极限性质与运算法则
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
极限的性质和运算法则
A Y
A
A
0
x x （ ）
x x0
x0
0
X
你事先指定的 越小，你找到的 也越小
二、收敛数列的性质
❖性质1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛 那么它的极限唯一
•推论4：如果j(x)y(x) 而limj(x)a limy(x)b 那么ab
❖求极限举例 例 例1 1 求 l ( 2 x i 1 ) m
x 1
解 l( 2 i x 1 ) m l2 i x l m 1 i 2 l m x i 1 m 2 1 1 1 x 1 x 1x 1x 1
l f [ g ( i x ) l m f ( ] u ) i A m
x x 0 u u 0
例 例9 9 求 l x 2 9 i m x 3 x 3
解 解 y x x 2 3 9 是 由 y u 与 u x x 2 3 9 复 合 而 成 的 因 为 lx 2 i 9 6 m 所 以 lx i 2 9 m lu i 6 m
例 例6 6 求 x l 2 3 x x 3 2 2 x i 2 x 5 1 m 解: 先用x3去除分子及分母 然后取极限
x l 2 3 i x x 3 2 m 2 x 2 x 5 1 x l i 3 x 2 x 1 m 2 2 5 x 1 3 0 2 0 x x 3
例 例5 5 求 x l 3 7 x x 3 3 4 5 i x x 2 2 2 3 m 解 先用x3去除分子及分母 然后取极限
x l 3 7 i x x 3 3 m 4 5 x x 2 2 2 3 x l 7 3 i 4 5 x m x 2 3 3 7 3 x x 3
03极限的运算法则与性质
解
x2
x 2 x 2
lim
lim
x2 x 2 x2 x 2 x 2
x 2 x 2
lim
2 2.
x2
x2
上例给出了无理函数求极限的一般方法: 有理化.
13
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铃
例8 求 lim 4x 1 3. x2 x 2 2
解
lim
4x 1 3
x2 x 2 2
4x 1 3 4x 1 3 x 2 2 lim
x2 x 2 2 x 2 2 4x 1 3
4 x 2
lim
x 2 2 8.
x2 x 2 4x 1 3 3
14
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铃
二、极限的性质
1. 收敛数列的有界性
定理 收敛数列必有界.
x1 x3
【
M1
(
xN+1 xN+3
xN+2
)
a
xN
a 1
a 1
推论: 无界数列必发散.
x2 】 M2 x
注意, 该定理不是充分必要条件.
例如数列 xn 1 n1 是有界数列但是发散的.
15
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铃பைடு நூலகம்
与数列的有界性定理平行的是:
定理 （局部有界性）如果极限 lim f (x)存在 , 那么
x2
x2
x2
2 22 4 2 31 13.
3
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铃
由上例得到多项式函数在有限点的极限的一般公式:
性质与极限运算法则
且 g( x) A，lim f ( x) B, 则 lim f [g( x)] B.
xA
xX
这一性质是用变量替换求极限的理论基础，
lim f [ g( x)] lim f ( y ) B.
xX
y A
注意条件 g( x) A 不能省去.
例1. lim sin x 1 x0 x
例如：lim sin x ? 0 x x
lim sin x x x
?
2
2
2、在lim sin x中，若x是一个其他的变量，(例如是x的函数)， x x0
记作* 那么如果满足下列两点，则lim sin* 1仍成立。 * *0
(1)三个* 处是相同的；
(2) * 表示的变量必须是趋于0的。
第2.3节
第二章
函数极限的性质与运算法则
一 、极限的性质与四则运算法则 二、 极限四则运算法则的应用
一、极限的性质与四则运算法则
定义2.3 函数 f ( x) 称为在 x x0 下是有界的, 如果 有一个 x0 的去心邻域 O ( x0 ) \ { x0 }, f ( x) 在其中是有 界的, 即存在 M 0, 使得 x O ( x0 ) \ { x0 } 时
(3)
lim
e
1 x2
y
1 x2
lim e y
x0
y
1
lim
y
e
y
0.
