平面向量的数量积及其应用.docx
平面向量的数量积及平面向量的应用word精品文档7页
平面向量的数量积及平面向量的应用一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 理解平面向量数量积的含义及其物理意义； ● 了解平面向量的数量积与向量投影的关系；● 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；● 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； ● 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；● 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．重点难点：● 重点：数量积的运算，以及运用数量积求模与夹角． ● 难点：用向量的方法解决几何、物理等问题．学习策略：● 学习本专题内容，需要复习平面向量基本定理、平面向量的坐标表示、平面向量的坐标运算；学习中注意向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法这三种运算的区别与联系；平面向量的应用是向量的核心内容，向量的平行和垂直是向量间最基本最重要的位置关系，在平面几何、解析几何、物理等方面有着重要的应用．特别对不同的解题方法进行比较，从中体会向量方法的优越性所在．二、学习与应用（一）平面向量基本定理如果12,e e 是同一平面内两个的向量，那么对于这个平面内任一向量a ， 一对 12,λλ，使a = ，称 为12,e e 的线性组合．（1）其中12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的 ；（2）平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e 的方向分解为两个向量的 ，并且这种分解是 的．这说明如果1122a e e λλ=+且''1122a e e λλ=+，那么 ．（3）当基底12,e e 是两个互相 的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
向量坐标表示的基础．（二）向量坐标与点坐标的关系当向量起点在原点时，定义向量坐标为坐标，即若A(x，y)，则OA--→=( ， )．OB OA-=(=(x，y)，则λa（四）平面向量平行（共线）的坐标表示设非零向量()()1122,,,a bx y x y==，则a→∥b→⇔(x1，y1)=λ(x2，y 2)，即1..................1..................xy=⎧⎨=⎩，或 =0．知识点一：平面向量的数量积（一）平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量叫a与b的数量积，记作a b⋅，即有a b⋅=．并规定0与任何向量的数量积为．（二）一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量b在a方向上的投影．要点诠释：（1）两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别①两个向量的数量积是一个，不是向量，符号由的符号所决定．②两个向量的数量积称为积，写成a b⋅；今后要学到两个向量的外积a b⨯，而a b⋅是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
平面向量的数量积与向量积的应用的应用
平面向量的数量积与向量积的应用的应用平面向量的数量积与向量积的应用平面向量是解决平面几何问题的重要工具，其数量积与向量积是常用的运算符号。
本文将探讨平面向量的数量积与向量积的应用，并运用相应的公式进行详细计算和论证。
一、平面向量的数量积的应用平面向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间的一种运算，表示了向量之间的夹角关系。
数量积的应用广泛，包括计算向量的模长、求解向量的夹角、判定向量是否垂直或平行等。
1. 求解向量的模长对于平面向量a，其模长可以通过数量积求解。
设a = (a₁, a₂)，则a的模长|a| = √(a₁² + a₂²)。
2. 求解向量的夹角对于平面向量a和b，它们的夹角θ可以通过数量积求解。
设a = (a₁, a₂)和b = (b₁, b₂)，则a与b的夹角θ的余弦值可以表示为cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)。
通过求解cosθ，我们可以进一步求解夹角θ。
3. 判定向量是否垂直或平行若两个向量a和b的数量积等于0，即a·b = 0，则a与b垂直。
若数量积不等于0，即a·b ≠ 0，则a与b不垂直。
另外，如果两个向量的数量积等于a和b的模长之积，即a·b = |a|·|b|，则a与b平行。
二、平面向量的向量积的应用平面向量的向量积，也称为叉积或外积，是两个向量之间的一种运算，表示了向量之间的方向关系。
向量积的应用主要涉及到平行四边形面积、垂直判定以及向量的混合积的计算。
1. 平行四边形面积对于平面向量a和b，它们的向量积a×b的模长等于a和b所构成的平行四边形的面积。
即|a×b| = |a|·|b|·sinθ，在计算时取正值即可。
2. 垂直判定若两个向量a和b的向量积等于0，即a×b = 0，则a与b平行或共线。
若向量积不等于0，即a×b ≠ 0，则a与b垂直。
平面向量的数量积及应用-6页精选文档
【本讲教育信息】一、教学内容：平面向量的数量积及应用二、学习目标1、掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用。
2、平面向量的数量积及其几何意义，向量垂直的充要条件。
利用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。
三、知识要点（一）主要知识：（1）平面向量的数量积的定义1）向量的夹角：已知两个非零向量，过O点作，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量的夹角。
当且仅当两个非零向量同方向时，θ=0°，当且仅当反方向时，θ=180°，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。
2）垂直；如果的夹角为90°则称垂直，记作。
3）的数量积：两个非零向量，它们的夹角为θ，则叫做的数量积（或内积），记作，即=规定=0 非零向量当且仅当时，θ=90°，这时=0。
4）在方向上的投影：（注意是射影）所以，的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积。
（2）平面向量数量积的性质设是两个非零向量，是单位向量，于是有：③当同向时，；当反向时，，特别地，。
（3）平面向量数量积的运算律①交换律成立：②对实数的结合律成立：③分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=0或=0④但是乘法公式成立：；；等等。
（4）平面向量数量积的坐标表示1）若=（）,=（）则=2）若=（x,y）,则||=.=x2+y2,3）若A（）,B（）,则4）若=（）,=（）则（）5）若=（）,=（）则（二）主要方法：1、注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围；2、垂直的充要条件的应用；3、当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性；4、距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题上来解决．5、特别提示：数量积不满足结合律。
【典型例题】例1、已知两单位向量与的夹角为120°，若，试求与的夹角。
高中数学基础之平面向量的数量积及应用
