2018高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和教师用书文北师大版
高三数学一轮总复习 第五章 数列 5.4 数列求和课件.ppt
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n
4．一个数列{an}，当 n 是奇数时，an＝5n＋1；当 n 为偶数时，an＝22 ，则这 个数列的前 2m 项的和是__________。
解析：当 n 为奇数时，{an}是以 6 为首项，以 10 为公差的等差数列；当 n 为偶 数时，{an}是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列。所以，S2m＝S 奇＋S 偶＝ma1＋mm2－1 ×10＋a211－－22m
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2 种思路——解决非等差、等比数列求和问题的两种思路 (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往 通过通项分解或错位相减来完成。 (2)不能转化为等差或等比数列的，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和。
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3 个注意点——应用“裂项相消法”和“错位相减法”应注意的问题 (1)裂项相消法，分裂通项是否恰好等于相应的两项之差。 (2)在正负项抵消后，是否只剩下第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后 面也剩下两项，未消去的项有前后对称的特点。 (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比含有参数，应分 q＝1 和 q≠1 两种情况求解。
＝6m＋5m(m－1)＋2(2m－1) ＝6m＋5m2－5m＋2m＋1－2 ＝2m＋1＋5m2＋m－2。 答案：2m＋1＋5m2＋m－2
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5．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 an＝n·2n，则 Sn＝__________。
解析：∵an＝n·2n， ∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n。① ∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1。② ①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝211－－22n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1 ＝(1－n)2n＋1－2。 ∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2。 答案：(n－1)2n＋1＋2
北师大版高考数学一轮总复习6.4《数列求和》ppt课件
5．(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数 列．
(2)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的 形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．
(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应 项相乘构成的数列求和．
(4)倒序相加：例如，等差数列前 n 项和公式的推导方法．
[答案] 1.累加法
2．累积法
3.na12＋an
na1＋nn－2 1d
倒序相加法
na1
a11－qn 1－q
a1－anq 1－q
4
．
(1)
nn＋1 2
(2)n2 ＋ n
(3)n2
nn＋12n＋1
(4)
6
(5)nn＋2 12
基础自测
1.数列{1＋2n－1}的前 n 项和为( )
A．1＋2n
B．2＋2n
C．n＋2n－1
D．n＋2＋2n
[解析] 数列的通项公式为：an＝n＋21n，
Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
12＋14＋18＋…＋21n
＝
nn＋1 2
＋
1－21n＝12(n2＋n＋2)－21n.
利用裂项相消求和
等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和 为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.
在数列{an}中，an＝
1 n＋1
＋
2 n＋1
＋…＋
n n＋1
，又bn＝
an·a2n＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.
[解析] an＝n＋1 1＋n＋2 1＋…＋n＋n 1 ＝1＋2n＋＋…1 ＋n＝n2nn＋＋11＝n2 ∴bn＝an·a2n＋1＝n2·n2＋2 1＝nn8＋1 ＝8(1n－n＋1 1)．
高考数学一轮复习 第五章 数列 5.4 数列求和课件.pptx
{an}的前 n 项和． 2．通项公式为 an＝cbnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比 数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，
Sn＝na12＋an＝_n_a_1_＋__n_n_－2__1__d___.
(2)等比数列的前 n 项和公式： Sn＝naa11－1－，aqqnq＝＝1_a，_11_1－_－_q_q_n_，__q_≠__1_._ 2．倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同 一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项 和公式即是用此法推导的．
1．必会结论 常用求和公式
前 n 个正整数之和 前 n 个正奇数之和
前 n 个正整数的平方和
前 n 个正整数的立方和
1＋2＋…＋n＝nn2＋1 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
nn＋12n＋1 12＋22＋…＋n2＝________6_______
13＋23＋…＋n3＝nn＋2 12
2.必知联系 (1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数 (字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论． (2)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an＋1 的式子应进行合并． (3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后 剩多少项．
(2)由(1)可得 bn＝2n＋n， 所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝211－－2210＋1＋102×10 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.
