一次函数应用题的解题方法

一次函数应用题的解题方法

一.使用直译法求解一次函数应用题

所谓直译法就是将题中的关键语句“译”成代数式，然后找出函数关系、列出一次函数解析式，从而解决问题的方法。

例题1．东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。该商场为促销制定了甲、乙两种优惠办法。

甲：买1支毛笔就赠送1本书法练习本；

乙：按购买金额打9折付款。

某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种书法练习本x(x>=10)本。

（1）分别写出按甲、乙两种优惠办法实际付款金额y甲（元）、y乙（元）与x之间的函数关系式。

（2）比较购买不同数量的书法练习本时，按哪种优惠办法付款最省钱。

（3）如果商场允许既可以选择一种优惠办法购买，也可以用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和这种书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案。

分析：只需根据题意，按要求将文字语言翻译成符号语言，再列出一次函数关系式即可。

解：（1）y甲=10×25+5（x-10）=5x+200（x>=10）

y乙=10×25×+5××x=+225（x>=10）

（2）由（1）有：y甲-y乙=

若y甲-y乙=0 解得x=50

若y甲-y乙>0 解得x>50

若y甲-y乙<0 解得x<50

当购买50本书法练习本时，按两种优惠办法购买实际付款一样多，即可任选一种

优惠办法付款；当购买本数不小于10且小于50时，选择甲种优惠办法付款省钱；

当购买本数大于50时，选择乙种优惠办法付款省钱。

（3）设按甲种优惠办法购买a(0<=a<=10)支毛笔，则获赠a本书法练习本。则需要按乙种优惠办法购买10-a支毛笔和(60-a)支书法练习本。总费用为y=25a+25××

（10-a）+5××（60-a）=495-2a。故当a最大（为10）时，y最小。所以先按甲种优惠办法购买10支毛笔得到10本书法练习本，再按乙种优惠办法购买50本书法练习本，这样的购买方案最省钱。

说明：本题属于“计算、比较、择优”型，它运用了一次函数、方程、不等式等知识，

根据题意得：

解不等式组，得30<=X<=32

因为x是整数，所以x只可取30、31、32，相应的(50-x)的值是20、19、18。所

以，生产的方案有三种：生产A种产品30件，B种产品20件；生产A种产品31

件，B种产品19件；生产A种产品32件，B种产品18件。

（2）设生产A种产品的件数是x，则生产B种产品的件数是50-x。

由题意得：y=700x+1200*(50-x)=-500x+60000（其中x只能取30、31、32）

因为-500<0所以y随x的增大而减小,当x=30时，y的值最大

因此，按（1）中第一种生产方案安排生产，获得的总利润最大

最大的总利润是：-500×30+60000=45000（元）

说明：本题是先利用不等式的知识，得到几种生产方案，再利用一次函数性质得出最佳

（1）设B县运到C县的救灾物资为xt，求总运费w（元）关于x（t）的函数关系式，并指出x的取值范围；

（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案。

分析:本题的信息量大，数据也较多，为梳理各个量之间的关系，我们可以采用如下的图示整理信息。

解：

（1）w=30x+80(6-x)+40(10-x)+50[12-(10-x)]=-40x+980 自变量x的取值范围是：0<=x<=6

（2）由（1）可知，总运费w随x的增大而减小，所以当x=6时，总运费最低。

最低总运费为-40×6+980=740（元）。

此时的运送方案是：把B县的6t全部运到C县，再从A县运4t到C县，A县余下的8t全部运到D县。说明：本题运用函数思想得出了总运费w与x的一次函数关系。

一次函数应用题专题训练

1．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．

（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；

（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；

（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图像. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)

2．春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票．售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售的票数3张．某一天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分钟）的关系如图所示，已知售票的前a分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票）．

（1）求a的值．

（2）求售票到第60分钟时，售票听排队等候购票的旅客人数．

（3）若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随

到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？

3.在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A 、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到C 港．设甲、乙两船行驶x （h ）后，与．B ．港的距离．．．．分别为1y 、2

y （km ），1y 、2y 与x 的函数关系如图所示．

（1）填空：A 、C 两港口间的距离为 km ， a ； （2）求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；

（3）若两船的距离不超过10 km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x 的取值范围．

4.一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下

表所示：

a

3

甲 乙

x/h