绝对值不等式的解法学习资料
绝对值不等式的解题方法与技巧
绝对值不等式的解题方法与技巧绝对值不等式是指形式为|ax + b| < c或|ax + b| > c的不等式，其中a、b、c为实数且a不等于0。
解绝对值不等式的方法和技巧如下：1. 分类讨论法，对于形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的绝对值不等式，可以根据ax + b的正负情况分别讨论。
当ax + b大于等于0时，即ax + b >= 0，此时不等式化简为ax + b < c或ax + b > c；当ax + b小于0时，即ax + b < 0，此时不等式化简为-(ax + b) < c或-(ax + b) > c。
分别解出这两种情况下的不等式，得到的解集合再取并集即为原不等式的解集合。
2. 图像法，可以将|ax + b|看作一个以点(-b/a, 0)为中心，以c为半径的圆形，|ax + b| < c对应的是圆心到直线ax + b = c的距离小于c的区域，|ax + b| > c对应的是圆心到直线ax + b = c的距离大于c的区域。
通过绘制图像，可以直观地找到不等式的解集合。
3. 代数法，对于形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的绝对值不等式，可以通过代数方法将其转化为一元一次不等式进行求解。
例如，对于|2x 3| < 5，可以分别得到-5 < 2x 3 < 5，进而得到-2 < x < 4，即解集合为(-2, 4)。
4. 绝对值性质法，利用绝对值的性质，如|a| < b等价于-b <a < b，可以将绝对值不等式转化为一元一次不等式进行求解。
总之，解绝对值不等式的方法和技巧有很多种，可以根据具体的不等式形式和题目要求选择合适的方法进行求解，需要灵活运用代数、几何和逻辑推理等知识。
希望以上回答能够帮助到你。
《绝对值不等式及其解法》知识解读
《绝对值不等式及其解法》知识解读1.绝对值不等式的概念一般地,含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.例如||3x >,|1|2x -都是绝对值不等式.知识剖析(1)数轴上表示数a 的点与原点的距离称为数a 的绝对值,记作||a .(2)绝对值不等式||(0)x m m >>的几何意义为数轴上与原点的距离大于m 的点.2.绝对值不等式的解集当0m >时,关于x 的不等式||x m >的解为x m >或x m <-,,因此解集为(,)(,)m m -∞-⋃+∞;关于x 的不等式||x m 的解为m x m -,因此解集为[,]m m -.3.数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式一般地,如果实数,a b 在数轴上对应的点分别为,A B ,即()A a ,()B b ,则线段AB 的长为||AB a b =-,这是数轴上两点之间的距离公式.如果线段AB 的中点M 对应的数为x ,则由AM MB =可知||a x -=||x b -,因此:当a b <时,有a x b <<,从而x a b x -=-,所以2a b x +=. 当a b 时,类似可得上式仍成立.这就是数轴上的中点坐标公式.4.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式||x a <与||x a >的解法.(2)||(0)ax b c c +>和||(0)ax b c c +>型不等式的解法.①||ax b c c ax b c +⇔-+;②||ax b c ax b c +⇔+或ax b c +-.(3)||||(0)-+->型不等式的解法.x a x b c cx a x b c c-+->和||||(0)方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想.方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想.方法三:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.。
绝对值不等式解法
(2)当1 x 2时, 原不等式可化为( x 1) ( x 2) 2,
5 (3)当x 2时, 原不等式可化为x 1 x 2 2, 得x , 2 5 2 x . 2 1 5 综上所述, 原不等式的解集是 , . 2 2
1 2显然成立,1 x 2.
ax b 0 ax b 0 | ax b | c(c 0) 或 ax b c (ax b) c
例1
解不等式|3x-1|≤2
解：原不等式等价于
1 原不等式的解集为{x | x 1} 3
2 3x 1 2 1 x 1 3
练:1. 解不等式|2-3x|≥7 解：原不等式等价于
2 3x 7或2 3x 7
5 x 或x 3 3 5 原不等式的解集为{x | x 或x 3} 3
2.解不等式 | 2 x 5 | 7 x
解：原不等式可化为
2x 5 7 x或2x 5 (7 x)
(2)当 2 x 1时, 原不等式可以化为 ( x 1) ( x 2) 5, 即3 5, 显然不成立,此时无解.
