解绝对值不等式的解法
高考数学含绝对值的不等式的解法
三 灵与肉
我站在镜子前，盯视着我的面孔和身体，不禁惶惑起来。我不知道究竟盯视者是我，还是被 盯视者是我。灵
魂和肉体如此不同，一旦相遇，彼此都觉陌生。我的耳边响起帕斯卡尔的话 语：肉体不可思议，灵魂更不可思议，最不可思议的是肉体居然能和灵魂结合在一起。 人有一个肉体似乎是一件尴尬事。那个丧子的母亲终于停止哭泣，端起饭碗，因为她饿了。 那个含情脉脉的姑娘不得不离
您一定愿意静静地听这个生命说：'我愿意静静地听您说话…… '我从不愿把您想像成一个思想家或散文家，您不会为此生气吧。 "也许再过好多年之后，我已经老了，那时候，我相信为了年轻时读过的您的那些话语，我 要用心说一声：谢谢您!" 信尾没有落款，只有这一行字："生
命本来没有名字吧，我是，你是。"我这才想到查看信 封，发现那上面也没有寄信人的地址，作为替代的是"时光村落"四个字。我注意了邮戳， 寄自河北怀来。
高三第一轮复习
含绝对值不等式的解法
1、绝对值的意义： 其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离
OA a
a, a 0
a
0,
a
0
a, a 0
2、含有绝对值不等式的解法： （解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）
（1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝
卡尔的话：肉体是奇妙的，灵魂更奇妙，最奇妙的是肉体居然能和灵魂 结合在一起。
四 动与静
喧哗的白昼过去了，世界重归于宁静。我坐在灯下，感到一种独处的满足。 我承认，我需要到世界上去活动，我喜欢旅行、冒险、恋爱、奋斗、成功、失败。日子过得
平平淡淡，我会无聊，过得冷冷清清，我会寂寞。但是，我更需要宁静的独处，更喜欢过一 种沉思的生活。总是活得轰轰烈烈热热闹闹，没有时间和自己待一会儿，我就会非常不安， 好像丢了魂一样。 我身上必定有两个自我。一个好动，什么都要尝试，什么都想经历。另一个喜静，
绝对值不等式的解法
高考必考！绝对值不等式的解法1.绝对值的定义（1）几何意义实数a 在数轴上所对应的点A 到原点O 的距离叫做数a 的绝对值，记作“|a|”。
（2）代数意义⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a 2.不等式的基本性质（1）对称性：如果b a >，那么a b <.（2）传递性：如果b a >且c b >，那么c a >.（3）同向可加性：如果b a >，那么c b c a +>+.（4）乘法单调性：如果b a >且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0<c ，那么bc ac <.3.绝对值三角不等式（1）如果b a ,是实数，那么||b a +≤||||b a +（当且仅当ab ≥0时，“=”成立）.（2）如果b a ,是实数，那么||||b a -≤||b a -≤||||b a +.（当且仅当左侧不等式中ab ≤0时，“=”成立；当且仅当右侧不等式中ab ≥0时，“=”成立）.（3）如果c b a ,,是实数，那么||c a -≤||||c b b a -+-（当且仅当))((c b b a --≥0时，“=”成立）.4.绝对值不等式的解法（1）a x ≤和a x ≥型该型不等式是解决其他绝对值不等式的基础，其他绝对值不等式的求解最终转化为该型不等式得解。
a x a a x <<-⇔≤a x a x ≥⇔≥或a x ≤（2）c b ax ≤+和c b ax ≥+型把b ax +看成一个整体X ，转化为a x ≤和a x ≥型去解。
【例】 解不等式312≤-x . 解：由312≤-x 得：3123≤-≤-x ,解得 21≤≤-x .所以原不等式的解集为}21|{≤≤-x x .（3）c b x a x ≤-+-和c b x a x ≥-+-型（★考点）该型绝对值不等式的解法概括为以下三种：①数形结合思想；②零点分段讨论法；③函数与方程思想。
高中数学绝对值不等式的解法
x c x c c x c
x c x2 c2 x c,或x c
2
题型2: 如果 c 是正数，那么
ax +b c (ax +b) c c ax +b c
2
2
2 2 ax +b c (ax +b) c ax +b c, 或ax +b c ②
例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
方法二：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. 构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即
3 3 作出函数的图象(如图).函数的零点是 , , 2 2
从图象可知当 x 3 或
y 2x 3， x 1, 1 x 1, 1， 2x 3， x 1.
