优选第五节极限运算法则
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高等数学1.5极限运算法则
二、求极限方法举例
2x3 3x2 5 . 例4 求 lim 3 2 x 7 x 4 x 1
分子分母的极限都是无穷大 解 x 时， 先用
( 型) xຫໍສະໝຸດ 3再求极限 分出无穷小， 去除分子分母，
3 2 2 x3 3 x2 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x
例如 ,当x 0时,
1 x sin , x
1 x arctan x
2
都是无穷小
推论1 常数与无穷小的乘积是 无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积 也是无穷小.
§5. 极限运算法则
极限运算法则 定理3
设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B;
( 2) lim[ f ( x ) g( x )] A B;
f ( x) A ( 3) lim , 其中 B 0. g( x ) B
定理3 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B; 分析： 要证 ( f ( x ) g ( x )) ( A B ) 0 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B . 证
有
u
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x0 2 时有 M u M , M
当 x x0 时
u
是无穷小.
1、无穷小的运算性质: 定理1. 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
第五节极限运算法则07872
lim
x
7 2 x
4 x
1 x3
3 x2
5 x3
.
小结:
当 a00,b00,m和 n为非负整数时有
lx im ab00xxmnab11xxm n11 banm
a0 0b0,
,
,
当nm,
当nm, 当nm,
例5 求 ln i (m n 12n 22 n n 2).
又设 是x当 x0时的无 , 穷小
0 , 2 0 ,使 0 x 当 x 0 2 时 M 有 .
取 m1 i,n 2}{ ,则0 当 xx 0时 ,恒有
uu M ,
M
当 x x0时 ,u为无 . 穷小
limx 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
例4 (1) 求 lx i m 5 3x x33 4 2x x2 5 1.
解 x时,分子 ,分母的极限都是 .( 无型穷 ) 大
先x3用 去除分 ,分子 出分 ,再 无母 求 穷 . 极 小限
lx im 53xx3342xx251
(A B ) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A g( x) B B B B(B )
B A 0 .
又 0 ,B 0 ,0, 当 0xx0时 ,
B , B B B 1 B 1 B
M
M
当 0x11时 ,就有 1 M.lim 1 .
渐近线 (vertical asympotote)
如l果 im f(x)或lim f(x),则称直线
x x0
x x0＋
xx0是函 yf数 (x)的图铅形 直渐的 近线.
第五节 极限运算法则
.
u⋅α = u ⋅ α < M ⋅
ε
M
= ε,
∴ 当x → x 0时, u ⋅ α为无穷小 .
推论1 在同一过程中, 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 乘积是无穷小. 推论2 推论2 推论3 推论3 常数与无穷小的乘积是无穷小. 常数与无穷小的乘积是无穷小. 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
x x
lim[λ f ( x) + µ g( x)] = λ lim f ( x) + µ lim g( x).
x x x
极限运算的线性性质可推广到有限个函数的情形. 极限运算的线性性质可推广到有限个函数的情形
推论2 推论2 若lim fi ( x) = Ai (常数) (i = 1,2,⋯, n), 则
0
则有 lim α( x ) = 0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α ( x ) 是当 x → x0 时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
二、极限的运算法则
1. 极限运算法则
定理
设lim f ( x) = A , lim g( x) = B , 则
x x x
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A± B ; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B ;
x
f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0 . x g( x) B
第五讲极限的运算法则及存在准则
练习：
x - 16 求 lim . x 4 x - 4 x 2 - 16 解 lim = lim( x + 4) = 4 + 4 = 8 x 4 x - 4 x 4
2
3) 型 ( 记号 ) 3 x2 + x + 1 lim 2 例4 x 2 x - x + 1 = 3 2 1 + + 3 x = lim x 1 2- + x 1 lim ( 3 + 2 x = x 1 lim( 2 x2 x 1 + x 1 + x 1 2) x 1 2) x
x+ 2-4 4 1 = lim 2 解 lim - 2 x 2 x - 2 x - 4 x2 x - 4 x-2 1 1 = lim 2 = lim = x2 x - 4 x2 x + 2 4
C 5) 型 0
2x + 4 例7 求 lim . x -1 x + 1 x+1 因为 lim =0 x -1 2 x + 4
小结
一、函数极限的四则运算
二、多项式商的极限 三、复合函数的极限
第五讲 • 内容提要
函数极限的运算法则 与存在准则
1. 极限的运算法则；
2. 两个极限存在准则。
• 教学要求
1. 熟练掌握极限的四则运算法则； 2. 了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界法 则）.
