7-3 上极限和下极限

xn
k
x0 , k .
定理7.4 有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大
聚点和最小聚点.
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证 设
{ x n } 为有界数列,
k
由致密性定理, 存在一个
收敛子列 { x n k }, 的一个聚点. 又设 E

x n x 0 ( k ),
于是
x0 是 { xn }
1
n
lim x n A
的充要条件是: 对于任意的
xn A ;
0,
(i) 存在 N, 当 n > N 时,
k k
( ii ) 存 在 { x n }, x n A , k 1, 2 , .
2

n
lim x n B
的充要条件是: 对于任意的
则取上(下)极限后, 原来的不等号方向保持不变:
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n
lim x n lim y n ,
n
n
lim x n lim y n .
n
(3)
特别若
a xn yn b,
则更有
n
a lim x n lim y n b .
n
(4)
1 2 N
这就是说, 当 n 之内. 又因
nN
时, 所有的
xn
均不在 U ( x 0 ; )
当
n
lim ( x n x n 1 ) 0 ,
所以存在 K ,
n K时, 有 0 x n x n1 0 . 令 K max{ K , n N }, (7 )
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上也至多只有 { xn } 的有限项, 故 A 不是 { xn } 的 聚点,所以 A 是
{ xn }
的最大聚点 . 从而有
n
lim x n A .
定理7.8 (保不等式性)
设 { xn }, { yn } 均为有界数 当 n > N0 时, 有
列,并且满足: 存在
N 0 0, xn yn .
上, 至多只含 { x n } 的有限项. 不然的
[ A, )
话, 因为 { x n } 有界, 故 { x n } 在
上
还有聚点, 这与 A 是最大聚点相矛盾. 设这有限项
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的最大下标为 N, 那么当 n > N 时,
xn A .
充分性 任给
0,
综合 (i) 和 (ii), 在 ( A
定理7.9 设 { xn } 为有界数列. 则有 (i) A 是 { xn } 的上极限的充要条件是
A lim s u p { x k } ;
n k n
(8)
(ii) B 是 { xn } 的下极限的充要条件是
B lim in f { x k }.
n kn
(9)
显然 { a n } 是一

x | x 是 { xn } 的 聚 点
, 由于 E 非空有界,
故由确界原理, 存在
A su p E , A in f E .
下面证明
A
是 { xn } 的最大聚点, 亦即
an E ,
A E.
A.
首先, 由上确界的性质, 存在
使 an
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因为 a i 是 { x n } 的聚点, 所以对任意正数 , 在区间
当 n > K 时, 由 (7) 导致所有 或者都有
xn x0 0 .
的
xn
或者都有 x n
x0 0,
前者与 B 是 { x n } 的聚点矛盾; 后者与 A 是 { x n }
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的聚点矛盾. 故证得
x0 E ,
即
[ A, B ] E ,
从而
E [ A , B ].
n
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n
lim a n 1 , lim b n 1 , 而
n
n
lim ( a n b n ) 0 .
例2 设
0.
n
lim x n A B lim x n ,
n
且 nlim ( x n
x n1 )
求证 { x n } 的全体聚点的集合为 [ A , B ].
k
使
| xn ak |
k
1 k
;
............
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这样就得到了 { xn } 的一个子列 { x n
k
k
},
满足:
lim x n
k
lim ( x n a k ) lim a k A ,
k
k
k
即证得
A 也 是 { xn } 的 一 个 聚 点 , 所 以
k
所以存在 { x n
},
使得
xn
A (k ),
故对于任
xn .
k
意的
0,
存在
K 0,
A 当 k > K 时，
将 { x n k } 中的前面 K 项剔除, 这样就证明了(ii). 又因 A 是 { x n } 的最大聚点, 所以对上述 , 在区间
[A , )
|B A| 2 0,
若
那么在
U (B; 0 )
内( 此时必
在 U ( A ; 0 ) 之 外 ) { x n } 只有有限项.
这就是说, B
不是 { x n } 的聚点, 故 { x n } 仅有一个聚点 A, 从而
n
lim x n lim x n .
n
反之, 若上式成立, 则 { x n } 的聚点惟一 (设为 A) ,
A .
j
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又因
xn
k j
yn
,
k j
取j

的极限,便得A
B.
由于 A 也是 { x n }
的聚点, 它与{ x n } 的最小聚点 A 理应满足
A A B .
同理可证关于上极限的不得.
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,A)
上含有 { xn } 的无限项, 即 A 是 { xn } 的聚点. 而对于任意的
A A , 令 0 A A 2 , 由于满足
xn A 0
A A 2
的 项 至 多 只 有 有 限 个 , 这说明在 ( A 0 , A 0 )
证 设 E 是 { x n } 的全体聚点的集合, 显然有
E [ A , B ], A E , B E .
任给
x 0 ( A , B ),
欲证 x 0
E.
如若不然, 则存在
0 0,
在 U ( x 0 ; 0 ) 内仅含 { x n } 的有限项:
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x n , x n , , x n ( n 1 n 2 n N ).
系.
定理7.6 有界数列 { x n } 存在极限的充要条件是:
n
lim x n lim x n .
n
(2)
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证 设
n
lim x n A .
对于任意正数 , 在
U ( A; ) B A,
之外 { x n } 只有 有限项. 这样, 对任意的
取 0
一、上(下)极限的基本概念
二、上(下)极限的基本性质
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一、上(下)极限的基本概念
定义1 若数列 { x n } 满足: 在数 x 0 的任何一个邻域 内均含有{ x n } 中的无限多项, 则称 x0 是数列 { x n } 的一个聚点. 注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于: 前者要求 “含有无限多个点”, 后者要求 “含有无
(6)
证 这里只证明 (i) , (ii) 可同理证明. 设
A lim a n ,
n
B lim b n .
n
由定理7.7, 存在 N, 当 n > N 时,
an A

2
,
bn B

2
,
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故
a n bn A B .
再由定理 7.8 的 (4) 式, 得
( a i , a i ) 内 含 有 { x n } 的无限多项.
现依次令
1 1,
存在
2
xn ,
1
使
| x n a1 | 1 ;
1
2
1 2
,
存在
x n ( n 2 n 1 ),
使|
xn a2 |
2
1 2
;
............
k
1 k ,
存在
x n ( n k n k 1 ),
证 设
n
lim x n A , lim y n B ,
n
因为 B 是 { yn } 的
B . 又 { xn } 有 界 ，
k
聚点, 所以存在 { y n k } ,
k
lim y n
k
故存在 { x n k } 的一个收敛子列 {
xn
kj
} , lim x n k
j
例1 设 { a n } ,
n
{ bn }
都是有界数列, 那么
n n
( i ) lim ( a n b n ) lim a n lim b n ; ( ii) lim ( a n b n ) lim a n lim b n .