习题课(无穷级数)讲解材料
无穷级数习题课含解答
无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时， ，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数， 令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛； 其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，， 所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则 ，因为，所以，于是 ，即级数收敛；其绝对值级数为，因为， 所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（ 绝对收敛 ），在处（ 发散 ）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛， 故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1） （2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，， 对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，， 两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得 ， 当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为， 则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得 ，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数； （2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点， 对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1） 对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。
高数 无穷级数习题课
幂级数发散; 当 x > R 时,幂级数发散 幂级数发散
当 x = R与x = − R 时,幂级数可能收敛也可能发散. 幂级数可能收敛也可能发散.
四川职业技术学院数学教研室
第八章 无穷级数 无穷级数
无穷级数习题课
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 称为幂级数的收敛半径 定义: 正数 称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 收敛区间
∞ n= =1
n=1
n
n
∞
n→∞
n
∞
n
∑(u
n=1
∞
性质 3 设两收敛级数 s =
n
∑u ,σ = ∑v ,则级数
n=1 n n=1 n
∞
n= =1
收敛, ± vn )收敛,其和为 s ± σ.
一个级数加上或减少有限项， 性质 4 一个级数加上或减少有限项，不改变级数的 敛散性，但在级数收敛时 级数的和要改变. 敛散性，但在级数收敛时，级数的和要改变.
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第八章 无穷级数 无穷级数
无穷级数习题课
∞
(3)幂级数的运算 (3)幂级数的运算
设 ∑ a n x n 和 ∑ bn x n的收敛半径各为 R1和 R2 ,
∞
R = min{R1 , R2 }
①加减法
∞ ∞ n
n= 0
n= 0
an x ± ∑ bn x = ∑ cn x n . x ∈ (− R, R ) ∑
a n +1 设 lim = ρ (或 lim n a n = ρ ) 或 n→ ∞ n→ ∞ a n
高数 第六章
1 2 1 3 n 1 x ln(1 + x ) = x x + x L + ( 1) +L 2 3 n x ∈ (1,1]
(1 + x)α = 1 +αx +
n
α(α 1)
2!
x +L+
2
α(α 1)L(α n + 1)
n!
xn +L
x ∈(1,1)
二、典型例题
例1
判断级数敛散性: (1)
∑
n=1
∞
n
1 n+ n
1n (n + ) n
1 n
;
1 n
解
n nn n , un = = 1 n 1 n (1 + 2 ) (n + ) n n
1 1 n 1 n2 n Q lim(1 + 2 ) = lim[(1 + 2 ) ] = e 0 = 1; n→ ∞ n→ ∞ n n 1 1 1 n x lim n = lim x = exp{lim ln x } n→ ∞ x →∞ x →∞ x
6、幂级数
(1) 定义
的级数称为幂级数 幂级数. a n ( x x 0 ) n 的级数称为幂级数 ∑
n= 0 ∞
形如
当x0 = 0时,
an xn ∑
n=0
∞
为幂级数系数. 其中a n 为幂级数系数
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 称为幂级数的收敛半径 定义: 正数 称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 收敛区间