高中数学基础之平面向量的数量积及应用平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.平面向量数量积的几何意义：设a ，b 是两个非零向量，AB→＝a ，CD →＝b ，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θ e . 一、平面向量数量积的运算例1 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则BC→·AF →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118答案 B解析 如图，由条件可知BC→＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2.因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC→|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.例2 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝________.答案 12解析 如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n,0)，其中m ＞0，n ＞0，则由AB→·AC →＝2AB →·AD →，得(n,0)·(m ＋2，m )＝2(n,0)·(m ，m )，所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故AD→·AC →＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12.例3 在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE→＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．答案 2918解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，∴CD ＝1，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD→＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos60°＋2×16＋23×12×cos60°＋23×16×12×cos120°＝2918.方法：解决涉及几何图形的向量的数量积运算常用两种方法：一是定义法，二是坐标法．定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系．(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.二、平面向量数量积的应用.例4 已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．1B ．12C ．34D ．32答案 D解析 ∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R )，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)a ·b ＋t 2b 2，∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为32.故选D.例5 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.答案223解析 因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，因为b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，又a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223.例6 若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3解析 ∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c ＜0，即(2k －3，－6)·(2,1)＜0，∴4k －6－6＜0，∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.例7 已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．答案 712解析 因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0.又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →，所以(λAB→＋AC →)·(AC →－AB→)＝0，即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，所以(λ－1)|AC →||AB →|·cos120°－9λ＋4＝0，即(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－9λ＋4＝0，解得λ＝712.例8 已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD→|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 A解析 因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2a ·b ＋b 2)＝4×⎝⎛⎭⎪⎫3－2×3×2×cos π6＋4＝4，则|AD →|＝2.故选A. 例9 已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，若OA →与OB →的夹角为60°，且OC →⊥AB→，则实数m n的值为( ) A.16 B ．14 C ．6 D ．4答案 A解析 因为向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，OA →与OB →的夹角为60°，所以OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3，所以AB→·OC →＝(OB →－OA →)·(mOA →＋nOB →)＝(m －n )OA →·OB →－m |OA →|2＋n |OB →|2＝3(m －n )－9m ＋4n ＝－6m ＋n ＝0，所以m n ＝16.故选A.例10 已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB→|的最小值为________．答案 5解析 建立平面直角坐标系如图所示，则A (2,0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b )，则P A →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5,3b －4y )．所以|P A →＋3PB →|＝25＋(3b －4y )2(0≤y ≤b )．当y ＝34b 时，|P A →＋3PB →|min＝5.例11 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A解析 a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14×(10－6)＝1.故选A.例12 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C ．2D ．22 答案 C解析 设OA→⊥OB →，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为线段AB 的中点，因为|a |＝|b |＝1，所以AB ＝2，AD ＝22，(a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CD →|2－|DA →|2＝|CD →|2－12＝0，所以|CD→|＝22，上式表明，DC→是有固定起点，固定模长的动向量，点C 的轨迹是以22为半径的圆，因此|c |的最大值就是该轨迹圆的直径 2.故选C.例13 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC→·OB →的最大值是________．答案 2解析 如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON ，则OC→·OB →＝OM →2－14.因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32，当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号，所以OC →·OB →的最大值为2.极化恒等式(1)极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]．极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式．(2) 极化恒等式的几何意义：平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即a ·b ＝14(|AC →|2－|BD →|2)．(3) 极化恒等式的三角形模式：在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB→·AC →＝AM →2－14BC →2.可以利用极化恒等式来求数量积、求最值、求模长．平面向量有“数”与“形”双重身份，它沟通了代数与几何的关系，所以平面向量的应用非常广泛，主要体现在平面向量与平面几何、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面，解决此类问题的关键是将其转化为向量的数量积、模、夹角等问题，进而利用向量方法求解．。
