高二数学选修不等式和绝对值不等式课件
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高中数学《不等式和绝对值不等式》课件2 新人教A版选修4-5
问题 求证:在表面积一定的长方体中,以正 方体的体积最大. 解：设长方体的三边长 度分别为x、y、z,则长 方体的体积为 而 S 2 xy 2 xz 2 yz
v xyz
x z y
略
例2: 如图，把一块边长是a 的正方形铁 片的各角切 去大小相同的小正方形， 再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖 方底的盒子，问切去的正方形边长是多 小时？才能使盒子的容积最大？
2答案 3答案
基础练习: 2．设 A=1+2x ，B=2x +x ，x∈R 且 x≠1，比较 A，B 的大小.
提示:比较大小,最简单、最有效的方法 是作差→变形→定符号. 变形方法有二种: 一、是分解因式； 二是配方.
4 3 2
解:∵A-B=1+2x4-(2x3+x2)= (2x4 2x3 ) (1 x2 ) = 2x3 ( x 1) (1 x)(1 x) = ( x 1)(2x3 x 1) = ( x 1)( x 1)(2x2 2x 1) 1 2 1 2 = ( x 1) 2( x ) 0 2 2 ∴A>B
基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a + b ≥ 2ab， 当且仅当a = b时等号成立。
2 2
几何解释
b
a b a b
算术平均数不小于几何平均数
当 a、b 为正数时,
ab ≥ ab 则 2
（当且仅当 a = b 时取“=”号）
算术平均数 (a 、b 的)
几何平均数
(a
、b 的)
定理2：（基本不等式） a+b 如果a，b 0，那么 ≥ ab， 2 当且仅当a = b时等号成立。
2 则 3b 2a 的最大值是____.5 2.已知 x 0 ， y 0 ，且 x 2 y 1 ， 1 1 3 2 2 u 的最小值是______________。 则 x y x2 8 ( x 1) 的最小值为______. 3.函数 y x 1 4. 现有两个定值电阻，串联后等效电阻值为 R，并 联后等效电阻值为 r，若 R k r ,则实数 k 的取值 范围是_____.
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式
1
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
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探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
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ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
人教版高中数学选修第一讲---不等式和绝对值不等式ppt课件
如图把实数a，
b作为线段长度， 以a≥b为例，在 正方形ABCD中， AB=a；在正方形 CEFG中，EF=b. 则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.
b
A H
aID G FKbB
J
a
C
b
E
S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正 方形ABCD与正方形CEFG的面积和。 即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时， 两个矩形成为正方形，此时有 a2+b2=2ab。
因为a>0,b>0,c>0，所以2a2+ac+c2>0，故a-c<0,即a<c.
从而a<c<b。当b-c=0，即b=c时，因为bc>a2，
所以b2>a2，即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a=b，
与前面矛盾，故b≠c.所以a<c<b.
作业：
1、求证：
（1）如果a>b, ab>0，那么
(4)如 果a b, c 0, 那 么ac bc; 如 果a b, c 0, a b 0, c d 0, 那么 ac bd . 那 么ac bc. 如果
( 5)如果a b 0, 那么a n b n ( n N , n 2).
n (6)如果 a b 0, 那么 a n b (n N , n 2).
1 1 ; a b
（2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac<bd。
2、设a≥b,c≥d，
求证：ac+bd≥
1 (a+b)(c+d) 2
高二数学人选修课件绝对值三角不等式
03
一元二次绝对值三
角不等式
一元二次绝对值不等式解法
零点分段法
通过找出不等式中绝对值符号内表达式的零点，将数轴分为若干个区间，然后在每个区间内去掉绝对 值符号进行讨论，最后综合各个区间的解得到原不等式的解集。
平方去绝对值法
对于形如$|f(x)|>g(x)$或$|f(x)|<g(x)$的不等式，可以通过平方去掉绝对值符号，转化为一般的不等 式进行求解。但需要注意，平方时可能会扩大或缩小原不等式的解集，因此需要对解集进行检验。
排序不等式
对于两组实数序列{ai}和{bi}，若a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an，b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn， 则有∑ai*bi ≥ ∑aj*bk（其中j, k为任 意排列），当且仅当ai与bi一一对应 时取等号。排序不等式可用于解决一 些与顺序有关的问题。
均值不等式
对于任意正实数a, b，有√(ab) ≤ (a + b)/2 ≤ √[(a^2 + b^2)/2]。均值 不等式可用于解决一些与平均值有关 的问题。
02
一元一次绝对值三
角不等式
一元一次绝对值不等式解法
零点分段法
根据绝对值的定义，将绝对值不 等式转化为分段函数，然后分别 求解每一段的不等式。
几何意义法
利用绝对值的几何意义，将绝对 值不等式转化为数轴上的距离问 题，从而进行求解。
一元一次三角不等式解法
三角函数性质法
利用三角函数的性质，如周期性、奇 偶性、单调性等，将三角不等式转化 为普通的不等式进行求解。
三角函数的单调性
利用三角函数的单调性，可以求解一些简单的三角不等式。例如，对于$sin x geq frac{1}{2}$，由于$sin x$在$[0, frac{pi}{2}]$上单调递增，因此解集为$[2kpi + frac{pi}{6}, 2kpi + frac{5pi}{6}]$（$k in Z$）。
高二数学人选修课件二绝对值不等式与绝对值三角不等式
设函数 f(x) = |2x + 1| + |2x - a| (a > 0)，若 f(x) 的最小值为 6，求 a 的值 及 f(x) 的最大值。
07
课堂小结与课后作业
课堂小结
绝对值不等式的性质和解法
总结了绝对值不等式的基本性质，包括绝对值的非负性、对 称性和三角不等式性质。同时，讲解了绝对值不等式的解法 ，包括零点分段法、几何意义法和绝对值三角不等式法。