2、极限四则运算的应用 利用极限四则运算法则求极限时，必须满足定理的条件：
参加求极限的函数应为有限个，每个函数的极限都必须存在 考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为零。
例1、求极限 lim 2x2 x 5 (直接代入法) x2 3x 1
2.3极限性质、法则
(2) lim e
x →∞
(3) lim e
x→0
解：（1） ：（ ）
Q lim 2 +
x→0
1 x
1 y = x
y→+∞ →+∞
lim 2 y
= +∞
x→0
lim− 2
1 x
1 y = x
1 x
y→−∞ →−∞
lim 2
y
1 t = − y lim =0 t t →+∞ 2
∴ lim 2 不存在
令δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时有
A+ B g( x ) < < f ( x) 2
【2-3-3】
3、推论1： 、推论 ：
若 lim f ( x ) = A > B(或 < B ), 则∃δ > 0, 使得
x → x0
当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > B(或 < B )
即A − 1 < f ( x ) < A + 1, 所以f ( x )局部有界
【2-3-1】
二、局部保序性 1、定理： lim 、定理： 若
x → x0
f ( x ) = A, lim g( x ) = B , 且A > B , 则∃δ > 0,
x → x0
使得当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > g( x )
【2-3-5】
2、※证明： 、 证明：
x → x0
对 ∀ε > 0
Q lim g ( x ) = A,∴ ∃δ 1 > 0, 使当x ∈ Oδ 1 ( x0 ) \ { x0 }时,
函数的极限(运算法则)
02 函数的极限运算
四则运算法则
加法法则
若lim(x→a)f(x)=A， lim(x→a)g(x)=B，则 lim(x→a)[f(x)+g(x)]=A+B。
减法法则
若lim(x→a)f(x)=A， lim(x→a)g(x)=B，则 lim(x→a)[f(x)-g(x)]=A-B。
乘法法则
若lim(x→a)f(x)=A， lim(x→a)g(x)=B，则 lim(x→a)[f(x)×g(x)]=A×B。
定义中的"趋近于"
在数学中，通常使用"$lim_{x to a} f(x) = L$"来表示当$x$趋近于$a$时， $f(x)$趋近于$L$。
极限的性质
唯一性
对于任意给定的函数$f(x)$和常数$a$，函数在 $x=a$处的极限是唯一的。
有界性
如果函数在某点的极限存在，那么这个极限必定是一 个有界数。
04 无穷小与无穷大
无穷小的定义与性质
定义
无穷小是极限为零的变量。
性质
无穷小与任何常数相乘仍为无穷小；两个无穷小之和仍为无穷小；有限个无穷小之和仍为无穷小。
无穷大的定义与性质
定义
无穷大是极限为无穷的变量。
性质
无穷大与任何常数相乘仍为无穷大；两个无穷大之和仍为无穷大；有限个无穷大之和仍 为无穷大。
要点一
总结词
利用极限的性质，我们可以求出函数在某些点的精确值。
要点二
详细描述
在数学分析中，函数的极限定义了函数在特定点或无穷远处 的行为。通过将自变量趋近于这些点，我们可以求得函数在 这些点的精确值。例如，对于函数 (f(x) = frac{1}{x})，当 (x rightarrow 0) 时，函数值 (f(0)) 是未定义的。但是，如果我 们考虑极限 (lim_{x rightarrow 0} f(x) = lim_{x rightarrow 0} frac{1}{x} = 0)，我们就可以得知当 (x) 趋近于 (0) 时，函 数 (f(x)) 的值趋近于 (0)。
04极限的运算法则与性质综述
第四节
函数与极限
极限的运算法则与性质
主要内容：
一、极限的运算法则
二、极限的性质
内容回顾
xn 1. 数列极限 lim x
；
2.
lim （ f x）； x x0 自变量趋向有限值时函数的极限 （ f x）； xlim x0 f x）； lim （ x x 函数极限 0 lim （ f x）； x 自变量趋向无穷大时函数的极限 lim （ x f x）； lim （ f x）. x
例4
1 2 n 求 lim( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无限多个无穷小之和 ．
解
先变形再求极限.
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
x1 1 . lim x 1 x 3 2
(消去零因子法)
2x3 3x2 5 例3 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1
解
x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .( 型 )
3
先用x 去除分子分母 , 再求极限 .
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x 5 x3 2. 1 7 x3
y
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1,
2 x 0
1
左右极限存在且相等,
o
x
故 lim f ( x ) 1.
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在一些点无限接近一些值的情况。
极限的运算法则涉及到极限的四则运算、复合函数的极限、反函数的极限以及夹逼定理等内容。
下面将详细介绍极限的运算法则及计算方法。
1.极限的四则运算法则:（1）和差运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的和差的极限存在，并且有以下公式：lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)（2）乘积运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的乘积的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)g(x) = lim f(x) · lim g(x)（3）商运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且lim g(x)≠0，那么函数f(x)和g(x)的商的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)/g(x) = lim f(x)/lim g(x)2.复合函数的极限:（1）设函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=limf(x)处极限存在，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = lim g(u) (u→lim f(x)) = lim g(u) (u→a) = lim g(v) (v→a)（2）特别地，如果函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=lim f(x)处连续，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(f(a))3.反函数的极限:（1）设函数y=f(x)在点x=a处具有反函数，并且在点x=a处极限存在，那么函数x=f^[-1](y)在点y=f(a)处极限存在，并且有以下公式：lim x→a f^[-1](y) = f^[-1](lim y→f(a))4.夹逼定理:假设函数g(x)≤f(x)≤h(x)在点x=a处成立，并且g(x)和h(x)在点x=a处极限都等于L，那么函数f(x)在点x=a处也存在极限，并且极限等于L，即有以下公式：lim f(x) = L以上就是极限的运算法则及计算方法的基本内容。
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a0 0,
,
b0 ,当n m, 当n m, 当n m.
14
例8 求 lim x 1 . x1 x 1
共扼因子法
解 原式 lim ( x 1)( x 1) lim( x 1) 2 . x1 ( x 1)( x 1) x1
例9 求 lim 3 1 x 1 . x0 1 x 1
2
性质3 有极限函数的局部保号性
定理 若 lim f ( x) A,且A 0(或A 0), 则 0, x x0 当0 x x0 时, f ( x) 0 (或f ( x) 0) .