平面向量的数量积与几何应用
平面向量的数量积与几何应用在平面几何学中，向量是非常重要的概念。
在平面向量中，数量积是一种常见的运算，它能够帮助我们计算向量之间的夹角、判断向量之间的关系以及解决几何问题。
本文将介绍平面向量的数量积及其在几何中的应用。
一、平面向量的数量积定义当给定两个平面向量a和b时，我们可以通过计算它们的数量积来得到一个实数。
数量积通常用符号a·b表示，计算公式如下：a·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示向量a和b 之间的夹角。
二、平面向量的数量积性质1. 交换律：a·b = b·a2. 结合律：(ka)·b = k(a·b)，其中k为实数3. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c根据这些性质，我们可以简化计算，并灵活应用数量积的概念。
三、数量积的几何意义1. 判断垂直关系：若a·b=0，则向量a和向量b垂直。
2. 计算夹角：通过计算a·b，我们可以得到向量a和向量b之间的夹角θ的余弦值。
进而可以求得夹角的大小。
3. 判断共线关系：若a·b=|a|*|b|，则向量a和向量b共线，并且方向相同；若a·b=-|a|*|b|，则向量a和向量b共线，但方向相反。
4. 计算投影：向量a在向量b上的投影表示为P = a·(b/|b|)，表示a 在b上的投影长度。
它的方向与向量b的方向相同或相反，长度为|a|*cosθ。
通过上述的几何意义，我们可以运用数量积来解决一些常见的几何问题。
四、数量积的几何应用举例1. 判断线段相交：假设有两个线段AB和CD，可以定义向量AB和向量CD，若向量AB和向量CD的数量积不为零，则线段AB和CD 相交。
2. 判断平行四边形：对于一个平行四边形ABCD，可以定义向量AB，向量BC，向量CD和向量DA，若相邻两个向量的数量积相等，则该四边形为平行四边形。
第2课时平面向量的数量积及应用
第2课时 平面向量的数量积及应用1．平面向量的数量积 (1)向量的夹角①定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角．②范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°.③共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直． (2)平面向量的数量积①定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b ，即a·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.②几何意义：数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角． (1)数量积：a·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (5)|a·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b ·a (交换律)．(2)λa·b ＝λ(a·b )＝a·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c (分配律)．4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(√)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√)(3)由a·b ＝0，可得a ＝0或b ＝0.(×)(4)两向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(×)(5)若a·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．(×) (6)(a·b )·c ＝a·(b·c )．(×) (7)a·b ＝a·c (a ≠0)，则b ＝c .(×)(8)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形．(×) (9)因|e |＝1，故a ·e ＝e ·a ＝1.(×)(10)在△ABC 中，AB→与BC →的夹角为内角B .(×)考点一 平面向量数量积的运算[例1] (1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC 等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16解析：法一：AB →·AC →＝(CB →－CA →)·(－CA →)＝－CB →·CA →＋CA →2＝16. 法二：∵AB →在AC →方向上的投影是AC ，∴AB →·AC→＝|AC →|2＝16.答案：D(2)(2017·河北石家庄质检)在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内(含边界)任意一点，则AE →·AF→的最大值为________． 解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，设F (x ，y )，则⎩⎨⎧0≤x ≤20≤y ≤1，AE →·AF→＝2x ＋12y ，令z ＝2x ＋12y ，当z ＝2x ＋12y 过点C (2,1)时，AE →·AF→取最大值92.答案：92[方法引航] 根据平面向量的数量积的定义计算几何图形中的数量积a·b ，有以下几种思路：(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算.(2)第一，根据图形之间的关系，用模和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ；第二，根据平面向量的数量积的定义进行计算求解. (3)若有垂直条件，可建立直角坐标系，用坐标计算.1．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP→＝－32，则λ等于( ) A.12 B.1±22 C.1±102 D.－3±222解析：选 A.因为BQ→＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，且BQ →·CP→＝－32，∴[(1－λ)AC →－AB →](λAB →－AC →)＝－32，∴(1－λ)λAC →·AB →－λAB →2－(1－λ)AC →2＋AB →·AC →＝－32. ∴(λ－λ2)2×2cos 60°－4λ－4(1－λ)＋2＝－32△ABC 是等边三角形，所以得4λ2－4λ＋1＝0，解得λ＝12，故选A.2．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC→的最大值为________． 解析：法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC→的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1， ∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1，∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.