一、极限的运算法则
+ x x 对于 下面仅给出x x0时的运算法则， 0 x x0 , x , x + , x - 等情况的运算
x 0
lim cos x = 1
x 0
定义1 对于数列 { x n }, 如果存在正数M, 使得对于 一切 xn , 都满足不等式 | xn | M ,
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在一些点无限接近一些值的情况。
极限的运算法则涉及到极限的四则运算、复合函数的极限、反函数的极限以及夹逼定理等内容。
下面将详细介绍极限的运算法则及计算方法。
1.极限的四则运算法则:（1）和差运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的和差的极限存在，并且有以下公式：lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)（2）乘积运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的乘积的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)g(x) = lim f(x) · lim g(x)（3）商运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且lim g(x)≠0，那么函数f(x)和g(x)的商的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)/g(x) = lim f(x)/lim g(x)2.复合函数的极限:（1）设函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=limf(x)处极限存在，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = lim g(u) (u→lim f(x)) = lim g(u) (u→a) = lim g(v) (v→a)（2）特别地，如果函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=lim f(x)处连续，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(f(a))3.反函数的极限:（1）设函数y=f(x)在点x=a处具有反函数，并且在点x=a处极限存在，那么函数x=f^[-1](y)在点y=f(a)处极限存在，并且有以下公式：lim x→a f^[-1](y) = f^[-1](lim y→f(a))4.夹逼定理:假设函数g(x)≤f(x)≤h(x)在点x=a处成立，并且g(x)和h(x)在点x=a处极限都等于L，那么函数f(x)在点x=a处也存在极限，并且极限等于L，即有以下公式：lim f(x) = L以上就是极限的运算法则及计算方法的基本内容。
极限运算法则总结
极限运算法则总结
1. 极限的唯一性：如果一个数列存在极限，则极限唯一。
2. 有界性原理：如果一个数列有极限，则它是有界数列。
3. 递推数列的极限性质：如果一个数列存在极限，那么这个数列的递推数列也存在极限，且极限相等。
4. 夹逼准则：如果一个数列在两个极限之间夹逼，那么这个数列也存在极限，且极限等于夹逼的两个极限。
5. 极限与函数连续性的关系：如果一个函数在某点处连续，那么在这个点处的极限就等于函数值。
6. 极限与函数单调性的关系：如果一个函数单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么这个函数存在极限，且极限等于上（或下）界。
7. 极限的四则运算法则：对于两个数列，若它们存在极限，则它们的和、差、积、商（分母不为0）也存在极限，且按照运算法则计算。
8. 乘积的极限性质：如果一个数列存在极限，那么它与另一个数列的乘积也存在极限，且极限等于原数列和另一个数列的极限的乘积。
9. 商的极限性质：如果两个数列都存在极限且分母数列的极限不为0，那么它们的商也存在极限，且极限等于分子和分母各自的极限的商。
10. 多项式函数与指数函数的极限：在正无穷大和负无穷大两个方向上，多项式函数的极限为正无穷或负无穷，而指数函数的极限为0（负指数）或正无穷（正指数）。
1-5极限的运算法则
2
3x 5
.
