
1. 极限的唯一性：如果一个数列存在极限，则极限唯一。
2. 有界性原理：如果一个数列有极限，则它是有界数列。
3. 递推数列的极限性质：如果一个数列存在极限，那么这个数列的递推数列也存在极限，且极限相等。
4. 夹逼准则：如果一个数列在两个极限之间夹逼，那么这个数列也存在极限，且极限等于夹逼的两个极限。
5. 极限与函数连续性的关系：如果一个函数在某点处连续，那么在这个点处的极限就等于函数值。
6. 极限与函数单调性的关系：如果一个函数单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么这个函数存在极限，且极限等于上（或下）界。
7. 极限的四则运算法则：对于两个数列，若它们存在极限，则它们的和、差、积、商（分母不为0）也存在极限，且按照运算法则计算。
8. 乘积的极限性质：如果一个数列存在极限，那么它与另一个数列的乘积也存在极限，且极限等于原数列和另一个数列的极限的乘积。
9. 商的极限性质：如果两个数列都存在极限且分母数列的极限不为0，那么它们的商也存在极限，且极限等于分子和分母各自的极限的商。
10. 多项式函数与指数函数的极限：在正无穷大和负无穷大两个方向上，多项式函数的极限为正无穷或负无穷，而指数函数的极限为0（负指数）或正无穷（正指数）。
1-5极限的运算法则
2
3x 5
.
2
lim ( x
x 2
3 x 5 ) lim x
x 2 2
lim 3 x lim 5
x 2 x 2
( lim x )
x 2
2
3 lim x lim 5
x 2 x 2
2
3 2 5 3 0,
lim
x x
2
3
定理. 设
x x0
lim ( x ) a , 且
x 满足 0
x x0 1
时,
( x ) a , 又 lim f ( u) A , 则有 u a
x x0
lim f [ ( x ) ] lim f ( u) A
u a
①
lim 说明: 若定理中 x x ( x ) , 则类似可得
1) x x0 时, 2) x x0 时,
用代入法 ( 分母不为 0 )
对
0 型 0
, 约去公因子
时,分子分母同除最高次幂 “抓大头” (2) 复合函数极限求法 设中间变量 (3)利用无穷小运算性质求极限
(4)利用左右极限求分段函数极限.
3) x
重点：运用极限的四则运算、复合函数的极限 法则求极限 难点：求极限的一些技巧，极限不存在时的一 些运算
lim
lim
x 4 2 x
0 ( 0 )型
x 0
x 4 2 x
1 x 4 2
lim
1 4
x x( x 4 2)
x 0
x 0
lim
x 0
（分子有理化）
0 ( 0 )
第五节 极限运算法则
• 定理 1 的推广 由归纳法原理，定理 1 可推广至有限多个函数的和 的情形，即 如果 lim fi( x )= A i ，( i = 1,2,„,n )，则
lim fi x 存在，且有 lim fi x A i lim f i x .
i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n
变形或转化，使其满足运算法则条件，
再考虑按极限运算法则进行计算。 由于“定式”计算相对简单， 所以极限计算主要研究“不定式” 的计算。
3 x 例：求极限 lim 2 1 . x 2 x 5x 3 用极限运算法则计算
对此分式的极限， 考虑由极限的运算法则进行计 算，为此先验证商的极限运算法则条件是否满足。 因为 lim x 3 1 lim x
x 2 x 1 3 1 3 lim 3 lim x 1 x 1 x 1 x 1 x3 1 lim x 2 x 1 x 2 3 1 . x 1 lim x 1 x 1 x 2 x 1 lim x 2 x 1 3 x 1
可计算出相当一部分初等函数的极限。
(1) 函数和的极限 定理 1 和的极限运算法则
如果 lim f( x )= A，lim g( x )= B ，则
lim [ f( x )± g( x )] 存在，且有 lim [ f( x )± g( x )]= A±B = lim f( x )± lim g( x ).
多项式，属同类函数，故考虑用无穷大分离法求之。 观察可见，分子、分母均是 50 次多项式，其间最 大的公共无穷大因子为 x 50 .