答案：1 1考点二 平面向量的夹角与垂直问题[例2] (1)(2016·＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝12×32＋32×121×1＝32，则∠ABC ＝30°. 答案：A(2)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC→，则实数λ的值为________． 解析：由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →) ＝(λ－1)AB →·AC→－λAB →2＋AC →2 ＝(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712.答案：712[方法引航] 求两非零向量的夹角时，要注意夹角的范围(1)若a ·b ＞0，则〈a ·b 〉为锐角或同向(0°).(2)若a ·b ＜0，则〈a ·b 〉为钝角或反向.(3)若a ·b ＝0，则〈a ·b 〉＝90°.1．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为( )A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3解析：选D.由题意可做图如下，设AB →＝b ，AD →＝a ，结合向量的几何意义可知∠ABD ＝∠CAB ＝π6，故向量a ＋b 与a －b 的夹角为AC→与BD →的夹角23π.2．已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3D.152解析：选C.因为a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，所以2a －3b ＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k －3，－6)．因为(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝(2k －3，－6)·(2,1)＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3.考点三 平面向量的模及其应用[例3] (1)(2017·河北衡水模拟)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，那么|4a －b |＝( )A ．2B ．6C ．2 3D ．12解析：|4a －b |2＝16a 2＋b 2－8a·b ＝16×1＋4－8×1×2×cos π3＝12. ∴|4a －b |＝2 3.答案：C(2)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD→|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是________． 解析：设D (x ，y )，则(x －3)2＋y 2＝1，OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，故|OA →＋OB→＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2，|OA→＋OB →＋OD →|的最大值即为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点到点(1，－3)距离的最大值，其最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即(3－1)2＋(0＋3)2＋1＝7＋1，最小值为(3－1)2＋(0＋3)2－1＝7－1，故取值范围为[7－1，7＋1]． 答案：[7－1，7＋1][方法引航] 利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a·a ＝|a |2或|a |＝\r(a·a ).(2)|a ±b |＝.(3)若|a |＝r ，a ＝(x ，y )则x 2＋y 2＝r 2.1．已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC→＝2a －6b ，D 为BC 中点，则|AD →|等于( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8 解析：选A.因为AD→＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a－b )2＝4(a 2－2b ·a ＋b 2)＝4×⎝⎛⎭⎪⎫3－2×2×3×cos π6＋4＝4，则|AD →|＝2. 2．(2017·山西四校联考)已知向量p ＝(2，－1)，q ＝(x,2)，且p ⊥q ，则|p ＋λq |的最小值为________．解析：p·q ＝(2，－1)·(x,2)＝2x －2＝0，从而x ＝1，∴p ＋λq ＝(2，－1)＋λ(1,2)＝(2＋λ，2λ－1)，|p ＋λq |＝(2＋λ)2＋(2λ－1)2＝5λ2＋5≥5，∴最小值为 5. 答案： 5[易错警示]数量积的正负与向量夹角关系不清[典例] 已知a ＝(3,2)，b ＝(2，－1)，若向量λa ＋b 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．[正解] 依题意，(λa ＋b )·(a ＋λb )＝λa 2＋λb 2＋(λ2＋1)a·b ＞0，即4λ2＋18λ＋4＞0，由此解得λ＞－9＋654或λ＜－9－654.注意到当λa ＋b 与a ＋λb 同向共线时，λ＝1，(λa ＋b )·(a ＋λb )＞0.因此，所求的实数λ的取值范围是λ＞－9＋654或λ＜－9－654且λ≠1. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－9－654∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－9＋654，1∪(1，＋∞) [易误] 此题易忽略λ＝1时，有λa ＋b 与a ＋λb 同向．[警示] 向量数量积正负与向量夹角是钝角、锐角不等价，如：m·n ＞0时，其〈m ，n 〉可为锐角，也可为0，m·n ＜0，其〈m ，n 〉可为钝角，也可为π.此类题要考虑m 与n 共线情况．即：(1)向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b ＞0且向量a ，b 不共线． (2)向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b ＜0且向量a ，b 不共线．[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8解析：选D.由向量的坐标运算得a ＋b ＝(4，m －2)，由(a ＋b )⊥b ，得(a ＋b )·b ＝12－2(m －2)＝0，解得m ＝8，故选D.2．(2015·高考课标全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C.a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.3．(2016·高考全国乙卷)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.解析：由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2得a ⊥b ，则m ＋2＝0，所以m ＝－2. 答案：－24．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO→＝12(AB →＋AC →)，则AB→与AC →的夹角为________． 解析：AO →＝12(AB →＋AC →)，∴O 为BC 的中点，即BC 为直径，∴∠BAC ＝π2，∴〈AB →·AC→〉＝π2. 答案：π25．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD→＝________.解析：以A为原点，AB为x轴．AD为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，∴AE→＝(1,2)，BD→＝(－2,2)，∴AE→·BD→＝(1,2)·(－2,2)＝－2＋4＝2.答案：26．(2012·高考课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.