(3)当x 1时, 原不等式可以化为 ( x 1) ( x 2) 5, 解得x 2, x 2. 综上所述原不等式的解集为
, 3 2,
并
（2） x a x b c和 x a x b c 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间讨论法 ③构造函数法
例5
A1 -3
解不等式 x 1 x 2 5
A -2 B B1
1
2
x
解法2(分段讨论法) : (1)当x 2时,原不等式可以化为 ( x 1) ( x 2) 5, 解得x 3, x 3.
绝对值不等式的解法
-3
O -2
2 x
由图象可知原不等式的解集为(− ∞,−3] ∪ [2,+∞ )
（2） − a + x − b ≥ c 和 x − a + x − b ≤ c x 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间法 ③构造函数法
补充练习：解不等式： （1）1<|2x+1|≤3. （2）||x-1|-4|<2. （3）|3x-1|>x+3. 答案：（1）{x|0<x≤1或-2≤x<-1} （2）{x|-5<x<-1或3<x<7}
例1 解不等式|3x-1|≤2 解: 3x − 1 ≤ 2 ⇒ −2 ≤ 3x − 1 ≤ 2
1 ∴− ≤ x ≤ 1 3
例2 解不等式|2-3x|≥7 解:
2 − 3 x ≥ 7 ⇒ 2 − 3 x ≥ 7或2 − 3 x ≤ −7 5 ⇒ x ≤ − 或x ≥ 3 3
|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比较：
x ≥ 2 所以不等式组 的解集是 x −1 + x − 2 < 2 1 5 综上所述 , 原不等式的解集是 , . 2 2
小结: （1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的 解法： ①换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c 型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。 ②分段讨论法： ax + b ≥ 0 ax + b < 0 | ax + b |≤ c(c > 0) ⇔ 或 ax + b ≤ c −(ax + b) ≤ c ax + b ≥ 0 ax + b < 0 或 | ax + b |≥ c(c > 0) ⇔ ax + b ≥ c −(ax + b) ≥ c
绝对值不等式的解法
不等式的解集易得. 注：如果 a ≤ 0 ，不等式的解集易得.
利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式. 利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式
基础练习
解下列不等式： 解下列不等式： （1）2|x|<5 ） （2）|2x|>5 ） （3）|x-1|<5 ） （4）|2x-1|<5 ）
5 5 {x | − < x < } 2 2 5 5 {x | x > 或x < − } 2 2
|ax+b|<c
-c<ax+b<c
并
探索2.不等式| -1|+|x+2|≥5 +2|≥5的解法 探索2.不等式|x-1|+| +2|≥5的解法 2.不等式
方法1：利用绝对值的几何意义， 方法 ：利用绝对值的几何意义，体现了数形结 合的思想． 合的思想．
+2|=5的解为 解:|x-1|+| +2|=5的解为 =-3或x=2 :| -1|+|x+2|=5的解为x= =2
{x | −4 < x < 6} {x | −2 < x < 3}
方法小结
|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比较： 和 型不等式比较： 型不等式比较
类型 化去绝对值后 集合上解的意义区别 {x|ax+b>-c} ∩ {x|ax+b<c}, 交 {x|ax+b<-c}∪ |ax+b|>c ax+b<-c或ax+b>c {x|ax+b>c},
对原不等式两边平方得x2<1 即 x2－1<0 对原不等式两边平方得 即 (x+1)(x－1)<0 即－1<x<1 － 所以，不等式|x|<1的解集为 -1<x<1} 的解集为{x|所以，不等式 的解集为
教学知识点解简单的绝对值不等式
教学知识点解简单的绝对值不等式绝对值不等式是数学中的重要概念之一。
在解决实际问题以及各个学科领域中，都能够广泛地应用到绝对值不等式的知识。
本文将为您详细解析简单的绝对值不等式。
一、绝对值的概念在介绍绝对值不等式之前，我们先来回顾一下绝对值的概念。
绝对值，又称绝对数，是表示一个数到原点的距离，其定义如下：|x| ={x, 若x ≥ 0-x, 若 x < 0}例如，|5| = 5，|-3| = 3，|0| = 0。
绝对值的结果永远是非负数。
二、绝对值不等式的定义绝对值不等式是指一个以绝对值形式表示的不等式。
它包含一个绝对值表达式以及与之相关的等式或不等式关系。