n→∞
收 , 其 数 敛 且 和s ≤ u1 ,其 项n 的 对 rn ≤ un+1. 余 r 绝 值
习题课讲义(级数)
第九讲：无穷级数一、 常数项级数 1、 概念与性质：（1） 数列{}n u 中的各项用加号连接的形式：∑∞==++++121n nn uu u u 称为无穷项数项级数，第n 项称为一般项（通项）。
数列∑==ni nn uS 1称为级数∑∞=1n nu的前n 项之和（部分和），若S S n n =∞→lim ，则称级数∑∞=1n nu的和为S ，级数∑∞=1n nu收敛；若n n S ∞→lim 不存在，则称级数∑∞=1n nu发散。
若级数∑∞=1n nu收敛，n n S S r -=称为级数∑∞=1n nu的余项，0lim =∞→n n r 。
例1：判定下列级数的敛散性： ①∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n ： 解：()n n n u n ln 1ln 11ln -+=⎪⎭⎫⎝⎛+=， ()()∞→+=-+++-+-=n n n S n 1ln ln 1ln 2ln 3ln 1ln 2ln ()∞→n ，故∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111ln n n 发散； ②()∑∞=+1!1n n n： 解：()!11!1+-=n n u n ，()()1!111!11!1!31!21!211→+-=+-++-+-=n n n S n ()∞→n ，故()∑∞=+1!1n n n收敛； ③调和级数：∑∞=11n n ； 解：由()n n n n ln 1ln 11ln 1-+=⎪⎭⎫⎝⎛+>，()()∞→+=-+++-+->+++=1ln ln 1ln 2ln 3ln 1ln 2ln 1211n n n nS n ()∞→n ，故级数∑∞=11n n发散。
④几何级数：⎪⎩⎪⎨⎧≥<-⇒∑∞=-1,,1,111q q q aaqn n 发散⑤-p 级数：∑∞=11n pn ()0>p ⎩⎨⎧≤>⇒11p ，p ，发散收敛 （2） 性质：ⅰ、设α、β为常数，若∑∞=1n nu、∑∞=1n nv收敛，则()∑∞=+1n n nv uβα也收敛，且()∑∞=+1n n nv uβα∑∑∞=∞=+=11n n n n v u βα；推论：常数0≠k ，∑∞=1n nku与∑∞=1n nu同敛散；比如：证明级数∑∞=12n n 发散：因为∑∞=12n n 与∑∞=11n n 同敛散，又∑∞=11n n 发散，故级数∑∞=12n n 发散；注意：∑∞=12n n ∑∞=≠112n n，≠⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=1211n n n ∑∑∞=∞=+11211n n nn ； ⅱ、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性； 推论：∑∞=1n nu与∑∞+=1N n nu同敛散；ⅲ、收敛级数“加括号”后所得的级数仍收敛于原来的和；（“加括号”后所得的级数发散，则原级数必发散） 比如：已知()8π121212=-∑∞=k k ，求∑∞=121n n： 解：()()()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=121212212141121211211k k k n k k k k n ， 故()6834121341221212ππ=⨯=-=∑∑∞=∞=k n k n；ⅳ、若级数∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u （若0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n nu发散）比如：由01lim ≠=∞→nn n ，则∑∞=11n nn发散。
word版习题课无穷级数
第十二章 无穷级数章主要内容小结一、数项级数的审敛法1、利用部分和数列的极限判别级数的敛散性；2、正项级数的审敛法 若0lim ≠∞→n n u ，则级数∑∞=1n nu发散；否则由比值法、根值法、比较法及其极限形式判别；对一般项出现阶乘、及n 次幂形式，多用比值法，⎪⎩⎪⎨⎧=><=+∞→，失效，发散收敛11,1lim1ρρρρnn n u u ；对一般项出现n 次幂形式，多用根值法，⎪⎩⎪⎨⎧=><=∞→，失效，发散收敛11,1lim ρρρρn n n u ；对一般项可经缩小与放大处理后化成p 级数或几何级数形式，则用p 级数或几何级数作为比较标准，采用比较法或极限形式，对比值法与根值法中1=ρ的情况，也可用比较法、求部分和法、积分判别法做； 注意：能用比值法判别收敛的级数一定可用根值法判别收敛，因为可以证明当nn n u u 1lim+∞→存在时，n nn u ∞→lim 也存在，且nn n nn n u u u 1limlim+∞→∞→=，反之不一定成立。
3、任意项级数审敛法∑∞=1n nu为收敛级数，若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nu条件收敛；莱布尼兹判别法：01>≥+n n u u ，且0lim =∞→n n u 则交错级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛，且1+≤n n u r 。
