(完整)2018年暨南大学高等代数考研真题.docx
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2018 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
****************************************************************************************
学科、专业名称:数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论专业 研究方向: 各方向
考试科目名称:高等代数 考试科目代码: 810
考生注意 : 所有答案必须写在答题纸(卷)上,写在本试题上一律不给分
一、填空题(将题目的正确答案填写在答题纸上。 共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。) 1、设 A 为 3 阶矩阵 , A
1
, 求 (3A) 1
5A * =
。
3
2、当实数 t
时,多项式 x 3 tx
2有重根。
x 1 2x 2 4x 3 0
3、 取值 时,齐次线性方程组 2x 1 (2 ) x 2 x 3 0 有非零解。 x 1 x 2
x 3 0
4、实二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) X T AX x 12 ax 22 2x 32 bx 1 x 3 (b 0) ,其中二次型的矩阵 A
的特征值之和为 1,特征值之积为 -12 ,则 a =
, b = 。
1 2 1 3 。
5、矩阵方程 X
4
2 , 那么 X
3 4
6、已知向量 1
0,0,1
, 2
1 , 1
,0 , 3 1 , 1
,0 是欧氏空间 R 3 的一
2
2
2
2
组标准正交基 , 则向量
2,2,1
在这组基下的坐标为 。
考试科目 : 高等代数
共 4 页 ,第 1 页
7、已知矩阵
A ,
B
均可逆, X
B
,则 X 1
。
A 0
2 2 2 2
0 2 2 2 8、4 阶方阵
的 Jordan 标准形是 。
0 0 2 2 0 0 0 2
9、在欧氏空间 R 3 中,已知
2, 1,1 ,
1, 2,1
,则 与 的夹角为 (内
积按通常的定义)。
2 2 1
10、设三维线性空间 V 上的线性变换
在基 1, 2 , 3 下的矩阵为 0
1 1 ,则 在
2
1
基 2 , 1 , 3 下的矩阵为
。
二、( 10 分)求多项式f ( x) 2x33x22x 3 与 g(x) 3x34x27 的最大公因式。
x a1a1L a1
a2x a2L a2
三、( 10 分)计算行列式D n
M M M 。
M
a n a n L x a n
四、( 15 分)设线性方程组
x1x2x33
x1x2x32
x1x2x32
讨论取何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?在方程组有无穷多解时,试用其导出组的基础解系表示其全部解。
五、( 15 分)设 A 为n
级实对称矩阵,
A2A
的秩等于
r
( 0 r n )。
2, A
(1)证明:存在正交矩阵 T ,使T
1
AT E
0其中 E r是 r 级单位矩阵.
2 r
00
(2)计算A E n。
六、 (15分)设二次型f x1, x2, x 3x122x224x1x24x1x3,求出非退化线性变换将上述二次型替换成标准形
七、 (15分) V 为数域 F 上四维向量空间,10,1,2,1,21, 1,1,1, 31,2, 1,0 ,
47,1,1,3
, V 的子空间V1L1,2,V2L 3 ,4,试求 V1 V2和 V1V2的基与维
数。
八、(15 分)设是线性空间 V 的线性变换且2。令 V1V , V21 0 。
证明 : V V1V2且对每个V1有。
0 22
九、(15 分)设 A 2 3 4 ,求正交矩阵T,使得T T AT是对角矩阵。
2 43
十、( 10 分)设A为方阵,f ( x)是A的最小多项式,g( x)为任意多项式。证明: g ( A) 可逆的充分必要条件是( f ( x ), g ( x )) 1 。
考试科目 : 高等代数共4页,第4页