解析：∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝22|b|，|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3 2.答案：32课时规范训练A组基础演练1．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝()A．－1B．0C．1 D．2解析：选B.(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a|·|b|·cos〈a，b〉－|b|2＝2×1×1×cos 60°－1＝0.2．已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为π6，则实数m＝()A．2 3 B. 3C ．0D ．－ 3解析：选B.a·b ＝|a ||b |cos π6，则3＋3m ＝2·9＋m 2·32.(3＋m )2＝9＋m 2，解得m ＝ 3.3．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．10解析：选B.∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即x －2＝0，x ＝2，∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝10.4．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( )A. 2B. 3C. 5D.7解析：选B.|a ＋2b |2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝1＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋4＝3，∴|a ＋2b |＝ 3. 5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则a·b 等于( )A ．－10B ．－6C ．0D ．6解析：选A.由a ∥b 得2x ＝－4，x ＝－2，故a·b ＝(1,2)·(－2，－4)＝－10.6．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a·b ＝________.解析：由a ＝(－2，－6)，得|a |＝210，则a·b ＝|a ||b |cos 60°＝210·10·12＝10.答案：107．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________. 解析：∵m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝0，从而λ＝－3.答案：－38．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________． 解析：已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.答案：169．已知向量a ＝(4,5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，a ⊥b ，求： (1)|a ＋b |；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值． 解：(1)因为a ⊥b ，所以a·b ＝4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0，解得sin α＝35.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos α＝45，tan α＝sin αcos α＝34，所以a ＋b ＝(7,1)，因此|a ＋b |＝72＋12＝5 2.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4 ＝45×22－35×22＝210.10．已知△ABC 的内角为A 、B 、C ，其对边分别为a 、b 、c ，B 为锐角，向量m＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B,2cos 2B 2－1)，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．解：(1)m ∥n ⇒2sin B ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＋3cos 2B ＝0⇒sin 2B ＋3cos 2B ＝0⇒2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＝0(B 为锐角) ⇒2B ＝2π3⇒B ＝π3.(2)cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac⇒ac ＝a 2＋c 2－4≥2ac －4⇒ac ≤4. S △ABC ＝12a ·c ·sin B ≤12×4×32＝ 3.B 组 能力突破1．已知△ABC 中，AB →·BC→＋AB →2＝0，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形解析：选D.AB →·BC →＋AB →2＝0化为AB →·(BC →＋AB →)＝0，即AB →·AC→＝0，所以AB →⊥AC →. 所以△ABC 为直角三角形．又根据条件，不能得到|AB→|＝|AC →|. 2．已知△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O .若|OA →|＝|AB →|，且2OA→＋AB →＋AC →＝0，则CA →·CB→等于( ) A. 3B ．2 3 C.32 D ．3解析：选D.因为2OA→＋AB →＋AC →＝0，所以(OA →＋AB →)＋(OA →＋AC →)＝0，即OB →＋OC →＝0，所以O 为BC 的中点，故△ABC 为直角三角形，∠A 为直角，又|OA |＝|AB |，则△OAB 为正三角形，|AC →|＝3，|AB →|＝1，CA →与CB →的夹角为30°，由数量积公式可知选D.3．△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA→＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →在CB→方向上的投影为( ) A ．1 B ．2C. 3 D ．3解析：选C.如图，设D 为BC 的中点，由OA→＋AB →＋AC →＝0，得AO→＝2AD →， ∴A 、O 、D 共线且|AO→|＝2|AD →|， 又O 为△ABC 的外心，∴AO 为BC 的中垂线，∴|AC→|＝|AB →|＝|OA →|＝2，|AD →|＝1， ∴|CD→|＝3，∴CA →在CB →方向上的投影为 3. 4．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．解析：由a·b ＜0，即2λ－3＜0，解得λ＜32，由a ∥b 得：6＝－λ，即λ＝－6.因此λ＜32，且λ≠－6. 答案：(－∞，－6)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，32 5．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值．解：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.。
平面向量的数量积与向量积的计算与应用
在几何中的应用
描述平面内点的运动轨迹 计算平面内线段的长度 计算平面内线段之间的夹角 判断平面内点、线、面的位置关系
在物理中的应用
力的合成与分解 速度和加速度的合成与分解 角动量守恒定律 刚体的转动
04
平面向量的混合积
定义与性质
定义：三个向量的混合 积定义为它们的行列式 与三个向量构成的平行 六面体的体积之比的3倍
பைடு நூலகம்
计算方法
定义：两个向量的数量 积定义为它们的模长和
夹角的余弦值的乘积
几何意义：表示两个向 量在垂直方向上的投影
的乘积
计算公式：a · b = |a| · |b| · cosθ，其中θ
为两向量的夹角
运算性质：数量积满足 交换律和分配律，但不
满足结合律
在几何中的应用
计算点到直线的 距离
计算两条直线的 夹角
积。
添加标题
计算公式：混 合积的计算公
式为 |a×(b×c)|=|a| |b||c|sinθ， 其中θ为向量b 和c之间的夹角。