（二）求幂级数收敛域的方法1、标准形式的幂级数，先求收敛半径1lim+∞→=n nn a a R ，再讨论R x ±=的敛散性；2、⎩⎨⎧直接用比值法或根值法式通过换元转化为标准形非标准形式的幂级数。
（三）幂级数和函数的求法1、求部分和式的极限；2、初等变换法：分解、直接套用公式；3、在收敛区间内，采用逐项求导与逐项积分的方法，套用公式，再对所求的和作逆运算；4、⎩⎨⎧数，再代值；间接求和：转化成幂级求部分和；直接求和：直接变换，数项级数求和 （四）函数的幂级数和傅立叶级数展开式1、函数的幂级数展开直接展开法：利用泰勒级数；间接展开法：利用已知展式的函数及幂级数的性质；2、函数的傅立叶展开式：系数公式、收敛定理、延拓方法。
习题课讲义(级数
第九讲：无穷级数一、 常数项级数 1、 概念与性质：（1） 数列{}n u 中的各项用加号连接的形式：∑∞==++++121n nn uu u u 称为无穷项数项级数，第n 项称为一般项（通项）。
数列∑==ni nn uS 1称为级数∑∞=1n nu的前n 项之和（部分和），若S S n n =∞→lim ，则称级数∑∞=1n nu的和为S ，级数∑∞=1n nu收敛；若n n S ∞→lim 不存在，则称级数∑∞=1n nu发散。
若级数∑∞=1n nu收敛，n n S S r -=称为级数∑∞=1n nu的余项，0lim =∞→n n r 。
例1：判定下列级数的敛散性： ①∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n ： 解：()n n n u n ln 1ln 11ln -+=⎪⎭⎫⎝⎛+=， ()()∞→+=-+++-+-=n n n S n 1ln ln 1ln 2ln 3ln 1ln 2ln ()∞→n ，故∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111ln n n 发散； ②()∑∞=+1!1n n n： 解：()!11!1+-=n n u n ，()()1!111!11!1!31!21!211→+-=+-++-+-=n n n S n ()∞→n ，故()∑∞=+1!1n n n收敛； ③调和级数：∑∞=11n n ； 解：由()n n n n ln 1ln 11ln 1-+=⎪⎭⎫⎝⎛+>，()()∞→+=-+++-+->+++=1ln ln 1ln 2ln 3ln 1ln 2ln 1211n n n nS n ()∞→n ，故级数∑∞=11n n发散。
④几何级数：⎪⎩⎪⎨⎧≥<-⇒∑∞=-1,,1,111q q q aaqn n 发散⑤-p 级数：∑∞=11n pn ()0>p ⎩⎨⎧≤>⇒11p ，p ，发散收敛 （2） 性质：ⅰ、设α、β为常数，若∑∞=1n nu、∑∞=1n nv收敛，则()∑∞=+1n n nv uβα也收敛，且()∑∞=+1n n nv uβα∑∑∞=∞=+=11n n n n v u βα；推论：常数0≠k ，∑∞=1n nku与∑∞=1n nu同敛散；比如：证明级数∑∞=12n n 发散：因为∑∞=12n n 与∑∞=11n n 同敛散，又∑∞=11n n 发散，故级数∑∞=12n n 发散；注意：∑∞=12n n ∑∞=≠112n n ，≠⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=1211n n n∑∑∞=∞=+11211n n nn ； ⅱ、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性； 推论：∑∞=1n nu与∑∞+=1N n nu同敛散；ⅲ、收敛级数“加括号”后所得的级数仍收敛于原来的和；（“加括号”后所得的级数发散，则原级数必发散） 比如：已知()8π121212=-∑∞=k k ，求∑∞=121n n： 解：()()()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=121212212141121211211k k k n k k k k n ， 故()6834121341221212ππ=⨯=-=∑∑∞=∞=k n k n；ⅳ、若级数∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u （若0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n nu发散）比如：由01lim≠=∞→nn n ，则∑∞=11n nn发散。
第一次知识题课无穷级数高数
n n k1 3k
k
例5 (1)设偶函数f (x)在x=0的某邻域二阶导数连
续，且
f (0)=1，证明级数
[ f ( 1 ) 1]绝对收敛。
n1
n
证明 因为偶函数f (x)在x=0的某邻域有连续的二阶
导数， 故f (0) 0，
且f ( 1 ) f (0) f (0) 1 f (0) ( 1 )2 o( 1 )
(4) (1 cos )
n1
n
ln n
(5)
3
n n1 2
(6)
n1
n cos2 2n
n
3
;
1 cos
lim
n 1,收敛
n
2
2n2
取vn
1 ,收敛 4
n3
un
ncos2 n
3 2n
n 2n
,收敛
an
(7)
(a 0, s 0).