用无穷大分离法求之
1 2 x 1 20 3 x 2 30 50 2x 1 3x 2 x lim lim 50 x x 1 2 x 3 50 2x 3 x 50 20 30 2 x 1 20 3 x 2 30 1 2 2 3 20 30 x x x x lim lim 50 x x 2 x 3 50 3 2 x x 50
高数第五节极限运算法则
高数第五节极限运算法则高数第五节极限运算法则是数学领域中最重要的一个概念，它在数学中的作用是非常重要的，它可以帮助人们更好地理解数据和推导出数学公式。
本文将对极限运算法则做一个概述，介绍极限运算法则的定义、性质和应用等。
一、极限运算法则的定义极限运算法则是一种常见的数学运算法则，它定义了当某个函数的变量接近某个值时，函数的变化趋势。
极限运算法则的定义可以分为三个部分。
首先，极限运算法则需要有一个函数f(x)，该函数的输入为x，输出为f(x)。
其次，极限运算法则需要有一个极限值a，令x接近于a，当x接近a时，函数f(x)的值就会接近某一个固定值，这个固定值就是函数f(x)在极限值a处的极限值。
最后，极限运算法则定义了在极限a处，函数f(x)的变化趋势。
二、极限运算法则的性质极限运算法则有两个重要性质：绝对极限性质和相对极限性质。
绝对极限性质，也称为绝对值极限，即函数f(x)在某一极限处的极限值的绝对值存在极限。
相对极限性质，也称为相对值极限，即函数f(x)在某一极限处的极限值的相对值存在极限。
三、极限运算法则的应用极限运算法则在数学中有着诸多应用，下面介绍几个典型的应用案例：（1）求极限极限运算法则可以用来求解函数的极限，例如：求函数f(x)=1/x在x=0处的极限，则可以利用极限运算法则推导出f(x)在x=0处的极限值为无穷大。
（2）求微分极限运算法则也可以用来求解函数的微分，例如：求函数f(x)=x^2在x=1处的导数，可以利用极限运算法则推导出f(x)在x=1处的导数值为2。
（3）求积分极限运算法则也可以用来求解函数的积分，例如：求函数f(x)=x在x=1到2之间的积分，可以利用极限运算法则推导出f(x)在x=1到2之间的积分值为3/2。
四、总结极限运算法则是一种重要的数学运算法则，它定义了当某个函数的变量接近某个值时，函数的变化趋势。
极限运算法则有两个重要性质：绝对极限性质和相对极限性质，它们都可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势。
一元函数的连续与极限-极限的运算法则：函数极限运算法则
一元函数的连续与极限-极限的运算法则：函数极限运算法则一元函数的连续与极限-极限的运算法则|函数极限运算法则第一章第五节极限的运算法则一、主要内容二、典型例题三、同步练习四、同步练习解答一、主要内容（一）极限的四则运算法则定理1.5若limf(x)=A,limg(x)=B,则x→x0x→x0(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±Bx→x0x→x0x→x0(2)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=ABx→x0x→x0x→x0(3)若B≠0,则有f(x)=limx→x0g(x)x→x0limf(x)x→x0A=limg(x)B注对于数列极限及x→∞时函数极限的四则运算法则,有相应的结论.例如,对于数列极限,有以下结论:若limxn=A,limyn=B,则有n→∞n→∞(1)lim(xn±yn)=A±Bn→∞(2)limxnyn=ABn→∞xnA=(3)当B≠0时,limBn→∞yn数列是一种特殊的函数,故此结论可由定理1.5直接得出.推论(极限运算的线性性质)若limf(x)=A,limg(x)=B,λ和μ是常数，则x→x0x→x0x→x0lim[λf(x)±μg(x)]=λA±μB=λlimf(x)±μlimg(x)x→x0x→x0以上运算法则对有限个函数成立.于是有x→x0lim[f(x)]n=[limf(x)]nx→x0——幂的极限等于极限的幂一般地，设有分式函数P(x)R(x)=,Q(x)其中P(x),Q(x)都是多项式,若Q(x0)≠0，则P(x0)=R(x0)结论：limR(x)=Q(x0)x→x0注若Q(x0)=0,不能直接用商的运算法则.结论：a0xm+a1xm1+L+am=0,当n>mlimnn1+L+bnx→∞b0x+b1xa0,当n=mb0∞,当n(a0b0≠0,m,n为非负常数)对于∞型的极限，可以先给分子、分母同除以分∞母中自变量的最高次幂（抓大头）,然后再求极限.（二）复合函数的极限运算法则定理1.6设lim(x)=a,当0x→x0u=(x)≠a,又limf(u)=A,则有u→ax→x0limf[(x)]=limf(u)=Au→ao注1°定理1.6中的条件：(x)≠a,x∈U(x0,δ1)不可少.否则，定理1.6的结论不一定成立.2°定理1.6的其他形式若limφ(x)=∞(或limφ(x)=∞)，limf(u)=A,且x→x0x→∞u→∞则有x→x0(或x→∞)limf[φ(x)]=limf(u)=A.u→∞由定理1.6知，在求复合函数极限时,可以作变量代换：x→x0 limf[(x)](x)=ulimf(u)u→alim且代换是双向的,即u→af(u)u=(x)x→x0limf[(x)].二、典型例题lim(2x2+x5).例1求x→2x→2极限运算的线性性质解lim(2x2+x5)=2lim(x2)+limxlim5x→2x→2x→2幂的极限等于极限的幂=2(limx)2+25x→2=2223=5x→x0a0x0n结论：lim(a0xn+a1xn1+L+an)=+a1x0n1+L+an例2x31lim2.x→2x3x+52x→2=limx2lim3x+lim5解Qlim(x3x+5)x→2x→2x→2=(limx)23limx+lim5 x→2x→2x→2 =2232+5=3≠0,3商的极限等于极限的商2317x1=x→22=.