绝对值不等式的意义
表示函数f(x)的绝对值与常数a之间的大小关系。
绝对值不等式性质
80%
对称性
若|f(x)|<a，则-a<f(x)<a，即f(x) 的取值范围关于原点对称。
100%
可转化性
绝对值不等式可以转化为分段函 数或一元二次不等式进行求解。
80%
解集连续性
绝对值不等式的解集在数轴上是 连续的区间。
02
01
03
三角不等式具有对称性，即 $|a - b| = |b - a|$。
三角不等式满足传递性，即如果 $|a - b| leq c$ 且 $|b - c| leq d$，则 $|a - c| leq c + d$。
三角不等式可用于证明一些与绝对值相关的不等式， 如柯西不等式等。
三角不等式与绝对值不等式关系
三角不等式是绝对值不等式的 一种特殊形式，它描述了绝对 值之间的数量关系。
通过三角不等式可以推导出一 些重要的绝对值不等式，如 $|a| - |b| leq |a - b|$ 可以推 导出 $|a| leq |b| + |a - b|$。
绝对值不等式和三角不等式在 解决一些数学问题时可以相互ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ转化，利用它们的性质可以简 化问题的求解过程。
高中数学 第一讲不等式和绝对值不等式(1)课件 新人教版选修4
注 ： 一 正 、 二 定 、 三 等 。
第十九页，编辑于星期五：十点 四十三分。
例1: 如图，把一块边长是a的正方形铁 片的各角切 去大小相同的小正方形， 再
把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方 底的盒子，问切去的正方形边长是多小 时？才能使盒子的容积最大？
x
解：依题意有 v=(a-2x)2 x
（0<x<a)
x3
解: ⑵∵ x 3,∴ x 3 0
∴y
2x2
2(x2 9) 18
2x 6
18
x3
x3
x3
= 2(x 3) 18 12 ≥24 x3
当且仅当 2(x 3) 18 即 x 6 时取等号. x3
∴函数 y 2x2 (x 3) 的最小值为 24,且当 x 6 时取得. x3
第十四页，编辑于星期五：十点 四十三分。
即
a1 +a2 +a3 + n
+an,≥n a1
2
3
n
当且仅当a1 =a2 =a3 = =an时,等号成立
第十八页，编辑于星期五：十点 四十三分。
定 理 ： 设 x,y,z都 是 正 数 ， 则 有 1） 若 xyz=s（ 定 值 ） ， 则 当 x=y=z时 ,x+y+z有 最 小 值 33s. 2）若x+y+z=p（定值）， 则当x=y=z时,xyz有最大值2p73.
3
108
ymax y 5
5 1 .5 x108x [
(
2 5
2x) ]3
4
.
2
3
675
当且仅当x
x
2 5
2 x， 即x
2 15
第十九页，编辑于星期五：十点 四十三分。
例1: 如图，把一块边长是a的正方形铁 片的各角切 去大小相同的小正方形， 再
把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方 底的盒子，问切去的正方形边长是多小 时？才能使盒子的容积最大？
x
解：依题意有 v=(a-2x)2 x
（0<x<a)
x3
解: ⑵∵ x 3,∴ x 3 0
∴y
2x2
2(x2 9) 18
2x 6
18
x3
x3
x3
= 2(x 3) 18 12 ≥24 x3
当且仅当 2(x 3) 18 即 x 6 时取等号. x3
∴函数 y 2x2 (x 3) 的最小值为 24,且当 x 6 时取得. x3
第十四页，编辑于星期五：十点 四十三分。
即
a1 +a2 +a3 + n
+an,≥n a1
2
3
n
当且仅当a1 =a2 =a3 = =an时,等号成立
第十八页，编辑于星期五：十点 四十三分。
定 理 ： 设 x,y,z都 是 正 数 ， 则 有 1） 若 xyz=s（ 定 值 ） ， 则 当 x=y=z时 ,x+y+z有 最 小 值 33s. 2）若x+y+z=p（定值）， 则当x=y=z时,xyz有最大值2p73.
3
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ymax y 5
5 1 .5 x108x [
(
2 5
2x) ]3
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当且仅当x
x
2 5
2 x， 即x
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第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常 困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－ ，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ －2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝ ， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b， 求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a
高二下学期数学人教A版选修4-5第一讲含绝对值不等式的解法课件
0
-1 0
34
原不等式的解集是 {x | 1 x 0，或3 x 4}.
解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法2：3 |3 2x | 5 3 | 2x 3 | 5
3 2x 3 5，或 5 2x 3 3
3 x 4，或 1 x 0 .
原不等式的解集是 {x | 1 x 0，或3 x 4}.
解(Ⅰ)得：6/5≤x<2 解(Ⅱ) 得：0<x<6/5
取它们的并集得：（0，2）
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
解： 由绝对值的意义，原不等式转化为： -(6-x)<5x-6<(6-x)
解(Ⅰ)得：0<x<2;
综合得0<x<2
练习 (1) 3x 1 x 2 ;
{x | 1 x 3}
如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就 是 | 3x-1 | >2如何解？
题型一:研究|ax+b|<(>)c型不等式 在 这 里 ， 我 们 只 要 把 ax+b 看 作 是
整体就可以了，此时可以得到：
| ax b | c c ax b c | ax b | c ax b c 或 ax b c
∴原不等式的解集为{x | x<－2或x>－1}.解题总结：1、采 Nhomakorabea了整体换元。
2、归纳型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a(a>0) 不等式的解法。
| f(x)|<a | f(x)|>a
-a<f(x)<a f(x)<-a或f(x)>a
变式例题：型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中