线性代数练习题及答案

选择题

1 A,B 都是n 阶矩阵，且AB =0,

(A) A = 0 或 B = 0. (C) A = 0 或 B =0.

3若A 为m n 矩阵，且R （A^ r : m n 则（

）必成立.

4向量组 二厂匕,…：'，线性无关的充分条件是（）

（A ） ： 1,： 2, ： s 均不是零向量. （B ） ：忙2

,

：s 中任一部分组线性无关.

（C ） _：» , _込广%中任意两个向量的对应分量都不成比例

.

（D ） :、，：』,…：*中任一向量均不能由其余 S-1个向量线性表示 5齐次线性方程组

AX =0是非齐次线性方程组 AX 二B 的导出组，则（）必定成立.

（A ） AX =0只有零解时，AX =B 有唯一解. （B ） AX - 0有非零解时，AX = B 有无穷多解.

（C ）〉是AX J 的任意解，0是AX = B 的特解时，0 •〉是AX = B 的全部解.

（D ） !，

2是

AX =B 的解时，「2是AX =0的解.

6若B =二，方程组AX 二B 中，方程个数少于未知量个数，则有

（

线性代数练习题

2设

5

、

b 、

1

-r <-1

b <

c

d 」

0 1丿,

<1

~r

(A)

.(B)

■

1—1 1

<1 0丿

则必有：()

(B) A = B = 0 (D) A = | B = 0

（A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。 （B ）A 是满秩矩阵。 （C ） A 经初等变换可化为

0 0>

（D ）A 中r 阶子式不全为零。

(B) AX - v 只有零解。 (D) AX =B —定有无穷多组解。

ax — bv = 1

7线性方程组丿

丫 ，若a^b ,则方程组

bx + ay = 0

(A) AX =B —定无解。 (C) AX - ■ n 必有非零

(A)无解 (B)有唯一解 (C)有无穷多解

(D)其解需要讨论多种情况

B 都是n 阶矩阵，且 AB = 0，则A 和B 的秩(

A 必有一个为0, C 必有一个小于n ，

B 必定都小于n , D 必定都等于n

填空题

1方程组

x 1

+

2x 2

_ X 3 = 0

2x 1

4x 2

7x 3

=0

的通解为

2设5阶方阵A 的行列式为| A = — J2，贝U |<2A = __________

3已知

■2

-3

，求X 二

三计算题

2 1

1 D =-

-5 3 1 3 - 1

3

1 1 1 1

1

3 4 2

2 D =

2 2 2

解：D

1

3 4

2

亠3

3

一 3

1

3 4

2

x 0 0 2

2 x 0 0

3 D =

解：D=x

0 2 x 0

0 0 2 x

=(3 -1)(4 -1)(2 -1)(4 -3)(2

_3)(2 _4) =12

x 0 0

2x0

2x0 + 2(-1严 0 2 x =x 4 -16 0 2 x

0 0 2

—4 2 — 3

x a x x

4 D =

x x a x x x x a

2 2 2

6 设 A=1

2 3 , B = A 」,求 B 解：A

1 3 6一

广2

0 3、

(1、

‘2 0

3、

7 解矩阵方程： -1

4

6 X = -1 解： -1 4 6

<3

-2 一3」

3丿

<3

_2 一3」

125

丿

"2 0 3、

■-1

8 2

、

8 解矩阵方程：X

-1 4

6

—

_

3 6

<3

-2 一

3」

3

0 5丿

1 1 1 1 1 1

x x

0 a — x 0 0 3

= (3x + 0 0

0 =(3x + a )( a —

x )

a x a —x x a

0 0 0 a —x

1 1 x a D = (3x +a ) x x

x x

[

4 -6 8 1

'2 3 4'

5设A = 2

3 4

,求矩阵A 的秩。解：A[ 0 1 0 i

-2 -3 _4_

<0 0 0> R(A) =2 2 2 2 1 2 3=2, 1 3 6

<27

广2 0 3、

-4 「1、

X = -1 4 6

-1

<3 —2 一3」

10」 <27 5 2 '

(1 '

5 5、

5 1

1

-1 =

9 1。」

9 1

17 125

< 135