高考北师大版数学(理)一轮复习课件：第五章 第四节 数列求和
(2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n， 所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n．① 从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1．② ①－②得 －Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1，所以Sn＝(2n－1)2n ＋1＋2．
2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求 解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 4．倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的 推广．
5．错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和， 即等比数列求和公式的推导过程的推广． 6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝ (－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
(2)记 Sn 为{nan}的前 n 项和．由(1)及题设可得 an＝(－2)n－1，所以 Sn＝1 ＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n－1，－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－ 2)n－1＋n×(－2)n． 所以 3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n ＝1－（3－2）n－n×(－2)n． 所以 Sn＝19－（3n＋1）9（－2）n．
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解析：an＝n（n1＋1）＝1n－n＋1 1，Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1＝1－
n＋1 1＝n＋n 1＝22 001290，所以 n＝2 019．
2．已知数列：112，214，318，…，n＋21n，…，则其前 n 项和关于 n 的表 达式为________．
高考数学一轮专项复习讲义-数列求和(北师大版)
§6.5数列求和课标要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法．知识梳理数列求和的几种常用方法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和．①等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .②等比数列的前n 项和公式：S n ，＝a 1－a n q 1－q，q ≠1.(2)分组求和法与并项求和法①分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．②并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．(4)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的裂项技巧①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋2)＝③1(2n －1)(2n ＋1)＝④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝121n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).常用结论常用求和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2.(3)12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.(4)13＋23＋33＋…＋n 3＝n (n ＋1)22.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比q 不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .(√)(2)求数列{2n ＋2n }的前n 项和可用分组求和法．(√)(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时，只要把上式等号两边同时乘a 即可根据错位相减法求得．(×)(4)当n ≥2时，1n 2－1＝1n －1－1n ＋1.(×)2．数列{a n }的前n 项和为S n .若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于()A ．1 B.56C.16D.130答案B 解析因为a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.3．S n ＝12＋12＋38＋…＋n2n 等于()A.2n －n －12n B.2n ＋1－n －22nC.2n －n ＋12n D.2n ＋1－n ＋22n答案B解析由S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①得12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，②①－②得，12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1211－12－n2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1＝2n ＋1－n －22n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－n －22n.4．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝_____.答案9解析S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1×8＝9.题型一分组求和与并项求和例1(2023·重庆模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1＋log 2(a n a n ＋1)(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .解(1)因为S n ＋1＝2S n ＋1，所以S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)，又S 1＋1＝a 1＋1＝2，所以数列{S n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以S n ＋1＝2×2n －1＝2n ，即S n ＝2n －1，当n ≥2时，S n －1＝2n －1－1，所以a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －1＋1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝1成立，故a n ＝2n －1，n ∈N ＋.(2)b n ＝a n a n ＋1＋log 2(a n a n ＋1)＝2n －1·2n ＋log 2(2n －1·2n )＝22n －1＋2n －1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝21＋23＋25＋…＋22n －1＋1＋3＋5＋…＋2n －1＝2(1－4n )1－4＋n (1＋2n －1)2＝23(4n －1)＋n 2.思维升华(1)分组求和法常见题型①若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n}的前n项和．②若数列{c n}的通项公式为c n n ，n为奇数，n，n为偶数，其中数列{a n}，{b n}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{c n}的前n项和．(2)并项求和法常见题型①数列{a n}的通项公式为a n＝(－1)n f(n)，求数列{a n}的前n项和．②数列{a n}是周期数列或a k＋a k＋1(k∈N＋)为定值，求数列{a n}的前n项和．跟踪训练1数列{a n}的前n项和S n满足S n＝a n＋1－1，n∈N＋，且a1＝1.(1)求a n；(2)设b n＝(－1)n(a n－1)，求数列{b n}的前2n项和T2n.