性质：混合积 满足交换律和
分配律，即 a×(b×c)=(a×b)×
c，且 (λa)×(b×c)=a×( λb)×c=λ(a×b)×c。
添加标题
添加标题
在几何中的应用
判断或证明平面的法向 量
计算两个向量的 夹角
判断直线与平面 的位置关系
在物理中的应用
力的合成与分解：通 过平面向量的数量积， 可以更方便地计算力
的合成与分解
动量定理：平面向量 的数量积可以用来表
示物体的动量变化
速度和加速度：平面 向量的数量积可以用 来表示物体的速度和
加速度
功和能：平面向量的 数量积可以用来表示 力对物体做的功以及
平面向量的数量积与应用
向量夹角计算
添加 标题
定义：两个非零向量的夹角是指它们所在的直线之间的夹角，取值范围为$[0^{\circ},180^{\circ}]$
添加 标题
计算公式：$\cos\theta = \frac{\overset{\longrightarrow}{u} \cdot \overset{\longrightarrow}{v}}{|\overset{\longrightarrow}{u}| \cdot |\overset{\longrightarrow}{v}|}$，其中 $\overset{\longrightarrow}{u}$和$\overset{\longrightarrow}{v}$是两个非零向量，$\theta$是它们的夹角
平面向量的数量积 与应用
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目录
平面向量的数量积概念 平面向量的数量积的应用
平面向量的数量积运算
平面向量的数量积的扩展 应用
01
平面向量的数量积 概念
定义与性质
定义：平面向量的数量积是 两个向量之间的点积，表示 为a·b，等于它们的模长和 夹角的余弦值的乘积。
性质：数量积满足交换律和 分配律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
几何意义
平面向量的数量积表示向量在 平面上的投影长度
等于两个向量在垂直方向上的 投影的乘积
表示两个向量在平面上的夹角 大小
等于两个向量在水平方向上的 投影的乘积
运算性质
交换律：a · b = b · a 分配律：(a+b) · c = a · c + b · c 数乘性质：k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) 向量数量积的性质：|a · b| ≤ |a| |b|
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06—平面向量的数量积及其应用突破点 (一 ) 平面向量的数量积1．向量的夹角； 2．平面向量的数量积； 3．平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算1.利用坐标计算数量积的步骤第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可．2．根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．[典例 ](1)设向量 a ＝ (－ 1,2)，b ＝ (m,1)，如果向量 a ＋ 2b 与 2a － b 平行，那么 a 与 b 的数量积等于 ( )7B ．－1A ．－ 22(2)在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB ∥ DC ， AB ＝ 2， BC ＝ 1，∠ ABC ＝ 60°.点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DCuuur 2 uuur uuur 1 uuur uuur uuur上，且 BE ＝ 3 BC ， DF ＝ 6 DC ，则 AE ·AF 的值为 ________．[ 解析 ] (1)a ＋ 2b ＝ (－ 1,2)＋ 2(m,1)＝ (－ 1＋ 2m,4)， 2a － b ＝ 2(－ 1,2)－ (m,1)＝ (－ 2－ m,3)，由题意得3(－ 1＋ 2m)－ 4(－ 2－ m)＝ 0，则 m ＝－ 1，所以 b ＝ －1， 1 ，所以 a ·b ＝－ 1×－1＋ 2×1＝ 5.222 2uuur uuuruuur uuur uuur2 uuuruuuruuur uuur uuuruuur uuur(2)取 BA ， BC 为一组基底， 则 AE ＝ BE － BA ＝ 3 BC － BA ， AF ＝ AB ＋ BC ＋ CF ＝－ BAuuur 5 uuur 7 uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur ·－ 7 uuur uuur 7 | uuur 25＋ BC ＋ 12BA ＝－ 12 BA ＋ BC ，∴ AE ·AF ＝ 3BC － BA 12BA ＋ BC ＝12BA | 2－18uuur uuur 2 uuur BA ·BC ＋ 3| BC|2＝ 7×4－ 251＋ 2＝ 29 291218× 2× 1×. [答案 ] (1)D (2)182 318[易错提醒 ](1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补． (2)两向量 a ， b 的数量积 a ·b 与代数中 a ， b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”．突破点 (二 )平面向量数量积的应用平面向量数量积的性质及其坐标表示：模、夹角、 a ⊥ b| 、 a ·b| 与 | a|| b| 的关系平面向量的垂直问题1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0 即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[例1](1)△ ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量a， b 满足uuurAB＝ 2a，uuurAC＝ 2a＋ b，则下列结论正确的是()A． | b|＝ 1B． a⊥ b C． a·b＝ 1D． (4a ＋ b)⊥uuur BC(2)已知向量a＝ (k,3)， b＝ (1,4)， c＝ (2,1)，且 (2a－ 3b)⊥ c，则实数k＝ ()9A．－ 2B．0C． 3[解析](1)在△ ABC中，由uuurBCuuur＝ ACuuur－ AB＝ 2a＋ b－ 2a＝ b，得 | b| ＝ 2，A 错误．又uuurAB＝ 2a 且 |uuurAB|uuur＝2，所以 | a| ＝ 1，所以 a·b＝ | a|| b|cos 120 °＝－ 1，B，C 错误．所以 (4a＋ b) ·BC＝ (4a＋ b) ·b＝ 4a·b＋ | b| 2uuur＝ 4×(－1)＋ 4＝0，所以 (4a＋ b)⊥BC， D 正确，故选 D.(2)∵ (2a－ 3b)⊥ c，∴ (2a－ 3b) ·c＝ 0.∵ a＝ (k,3)， b＝ (1,4)， c＝ (2,1)，∴ 2a－ 3b＝ (2k－ 3，－ 6)．∴ (2k－ 3，－ 6) ·(2,1)＝ 0，即 (2k－ 3) ×2－6＝ 0.∴ k＝ 3.[ 答案 ] (1)D(2)C[易错提醒 ]x1 y2－ x2 y1＝ 0 与x1x2＋ y1y2＝ 0 不同，前者是两向量a＝ (x1，y1)，b＝ (x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．平面向量模的相关问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2＝ a·a＝ | a| 2； (2)| a±b| ＝a±b2＝ a2±2a·b＋ b2.π[例 2](1)(2017 衡·水模拟 )已知 | a| ＝ 1，| b| ＝ 2， a 与 b 的夹角为，那么 |4 a－ b| ＝ ()3A． 2B． 6 C． 2 3D． 12(2)已知 e ， e 是平面单位向量，且1e ·e ＝2.若平面向量 b 满足 b·e ＝ b·e ＝ 1，则 | b| ＝ ________.121212π[解析 ](1)|4 a－ b| 2＝ 16a 2＋ b2－ 8a·b＝ 16×1＋4－ 8×1×2×cos＝ 12.∴ |4 a－ b| ＝ 2 3.31 2＝1，∴ | e121，e21，∴ e1 2121＝ b ，(2)∵ e ·e2|| e|cos e＝2，e＝ 60°.又∵ b ·e ＝ b·e ＝ 1＞ 0，∴b，e21＝ 1，得 | b||1＝°1，∴ | b| ＝1 ＝23(1)C23e＝ 30°.