常系数线性齐次递归式的一般解公式
线性常系数齐次递推
2 1 2
k 1
k 2
1 C x C x
其中
Ck x G x C j x
k j 0
k 1
k 1 j j i 0
a x
i
i
C0 1
2.7 线性常系数齐次递推关系
令
P x C j x
j 0
k 1
k 1 j j i 0
例4 an - 4an -1 4an -2 0, a0 1, a1 4.
解 : 特征方程：x 4 x 4 0 ( x 2)
2 2
特征根 r 2(2重根)
所以 an ( A B n)2n
再根据初始条件a0 A 1, a1 2( A B) 4 可解得A 1, B 1
K ( x) 0, 即 x 2 bx c 0 称为特征方程，
它的根为 r 1,2 称为特征根. b b 2 4ac 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
于是 D( x) 1 bx cx (1- r1x)(1- r2 x)
2
下面就其根来进行讨论:
1) r1 r2的情形
根据定理可知，an c1 4n c2 (-3)n
再根据初始条件 c1 c2 a0 3 c1 5 c1 4 c2 (-3) a1 26 c2 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
例2 an an 1 an 2 , a1 1, a2 0.
和 an ban -1 can -2 0 对应的分母1 bx cx 2在 求 an 的过程中扮演了十分重要的角色，用 D( x)表示，即D( x) 1 bx cx .
微分方程中的常系数齐次线性方程求解
微分方程中的常系数齐次线性方程求解在微积分学中，常系数齐次线性方程是一类常见的微分方程。
它们的解可以通过一定的方法得到。
在本文中，我们将介绍如何求解常系数齐次线性方程。
一、什么是常系数齐次线性方程常系数齐次线性方程是指形如y″+ay′+by=0的微分方程，其中a和b为常数。
它们的特点是方程中的未知函数及其导数的系数都是常数。
二、求解常系数齐次线性方程的方法1. 特征方程法特征方程法是求解常系数齐次线性方程的一种常用方法。
具体步骤如下：（1）写出微分方程的特征方程，特征方程就是对应的代数方程。
对于y″+ay′+by=0，其特征方程为r²+ar+b=0。
（2）解特征方程，求得特征根。
设特征根为r₁和r₂，则特征方程的解为r₁和r₂。
根的个数和重根的情况会影响方程的解形式。
（3）根据特征根求解原方程的解。
当r₁和r₂为不同的实根时，原方程的通解可以表示为y=C₁e^(r₁x)+C₂e^(r₂x)，其中C₁和C₂为常数。
当r₁和r₂为不同的复数根时，通解可以表示为y=e^(αx)(C₁cos(βx)+C₂sin(βx))，其中α为实部，β为虚部。
2. 代入法代入法也是一种常用的求解常系数齐次线性方程的方法。
具体步骤如下：（1）设定未知函数的形式。
根据方程的阶数，设定未知函数的形式，如y=e^(mx)。
（2）将未知函数及其导数带入微分方程，消去常数，得到相应的代数方程。
（3）解代数方程，得到未知函数的表达式。
根据代数方程的解，确定未知函数的形式。
（4）确定未知函数的常数。
根据给定的初始条件，确定未知函数中的常数值。
3. 傅里叶级数法对于特定的边界条件，常系数齐次线性方程还可以通过傅里叶级数法进行求解。
该方法主要适用于周期性边界条件的问题。
三、实例分析为了更好地理解求解常系数齐次线性方程的方法，我们来看一个具体的实例。
例题：求解方程y″+3y′+2y=0.解法：首先写出特征方程r²+3r+2=0，解得特征根r₁=-1，r₂=-2.特征根不相等，所以方程的通解为y=C₁e^(-x)+C₂e^(-2x)。
递归方程求解
T (n) = nlogb a + O(nlogb a ) = O(nlogb a )
⎧O(n) a<b ⎪ 综上所述： T ( n) = ⎨O (n log n) a=b ⎪ logb n ) a>b ⎩O(n
2、公式解法 K 阶常系数齐次递推方程： T ( n) − a1T (n − 1) − a2T (n − 2) − ... − ak T (n − k ) = 0
化简有： 12 Pn + (−34 P 1 1 + 12 P 2 ) n + (29 P 1 − 17 P 2 + 12 P 3 ) = 3n
2
2
比较两边的系数，有
⎧12 P 1 =3 ⎪ ⎨−34 P 1 + 12 P = 0 ⎪29 P − 17 P + 12 P = 0 2 3 ⎩ 1
