北京四中高考数学总复习 函数及表示知识梳理教案

【考纲要求】

1. 了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；

2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

3. 了解简单的分段函数，并能简单应用．

【知识网络】

【考点梳理】

1、映射的定义

设,A B 是两个非空的集合，如果按照对应法则f ，对于集合A 中的 任意一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射， 记作:f A B →。映射允许多对一，一对一，但是不允许一对多，允许集合B 中的元素在集合A 中没有元素和它对应。

2、函数的概念

设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一的值与它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。记作：)(x f y =.

其中x 叫做自变量 ，y 叫做函数，自变量x 的取值范围（数集A ）叫做函数的定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，所有函数值构成的集合{}(),C y y f x x A ==∈叫做这个函数的值域。

3、函数的三要素

函数的三要素是定义域、值域、对应法则，在这三要素中，由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函 数只有两个要素。

4、两个函数能成为同一函数的条件

当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。

映

射

函数及其表示

函数三要

素 函数的表

示

5、区间的概念和记号

设,a b R ∈，且a b <，我们规定：

（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a 。

（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a 。

（3）满足不等式a x b ≤<或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半闭半开区间，分别表示为

),[b a 和],(b a 。这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点。

（4）实数R 可以用区间表示为),,(+∞-∞“∞”读作“无穷大”，“∞-”读作“负无穷大”，“∞+”读作“正无穷大”。我们可以把满足a x ≥的实数x 表示为),[+∞a

6、函数的表示方法

函数的表示方法有三种。（1）解析法：就是把两个变量的函数关系用代数式来表达，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。（2）列表法：就是列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法。（3）图像法：用图像来表示两个变量间的函数关系。

7、分段函数

在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数。分段函数书写时，注意格式规范，一般在左边的区间写在上面，右边的区间写在下面，每一段自变量的取值范围的交集为空集，所有段的自变量的取值范围的并集是函数的定义域。

8、求函数的定义域的主要依据

（1）分式的分母不能等于零；（2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；（3）对数函数

x y a log =的真数0>x ；（4）指数函数x a y =和对数函数x y a log =的底数0>a 且1≠a ；

（5）零次幂0x 的底数0≠x ； （6）函数tan y x =的定义域是}2|{z k k x x ∈+≠π

π；

（7）由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。

【典型例题】

类型一：映射的概念

例1．以下对应中，从集合A 到集合B 的映射有 ；其中 是函数 。

（1） （2） （3） （4）

解析：（1）、（2）、（4）是映射，（1）、（2）是函数。

点评：1.判断是否映射的方法：先看集合A 中的每个元素是否在集合B 中都有象；再看集合

A 中的每个元素的象是否唯一；

2.函数是非空数集到非空数集的特殊映射，函数一定是映射，映射不一定是函数. 举一反三：

【变式】设集合A=R ，集合B=R ＋，则从集合A 到集合B 的映射只可能是（ ）

A 、x y x f =→:

B 、 x y x f =

→: C 、 x y x f -=→3: D 、)1(log :2x y x f +=→

【答案】C ；

解析：A 、B 、D 中元素0没有象。

例 2. 已知(,)x y 在映射f 的作用下的像是(,)x y xy +，求(2,3)-在f 作用下的像和(2,3)-在f 作用下的原像。

解析：231,(2)36x y xy +=-+==-⨯=-，

所以(2,3)-在f 作用下的像是(1,6)-；

12,33x x y xy y =-⎧+==-⇒⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩

所以(2,3)-在f 作用下的原像是(1,3)(3,1)--或.

点评：弄清题意，明白已知是什么，求的又是什么是本题的关键.

举一反三：

【变式】在映射中B A f →:，},|),{(R y x y x B A ∈==，且),(),(:y x y x y x f +-→，则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（

） A 、)1,3(- B 、)3,1( C 、)3,1(--

D 、)1,3( 【答案】A ；

解析：123(3,1)121x y x y -=--=-⎧⇒-⎨+=-+=⎩

类型二：函数的概念

例3．下列各组函数中表示同一函数的是 。

（1）()21f x x =+，()21g y y =+； （2）()()2

lg ,2lg f x x g x x ==；

（3）()()||,f x x g t == （4）()(),f x x f x ==

解析：表示同一函数的是（1）、（3）。

其中第（2）组的定义域不同，第（4）组的对应法则不同。

点评：对应法则相同与函数的解析式相同是不一样的。对应法则是函数的核心，如（1）、（3）