MBA备考：解析几何中的基本公式

MBA 备考：解析几何中的基本公式

1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=

2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++

则：2

2

21B

A C C d +-=

注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++

则P 到l 的距离为：2

2

B

A C

By Ax d +++=

4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：⎩⎨

⎧=+=0

)y ,x (F b

kx y

消y ：02

=++c bx ax ，务必注意.0>∆

若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x

则：2122))(1(x x k AB -+=

5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ，

则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+=+=2221

21y y y x x x

变形后：y

y y y x x x x --=λ--=

λ21

21或

6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα

适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2

11

21tan k k k k +-=

α

若l 1与l 2的夹角为θ，则=

θtan 2

1211k k k k +-，]2,0(π

∈θ

注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角=

2

π

。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

7、 （1）倾斜角α，),0(π∈α；

（2）]0[,π∈θθ→

→，，夹角b a ；

（3）直线l 与平面]2

0[π∈ββα，，的夹角；

（4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2

0[π，，其中l 1//l 2时夹角θ=0；

（5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，， 8、 直线的倾斜角α与斜率k 的关系

a) 每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率。 b) 若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tan α。 9、 直线l 1与直线l 2的的平行与垂直

（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2⇔ k 1=k 2

②l 1⊥l 2⇔ k 1k 2=－1

（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l

若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零

① l 1//l 2⇔

2

1

2121C C B B A A ≠

=； ② l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0； ③ l 1与l 2相交⇔

2

121B B A A ≠ ④ l 1与l 2重合⇔

2

1

2121C C B B A A =

=； 注意：若A 2或B 2中含有字母，应注意讨论字母=0与≠0的情况。

10、

直线方程的五种形式

名称 方程 注意点

斜截式： y=kx+b 应分①斜率不存在 ②斜率存在

点斜式： )( x x k y y -=- （1）斜率不存在： x x =

（2）斜率存在时为)( x x k y y -=- 两点式：

1

21

121x x x x y y y y --=--

截距式：

1=+b

y

a x 其中l 交x 轴于)0,(a ，交y 轴于),0(

b 当直线l 在坐标轴上，截距相等时应分：

（1）截距=0 设y=kx （2）截距=0≠a 设1=+a

y

a x 即x+y=a 一般式： 0=++C By Ax （其中A 、B 不同时为零） 10、确定圆需三个独立的条件

圆的方程 （1）标准方程： 2

2

2

)()(r b y a x =-+-， 半径圆心，----r b a ),(。 （2）一般方程：02

2

=++++F Ey Dx y x ，（)042

2

>-+F E D

,)2

,2(圆心----E

D 2

422F

E D r -+=

11、直线0=++C By Ax 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

若2

2

B

A C Bb Aa d +++=

，0<∆⇔⇔>相离r d

0=∆⇔⇔=相切r d 0>∆⇔⇔<相交r d 12、两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21

条公切线外离421⇔⇔+>r r d 条公切线外切321⇔⇔+=r r d

条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r 条公切线内切121⇔⇔-=r r d 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d

外离 外切