解得： P 1 =
解递归方程
下面的求解方法，其正确性可阅读组合数学中的相关内容。 1、 递推法 例：Hanoi 塔问题递归算法的时间复杂性，由以下递归方程给出：
⎧T (n) = 2T (n − 1) + 1 ⎨ ⎩T (1) = 1
递推求解如下：
n≥2
T (n) = 2T (n − 1) + 1 = 2(2T (n − 2) + 1) + 1 = 22 T (n − 2) + 2 + 1 = 23 T (n − 3) + +22 + 2 + 1 ...... = 2n −1T (1) + 2n − 2 + ... + 22 + 2 + 1 = 2n −1 + 2n − 2 + ... + 22 + 2 + 1 = 2n − 1
递归数列通项公式的求法
递归数列通项公式的求法确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。
求递归数列的通项公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。
基础知识定义：对于任意的*N n ∈，由递推关系),,,(21k n n n n a a a f a ---= 确定的关系称为k 阶递归关系或称为k 阶递归方程，由k 阶递归关系及给定的前k 项k a a a ,,,21 的值(称为初始值)所确定的数列称为k 阶递归数列。
若f 是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。
求递归数列的常用方法：一．公式法(1)设}{n a 是等差数列，首项为1a ，公差为d ，则其通项为d m n a a m n )(-+=；(2)设}{n a 是等比数列，首项为1a ，公比为q ，则其通项为m n m n q a a -=； (3)已知数列的前n 项和为n S ，则)2()1(11≥=⎩⎨⎧-=-n n S S S a n nn 。
二．迭代法迭代恒等式：112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- ；迭乘恒等式： 112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=--- ，(0≠n a ) 迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：类型一：已知)(,11n f a a b a n n +==+，求通项n a ；类型二：已知n n a n f a b a )(,11==+，求通项n a ；三．待定系数法类型三：已知)1(,11≠+==+p q pa a b a n n ，求通项n a ；四．特征根法类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为n n n qx px x +=++12（0,,1≠≥，q q p n 为常数），其特征方程为q px x +=2，其根为特征根。
特征方程求解递归方程
得到： c1=0, c2=-1, c3=1 因此，递归方程的解为：
f (n) (c1 c2 n)q1n c3q3n 3n n
作业1
解下列递归方程： 1. f(n)=3f(n-1), f(0)=5 2. f(n)=2f(n-1) f(0)=2 3. f(n)=5f(n-1) – 6f(n-2), f(0)=1, f(1)=1 4. f(n)= -6f(n-1) – 9f(n-2), f(0)=3, f(1)=-3
由初始条件得：
f (0) c1 c2 c3 0 f (1) c1 2c2 3c3 2 f (2) c 4c 9c 10 1 2 3
得到： c1=0, c2=-2, c3=2
因此，递归方程的解为：
f (n) 2(3n 2n )
化简后得到：
2 A1n 2 A2 10 A1 4n
由此得到联立方程：
2 A1 4 2 A2 10 A1 0
解得：A1=2, A2=10 非齐次递归方程的通解为：
f (n) c13 c2 4 (2n 10)2
n n
n
初始条件代入有：
f (1) 3c1 4c2 24 2
n 1 1 n i 1 i 1 k
r 1
n i
... ck q
前面2种情况下的c1,c2,…,ck均为待定系数；
将初始条件代入，建立联立方程，确定各个系数具体值，得到 通解f(n) 例1. 3阶常系数线性齐次递归方程如下