解(1)因为S n＝a n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝a2－1，由a1＝1可得a2＝2，当n≥2时，S n－1＝a n－1，作差得S n－S n－1＝a n＋1－1－(a n－1)，即2a n＝a n＋1，n≥2，又a2a1＝2，所以数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a n＝2n－1.(2)由(1)知b n＝(－1)n2n－1－(－1)n，所以b2n＝22n－1－1，b2n－1＝－22n－2＋1，所以b2n－1＋b2n＝4n－1，所以T2n＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2n－1＋b2n)＝1＋4＋…＋4n－1＝1－4n1－4＝4n－13.题型二错位相减法求和例2(12分)(2023·全国甲卷)记S n为数列{a n}的前n项和，已知a2＝1,2S n＝na n.(1)求{a n}的通项公式；[切入点：利用a n＝S n－S n－1(n≥2)找出a n的递推关系](2)n项和T n.[关键点：错位相减法求和][思路分析](1)由a n＝S n－S n－1(n≥2)→a n与a n－1的递推关系→累乘法求a n(2)求b n→错位相减法求T n解(1)因为2S n ＝na n ，当n ＝1时，2a 1＝a 1，即a 1＝0；(1分)当n ＝3时，2(1＋a 3)＝3a 3，即a 3＝2，(2分)当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －1，所以2S n －2S n －1＝na n －(n －1)a n －1＝2a n ，化简得(n －2)a n ＝(n －1)a n －1，(3分)①处利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)找a n 与a n －1的递推关系则当n ≥3时，a n a n －1＝n －1n －2，则a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2＝n －1n －2·n －2n －3·…·21，即an a 2＝n －1，②处累乘法求a n因为a 2＝1，所以a n ＝n －1，(5分)当n ＝1,2时都满足上式，所以a n ＝n －1，n ∈N ＋.(6分)(2)令b n ＝a n ＋12n ＝n2n ，(7分)③处错位相减法求和即T n ＝2－2＋n2n .(12分)思维升华(1)如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，常采用错位相减法．(2)错位相减法求和时，应注意：①在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式．②应用等比数列求和公式时必须注意公比q 是否等于1，如果q ＝1，应用公式S n ＝na 1.跟踪训练2(2023·郑州质检)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，且数列{a n ＋1－a n }为等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求{b n }的前n 项和S n .解(1)因为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，所以a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝4，因为数列{a n ＋1－a n }为等比数列，a 3－a 2a 2－a 1＝2，所以数列{a n ＋1－a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1－a n ＝2n ，所以当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋21＋1＝2n －1，当n ＝1时上式也成立．所以a n ＝2n －1.(2)因为a n ＝2n －1，所以b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)2n －(2n －1)，记数列{(2n －1)2n }的前n 项和为T n ，则T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，两式相减得－T n ＝1×21＋2×(22＋23＋…＋2n －1＋2n )－(2n －1)·2n＋1＝2＋2×22(1－2n －1)1－2－(2n －1)·2n ＋1＝(3－2n )·2n ＋1－6，所以T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6，所以S n ＝T n －[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝T n －n (1＋2n －1)2＝T n －n 2＝(2n －3)·2n ＋1－n 2＋6.题型三裂项相消法求和例3(2022·新高考全国Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1是公差为13的等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n<2.(1)解因为a 1＝1，S1a 1＝1，是公差为13的等差数列，所以S n a n ＝1＋(n －1)×13＝n ＋23，所以S n ＝n ＋23a n .因为当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，所以n ＋13a n －1＝n －13a n (n ≥2)，所以a n a n －1＝n ＋1n －1(n ≥2)，所以a 2a 1·a3a 2·…·a n －1a n －2·a n a n －1＝31×42×53×…·n n －2·n ＋1n －1＝n (n ＋1)2(n ≥2)，所以a n ＝n (n ＋1)2(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，所以a n ＝n (n ＋1)2(n ∈N ＋)．(2)证明因为a n ＝n (n ＋1)2，所以1a n ＝2n (n ＋1)＝所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝…＝思维升华裂项相消法的原则及规律(1)裂项原则一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．跟踪训练3(2024·海口模拟)已知等差数列{a n }，其前n 项和S n 满足S n ＝n 2＋m ，m 为常数．(1)求m 及{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n ＋2S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解(1)由题意，当n ＝1时，a 1＝S 1＝m ＋1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋m －(n －1)2－m ＝2n －1，则a 2＝3，a 3＝5，因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 3＝2a 2，即m ＋1＋5＝2×3，解得m ＝0，则a 1＝1，满足a n ＝2n －1，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)由(1)可得S n ＝n 2，则b n ＝a n ＋2S n S n ＋1＝2n ＋1n 2(n ＋1)2＝1n 2－1(n ＋1)2，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝112－122＋122－132＋…＋1n 2－1(n ＋1)2＝1－1(n ＋1)2＝n 2＋2n (n ＋1)2.课时精练1．已知等差数列{a n }的首项为1，且a n >0，________.在①S 11＝66；②a 3，a 9，9a 3成等比数列；③S n －na n ＝n －n 22，其中S n 是数列{a n }的前n 项和这三个条件中选择一个，补充在横线上，并进行解答．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3n a＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解(1)若选择①：设{a n }的公差为d ，因为S 11＝66，a 1＝1，所以11＋11×102×d ＝66，解得d ＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .若选择②：因为a 3，a 9,9a 3成等比数列，所以a 29＝9a 23，又a n >0，所以a 9＝3a 3，又a 1＝1，设{a n }的公差为d (d >0)，所以1＋8d ＝3(1＋2d )，解得d ＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .若选择③：设{a n }的公差为d ，因为S n －na n ＝n －n 22，所以na 1＋n (n －1)2d －n [a 1＋(n －1)d ]＝n －n 22，又a 1＝1，即n ＋n (n －1)2d －n －n (n －1)d ＝n －n 22d ＝n －n 22，解得d ＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .(2)由(1)知b n ＝3n a＋2a n ＝3n ＋2n .所以T n ＝(3＋2)＋(32＋4)＋…＋(3n ＋2n )，所以T n ＝3＋32＋…＋3n ＋2＋4＋…＋2n ，所以T n ＝3(1－3n )1－3＋(2＋2n )n 2＝3n ＋1－32＋n 2＋n ，所以T n ＝3n ＋1＋2n 2＋2n －32.2．(2024·枣庄模拟)已知数列{a n }的首项a 1＝3，且满足a n ＋1＋2a n ＝2n ＋2.(1)证明：数列{a n －2n }为等比数列；(2)已知b n n ，n 为奇数，2a n ，n 为偶数，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T 10.(1)证明由a n ＋1＋2a n ＝2n ＋2可得a n ＋1－2n ＋1＝2n ＋1－2a n ＝－2(a n －2n )．又a 1－21＝1≠0，所以数列{a n －2n }是以1为首项，－2为公比的等比数列．(2)解由(1)可得a n －2n ＝(－2)n －1，即a n ＝2n ＋(－2)n －1.当n 为奇数时，b n ＝a n ＝2n ＋(－2)n －1＝3×2n －1；当n 为偶数时，b n ＝log 2a n ＝log 2[2n ＋(－2)n －1]＝log 22n －1＝n －1.所以T 10＝(b 1＋b 3＋b 5＋b 7＋b 9)＋(b 2＋b 4＋b 6＋b 8＋b 10)＝(3＋3×22＋3×24＋3×26＋3×28)＋(1＋3＋5＋7＋9)＝3×(1－45)1－4＋(1＋9)×52＝1048.3．(2023·遂宁模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3n(a n ＋1)(a n ＋1＋1)，求数列{b n }的前n 项和T n .解(1)由已知得2S n ＝3a n －1，①当n ＝1时，2S 1＝3a 1－1，即2a 1＝3a 1－1，解得a 1＝1，当n ≥2时，2S n －1＝3a n －1－1，②①－②得2a n ＝3a n －3a n －1，即a n ＝3a n －1，所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝3n (a n ＋1)(a n ＋1＋1)＝3n (3n －1＋1)(3n＋1)＝32×所以T n ＝32×－13＋1＋13＋1－132＋1＋…＋13n －1＋1－＝32×＝34－32(3n ＋1).4．(2023·邢台模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，等差数列{b n }满足b 2＝a 2＋2，b 3＝S 2＋3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .解(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－2＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－2)－(2n －2)＝2n ，当n ＝1时，上式也成立，所以a n ＝2n .由题意得b 2＝a 2＋2＝22＋2＝6，b 3＝2＋4＋3＝9，设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝3，b 1＝b 2－d ＝3，故b n ＝b 1＋(n －1)d ＝3n .综上，a n ＝2n ，b n ＝3n .(2)由(1)知a n b n ＝3n ·2n ，所以T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n －1b n －1＋a n b n＝3×21＋6×22＋9×23＋…＋3(n －1)·2n －1＋3n ·2n ，①2T n ＝3×22＋6×23＋9×24＋…＋3(n －1)·2n ＋3n ·2n ＋1，②所以①－②得，－T n ＝3×(21＋22＋23＋…＋2n －1＋2n)－3n ·2n ＋1＝3×21－2n ＋11－2－3n ·2n ＋1＝(3－3n )·2n ＋1－6，所以T n ＝(3n －3)·2n ＋1＋6.5．(2023·湘潭模拟)在数列{a n }中，a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n n ＋1＝n 2＋n .(1)求{a n }的通项公式；(2)证明：13a 1＋14a 2＋…＋1(n ＋2)a n <18.(1)解因为a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n n ＋1＝n 2＋n ，①则当n ＝1时，a 12＝2，即a 1＝4，当n ≥2时，a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n＝n 2－n ，②①－②得a n n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n (n ＋1)，n ≥2，a 1＝4也满足a n ＝2n (n ＋1)，故a n ＝2n (n ＋1)(n ∈N ＋)．(2)证明因为1(n ＋2)a n ＝12n (n ＋1)(n ＋2)＝12(n ＋1)·1n (n ＋2)＝14(n ＋1)·＝141n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)，所以13a 1＋14a 2＋…＋1(n ＋2)a n ＝1411×2－12×3＋12×3－13×4＋…＋1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)＝1412－1(n ＋1)(n ＋2)<18.6．(2024·洛阳模拟)已知数列{a n }满足数列{a n ＋1－a n }为等比数列，a 1＝1，a 2＝2，且对任意的n ∈N ＋，a n ＋2＝λa n ＋1－2a n (λ≠1)．(1)求实数λ的值及{a n }的通项公式；(2)当n ∈[a k ，a k ＋1)时，b n ＝k (k ∈N ＋)，求数列{b n }的前2n 项和．解(1)设{a n ＋1－a n }的公比为q .∵a n ＋2＝λa n ＋1－2a n ，∴a n ＋2－a n ＋1＝λa n ＋1－2a n －a n ＋1＝(λ－1)a n ＋1－2a n ＝(λ－n ＋1－2λ－1a q (a n ＋1－a n )．∴2λ－1＝1，解得λ＝3，∴q ＝2.又a 2－a 1＝1，∴a n ＋1－a n ＝2n －1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋20＋21＋…＋2n －2＝1＋1－2n －11－2＝2n －1(n ≥2)，当n ＝1时，符合上式，∴{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)当b m ＝k ＝1时，m ∈[1,2)，共2－1＝1项，当b m ＝k ＝2时，m ∈[2,4)，共4－2＝2项，当b m ＝k ＝3时，m ∈[4,8)，共8－4＝4项，…当b m ＝k ＝n 时，m ∈[2n －1,2n )，共2n －2n －1＝2n －1项，又2n b ＝n ＋1，∴{b n }的前2n 项和为1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ·2n －1＋n ＋1.记S n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ·2n －1，则2S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，作差可得－S n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1－2n 1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.因此，数列{b n }的前2n 项和为S n ＋n ＋1＝(n －1)·2n ＋n ＋2.。
近年高考数学一轮复习 第5章 数列 第4节 数列求和课时分层训练 文 北师大版(2021年整理)