例如，|x| > 3 表示x的绝对值大于3；|x| < 2 表示x的绝对值小于2。
解绝对值不等式是要找出满足不等式的x的取值范围。
三、解绝对值大于的不等式对于绝对值大于的不等式，我们需要将其转化为两个不等式，并解出分别满足这两个不等式的x的取值范围。
举个例子，我们来解一个简单的绝对值大于的不等式：|x| > 3。
首先，我们可以将该绝对值不等式转化为两个不等式：x > 3 或者 x < -3。
对于第一个不等式 x > 3，我们可以得出x的取值范围为x > 3。
这表示x的取值大于3。
对于第二个不等式 x < -3，我们可以得出x的取值范围为x < -3。
这表示x的取值小于-3。
因此，将以上两个解合并，我们可以得出绝对值大于3的不等式的解为x > 3 或者 x < -3。
四、解绝对值小于的不等式对于绝对值小于的不等式，我们同样需要将其转化为两个不等式，并解出分别满足这两个不等式的x的取值范围。
举个例子，我们来解一个简单的绝对值小于的不等式：|x| < 2。
同样地，我们可以将该绝对值不等式转化为两个不等式：-2 < x < 2。
对于不等式 -2 < x < 2，我们可以得出x的取值范围为-2 < x < 2。
1.1.3绝对值不等式的解法
类型 3 引伸：
型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中 “a”用代数式替换，如何解？
例4:解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析：对6-x 符号讨论， 当6-x≦0时,显然无解； 当6-x>0时,转化为-(6-x)<5x-6<(6-x) 解： 由绝对值的意义，原不等式转化为： 6-x≤0 6-x>0 -(6-x)<5x-6<(6-x)
3.不等式 x 4 x 3 a 有解的条件是( B )
1 ( A)0 a 10
( B )a 1
1 (C ) a 10
( D)a 1
4.| x-1 | > 2( x-3)
X<5 X<-1 或 x>1
5.| 2x+1 |> | x+2 |
学习小结: 解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号 转化为一般不等式来处理。 主要方法有： ⑴同解变形法:运用解法公式直接转化 ； ⑵定义法:分类讨论去绝对值符号 ； ①含一个绝对值符号直接分类 ；②含两个或两
3 x 解：由于y 2 是增函数，f(x) 2 2等价于 x 1 x 1 , 2
(1)当x 1时， x 1 x 1 2，上式恒成立
2当 1 x 1 时 ， x 1 x 1 2 x,
3 3 上式化为2x .即 x 1 2 4 3当 x 1 时 ， x 1 x 1 2 ， 上 式 无 解
绝对值不等式的解法
1:形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式的解集
绝对值不等式的解法公开课PPT课件
| f (x) | g(x) g(x) f (x) g(x)
小试身手：
（1）|x2-3|＞2x
解集为{x|x＜1或x＞3}.
x （2） x 2
x x2
解集为{x| -2＜ x＜0}
对于（2）中， “＞”换成“≥”解集变化了吗？如何变化？
例4：解不等式：|x－5|＋|x＋3|≥10.
解法一：
即为原不等式的解集
优点:利于分析最值以及相应的x的取值
变式：1. |x－5|＋|x＋3|≥a恒成立，则a的范围____ 2.方程 |x－5|＋|x＋3|=2a-5有无数解，则a的值为___
例4：解不等式：|x－5|＋|x＋3|≥10.
解法三：由绝对值的几何意义可知，|x－5|＋|x＋3|表示数轴上
复习回顾：|x|的意义：
一个数的绝对值表示：
x X>0
与这个数对应的点到
|x|= 0 X=0
原点的距离,|x|≥0，|x|≥x
- x X<0
x2
B
O
|x1| =|OA|
几何意义
x1
A
X
|x2|=|OB|
|AB|=| x2 -x1 |
代数意义
易得：不等式|x|<a和|x|>a (a>0)的解集。去掉a>0,解集还能这样表示吗？
解集为 ( 10 , 5] [1, 2)
33
3
例3：解不等式| 5x-6 | < 6 – x
解： 由绝对值的意义，原不等式转化为：
6-x>0
(Ⅰ)或
-(6-x)<5x-6<(6-x)
6-x≤0
(Ⅱ)
无解
解(Ⅰ)得：0<x<2; (Ⅱ) 无解 综合得解集{x|0<x<2}
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2
5
x
1解得x
当x x
1时 2 x
1
5得xx
1 解得x 2
2
综上：x (,3] [2,)
零点分段法
求出使绝对值里面的式子等于0的x的值，在数轴上标出并分区间，在各段判 断绝对值里面式子的符号，并去绝对值
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
方法3：构造函数法
解：由原不等式
x 2 x 1 5 0
解得x 1或x 5 3
x (, 5] [1,) 3
[拓展2]解下列不等式.