f (n) 6 f (n 1) 11 f (n 2) 6 f (n 3) f (0) 0 f (1) 2 f (2) 10
零化多项式特征多项式最小多项式常系数线性齐次递推
零化多项式特征多项式最⼩多项式常系数线性齐次递推零化多项式/特征多项式/最⼩多项式/常系数线性齐次递推约定:I n是n阶单位矩阵，即主对⾓线是1的n阶矩阵⼀个矩阵A的|A|是A的⾏列式默认A是⼀个n×n的矩阵定义零化多项式:对于⼀个矩阵A，它的⼀个零化多项式f(λ)是满⾜f(A)=0的多项式，定义域包含矩阵最⼩多项式:次数最低的零化多项式特征多项式对于⼀个n阶的矩阵A，它的特征多项式p(λ)=|λI n−A|λ定义域不⽌是R，还可以是矩阵p(λ)是关于λ的⼀个不超过n+1次的多项式即p(λ)=∑n0a i x iCayley-Hamilton定理:矩阵的特征多项式也是它的零化多项式求解特征多项式带⼊n个数，求出得|xI n−A|,得到n个矩阵，通过⾼斯消元可以O(n3)地求出⾏列式然后可O(n2)拉格朗⽇插值求出原来的多项式，总复杂度受限于⾼斯消元，为O(n4)求解最⼩多项式构造矩阵序列a i=A i求出它的⼀个线性递推r i，即m∑j=0r j a i−j=m∑j=0r j A i−j=(m∑j=0r m−j A j)⋅A i−m=0∴m∑j=0r m−j A j=0所以可以由r i翻转得到f(λ)求解a i前n项的复杂度受限于矩阵乘法为O(n4)，求解递推式的复杂度为O(n3)考虑到实际求解递推式时，随机⽣成了两个向量u,v实际是计算标量序列{uA i v}的递推式，所以实际每次求出uA i复杂度应为O(n2)求这个递推式需要⽤到a i前2n项，求解复杂度为O(n3)因此总复杂度为O(n3)(但是如果只是求出来并没有什么⽤，因为求解⽅法是随机的，甚⾄连检查⼀次保证正确都需要O(n2(n+e))的时间(e为矩阵⾮0位置个数))求解稀疏⽅程组设⽅程系数⽤矩阵A表⽰，右侧每个⽅程的常数⽤向量b表⽰，答案⽤向量x表⽰，则满⾜关系式Ax=b，即x=A−1b求出{A i b}线性递推式，反推出A−1b即可反推⽅法:带⼊线性递推的m项，则∑m i=0A m−i b⋅r i=0A m−i br i=0两边同乘A−1，得到A−1b⋅r m+∑m−1i=0求解矩阵k次幂我们要求解A k，常规做法是直接⽤快速幂设矩阵A的⼀个零化多项式是f(λ)显然，A k可以⽤⼀个多项式表⽰A k=∑k0w i A i{w i}构成了⼀个k+1次多项式F k(x)存在⼀种合法的表⽰是F k(x)=x k∵f(A)=0∴∀i,f(A)A i=0也就是相当于我们要求出x k对于f(x)这个n+1多项式取模显然可以通过类似快速幂的⽅式倍增求解这个多项式，每次对f(x)取模复杂度是O(n log n)就能在O(n log m log n)时间得求出F(x)最后得到的F(x)是⼀个n次多项式那么带⼊就可以快速求出A k可以认为这个复杂度是受限于求解A0,A1,⋯,A n−1的O(n4)对于元矩阵A为稀疏矩阵的情况，设其包含e个⾮零位置那么求解B⋅A的过程是O(n⋅e)的，求解A0,A1,⋯,A n−1的过程，是O(n2e)的求解零化多项式的复杂度也是O(n2(n+e))的，因此总复杂度为O(n2(n+e))⽽⼀般的矩阵快速幂是O(n3log k)的，这种⽅法适⽤情况⾮常特殊另外，对于并不需要知道整个矩阵的答案，并且A0,A1,⋯,A n−1特殊的具体问题，这个⽅法也⼗分有效求解常系数线性齐次递推问题是要求数列f i=∑n j=1a j⋅f i−j给出f0,f1,⋯,f n−1，求第k项的值线性递推显然可以⽤初始向量列与转移矩阵的幂次的乘积表⽰，即f i=(S⋅A i)n，其中A为转移矩阵，S为初始向量列，我们求的是第n项对于n=4的情况，我们的转移矩阵A是12341a 421a 331a 241a 1鉴于它的特殊性，我们可以直接求出它的特征多项式表达式由λI n −A =12341λ−a 42−1λ−a 33−1λ−a 24−1λ−a 1带⼊⾏列式最暴⼒的求法枚举⼀个排列p i ，设排列p 的逆序对为f (p )，|A |=∑(−1)f (p )ΠA i ,pi 实际上合法的排列只有n 个，就是枚举p i =n那么p j =jj <i n j =i j −1j >i当i =n 时，(−1)f (p )ΠA i ,p i=λn −a 1λn −1当i >1时，f (p )=n −iΠA i ,p i=(−1)n −i +1λi ⋅a n −i +1(−1)f (p )ΠA i ,p i=−λi a n −i +1综上,转移矩阵A 的特征多项式有简单的表达p (λ)=|λI n −A |=λn −a 1λn −1−a 2λn −2−⋯−a n假设有f 0这⼀项(不需要知道是多少)，那么认为初始向量列为S =(f −(n −1),f −(n −2),⋯,f 0)这个问题，我们要求的是S ⋅A k 的第n 项，不需要知道整个矩阵类似求出A k 的过程，求出F_k(x)\mod p(\lambda)我们要求解(S\cdot A^k)_n=\sum_1^{n}[x^i]{F(x)}(S\cdot A^i)_n⽽(S\cdot A^i)_n=f_i 已知，求出F(x)后直接带⼊即可需要⽤到多项式取模，求解这个表达式是O(n\log n\log k)的，求完直接带⼊即可{Loading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js。
组合数学之常系数递归关系
满足要求的路径一定不会经过(0,1)点 满足要求的路径一定不会经过(0,1)点. 可以建立一个新坐标系: 原点在( 可以建立一个新坐标系: 原点在(-1,0), 这样我们原来( 这样我们原来(m,n)点在新坐标系里面 的坐标就成了( +1,n 自然m+1>n 的坐标就成了(m+1,n), 自然m+1>n. 从新坐标系原点出发到达( +1,n 从新坐标系原点出发到达(m+1,n)点的 路径, 如果所经过的点( 满足a 路径, 如果所经过的点(a,b)满足a>b, 则 (1,0)点后的路径正好是满足条件的路 (1,0)点后的路径正好是满足条件的路 (图4.3) 径. (图4.3) 所以只需求出(0,0)到 +1,n 不经过y=x 所以只需求出(0,0)到(m+1,n)不经过y=x 上点的路径数. 上点的路径数.
19
对于(4.1)中的 阶齐次递归关系: 对于(4.1)中的r阶齐次递归关系: 中的r H n a1 H n1 a 2 H n 2 a r H n r = 0 我们定义如下的一元 r 次方程: 次方程:
11
这样的向量有m 这样的向量有m个0元素, n个1元素, 共 元素, 元素, C(m+n, 有C(m+n, m)个. 可以建立(m+n) 0,1向量与从 向量与从(0,0)点到 可以建立(m+n)维0,1向量与从(0,0)点到 点路径间一一对应: (0,0)点出 达(m,n)点路径间一一对应: 从(0,0)点出 =0沿 轴方向走一个单位, 发, 第i步: 若ai=0沿x轴方向走一个单位, =1沿 轴方向走一个单位, 若ai=1沿y轴方向走一个单位, i=1,…,m+n. =1,…,m+n. 要保证顾客能顺利地买到票相当于要 必须满足x 求路径上各点( 求路径上各点(x,y)必须满足x≥y.
常系数齐次线性方程
算性质来求解方程。
矩阵法可以用于求解多变量线性方程组，并且可以方便地处理
0程的应用
在物理中的应用
描述物体运动规律
常系数齐次线性方程可以用来描 述物体在直线运动中的速度和加 速度之间的关系，例如自由落体 运动。
电磁波传播
在电磁波的传播过程中，常系数 齐次线性方程可以用来描述波动 方程，如电磁波在真空中的传播。
04
常系数齐次线性方程的扩展
变系数线性方程
变系数线性方程是指方程中的系数不再是常数，而是随着自变量的变化而变化。这类方程在物理、工 程和经济等领域有广泛的应用。求解变系数线性方程的方法通常包括分离变量法、变量代换法、积分 因子法等。
求解变系数线性方程的关键是找到一种方法，将原方程转化为一个或多个常系数线性方程，然后利用 已知的求解方法求解。
方程的表示形式
一般形式
ax+by+c=0
二元一次方程
例如，方程x+2y=0表示一个二元一次方程，其中 x和y是未知数，a=1，b=2，c=0。
一元一次方程
例如，方程3x+5=0表示一个一元一次方程，其中 x是未知数，a=3，b=0，c=5。
02
常系数齐次线性方程的解法
公式法
01
02
03
公式法是解常系数齐次 线性方程的一种常用方 法，通过对方程进行因 式分解，得到通解的公
(3x - 5y = 12)的解为：(x = frac{12 + 5y}{3})
(4x - y = 5)的解为：(y = 4x - 5)
THANKS
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热传导
在热传导过程中，常系数齐次线 性方程可以用来描述温度随时间 和空间的变化规律。