ns
n1
a
lim n
n
un
lim ( n n
n)s
a
从而
当 a 1 时, 原级数收敛；
当a 1 时, 原级数发散；
当 a 1 时,
原
级
数
为
n1
1 ns
,
p
级
数
，
故
当s 1时，收敛：当s 1时，发散。
(8)
un
/ n sin x dx,
0 x1
un 是否收敛？
n1
解：n≥2时，
0 un
/ n sin x dx
0 x1
1
un n ln n (n 1) ln(n 1) un1 (n 1),
10.6_无穷级数习题课
幂级数
收
三角级数
敛
半 泰勒展开式 傅氏展开式
径
R
Rn ( x) 0 满足狄 氏条件
泰勒级数 傅氏级数
数或函数
函数
无穷级数习题课
1、常数项级数
定义
un u1 u2 u3 un
n1
n
级数的部分和 sn u1 u2 un ui
i 1
16
无穷级数习题课
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
定理 2 如果幂级数 an x n 的所有系数an 0,
设
lim an1 n an
n0
(或
lim n
n
an
)
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .
无穷级数习题课
(3)幂级数的运算
a.代数运算性质:
设 an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
R minR1, R2
加减法
an xn bn xn cn xn .
n0
n0
n0
x R, R
2!
n!
x (1,1)
无穷级数习题课
(5) 应用 a.近似计算 b.欧拉公式
eix cos x i sin x,
sin t eit eit , 2i
e it e it
cos t
,
2
无穷级数习题课
8、傅里叶级数
(1) 三角函数系 三角函数系
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（×） （ ×）
n1
n 10
13 o 若
a
2 n
收
敛
,
b
2 n
收
敛
,则
a n bn绝对 收敛 .
（ √）
n1
n1
n1
14 o 若正项级数
u n满足
n1
u n 1 1，则此级数收敛 . （ × ）
un
例： 1 n1 n
un1 n 1 un n1
2. 确定幂级数收敛域
(1)求幂级数
an
8 o 对级数
u n，若有
n1
lim u n1 n un
1 或者
lim
n
n
|
un
|
1,
则级数 u n _必___定__发___散_ . n1
9 o * 绝对收敛级数各项重排
后，新级数
___仍__然___收__敛 __ ，且
. . .
.
其和 ___不__变____.
10 o * 两个绝对收敛级数
u n s ， v n ，则其乘积是新级数
n1
n1
___u _1 _v _1 _ __( _u 1 v _2 _ __u __2 _v _1 _) _ _ _ __( _u _1 _v _n __ u 2 _v _n _ _1 __ _ _ _ _ u _n _v _1 _) _ __ _ _ ,
(2)求幂级数 an ( x x0 )n收敛区间的方法是 _令__y_=__x_–x_0_, ___先__考__虑_ n0 ___n__0a_n_y_n_的 ___收__敛 ___区 __,间 ____再__换__回__x_的__收__敛__区__间_。_____ . .
.
. . . .
3. 函数可展为幂级数的充要条件
时级数收敛。 其和 S ____u_1__ ，余项 | rn | ____u_n_+_1__ .
. .
.
7 o 级数 u n 绝对收敛，是指 n1
级数 u n条件收敛，是指 n1
____若 ___n__1|_un
| 收敛
__________
___ .
__若 ___n_1_|_u__n | 发 ___散 __,___而__n1 u__n__收__敛 __ .
例：
(1)n1
1
n1
n
（ ×）
.
8 o 若
u
n
收
敛
,则
u n收敛 .