②
-m -n 0 n
①
m
题型3: 形如n＜| ax + b | ＜m
(m＞n＞0)不等式
等价于不等式组
①
n ax b m, 或 m ax b n
| ax b | n | ax b | m
②
题型4: ① |f(x)|<g(x)型不等式
|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x), ② |f(x)|>g(x)型不等式 |f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)
∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
∴ －1＜x＜0
综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 对原不等式两边平方得x2<1
含绝对值的不等式及其解法
含绝对值的不等式及其解法绝对值不等式及其解法。
绝对值不等式是指不等式中含有绝对值的表达式，常见形式为|ax + b| < c 或 |ax + b| > c。
解决这类不等式需要一些特殊的技巧和方法。
首先，我们来看 |ax + b| < c 的不等式。
要解决这个不等式，我们可以将其分解为两个不等式，即 ax + b < c 和 ax + b > -c。
然后分别解这两个不等式，得到的解集合的交集就是原不等式的解集合。
举个例子，假设我们要解决 |3x 2| < 7 的不等式。
首先将其分解为两个不等式，3x 2 < 7 和 3x 2 > -7。
然后分别解这两个不等式，得到 x < 3 和 x > -1。
因此原不等式的解集合为 -1 < x < 3。
接下来，我们来看 |ax + b| > c 的不等式。
对于这种不等式，我们同样可以将其分解为两个不等式，即 ax + b > c 或 ax + b < -c。
然后分别解这两个不等式，得到的解集合的并集就是原不等式的解集合。
举个例子，假设我们要解决 |2x 5| > 3 的不等式。
同样将其分解为两个不等式，2x 5 > 3 和 2x 5 < -3。
然后分别解这两个不等式，得到 x > 4 和 x < 1。
因此原不等式的解集合为 x < 1 或x > 4。
在解决绝对值不等式时，我们需要注意一些特殊情况，比如当c 为负数时，解集为空集；当 a 为零时，不等式简化为一个普通的线性不等式等等。
总的来说，解决绝对值不等式需要将其分解为多个简单的不等式，然后分别解决这些简单的不等式，并将它们的解集合合并或交集，得到原不等式的解集合。
希望这篇文章能够帮助你更好地理解和解决含绝对值的不等式。
初中数学知识归纳解绝对值方程不等式的问题
初中数学知识归纳解绝对值方程不等式的问题绝对值方程和不等式是初中数学中的重要内容，掌握了解题方法和技巧，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将对初中数学中解绝对值方程和不等式的方法进行归纳总结，帮助学生更好地掌握这些知识。
一、绝对值方程的解法绝对值方程一般形式为 |x| = a，其中 a 是一个非负实数。
解绝对值方程的基本思路是根据绝对值的性质将方程拆分成正负两种情况进行求解。
1. 当x≥0 时，|x| = x，此时方程化简为 x = a，解得 x = a。
2. 当 x<0 时，|x| = -x，此时方程化简为 -x = a，解得 x = -a。
因此，绝对值方程 |x| = a 的解为 x = a 或 x = -a。
扩展：绝对值方程 |x + b| = a，其中 a 为非负实数，b 为任意实数。
若a≥0，则 |x + b| = a 的解为 x = -b ± a。
二、绝对值不等式的解法绝对值不等式一般形式为 |x| < a 或 |x| > a，其中 a 是一个正实数。
解绝对值不等式的方法也是根据绝对值性质进行分类讨论。
1. 当x≥0 时，|x| < a 化简为 x < a，解得0 ≤ x < a。
2. 当 x<0 时，|x| < a 化简为 -x < a，解得 x > -a。
综合上述情况，绝对值不等式 |x| < a 的解为 -a < x < a。
3. 当x≥0 时，|x| > a 化简为 x > a 或 x < -a。
4. 当 x<0 时，|x| > a 化简为 -x > a，解得 x < -a。
综合上述情况，绝对值不等式 |x| > a 的解为 x < -a 或 x > a。
扩展：绝对值不等式 |x + b| < a，其中 a 为正实数，b 为任意实数。
带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式通常需要根据绝对值的性质进行分类讨论，然后根据不同情况分别解出不等式。
以下是带有绝对值的不等式的一般解法步骤：
1. 首先，需要确定绝对值内的表达式的符号。
2. 根据表达式的符号，将不等式分成两种情况进行讨论。
3. 对于每种情况，将绝对值符号去掉，并解出不等式。
4. 最后，将两种情况下的解集合并起来，得到最终的解集。
以下是一些常见的带有绝对值的不等式的解法示例：
1. 绝对值不等式：|x|<a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x<a。
当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x<a，即x>-a。
因此，不等式的解集为-a<x<a。
2. 绝对值不等式：|x|>a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x>a。
当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x>a，即x<-a。
因此，不等式的解集为x<-a或x>a。
3. 绝对值不等式：|x-a|<b（其中a、b为常数）
当x\ge a时，|x-a|=x-a，则原不等式可化为x-a<b，即x<a+b。
当x<a时，|x-a|=a-x，则原不等式可化为a-x<b，即x>a-b。
因此，不等式的解集为a-b<x<a+b。
需要注意的是，对于带有绝对值的不等式，解集可能包含零值，也可能不包含零值，具体情况需要根据不等式的具体形式进行讨论。
1。
绝对值不等式的几何解法
绝对值不等式的几何解法绝对值不等式是初等代数中的重要概念，它可以用来解决各种实际问题。
除了代数解法外，我们还可以用几何的方法来解决绝对值不等式问题。
本文将介绍绝对值不等式的几何解法，并通过几个例子来说明其应用。
我们来回顾一下绝对值的几何意义。
对于一个实数a，其绝对值|a|表示a到原点的距离。
