全等三角形(知识点讲解)经典例题含答案
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全等三角形
一、目标认知
学习目标:
1.了解全等三角形的概念和性质,能够准确地辨认全等三角形中的对应元素;
2.探索三角形全等的条件,能利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式。
重点:
1. 使学生理解证明的基本过程,掌握用综合法证明的格式;
2 .三角形全等的性质和条件。
难点:
1.掌握用综合法证明的格式;
2 .选用合适的条件证明两个三角形全等
经典例题透析
类型一:全等三角形性质的应用
1、如图,△ABD≌△ACE,AB=AC,写出图中的对应边和对应角.
思路点拨:AB=AC,AB和AC是对应边,∠A是公共角,∠A和∠A是对应角,按对应边所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边可求解.
解析:AB和AC是对应边,AD和AE、BD和CE是对应边,∠A和∠A是对应角,∠B和∠C,∠AEC和∠ADB是对应角.
总结升华:已知两对对应顶点,那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角,第三对角是对应角;再由对应角所对的边是对应边,可找到对应边.
已知两对对应边,第三对边是对应边,对应边所对的角是对应角.
举一反三:
【变式1】如图,△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗?为什么?
【答案】证明:由△ABC≌△DBE,得AB=DB,BC=BE,
则AB-BE=DB-BC,即AE=CD。
【变式2】如右图,,。
求证:AE∥CF
【答案】
∴AE∥CF
2、如图,已知ΔABC≌ΔDEF,∠A=30°,∠B=50°,BF=2,求∠DFE 的度数与EC的长。
思路点拨:由全等三角形性质可知:∠DFE=∠ACB,EC+CF=BF+FC,所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。
解析:在ΔABC中,
∠ACB=180°-∠A-∠B,
又∠A=30°,∠B=50°,
所以∠ACB=100°.
又因为ΔABC≌ΔDEF,
所以∠ACB=∠DFE,
BC=EF(全等三角形对应角相等,对应
边相等)。
所以∠DFE=100°
EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。
总结升华:全等三角形的对应角相等,对应边相等。
举一反三:
【变式1】如图所示,ΔACD≌ΔECD,ΔCEF≌ΔBEF,
∠ACB=90°.
求证:(1)CD⊥AB;(2)EF∥AC.
【答案】
(1)因为ΔACD≌ΔECD,
所以∠ADC=∠EDC(全等三角形的对应角相等).
因为∠ADC+∠EDC=180°,所以∠ADC=
∠EDC=90°.
所以CD⊥AB.
(2)因为ΔCEF≌ΔBEF,
所以∠CFE=∠BFE(全等三角形的对应
角相等).
因为∠CFE+∠BFE=180°,
所以∠CFE=∠BFE=90°.
因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE.
所以EF∥AC.
类型二:全等三角形的证明
3、如图,AC=BD,DF=CE,∠ECB=∠FDA,求证:△ADF≌△BCE.
思路点拨:欲证△ADF≌△BCE,由已知可知已具备一边一角,由公理的条件判断还缺少这角的另一边,可通过AC=BD而得
解析:∵AC=BD(已知)
∴AB-BD=AB-AC(等式性质)
即 AD=BC
在△ADF与△BCE中
∴△ADF≌△BCE(SAS)
总结升华:利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下:
(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形,
(2)证明这两个三角形全等;
(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等.
举一反三:
【变式1】如图,已知AB∥DC,AB=DC,求证:AD∥BC
【答案】∵AB∥CD
∴∠3=∠4
在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB(SAS)
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)
∴AD∥BC(内错角相等两直线平行)
【变式2】如图,已知EB⊥AD于B,FC⊥AD于C,且EB=FC,AB=CD.求证 AF=DE.
【答案】∵EB⊥AD(已知)
∴∠EBD=90°(垂直定义)
同理可证∠FCA=90°
∴∠EBD=∠FCA
∵AB=CD,BC=BC
∴AC=AB+BC
=BC+CD
=BD
在△ACF和△DBE中
∴△ACF≌△DBE(S.A.S)
∴AF=DE(全等三角形对应边相等)
类型三:综合应用
4、如图,AD为ΔABC的中线。求证:
AB+AC>2AD.
思路点拨:要证AB+AC>2AD,由图想到:AB+BD>AD,AC+CD>AD,所以
AB+AC+BC>2AD,所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD,即倍长中线。
解析:延长AD至E,使DE=AD,连接BE
因为AD为ΔABC的中线,
所以BD=CD.
在ΔACD和ΔEBD中,
所以ΔACD≌ΔEBD(SAS).
所以BE=CA.
在ΔABE中,AB+BE>AE,所以AB+AC>2AD.
总结升华:通过构造三角形全等,将待求的线段放在同一个三角形中。
举一反三:
【变式1】已知:如图,在RtΔABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD的延长线于E,
求证:BD=2CE.
【答案】分别延长CE、BA交于F.
因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠
BEC=90°.
在ΔBEF和ΔBEC中,
所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA).
所以CE=FE=CF.
又因为∠BAC=90°,BE⊥CF.
所以∠BAC=∠CAF=90°,∠1+∠BDA=90°,∠1+∠BFC=90°.
所以∠BDA=∠BFC.
在ΔABD和ΔACF中,
所以ΔABD≌ΔACF(AAS)
所以BD=CF.所以BD=2CE.
5、如图,AB=CD,BE=DF,∠B=∠D,
求证:(1)AE=CF,(2)AE∥CF,(3)∠AFE=∠CEF 思路点拨:(1)直接通过△ABE≌△CDF而得,(2)先证明∠AEB=∠CFD,(3)