推论1 若 0, 当0 x x0 时, f ( x) 0
(或 f ( x) 0), 且 lim f ( x) A,则 A 0 (或 A 0) . x x0
(3) lim u lim u A (B 0) v lim v B
证略
4
说明：
1. lim( u v) lim u lim v 有两层意思:
(1) 在lim u和lim v都存在的前提下，lim(u+v)也存在； (2) lim (u+v)的数值等于 lim u+ lim v.
2. lim (u+v)存在, 不能倒推出lim u和lim v 都存在. 3. 若lim u存在,而 lim v不存在,则lim (u+v)必不存在.
lim un (lim u)n .
前已证
lim
x x0
x
x0
,
所以
lim
x x0
xn
x0n
.
例1 lim( x2 3x 1) lim x2 lim 3x 1
x2
x2
x2
(2)2 3 (2) 1 1 .
6
例2
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解
lim
x2
x2
x3 1 3x
2x
3
lim
x1
(
x
3)( x
1)
lim x 1 1 . x1 x 3 2
8
例4
求lim x1
2x2 1 3x2 5x
a
,其中a为常数.
解 lim(2x2 1) 1, lim(3x2 5x 2） a 2
x1
x1
因此,当a≠2 时,分母的极限的不为零,但有
lim
x1
2x2 1 3x2 5x
11
(2)分子、分母同除以x3,可得
2x3 x2 x 1
lim
x
x3
2x2
x
4
lim
2
1 x
1 x2
1 x3
x
1
2 x
1 x2
4 x3
2
上述题直接用下面结果也可以：
12
一般, 当a0 0,b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 x m1 b1 x n1
am bn
1 2
.
16
例11 已知 lim( x2 2 ax b) 0,求常数a,b. x x 1
解 由于
lim( x2 2 ax b) lim x2 2 (x 1)(ax b)
x x 1
x
x 1
lim (1 a)x2 (a b)x 2 b
x
x 1
0 上式中，分子多项式二次及一次式的系数应
§2.4 极限性质与运算法则
1
一、极限基本性质
以 lim f ( x) 为代表 . x x0
性质1 函数极限的唯一性
定理 若 lim f ( x) 存在,则极限唯一. x x0
性质2 有极限函数的局部有界性 定理 如果 lim f ( x) A ，那么存在常数M 0 和
x x0
0 ，使得当 0 x x0 时，有 f ( x) M .
注意 即使f ( x) 0, 也只能得到A 0 .
推论2 若f ( x) g( x) , 且 lim f ( x) A, lim g( x) B,
x x0
x x0
则必有A B .
3
二、 极限的四则运算法则
定理 设 lim u A, lim v B, 则 (1) lim( u v) lim u lim v A B ; (2) lim( uv) lim u lim v A B ;
a
a
1
2
(a
2）
当a=2时,分母极限为零,但有
lim
x1
3x2 5x 2x2 1
a
0 1
0
于是,又无穷大与无穷小的关系,有
2x2 1
lim
9
x1 3x2 5x a
例5
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
(型)
解
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim
x
2 7
反证: v (u v) u
若 lim (u+v) 存在, 已知 lim u 存在, 由定理知 lim v 存在, 矛盾
4. 可推广到有限多项.
5
(2) lim( uv) lim u lim v A B ;
推论1 如果lim u存在,而c为常数,则
lim( cu) c lim u . 推论2 如果lim u存在,而n是正整数,则
5
lim( x3 1)
x2
lim( x2 3x 5)
x2
23 1 7. 33
7
例3
求
lim
x 1
x2
x2 1 2x
3
.
消零因子法
解 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1
( x 1)( x 1)
lim
x1
x2
a0 0, ,
b0 ,当n m, 当n m, 当n m.
13
例7
求
lim
x
x2 arctan 2x2 x
x
.
解
x2 arctan x
x2
lim
x
2x2 x
lim
x
2x2
x
lim arctan x
x
1 .
22 4
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 x m1 b1 x n1
am bn
为零,故有1+a=0,a+b=0,由此得 a=-1,b=1
17
练习：
P66 习题二
18
;
(2)
lim
x
2x3 x2 x3 2x2
x x
1 4
.
解 (1)分子、分母同除以x4,可得
lim
x
x4 x3 2x 5 2x3 x2 3x 6
所以
lim x
2 x
1 x2
3 x3
6 x4
1
1 x
2 x2
5 x4
0
lim
x
x4 x3 2x 5 2x3 x2 3x 6
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
一般,当a0 0,b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 x m1 b1 x n1 Nhomakorabeaam bn
a0 0, ,
b0 ,当n m, 当n m, 当n m.
10
例6 求下列极限:
(1)
lim
x
x4 x3 2x 5 2x3 x2 3x 6
变量代换法
解 令 x 1 t6 , x 0, t 1,
原式
lim
t 1
t2 t3
1 1
lim
t 1
t 1 t2 t 1
2 3
.
15
例10
求
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无穷多项之和．先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2 n2
n
lim
n
n(n 1) 2n2