华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案一

《高等数学》（下册）测试题一

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）

1．设有直线

3210

:21030x y z L x y z +++=⎧⎨

--+=⎩

及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ A ）

A ．平行于平面π；

B ．在平面π上；

C ．垂直于平面π；

D ．与平面π斜交.

2．二元函数22

,(,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)xy

x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩

在点(0,0)处（ C ）

A ．连续、偏导数存在；

B ．连续、偏导数不存在；

C ．不连续、偏导数存在；

D ．不连续、偏导数不存在.

3．设()f x 为连续函数，1

()d ()d t

t

y

F t y f x x =

⎰

⎰，则(2)F '＝（ B ）

A ．2(2)f ；

B ．(2)f ；

C ．(2)f -

D ．0.

4．设∑是平面

13

2=++z y

x 由0≥x ，0≥y ，0≥z 所确定的三角形区域，则曲面积分 (326)d x y z S ∑

++⎰⎰＝（ D ）

A ．7；

B ．

2

21

； C ．14； D ．21. 5．微分方程e 1x

y y ''-=+的一个特解应具有形式（ B ）

A ．e x a b +；

B ．e x ax b +；

C ．e x a bx +；

D ．e x ax bx +.

二、填空题（每小题3分，本大题共15分）

1．设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面方程为

2230x y z +-=；

2．设arctan

1x y

z xy

-=+

，则d |z ＝24

dx dy

-； 3．设L 为12

2

=+y x 正向一周，则

2

e d x L

y =⎰

0 ；

4．设圆柱面32

2

=+y x ，与曲面xy z =在),,(000z y x 点相交，且它们的交角为

π

6

，则正

数=

0Z 32

； 5．设一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y =+'有两个线性无关的解21,y y ，若

12y y αβ+也是该方程的解，则应有=+βα 1 .

三、（本题7分）设由方程组e cos e sin u

u

x v

y v ⎧=⎪⎨=⎪⎩确定了u ，v 是x ，y 的函数，求x u ∂∂及x v ∂∂与y v ∂∂.

解：方程两边取全微分，则e cos e sin e sin e cos u u

u u

dx vdu vdv

dy vdu vdv

⎧=-⎪⎨=+⎪⎩

解出2222cos e sin ,,e sin e cos u u

u u xdx ydy du e vdx vdy x y du dv xdy ydx dv vdx vdy x y ----+⎧=+=⎪+⎪

⎨-⎪=-+=⎪+⎩

从而

222222

,,u x v y v x x x y x x y y x y ∂∂-∂===∂+∂+∂+ 四、（本题7分）已知点)1,1,1(A 及点)1,2,3(-B ，求函数()

3ln 32u xy z =-在点A 处沿方向的方向导数.

解：{}21

22,1,2,,,333AB AB ⎧⎫=-=-⎨⎬⎩⎭

2333336,,323232y x z gradu xy z xy z xy z ⎧⎫

-=⎨⎬

---⎩⎭

，{}3,3,6A gradu =- 从而

{}212,,3,3,62147333u

AB ∂⎧⎫

=

-⋅-=++=⎨⎬∂⎩⎭

五、（本题8分）计算累次积分 2

41

1

2211d

e d d e d

x x

y

y x x y x y y y

+⎰

⎰⎰）.

解：依据上下限知，即分区域为

1212,:12,1:24,2

x

D D D D x y D x y =⋃

≤≤≤≤

≤≤≤≤

作图可知，该区域也可以表示为2

:12,2D y y x y ≤≤≤≤

从而

()22

422221

1

2112111d e d d e d d e d e e d x x x

y y y

y y x y x y x y y x y y y

y +==-⎰

⎰⎰⎰⎰⎰

()

()22

22211

e e

2e e e e y

y e =-=---=

六、（本题8分）计算d d d I z x y z Ω

=⎰⎰⎰

，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面1,0==z z 围成的区域.

解：先二后一比较方便，1

11

22

12

2

z

D z I zdz

dxdy z dz πππ⋅==⋅⋅==

⎰

⎰⎰⎰

七．（本题8分）计算

32()d x y z S ++∑

⎰⎰，其中∑是抛物面2

22y x z +=被平面2=z 所截下的有限部分. 解：由对称性

322

d 0,d d x S y S x S ==∑

∑

∑

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

从而22

3

2

22()d ()d ()d 2

x y x y z S z S x y S +++=+=+∑∑∑

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

22

2

220

(2D x y d r

r π

θπ=+=

=⎰⎰⎰⎰⎰

(

4

041115t ππ⎫=+-=+⎪⎪⎝⎭

⎰

八、（本题8分）计算22222(4cos )d cos d L x x x x x x y y y y y +

-⎰，L 是点ππ

(,)22

A 到点(π,2π)

B 在上半平面)0(>y 上的任意逐段光滑曲线.

解：在上半平面)0(>y 上

22232

22322cos cos sin Q x x x x x x x x y y y y y y

⎛⎫∂∂=-=-+ ⎪∂∂⎝⎭ 223223222(4cos )0cos sin P x x x x x x Q

x y y y y y y y y x

∂∂∂=+=-+=∂∂∂且连续， 从而在上半平面)0(>y 上该曲线积分与路径无关，取π

(π,)2

C

22222

22

2

424415(4cos )d cos d 12L AC CB x x x x y y

y ππ

πππππππ=+=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 九、（本题8分）计算

2

22()d d ()d d ()d d x y

y z y z z x z x x y +++++∑⎰⎰，其中∑为半球面

221y x z --=上侧.