=∴lim233x→2x3x+5lim(x3x+5) x→2lim(x31)x1.（0型）例3求lim2x→1x+2x30Qlim(x2+2x3)=0,商的极限法则不能直接用解x→1又lim(x1)=0称0x1为型极限.lim20x→1x+2x3x→1由极限定义x→1，x≠1,x1x1lim2=limx→1x+2x3x→1(x+3)(x1)11=lim=.x→1x+34约去零因子法2x3+3x2+5例4求lim.32x→∞7x+4x1∞(型)∞分析x→∞时,分子,分母都趋于无穷.可以先用x3同时去除分子和分母,然后再取极限.352++3322x+3x+5xx“抓大头”=limlim解41x→∞7x3+4x21x→∞7+3xx35lim(2++3)2xx=x→∞=.41lim( 7+3)7x xx→∞例5分析121求lim3.x→2x+2x+8(∞∞型)∞∞型，先通分，再用极限法则.(x22x+4)12解原式=lim3x→2x+8(x4)(x+2)x22x8=lim=lim3x→2(x+2)(x22x+4)x→2x+8 (0)01x4=.=lim2x→2x2x+42122n2例6求lim3+3+L3.n→∞nnn无穷多项和的极限11解原式=lim3n(n+1)(2n+1)n→∞n6111=lim1+2+nn6n→∞1=.3公式求和变为有限项例7求limx→3x3.2x9x→x0limf[(x)]=limf(u)=A①x3f(u)=u解令u=(x)=2u→ax9x31x3==lim于是limu=lim26x→3x→3x9x→3(x3)(x+3) 61从而原式=limf(u)=limu==.166u→u→166从左向右用①式三、同步练习1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(1)lim[f(x)+g(x)]是否一定不存在？为什么?(2)若limf(x)=A≠0,不存在？n1232.lim2+2+2+L+2=?n→∞nnnnlimf(x)g(x)是否一定2x.3．求limx→4x44.已知x→1limx2+3[A+B(x1)]=0,x1试求常数A，B的值.n2+n5.求lim4.2n→∞n3n+1f(x)2x3=2,6.设f(x)是多项式,且li m2x→∞xf(x)lim=3,求f(x).x→0x7.8.x2+1(αx+β))=0试确定常数α,β.已知lim(x→∞x+1111求lim1212L12.n→∞23n2x求lim.x→432x+19.四、同步练习解答1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(1)lim[f(x)+g(x)]是否一定不存在？为什么?答：一定不存在．假设lim[f(x)+g(x)]存在，Qlimf(x)存在由极限运算法则可知：limg(x)=lim{[f(x)+g(x)]f(x)}必存在，这与已知矛盾，故假设错误．1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(2)若limf(x)=A≠0,不存在？limf(x)g(x)是否一定一定不存在.（可用反证法证明）答：23n12.lim2+2+2+L+2=?n→∞nnnnn(n+1)111=lim(1+)=.解原式=lim2n→∞2nn2n→∞22x求lim.（0型）3．x→4x40解2xlimx→4x44x=limx→4(x4)(2+1=limx→42+x1=.4先有理化x)再约去无穷小４．已知x→1limx2+3[A+B(x1)]=0,x1试求常数A，B的值.解Qlim{x2+3[A+B(x1)]}x→1x2+3[A+B(x1)]=lim(x1)=00=0x→1x1而lim{x+3[A+B(x1)]}=2(A+B0)2x→1∴2(A+B0)=0,从而A=2.于是x2+3[A+B(x1)]0=limx→1x1x2+3[2+B(x1)]x2+32=lim=lim(B)x→1x1x→1x1 =lim[x→1(x2+3)4(x1)(x2+3+2)x21(x1)(x2+3+2)x+1B]B]1∴B=.2=lim[x→11=lim[2B]=B,x→12x+3+2n2+n.5．求lim42n→∞n3n+1∞(型)∞解n→∞时,分子,分母都趋于无穷.4同时去除分子和分母,然后再取极限.可以先用n11+32n2+nlim4=limnnn→∞n3n2+1n→∞3112+4nn11lim(2+3)n→∞nn==0.31lim(12+4)n→∞nn6.设f(x)是多项式,且f(x)lim=3,求f(x).x→0xf(x)2x3lim=2,2x→∞x解根据前一极限式可令32f(x)=2x+2x+ax+b再利用后一极限式,得f(x)bb23=lim=lim(2x+2x+a+)=lim(a+)xx→0xx→0xx→0可见a=3,b=0故f(x)=2x+2x+3x327.x2+1(αx+β))=0已知lim(x→∞x+1(∞∞型)试确定常数α,β.解∵x→∞x2+1f(x)=(αxβ)x+1(1α)x2(α+β)x+(1β)=x+1limf(x)=0∴分子的次数必比分母的次数低故1α=0,α+β=0即α=1,β=1.1118.求lim1212L12.n→∞32n无穷多个因子的积解原式=的极限111111lim11+11+L11+n→∞3322nn111=lim(1+)=.n→∞22n 变为有限项再求极限9.解2x0求lim.（型）分子分母同乘x→432x+102xlimx→432x+1以各自的有理化因式(2x)(2+x)(3+2x+1)=lim x→4(32x+1)(3+2x+1)(2+x)3+2x+1(4x)(3+2x+1)1=lim=lim2x→42+xx→4(82x)(2+x)3=.4约去无穷小。