5x 6 6 x 0
解：由原不等式得 5x 6 6 x 得5x 6 6 x或5x 6 (6 x)
解得：x 0或x 2 x (,0) (2,)
x a x a x a
x a x x a或x a
绝对值不等式的解法
1.绝对值的代数意义:
x
x x
(x 0) (x 0)
2.绝对值的几何意义:
一个数的绝对值表示这个数在数轴上 对应的点到原点的距离.
一、你能用哪些方法解下列方程
或不等式？
（1）│x│＝2
（2）│x│<2
2 x 2
（3）│x│> 2
x 2或x 2
小结1 如果a＞0，下列不等式的解集是
令f (x) x 2 x 1 5 即f (x) 0
y
2
1
2x 6, x 2 f (x) 2,2 x 1
2x 4, x 1
原不等式得解集是 x (,3] [2,)
3 2 0 1 2 x
2
练习：解下列不等式
（3）2x 1 x 1 2
（3）2x 1 x 1 2
x 1 (x 1)
1、当x 2且x 1时，即x 1
2、当x 2且x 1时， 2 x 1 3、当x 2且x 1时，x 2
2
1
4、当x 2且x 1时，x
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
2
1
解：当 (xx22)时 1
x
5得xx
2解得x 3
3
当x 221xx1时5得3
f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)或f (x) g(x)
[拓展]解不等式.
(1)1 2x 1 3
解：由原不等式得
2x 1 3 2x 1 1
Байду номын сангаас
得x
1 x 1或x
2
0
(2) x 9 x 1
解：由原不等式得 x 9 2 x 12 解得x 5 x (5,)
3、f (x) 1 x x 5 (1)解不等式f (x) 2 (2)若f (x) 2m 1 0,求m的范围
1.通过本节课的学习，你学到了什么？ 知识、方法、思想.
2.本节课学完了，你还有什么困惑？
怎么解不等式 x 2 1 x x 1 2 2
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2、f (x) 2x 1 x 4 (1)解不等式f (x) 2 (2)求f (x)的最小值
2、f (x) 2x 1 x 4 (1)解不等式f (x) 2 (2)求f (x)的最小值
3、f (x) 1 x x 5 (1)解不等式f (x) 2 (2)若f (x) 2m 1 0存在实数解,求m的范围
什么？
x a x a x a
x a x x a或x a
如果a≤0，上述结论还成立吗？
成立，所以a R
问题拓展 （1）如果把|x|<2中的x换成“x-1”,
即|x-1|<2如何解？
（2）如果把|x|>2中的x换成“3x-1”, 即|3x-1|>2如何解？
小结2 形如|ax+b|≤c, |ax+b|≥c型
不等式的解法:
ax b c c ax b c
ax b c ax b c或ax b c
解下列不等式. （1）3 2x 5
解：由原不等式得
5 3 2x 5
得33
2x 2x
5 5
解得 1 x 4
x [1,4]
(2) 3x 4 1
解：由原不等式得 3x 4 1或3x 4 1
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
方法2 思考：|x+2|去绝对值符号之后，式子是怎样的？当满足什么条件时是 本身（相反数）？
当x 2 0时，即x 2时， 当x 1 0时，即x 1时，
x2 x2
x 1 x 1
x 2 0时，即x 2时,
x 1 0时，即x 1时，
x 2 (x 2)
1 0 1 2
解得 1 x 0或1 x 2
x (1,0) (1,2)
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
思考：解这个不等式的关键是什么？
如何去掉绝对值符号？
方法1、几何意义
记x对应的点为P
A
B
2
1
x 2 PA , x 1 PB
当x 3或2时，PA PB 5
原不等式得解集是 x (,3] [2,)