因此，当我们遇到一个绝对值不等式时，可以将其转化为距离的关系，从而用几何的方法来解决。
考虑一个简单的例子：|x| < 2。
我们可以将其转化为距离的关系：x到原点的距离小于2。
根据几何直观，我们可以得到一个解集：-2 < x < 2，即x的取值范围在-2和2之间。
类似地，我们可以考虑一个稍复杂的例子：|x - 3| > 4。
我们可以将其转化为距离的关系：x到3的距离大于4。
根据几何直观，我们可以得到两个解集：x < -1或x > 7，即x的取值范围在负无穷到-1以及7到正无穷之间。
通过上述例子，我们可以发现绝对值不等式的几何解法的基本思路：将不等式转化为距离的关系，然后通过对距离进行适当的判断来得到解集。
接下来，我们通过一些实际问题来说明绝对值不等式的几何解法的应用。
问题一：某学校一次考试的平均分为80分，已知不及格分数线为60分。
求及格学生的分数范围。
解法：设及格学生的分数为x，根据平均分的定义，我们可以得到一个绝对值不等式：|x - 80| < 20。
将其转化为距离的关系：x到80的距离小于20。
根据几何直观，我们可以得到一个解集：60 < x < 100，即及格学生的分数范围在60到100之间。
问题二：某车间生产的零件长度在10cm和12cm之间，要求零件的长度误差不超过0.5cm。
求符合要求的零件长度范围。
解法：设零件的长度为x，根据要求，我们可以得到一个绝对值不等式：|x - 11| < 0.5。
将其转化为距离的关系：x到11的距离小于0.5。
绝对值不等式的几何解法
绝对值不等式的几何解法绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，其解法有很多种，其中之一就是几何解法。
几何解法可以帮助我们直观地理解绝对值不等式，并且能够通过图形的分析得到不等式的解集。
本文将介绍绝对值不等式的几何解法，并通过一些例子来说明这种解法的应用。
我们来回顾一下绝对值的定义。
对于任意实数x，其绝对值定义为|x| = x (x≥0)，|x| = -x (x<0)。
绝对值的几何意义是表示一个数到原点的距离。
在解绝对值不等式时，我们首先将绝对值不等式转化为两个不等式，分别考虑x≥0和x<0两种情况。
对于x≥0的情况，绝对值不等式可以简化为不等式本身。
对于x<0的情况，我们需要将绝对值不等式转化为相反的不等式。
例如，对于|2x-1|<3这个绝对值不等式，当x≥0时，不等式可以简化为2x-1<3，解得x<2；当x<0时，不等式可以转化为-(2x-1)<3，解得x>-2。
综合两种情况，我们得到不等式的解集为-2<x<2。
接下来，我们将通过几何解法来解决一个具体的绝对值不等式。
考虑不等式|2x-3|>4，我们首先将其转化为两个不等式。
当2x-3≥0时，不等式可以简化为2x-3>4，解得x>7/2；当2x-3<0时，不等式可以转化为-(2x-3)>4，解得x<-1/2。
综合两种情况，我们得到不等式的解集为x<-1/2或x>7/2。
为了更好地理解这个解集，我们可以通过绘制数轴图来进行几何分析。
首先，我们在数轴上标出x=-1/2和x=7/2两个点，然后在这两个点的左右两侧分别画出实数的区间。
对于x<-1/2，我们可以在x=-1/2的左侧标上一个开口向左的箭头，表示解集为x<-1/2的部分。
对于x>7/2，我们可以在x=7/2的右侧标上一个开口向右的箭头，表示解集为x>7/2的部分。
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解绝对值不等式题型探讨题型一 解不等式2|55|1x x -+<． ［题型1］解不等式2|55|1x x -+<．［思路］利用｜f(x)｜<a(a>0) -a<f(x)<a 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组21551x x -<-+<即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩求解。
［解题］原不等式等价于21551x x -<-+<，即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >，所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<．［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。
2）本题也可用数形结合法来求解。
在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) -g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12}(2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}［收获］形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ①|()f x |<()g x ⇔－()g x <()f x <()g x ②|()f x |>()g x ⇔()f x >()g x 或()f x <－()g x［请你试试4—1］⇔⇔⇔1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234xx -≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4 ① 或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ② 解①得：1-<x<1+解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉. 故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4 解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝（2）分析 不等式可转化为-1≤234xx -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解.原不等式等价于2234xx -≤19x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) x 4-17x 2+16≥0 x 2≤1或x 2≥16-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.第2变 含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。
