全等三角形(知识点讲解)经典例题含答案

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全等三角形

一、目标认知

学习目标:

1.了解全等三角形的概念和性质,能够准确地辨认全等三角形中的对应元素;

2.探索三角形全等的条件,能利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式。

重点:

1. 使学生理解证明的基本过程,掌握用综合法证明的格式;

2 .三角形全等的性质和条件。

难点:

1.掌握用综合法证明的格式;

2 .选用合适的条件证明两个三角形全等

经典例题透析

类型一:全等三角形性质的应用

1、如图,△ABD≌△ACE,AB=AC,写出图中的对应边和对应角.

思路点拨:AB=AC,AB和AC是对应边,∠A是公共角,∠A和∠A是对应角,按对应边所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边可求解.

解析:AB和AC是对应边,AD和AE、BD和CE是对应边,∠A和∠A是对应角,∠B和∠C,∠AEC和∠ADB是对应角.

总结升华:已知两对对应顶点,那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角,第三对角是对应角;再由对应角所对的边是对应边,可找到对应边.

已知两对对应边,第三对边是对应边,对应边所对的角是对应角.

举一反三:

【变式1】如图,△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗?为什么?

【答案】证明:由△ABC≌△DBE,得AB=DB,BC=BE,

则AB-BE=DB-BC,即AE=CD。

【变式2】如右图,,。

求证:AE∥CF

【答案】

∴AE∥CF

2、如图,已知ΔABC≌ΔDEF,∠A=30°,∠B=50°,BF=2,求∠DFE 的度数与EC的长。

思路点拨:由全等三角形性质可知:∠DFE=∠ACB,EC+CF=BF+FC,所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。

解析:在ΔABC中,

∠ACB=180°-∠A-∠B,

又∠A=30°,∠B=50°,

所以∠ACB=100°.

又因为ΔABC≌ΔDEF,

所以∠ACB=∠DFE,

BC=EF(全等三角形对应角相等,对应

边相等)。

所以∠DFE=100°

EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。

总结升华:全等三角形的对应角相等,对应边相等。

举一反三:

【变式1】如图所示,ΔACD≌ΔECD,ΔCEF≌ΔBEF,

∠ACB=90°.

求证:(1)CD⊥AB;(2)EF∥AC.

【答案】

(1)因为ΔACD≌ΔECD,

所以∠ADC=∠EDC(全等三角形的对应角相等).

因为∠ADC+∠EDC=180°,所以∠ADC=

∠EDC=90°.

所以CD⊥AB.

(2)因为ΔCEF≌ΔBEF,

所以∠CFE=∠BFE(全等三角形的对应

角相等).

因为∠CFE+∠BFE=180°,

所以∠CFE=∠BFE=90°.

因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE.

所以EF∥AC.

类型二:全等三角形的证明

3、如图,AC=BD,DF=CE,∠ECB=∠FDA,求证:△ADF≌△BCE.

思路点拨:欲证△ADF≌△BCE,由已知可知已具备一边一角,由公理的条件判断还缺少这角的另一边,可通过AC=BD而得

解析:∵AC=BD(已知)

∴AB-BD=AB-AC(等式性质)

即 AD=BC

在△ADF与△BCE中

∴△ADF≌△BCE(SAS)

总结升华:利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下:

(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形,

(2)证明这两个三角形全等;

(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等.

举一反三:

【变式1】如图,已知AB∥DC,AB=DC,求证:AD∥BC

【答案】∵AB∥CD

∴∠3=∠4

在△ABD和△CDB中

∴△ABD≌△CDB(SAS)

∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)

∴AD∥BC(内错角相等两直线平行)

【变式2】如图,已知EB⊥AD于B,FC⊥AD于C,且EB=FC,AB=CD.求证 AF=DE.

【答案】∵EB⊥AD(已知)

∴∠EBD=90°(垂直定义)

同理可证∠FCA=90°

∴∠EBD=∠FCA

∵AB=CD,BC=BC

∴AC=AB+BC

=BC+CD

=BD

在△ACF和△DBE中

∴△ACF≌△DBE(S.A.S)

∴AF=DE(全等三角形对应边相等)

类型三:综合应用

4、如图,AD为ΔABC的中线。求证:

AB+AC>2AD.

思路点拨:要证AB+AC>2AD,由图想到:AB+BD>AD,AC+CD>AD,所以

AB+AC+BC>2AD,所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD,即倍长中线。

解析:延长AD至E,使DE=AD,连接BE

因为AD为ΔABC的中线,

所以BD=CD.

在ΔACD和ΔEBD中,

所以ΔACD≌ΔEBD(SAS).

所以BE=CA.

在ΔABE中,AB+BE>AE,所以AB+AC>2AD.

总结升华:通过构造三角形全等,将待求的线段放在同一个三角形中。

举一反三:

【变式1】已知:如图,在RtΔABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD的延长线于E,

求证:BD=2CE.

【答案】分别延长CE、BA交于F.

因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠

BEC=90°.

在ΔBEF和ΔBEC中,

所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA).

所以CE=FE=CF.

又因为∠BAC=90°,BE⊥CF.

所以∠BAC=∠CAF=90°,∠1+∠BDA=90°,∠1+∠BFC=90°.

所以∠BDA=∠BFC.

在ΔABD和ΔACF中,

所以ΔABD≌ΔACF(AAS)

所以BD=CF.所以BD=2CE.

5、如图,AB=CD,BE=DF,∠B=∠D,

求证:(1)AE=CF,(2)AE∥CF,(3)∠AFE=∠CEF 思路点拨:(1)直接通过△ABE≌△CDF而得,(2)先证明∠AEB=∠CFD,(3)

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