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课时分层训练(三十）数列求和A组基础达标(建议用时：30分钟）一、选择题1．数列1错误!，3错误!，5错误!，7错误!，…,（2n－1）＋错误!，…的前n项和S n的值等于( )A．n2＋1－错误!B．2n2－n＋1－错误!C．n2＋1－错误!D．n2－n＋1－错误!A［该数列的通项公式为a n＝（2n－1）＋错误!，则S n＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋错误!＝n2＋1－错误!。
]2．（2016·安徽江南十校3月联考)在数列｛a n}中,a n＋1－a n＝2，S n为｛a n}的前n项和．若S10＝50，则数列｛a n＋a n＋1｝的前10项和为( ）【导学号：66482261】A．100 B．110C．120 D．130C[｛a n＋a n＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10）＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C.]3．(2016·湖北七校2月联考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数,请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ）A．192里B．96里C．48里D．24里B[由题意，知每天所走路程形成以a1为首项,公比为12的等比数列，则错误!＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B。
近年高考数学一轮复习 第5章 数列 第4节 数列求和教师用书 文 北师大版(2021年整理)
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第四节数列求和［考纲传真］ 1.掌握等差、等比数列的前n项和公式。
2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．1．公式法(1)等差数列的前n项和公式：S n＝错误!＝na＋错误!d；1（2)等比数列的前n项和公式：S n＝错误!2．分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．3．裂项相消法（1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．（2）裂项时常用的三种变形：①错误!＝错误!－错误!；②错误!＝错误!错误!；③错误!＝错误!－错误!。
4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．5．倒序相加法如果一个数列{a n｝的前n项中与首末两端等“距离"的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1）n f (n)类型，可采用两项合并求解．例如,S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97）＋…＋（2＋1)＝5 050。
2018北师大版文科数学高考总复习教师用书：6-4数列求
第4讲 数列求和最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．知 识 梳 理1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n ) 2 ＝na 1＋n (n －1)2d . ②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.2．常见的裂项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1)．( )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )(4)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( )解析 (3)要分a ＝0或a ＝1或a ≠0且a ≠1讨论求解． 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．等差数列{a n }中，已知公差d ＝12，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝50，则a 2＋a 4＋…＋a 100＝( ) A ．50 B ．75 C ．100 D ．125解析 a 2＋a 4＋…＋a 100＝(a 1＋d )＋(a 3＋d )＋…＋(a 99＋d )＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋50d ＝50＋50×12＝75. 答案 B3．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( ) A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2 D ．2n ＋n －2解析 S n ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.答案 C4．(教材改编)一个球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是( )A ．100＋200(1－2－9)B ．100＋100(1－2－9)C ．200(1－2－9)D ．100(1－2－9)解析 第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×2－1(1－2－9)1－2－1＝100＋200(1－2－9)． 答案 A5．(教材改编)1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝______(x ≠0且x ≠1)． 解析 设S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1，① 则xS n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，②①－②得：(1－x )S n ＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －1－nx n ＝1－x n 1－x －nx n ， ∴S n ＝1－x n (1－x )2－nx n1－x .答案 1－x n (1－x )2－nx n1－x考点一 分组转化法求和【例1】 (2016·天津卷)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N ＋，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．解 (1)设数列{a n }的公比为q . 由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12， 即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列． 设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n (b 1＋b 2n )2＝2n 2.规律方法 (1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和．(2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．【训练1】 (1)数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( ) A ．n 2＋1－12n B ．2n 2－n ＋1－12n C ．n 2＋1－12n －1 D ．n 2－n ＋1－12n(2)(2017·九江模拟)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 016等于( ) A ．1 008 B ．2 016 C ．504 D ．0解析 (1)该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n . (2)a 1＝cos π2＝0，a 2＝2 cos π＝－2，a 3＝0，a 4＝4，….所以数列{a n }的所有奇数项为0，前2 016项的所有偶数项(共1 008项)依次为－2,4，－6,8，…，－2 014,2 016. 故S 2 016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2 014＋2 016)＝1 008. 答案 (1)A (2)A 考点二 裂项相消法求和【例2】 (2015·全国Ⅰ卷)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． 