2
lim ( x
x 2
3 x 5 ) lim x
x 2 2
lim 3 x lim 5
x 2 x 2
( lim x )
x 2
2
3 lim x lim 5
x 2 x 2
2
3 2 5 3 0,
lim
x x
2
3
定理. 设
x x0
lim ( x ) a , 且
x 满足 0
x x0 1
时,
( x ) a , 又 lim f ( u) A , 则有 u a
x x0
lim f [ ( x ) ] lim f ( u) A
u a
①
lim 说明: 若定理中 x x ( x ) , 则类似可得
1) x x0 时, 2) x x0 时,
用代入法 ( 分母不为 0 )
对
0 型 0
, 约去公因子
时,分子分母同除最高次幂 “抓大头” (2) 复合函数极限求法 设中间变量 (3)利用无穷小运算性质求极限
(4)利用左右极限求分段函数极限.
3) x
重点：运用极限的四则运算、复合函数的极限 法则求极限 难点：求极限的一些技巧，极限不存在时的一 些运算
lim
lim
x 4 2 x
0 ( 0 )型
x 0
x 4 2 x
1 x 4 2
lim
1 4
x x( x 4 2)
x 0
x 0
lim
x 0
（分子有理化）
0 ( 0 )
第五节 极限运算法则
• 定理 1 的推广 由归纳法原理，定理 1 可推广至有限多个函数的和 的情形，即 如果 lim fi( x )= A i ，( i = 1,2,„,n )，则
lim fi x 存在，且有 lim fi x A i lim f i x .
i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n
变形或转化，使其满足运算法则条件，
再考虑按极限运算法则进行计算。 由于“定式”计算相对简单， 所以极限计算主要研究“不定式” 的计算。
3 x 例：求极限 lim 2 1 . x 2 x 5x 3 用极限运算法则计算
对此分式的极限， 考虑由极限的运算法则进行计 算，为此先验证商的极限运算法则条件是否满足。 因为 lim x 3 1 lim x
x 2 x 1 3 1 3 lim 3 lim x 1 x 1 x 1 x 1 x3 1 lim x 2 x 1 x 2 3 1 . x 1 lim x 1 x 1 x 2 x 1 lim x 2 x 1 3 x 1
可计算出相当一部分初等函数的极限。
(1) 函数和的极限 定理 1 和的极限运算法则
如果 lim f( x )= A，lim g( x )= B ，则
lim [ f( x )± g( x )] 存在，且有 lim [ f( x )± g( x )]= A±B = lim f( x )± lim g( x ).
多项式，属同类函数，故考虑用无穷大分离法求之。 观察可见，分子、分母均是 50 次多项式，其间最 大的公共无穷大因子为 x 50 .
用无穷大分离法求之
1 2 x 1 20 3 x 2 30 50 2x 1 3x 2 x lim lim 50 x x 1 2 x 3 50 2x 3 x 50 20 30 2 x 1 20 3 x 2 30 1 2 2 3 20 30 x x x x lim lim 50 x x 2 x 3 50 3 2 x x 50
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当
x x0
时, 有
M
取
min1 , 2 ,
则当 x ( x0 , ) 时 , 就有 u
u
M
M
故
即是
时的无穷小 .
【证完】
【推论1】 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
【推论2】 常数与无穷小的乘积是无穷小.
【推论3】 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如,当x 0时, x sin 1 , x2 arctan 1
f ( x0 ).
2.
设有理分式函数
F
(
x)
P( Q(
x) x)
,
且Q(
x0
)
0,
则有
lim P( x) lim F ( x) xx0
P( x0 )
F ( x0 ).
x x0
lim Q( x) Q( x0 )
x x0
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用. 需特别注意
【例3】求
lim
x1
【例5】
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
( 型)
【方法】抓大头（以消除不定性）—无穷小量分出法
【解】
x
时,
分子,分母的极限都是无穷大.