（ ×）
n1
n1
9 o
若 u n收敛
n1
,则
1 必发散
n1 u n
.
（√）
10 o
若 u n发散， 则
n1
1 n1 u n
必 收敛
.
（ ×）
11 o
1 n1 ( n 2
0 .0001
)
收敛
.
.
12 o 若 u n 收敛 , 则 u n 收敛 , 且和不变 .
展开成正弦级数和余弦级数； 会用傅立叶级数求某些简单的数项级数的和。
二 典型例题(8个) 三 课堂练习(4个)
.
4 o 级数 1 1 1 1 1 叫 __P__–__级___数_ .
np
n1
2p 3p
np
当 __P__>__1 时 它收敛；当 ___P____1_ 时它发散 .
x
n收
敛
半
径
的
方
法是
求liman1 , 再推得R: ____n ___a_n_____________
n0
_当 _____0_,_R____1_;____当 _____0_,_R _____ _;____当 ___ ____, __R _ __0._.
求它的收敛区间的方法是 _先__求__出_R__, 再___考_虑__端__点__x=_±___R_处_的__敛__散__性__. ;
设f(x)在x0的某邻域内具 导有 数任 ，意 则阶 在该邻 f(x)可展为幂级数 件的 是 :f(x充 )的要 泰条 勒公式中
R n(x) 0(n ).
称 n 0 f n n ( ! x 0 ) ( x x 0 ) n f ( x 0 ) f ( x 0 )x ( x 0 ) f 2 ( ! x 0 ) ( x x 0 ) 2
5 o 判定正项级数敛散性的 方法主要有 _比__较___法_, __比___值__法_,
_根__值___法__ 和 _积___分__法__ 等。 6 o 级数 u1 u 2 u 3 u4 (u n 0, n 1, 2, )叫 __交__错___级___数__.
当它满足条件 1o _u _n __ _u _n _ _1 _(_n _1 _,_2 _,_ __), 2 o ___lni _m__u_n___ 0___
且新级数的和为 ___s____ .
(2) 判断是非 （是：√；非：×, 后者请举反例.）
1 o 若级数 u n 收敛，则 n1
lim
n
u
n
0.
（√）
2 o
若
lim
n
u
n
0，则级数
u n收敛 .
n1
（×）
3 o 若 | u n | 收敛，则
u n收敛 .
（√）
n1
n1
4 o 若 u n 收敛，则 | u n | 收敛 .
2.理解函数项级数的收敛域与和函数的概念；
熟练掌握确定幂级数收敛域的方法；
会求简单的幂级数的和函数；
3.函数可展为幂级数的充要条件；
4. 掌握ex,sinx , cosx , ln(1+x) , (1+x) 的麦克劳林展开式 会用间接法把函数展开成幂级数。
5. 掌握傅立叶级数的收敛定理，熟练地把周期为 2 （或2l )的函数展开成傅立叶级数； 掌握函数延拓思想，会把[0,](或[0,l ] )上的函数
（×）
n1
n1
5 o 若 u n 收敛， v n 发散 , 则 ( u n v n )发散 .
（ √）
n1
n1
n1
√ 6 o 若 u n 发散 , v n 发散 , 则 ( u n v n )可以 收敛 .（
）
.
n1
n1
n1
7 o 若 u n 收敛
n 1
,则
u
2 n
收敛
n1
.
f(nn )(!x0)(xx0)n 为函数 f (x)的泰勒级数。
当x0 0时，称
f n (0) xn f( 0 ) f( 0 ) x f( 0 )x 2 f(n )( 0 )x n
第六部分：无穷级数
第六部分 无穷级数
一 重点与难点
1.无穷级数及其收敛、发散的概念；
无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；
正项级数的比较审敛法及几何级数和 p-级数的收敛性；
正项级数的比值审敛法和根值审敛法；
交错级数的莱布尼茨定理，级数绝对收敛和条件收敛的
概念和判别方法。
(1) 填空(10个)
(2) 判断是非(14个)