解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3， 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n3(2n ＋3).规律方法 (1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．(2)将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．【训练2】 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3. (1)求a n ；(2)设b n ＝1S n，求数列{b n }的前n 项和为T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 由题意得⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，(a 1＋7d )－2(a 1＋2d )＝3，解得a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)由(1)得S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (n ＋2)， ∴b n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.考点三 错位相减法求和【例3】 (2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n.求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式． 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎨⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎨⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知，c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1.. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n .得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]． 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]． 两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4(1－2n )1－2－(n ＋1)×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2. 所以T n ＝3n ·2n ＋2.规律方法 (1)一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．【训练3】 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．解 (1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3， 由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12， 从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝ 34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2.所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.[思想方法]非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想1．转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；2．不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和． [易错防范]1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号．3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )A ．120B ．70C ．75D ．100解析 因为S nn ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75.答案 C2．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( ) A ．9 B ．8 C ．17 D ．16解析 S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9. 答案 A3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 答案 B4．(2017·高安中学模拟)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．16解析 根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C. 答案 C5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N ＋)，则S 2 016＝( ) A ．22 016－1 B ．3·21 008－3 C ．3·21 008－1 D ．3·21 007－2解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016) ＝1－21 0081－2＋2(1－21 008)1－2＝3·21 008－3.故选B.答案 B 二、填空题6．(2016·上饶模拟)有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n －1所有项的和为________．解析 由题意知所求数列的通项为1－2n 1－2＝2n －1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .答案 2n ＋1－2－n7．(2016·宝鸡模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.解析 由a n ＋a n ＋1＝12＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ， 则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20，∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21) ＝1＋10×12＝6. 答案 68．(2017·安阳二模)已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________.解析 由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3(1－4n )1－4＝4n －1.答案 4n －1 三、解答题9．(2016·北京卷)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由⎩⎨⎧ b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9得⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝3. ∴b n ＝b 1q n －1＝3n －1，又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27， ∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1,2,3，…)． (2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1. 从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n (1＋2n －1)2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n －12.10．(2017·铜川一模)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N ＋)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1(n ≥2)．故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列．