（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。
［解题］（1）由于|x －1|≥0，|x +a |≥0，所以两边平方后有：|x －1|2<|x +a |2即有2x －2x +1<2x +2ax +2a ，整理得(2a +2)x >1－2a 当2a +2>0即a >－1时，不等式的解为x >12(1－a )； 当2a +2=0即a =－1时，不等式无解；当2a +2<0即a <－1时，不等式的解为x <1(1)2a -（2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5.解：当x ≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3. 当-3<x<2时，原不等式为(2-x)+(x+3)>55>5无解.22⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒当x ≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>52x>4x>2. 综合得：原不等式解集为｛x ｜x>2或x<-3｝.［收获］1）形如|()f x |<|()g x |型不等式此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|()f x |<|()g x |⇔22()()f x g x <⇔[()()][()()]f x g x f x g x +-<02）所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为n+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化［请你试试4—2］1 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1) 解析：易知－1<x <1，换成常用对数得：lg(1)lg(1)||||lg lg x x a a-+> ∴22|lg(1)||lg(1)|x x ->+ 于是22lg (1)lg (1)0x x --+>∴[lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0x x x x -++--+> ∴21lg(1)lg 01xx x-->+ ∵－1<x <1 ∴0<1－2x <1 ∴lg (1－2x )<0∴1lg1xx -+<0 ∴1011x x -<<+解得0<x <12．不等式|x+3|-|2x-1|<2x+1的解集为 。
解：⇒⇒|x+3|-|2x-1|=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<-+≥-)3(4)213(24)21(4x x x x x x∴当21≥x 时124+<-x x ∴x>2当-3<x<21时4x+2<2x +1 ∴723-<<-x当3-≤x 时124+<-xx ∴3-≤x综上72-<x 或x>2故填),2()72,(+∞⋃--∞。
3．求不等式1331log log 13x x+≥-的解集. 解：因为对数必须有意义，即解不等式组 0103x x>⎧⎪⎨>⎪-⎩，解得03x << 又原不等式可化为()33log log 31x x +-≥(1)当01x <≤时，不等式化为()33log log 31x x -+-≥即()33log 3log 3x x -≥∴ 33x x -≥ ∴ 34x ≤综合前提得：304x <≤。
(2)当1<x ≤2时，即()333log log 3log 3x x +-≥.∴ 2330x x -+≤ x ∴∈∅。
(1) 当23x <<时，()333log log 3log 3x x --≥(2) ∴()33x x ≥- ∴94x ≥，结合前提得：934x ≤<。
综合得原不等式的解集为390,,344⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭第3变 解含参绝对值不等式［变题3］解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。
若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。
在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。
［解题］原不等式等价于 3|2|+>-m m x当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或∴333-<+>m x m x 或当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x ≠-6 当03<+m 即3-<m 时， x ∈R［收获］1）一题有多解，方法的选择更重要。
2）形如|()f x |<a ，|()f x |>a (a R ∈)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：① 当a >0时，|()f x |<a ⇔－a <()f x <a ；|()f x |>a ⇔()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x ≠0 ③ 当a <0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x 有意义。
［请你试试4—3］1．解关于x 的不等式：()0922>≤-a a a x x 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。
本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：当()⎩⎨⎧≤--≥⎩⎨⎧≤-≥≥029929222a ax x ax a a x x a x a x 即时，不等式可转化为 a bx a 173+≤≤∴ ⎩⎨⎧≥+-<⎩⎨⎧≤-<<02992)(222a ax x ax a x a ax a x a x 即时不等式可化为当 ]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋃-∞<≤≤∴a a aa x a a x 6173,323,(323故不等式的解集为或。