由 b·e e |cos 3033.[ 答案 ](2)32[方法技巧 ]求向量模的常用方法(1)若向量 a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式| a| ＝ x 2＋ y 2.(2)若向量 a ， b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式 | a| 2 ＝ a 2＝ a ·a ，或 | a ±b| 2＝ (a ±b)2＝ a 2±2a ·b ＋ b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．平面向量的夹角问题求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积第二步分别求出这两个向量的模根据公式 cos 〈 a ， b 〉＝ a ·b ＝x 1x 2＋ y 1y 2求解出这两个向量夹角的余弦第三步| a|| b|2222x 1＋ y 1· x 2＋ y 2值第四步根据两个向量夹角的范围是[0， π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角2 2[例 3](1)若非零向量 a ， b 满足 | a| ＝3 | b| ，且 (a － b)⊥ (3a ＋ 2b)，则 a 与 b 的夹角为 ()D ． π(2)已知单位向量 e 1 与 e 2 的夹角为 α，且 cos α＝ 1，向量 a ＝ 3e 1－ 2e 2 与 b ＝ 3e 1－ e 2 的夹角为 β，则 cos3β＝ ________.[解析 ](1)由 (a － b)⊥ (3a ＋ 2b)，得 (a － b) ·(3a ＋ 2b)＝ 0，即 3a 2－ a ·b － 2b 2＝ 0.222－ | a|| b|cos θ－ 2| b| 2＝0， 又∵ | a| ＝3| b| ，设〈 a ， b 〉＝ θ，即 3| a|8 | b| 2 － 2 22π∴ 3 | b| 2·cos θ－ 2| b| 2＝ 0.∴cos θ＝2.又∵ 0≤θ≤π，∴ θ＝ .3411 (2)∵ a 2＝ (3e 1－ 2e 2)2＝ 9＋ 4－ 2×3×2×＝ 9， b 2＝ (3e 1－ e 2)2＝ 9＋ 1－2×3×1×＝ 8，331＝ 8，∴ cos β＝ a ·b ＝ 8 ＝ 22a ·b ＝ (3e － 2e ) ·(3e － e )＝9＋ 2－ 9× 1× 1×| a|| b| 3×22 33[易错提醒 ](1)向量 a ， b 的夹角为锐角 ? a ·b>0 且向量 a ， b 不共线． (2)向量 a ， b 的夹角为钝角 ? a ·b<0 且向量 a ， b 不共线．突破点 (三 ) 平面向量与其他知识的综合问题平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查..在高考中，常将它平面向量与三角函数的综合问题[例 1] 已知函数 f(x)＝ a ·b ，其中 a ＝ (2cos x ，－ 3sin 2x)， b ＝ (cos x,1)， x ∈ R.(1)求函数 y ＝ f(x)的单调递减区间；(2) 在△ ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ， f(A)＝－ 1，a ＝ 7，且向量 m ＝ (3， sin B)与 n ＝ (2， sin C)共线，求边长b 和c 的值．[解 ] (1)f(x)＝ a ·b ＝ 2cos 2x － 3sin 2x ＝ 1＋ cos 2x －π，3sin 2x ＝1＋ 2cos 2x ＋ 3π π π令 2k π≤2x ＋ ≤2k π＋ π(k ∈ Z)，解得 k π－ 6≤x ≤k π＋3(k ∈ Z)，3所以 f(x)的单调递减区间为k π－ π π(k ∈ Z)．， k π＋6 3(2)∵ f(A)＝ 1＋ 2cos 2A ＋π2A ＋ π ＝－ 1.＝－ 1，∴ cos 3 3又 0<A<π，故 ππ 7ππ π<2A ＋ ＜ ，∴ 2A ＋ ＝ π，即 A ＝ .3 3 33 3 ∵ a ＝ 7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2 －2bccos A ＝ (b ＋ c)2－ 3bc ＝ 7.①∵向量 m ＝ (3， sin B)与 n ＝ (2， sin C)共线，所以 2sin B ＝ 3sin C ．由正弦定理得 2b ＝ 3c ，②由①②，可得 b ＝ 3， c ＝ 2.[方法技巧 ]平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路(1) 向量平行 (共线 )、垂直与三角函数的综合：此类题型的解答一般是利用向量平行 (共线 )、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．(2) 向量的模与三角函数综合： 此类题型主要是利用向量模的性质| a| 2＝ a 2，如果涉及向量的坐标， 解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解．此类题型主要表现为两种形式：①利用三角函数与向量的数量积直接联系；②利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合．平面向量与几何的综合问题[例 2] (1)在平行四边形uuur uuurABCD 中， AD ＝1，∠ BAD ＝ 60°，E 为 CD 的中点．若 AC ·BE ＝ 1, 则 AB 的长为 ________．(2)已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠ BAD ＝ 120 °，点 E ， F 分别在边 BC ， DC 上， BC ＝ 3BE ， DC ＝ λ DF.若uuur uuurAE ·AF ＝ 1，则 λ的值为 ________．uuur uuur uuur1 x.又 uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1[解析 ] (1)设 | AB | ＝ x ，x ＞0，则 AB ·AD ＝ AC ·BE ＝ ( AD ＋ AB ) ·(AD － 2 AB)＝ 1－ x2221 1 ，即 AB 的长为 1 .＋ x ＝ 1，解得 x ＝24 2uuur uuuruuur uuur－1(2)由题意可得 AB ·AD ＝ | AB | ·|AD |cos 120＝－ 2，＝°2× 2× 2uuur uuur uuur uuur在菱形 ABCD 中，易知 AB ＝ DC ， AD ＝ BC ，uuur uuur uuur uuur 1 uuuruuur uuuruuur1 uuur uuur所以 AE ＝ AB ＋ BE ＝ AB ＋3 AD ， AF ＝ AD＋ DF ＝AB ＋ AD ，λuuur uuur uuur 1 uuur1 uuuruuurAE ·AF ＝ AB ＋ 3 AD ·λ AB ＋ AD4＋ 4－ 2 1＝ 1，解得 λ＝ 2.[答案 ] (1) 1 (2)21＋ 3λ ＝ λ 32[方法技巧 ]平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．[检验高考能力 ]一、选择题1．已知向量 a ＝ ( 3， 1)， b ＝ (0,1)， c ＝ (k ， 3)，若 a ＋ 2b 与 c 垂直，则 k ＝ ( )A ．－ 3B ．－ 2C ． 1D ．－ 1解析：选 A因为 a ＋ 2b 与 c 垂直，所以 (a ＋ 2b) ·c ＝0，即 a ·c ＋ 2b ·c ＝ 0，所以 3k ＋ 3＋ 2 3＝ 0，解得 k ＝－ 3.uuur uuur2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝ (1，－ 2)， AD ＝ (2,1)，则uuur uuurAD ·AC ＝ ()A ． 5B ． 4C ． 3D ． 2uuur uuur uuur解析：选 A由四边形ABCD 是平行四边形，知 AC ＝ AB ＋ AD ＝ (1，－ 2)＋ (2,1) ＝ (3，－ 1)，故uuur uuur AD ·AC ＝ (2,1) (3·，－ 1)＝ 2×3＋ 1×(－1)＝ 5.3．若平面向量 a ＝ (－ 1,2)与 b 的夹角是 180 °，且 | b| ＝3 5，则 b 的坐标为 ( )A ． (3，－ 6)B ． (－ 3,6)C ． (6，－ 3)D ． (－ 6,3)解析：选 A由题意设 b ＝ λa＝ (－ λ，2λ)(λ＜ 0)，而 | b| ＝ 3 5，则－ λ 2＋ 2λ 2 ＝3 5，所以 λ＝－ 3， b ＝ (3，－ 6)，故选 A.14．