由于 lim g( x) B 0 由第三节定理3*得
x x0
U( x0 ) , 当 x U( x0 )时
g(x) B 2
即
1 1 2
g(x) B B
故
1
B(B )
1 B
1
B
2 B2
,
有界， (3)成立.
函数和,差,积,商的极限等于极限的和,差,积,商.
【推论1】如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[ cf ( x)] c lim f ( x).
x
x
都是无穷小
【例1】 求 lim sin x .
【解】
x x lim 1 0
y sin x x
x x
由定理 2 可知：
【说明 】 y = 0 是
的渐近线 .
二、极限的运算法则
【声明】以下符号lim表示自变量的同一变化过程
1.函数极限运算法则
【定理3】 设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则
n(n 1)
但
1 n2
2 n2
n n2
2 n2
n(n 2n2
1)
1 2
非无穷小
(n 时)
2）乘积的性质
【定理2】有界函数 u与无穷小 的 乘积是无穷小.
【分析】（仅证 x 时x0） 需证 0 , 0
当 0 x x0 时 , u
【证】设
u M（注：M为定值）
又设 lim 0, 即 0,
x
4x 1 2 2x
3
.
【方法】无穷大的倒数法
“( 1 ”型 ,为) 0
【解】 x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 商的法则不能用
但因
lim x2 2x 3 x1 4 x 1
0 0. 3
lim
x1
x
4x 1 2 2x
3
.
【例4】
求
lim
x1
x
2
x2 1 2x
3
.
( 0型) 0
【方法】消去零因子法
【解】 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小因子 x 1 后再求极限.
lim
x1
x2
x2 1 2x
3
lim
x1
(x (x
1)( x 3)( x
1) 1)
lim x 1 1 . 在x→1（但x≠1）时是相 x1 x 3 2 同的函数,故而极限相等
求极限方法举例
【例2】
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
【解】 lim( x 2 3 x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5 22 3 2 5 3 0,
x2
x2
x2
lim
x2
x2
x3 1 3x
(1) lim[ f ( x) g( x)] A B;
(2) lim[ f ( x) g( x)] A B;
推广到 有限项
(3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
【证】lim f ( x) A, lim g( x) B.
Байду номын сангаас
f ( x) A , g( x) B . 其中 0, 0.
由无穷小运算法则,得
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
( A B ) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A B A 0. g( x) B B B B(B )
优选第五节极限运算法则
1
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【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
【例如】
(1) n 时, 1 是无穷小，但n个 1 之和为 1 , 非无穷小.
n
n
lim(1 1 1 ) lim1 1
n n n
n
n
(2)
1 n2
,
2 n2
,,
n n2
n个 都是 n 时的无穷小
lim ( x) b 则 a b
【证】 令 f ( x) ( x) ( x)
则 f (x) 0
由定理3可知
lim f ( x) lim( x) ( x)
lim( x) lim ( x) a b
由第三节函数极限的局部保号性的推论可知
lim f ( x) 0 a b 0 a b 【证完】
5
lim x
x2
lim( x 2
3 lim 1 x2
3x 5)
23 3
1
7. 3
x2
【小结】
1. 设多项式 f ( x) a0 xn a1xn1 an ,则有
lim
x x0
f
(
x)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1
an
a0 x0n
a1
x n1 0
an
常数因子可以提到极限记号外面. 【推论2】 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
【注意】定理3及其两个推论成立的前提条件是：
“f (x)与g (x)的极限存在”
2.数列极限运算法则
【定理4】设数列xn, yn, 若
lim
n
xn
A
，lim n
yn
B
则
(1)
lim (
n
xn
yn )
A
B
(2)
lim
n
xn
yn
A B
(3)
lim xn n yn
A B
,当 yn
0(n 1,2,) 且 B 0
【提示】因数列是一种特殊的函数 , 故此定理4 可由
定理3（x→∞情形）与海因定理直接得出结论 .
3.极限保序性
【定理5】 如果 ( x) ( x) 而 lim( x) a