故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N ＋)． (2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . 所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝n ＋1， 因为1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， 所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2(2n ＋2). 能力提升题组(建议用时：20分钟)11．(2016·郑州模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1(n ＋1)n ＋n n ＋1(n ∈N ＋)，其前n 项和为S n ，则在数列S 1，S 2，…，S 2 016中，有理数项的项数为( )A ．42B ．43C ．44D ．45解析 a n ＝1(n ＋1)n ＋n n ＋1＝(n ＋1)n －n n ＋1[(n ＋1)n ＋n n ＋1][(n ＋1)n －n n ＋1]＝n n －n ＋1n ＋1.所以S n ＝1－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－44＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫n n －n ＋1n ＋1＝1－n ＋1n ＋1， 因此S 3，S 8，S 15…为有理项，又下标3,8,15，…的通项公式为n 2－1(n ≥2)，所以n 2－1≤2 016，且n ≥2，所以2≤n ≤44，所以有理项的项数为43.答案 B12．(2017·济南模拟)在数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( )A ．76B ．78C ．80D ．82解析 因为a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，所以a 2－a 1＝1，a 3＋a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5＋a 4＝7，a 6－a 5＝9，a 7＋a 6＝11，…，a 11＋a 10＝19，a 12－a 11＝21，所以a 1＋a 3＝2，a 4＋a 2＝8，…，a 12＋a 10＝40，所以从第一项开始，依次取两个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取两个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，以上式相加可得，S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝(a 1＋a 3)＋(a 5＋a 7)＋(a 9＋a 11)＋(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋(a 10＋a 12)＝3×2＋8＋24＋40＝78. 答案 B13．设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015，则S ＝________. 解析 ∵f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x， ∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x＝1. S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015，① S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015，② ①＋②得，2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＝2 014， ∴S ＝2 0142＝1 007.答案 1 00714．(2015·山东卷)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n 2n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，令n ＝1，得1a 1a 2＝13， 所以a 1a 2＝3.①令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25， 所以a 2a 3＝15.②解①②得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ，所以T n ＝1×41＋2×42＋…＋n ×4n ，所以4T n ＝1×42＋2×43＋…＋n ×4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4(1－4n )1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43. 所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋(3n －1)4n ＋19. 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。
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第四节 数列求和
[考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．
1．公式法
(1)等差数列的前n 项和公式：
S n ＝
＋2
＝na 1＋
－2
d ；
(2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
na1，q ＝1，a1－anq 1－q ＝－
1－q ，q≠1.
2．分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)裂项时常用的三种变形： ①1＋＝1n －1n ＋1； ②1
－＋
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1；
③
1
n ＋n ＋1
＝n ＋1－n.
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解．
5．倒序相加法
如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．
6．并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n
f (n )类型，可采用两项合并求解．
例如，S n ＝1002
－992
＋982
－972
＋…＋22
－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a1－an ＋1
1－q .( )
(2)当n ≥2时，1n2－1＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1－1n ＋1.( )
(3)求S n ＝a ＋2a 2
＋3a 3
＋…＋na n
之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )
(4)如果数列{a n }是周期为k (k 为大于1的正整数)的周期数列，那么S km ＝mS k .( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1＋
，则S 5等于( )
A ．1
B ．56 C.16 D ．130
B [∵a n ＝
1＋
＝1n －1n ＋1
， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5
6
.]
3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( )
A ．9
B ．18
C ．36
D ．72
B [∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4， ∴a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2， ∴S 9＝9b 5＝18，故选B.]
4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n
＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________.
【导学号：66482259】
2
n ＋1
－2＋n 2
[S n ＝
－1－2
＋
＋2n －2
＝2
n ＋1
－2＋n 2
.]
5．3·2－1
＋4·2－2
＋5·2－3
＋…＋(n ＋2)·2－n
＝__________.。