(2016 山·东高考 )已知非零向量 m ，n 满足 4|m| ＝ 3| n| ，cos 〈m ，n 〉＝ ，若 n ⊥(t m ＋ n)，则实数t 的值为 ()9 9A ． 4B ．－ 4C.4D ．－ 4解析：选 B ∵ n ⊥ (t m ＋ n)， ∴n ·(t m ＋ n)＝ 0，即 t m ·n ＋ | n| 2＝ 0，∴ t|m||n| cos 〈 m ， n 〉＋ | n| 2＝3 10.又 4| m| ＝ 3| n| ，∴ t × | n| 2×＋ | n| 2＝ 0，解得 t ＝－ 4.故选 B.435．(2016 天·津高考 )已知△ ABC 是边长为1 的等边三角形，点 D ，E 分别是边 AB ，BC 的中点，连接 DEuuur uuur并延长到点F ，使得 DE ＝ 2EF ，则 AF·BC 的值为 ()5A ．－ 8uuur uuur uuur解析：选 B 如图所示， AF ＝ AD ＋ DF .又 D ，E 分别为 AB ，BC 的中点，且 DEuuur 1 uuur uuur 1 uuur ＋ 1 uuur ＝ 3 uuur uuur 1 uuur ＋ 3 uuur ＝ 2EF ，所以 AD ＝ 2 AB ， DF ＝ 2 AC 4 AC 4 AC ，所以 AF ＝ 2 AB 4 AC .又uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 3 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 3 BC ＝ AC － AB ，则 AF ·BC ＝ 2 AB ＋ 4 AC ·(AC － AB )＝ 2 AB ·AC － 2 AB 2＋ 4uuur3 uuur uuur 3 uuur1 uuur1 uuur uuuruuuruuuruuur uuur 3AC2－AC ·AB ＝ 4 AC2－AB2－AC ·AB .又 | AB | ＝ | AC | ＝ 1，∠ BAC ＝ 60°，故 AF ·BC ＝ －42441－ 1 1＝ 1 2 4× 1× 1× .故选 B.2 8uuuruuur uuur uuuruuur uuur 6．已知△ ABC 为等边三角形， AB ＝ 2，设点 P ，Q 满足 AP ＝ λ ，AQ ＝ (1－ λ) AC ，λ∈ R ，若 BQ ·ABCP ＝－ 3，则 λ＝ ( )2解析：选 A uuur uuur uuur ＝ (1－ λ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur∵ BQ ＝ AQ － AB AC － AB ， ＝ AP － AC ＝ λ － AC ，又 BQ ·CP ABCP ＝－ 3，| uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB | ＝ | AC | ＝ 2，A ＝ 60°， AB ·AC ＝| AB | ·|AC |cos 60 ＝°2，∴ [(1－ λ) AC － AB ] ·(λ2ABuuur3 uuur 2 2 uuur uuur uuur 2 3 23 － AC )＝－，即 λ| AB | ＋ (λ－ λ－ 1) AB ·AC ＋ (1－ λ)| AC | ＝ ，所以 4 λ＋ 2(λ－ λ－ 1)＋ 4(1－ λ)＝ ，2 221解得 λ＝ .2二、填空题7．已知平面向量a ＝ (2,4)，b ＝ (1，－ 2)，若c ＝ a － (a ·b) b ·，则 | c| ＝ ________.解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋ 4×(－ 2)＝－ 6，∴c ＝ a － (a ·b) ·b ＝ a ＋ 6b ＝ (2,4)＋ 6(1，－ 2)＝ (8，－ 8)，∴ | c| ＝82＋ － 8 2＝ 8 2.答案： 8 28．已知向量 a ， b 满足 (2a － b) ·(a ＋ b)＝ 6，且 | a| ＝ 2， | b| ＝ 1，则 a 与 b 的夹角为 ________．解析：∵ (2a － b) ·(a ＋ b)＝ 6，∴ 2a 2＋ a ·b － b 2＝ 6，又 | a| ＝ 2， | b| ＝ 1，∴ a ·b ＝－ 1，∴ cos 〈 a ， b 〉＝a ·b 12π 2π | a|| b| ＝－ 2，又〈 a ， b 〉∈ [0 ， π]，∴ a 与 b 的夹角为 3 .答案： 39．已知 a ＝ (λ， 2λ)， b ＝ (3λ， 2)，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 λ的取值范围是 ________．24 1 1解析： a 与 b 的夹角为锐角，则 a ·b>0 且 a 与 b 不共线，则3λ＋ 4λ>0，，2解得 λ<－ 或 0<λ<或 λ>3332λ－ 6λ≠0， 所以 λ的取值范围是 － ∞，－ 4 ∪ 0， 1 ∪ 1，＋ ∞ .答案： － ∞，－ 4 ∪ 0， 1 ∪1，＋ ∞3 3 33 3 310.如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠ BAD ＝ 60°， M 为 DC 的中点，若 N 为菱形uuuur uuuur内任意一点 (含边界 )，则 AM ·AN 的最大值为 ________．uuuur uuur uuuruuuur uuur ＋ 1 uuur 1 uuur解析：设 AN ＝ λAB ＋ μAD ，因为 N 在菱形 ABCD 内，所以 0≤λ≤ 1,0μ≤ 1AM . ＝ AD 2 DC ＝ 2 AB＋uuuruuuur uuuur1 u uur uuuruuuruuur λuuur＋ μ uuur uuur uuur 2＝ λAD . 所以AM·＝2AB ＋ AD·λ ＋ μ AD ) ＝ 2 AB 2 λ＋2 AB · ＋ μ 2 ×4＋AN( ABADADuuuur uuuuruuuur uuuur λ＋ μ 1＋ 4μ＝ 4λ＋ 5μ.所以 0≤时， AM ·AN 有最大值 9，此时， N2× 2× 2×AM ·AN ≤9，所以当 λ＝ μ＝ 12位于 C 点．答案： 9三、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝2，－2 ， n ＝ (sin x ， cos x)， x ∈ 0， π. 2 22π的值．(1)若 m ⊥ n ，求 tan x 的值；(2)若 m 与 n 的夹角为 3 ，求 x解： (1)若 m ⊥ n ，则 m ·n ＝ 0.由向量数量积的坐标公式得222 sin x － 2 cos x ＝ 0，∴ tan x ＝ 1.ππ1 1 221 ，(2)∵ m 与 n 的夹角为 ，∴ m ·n ＝ | m||n|cos ＝ 1×1×＝ ，即2 sin x － 2 cos x ＝ 233 2 2 ∴ sin x － π 1 .又∵ x ∈ 0， π ，∴ x － π π π π π 5π4 ＝ 2 ∈ － ， 4 ，∴ x － ＝ ，即 x ＝ .2 4 4 4 6 1212．已知在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，向量 m ＝(sin A ， sin B)，n ＝ (cos B ，cos A)，m ·n ＝ sin 2C.(1)求角C 的大小；(2)若sin A ， sin C ， sin B成等差数列，且uuur uuur CA ·(ABuuur－ AC )＝ 18，求边c 的长．解： (1)m ·n ＝ sin A ·cos B ＋ sin B ·cos A ＝ sin(A ＋ B)，对于△ ABC ， A ＋ B ＝ π－ C,0＜ C ＜ π，1π∴ sin(A ＋ B)＝sin C ，∴ m ·n ＝ sin C ，又 m ·n ＝ sin 2C ，∴ sin 2C ＝sin C ， cos C ＝ 2， C ＝ 3.(2)由 sin A ， sin C ， sin B 成等差数列，可得 2sin C ＝ sin A ＋ sin B ，由正弦定理得 2c ＝ a ＋ b.uuur uuur uuur uuur u uur∵ CA ·(AB － AC )＝ 18，∴ CA ·CB ＝ 18，即 abcos C ＝ 18， ab ＝ 36.由余弦定理得c2＝ a2＋ b 2－ 2abcos C＝ (a＋ b)2－3ab，∴ c2＝ 4c2－ 3×36， c2＝ 36，∴ c＝ 6.。