含绝对值不等式的解法

形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)x＋p的不等式的解法
例5 解不等式|x－1|＋|2－x|>3＋x.
【解】 原不等式变为|x－1|＋|x－2|>3＋x， 当x≥2时，原不等式变为x－1＋x－2>3＋x， 即x>6，∴x>6； 当1≤x<2时，原不等式变为x－1－(x－2)>3 ＋x， 即x<－2， ∴x∈∅；
即|x－4|＋|x－3|≥1.
∴当a>1时，不等式有解．
变式训练 ＋4.
解不等式：|x－1|＋|3x＋5|≤4x
5 解：当 x<－ 时，有－x＋1－3x－5≤4x 3 ＋4， ∴8x≥－8.∴x≥－1， 此时无解． 5 当－ ≤x<1 时，有 3 －x＋1＋3x＋5≤4x＋4， ∴2x≥2.∴x≥1， 此时无解．
当x≥1时，有
x－1＋3x＋5≤4x＋4. ∴4≤4成立， ∴原不等式解集为{x|x≥1}．
5 当 x≥2 时，x－1＋x－2>2，∴x> . 2 1 5 综上，原不等式解集为{x|x< 或 x> }． 2 2 法二：设 y1＝|x－1|＋|x－2|，y2＝2.
－2x＋3 ∴y1＝1 1≤x<2 2x－3 x≥2
x<1 .
其图象如图．
1 5 ∴原不等式的解集为{x|x< 或 x> }． 2 2
a|≥3}，且A∪B＝R，求a的取值范围．
【思路点拨】 化简两个集合，求出解集形 式，通过两解集区间端点的关系求a.
【解】 ∵A＝{x||2－x|<5}＝{x||x－2|<5}＝ {x|－5<x－2<5}＝{x|－3<x<7}；
B＝{x||x＋a|≥3}＝{x|x＋a≥3，或x＋a≤－ 3}＝{x|x≥3－a，或x≤－a－3}， 又A∪B＝R，借助数轴如图所示．
3 原不等式解集为{x|x< }． 5
双向的绝对值不等式
例2 解不等式1<|2－x|≤7.
【思路点拨】 化该不等式．
利用|x|>a与|x|<a的解法来转
|2－x|>1， 【解】 法一： 原不等式可转化为 |2－x|≤7， 2－x>1或2－x<－1， ∴2－x≥－7， 2－x≤7， x<1或x>3， 即x≤9， x≥－5.
∴－5≤x<1 或 3<x≤9. ∴原不等式解集为{x|－5≤x<1 或 3<x≤9}．
法二：原不等式可转化为 －7≤2－x<－1或1<2－x≤7， ∴3<x≤9或－5≤x<1，
∴原不等式解集为{x|－5≤x<1或3<x≤9}．
【名师点评】 本例题是不等式的一种常见 题，第二种解法要比第一种解法更为简 单．也可根据绝对值的意义解题．
【解】 (1)∵f(x)＝|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3) －(x＋2)|＝5， 即f(x)min＝5，∴a<5.
(2)问 题 可 转化 为 a>f(x) 的 某些 值 ，由 题 意 a>f(x)min，同上得a>5.
(3)问题可转化为对一切x∈R恒有 a≤f(x)⇔a≤f(x)min，可知a≤5.
【名师点评】 解关于恒成立问题时注意等 价转化思想的应用． f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.
变式训练3 若不等式|x＋3|－|x－5|<m对 x∈R恒成立，则m的取值范围为________． 解析：|x＋3|－|x－5|≤|x＋3－x＋5|＝8， ∴|x＋3|－|x＋5|的最大值为8， ∴m>8. 答案：(8，＋∞)
【名师点评】 法一关键是找零点，法二关 键是正确作出图象．
变式训练1
解不等式：|x＋2|－|x－1|<2x.
解：原不等式可化为： x>1 ① x＋2－x－1<2x
－2≤x≤1 x＋2＋x－1<2x
或
② ③.
x<－2 或 －x＋2＋x－1<2x
3 解①得：x> ，解②得：x∈∅，解③得： 2 x∈∅. 3 ∴原不等式的解集是{x|x> }． 2
(3)原不等式可化为－5<x2－3x＋1<5，
x2－3x＋1>－5， 即 2 x －3x＋1<5. x∈R， ∴ －1<x<4，
即－1<x<4. ∴原不等式的解集为{x|－1<x<4}．
变式训练1
解不等式|2x－1|<2－3x.
解：原不等式等价为 3x－2<2x－1<2－3x，
2x－1<2－3x， 即 2x－1>3x－2， 5x<3， 得 x<1，
3．解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型 不等式，除分段讨论法外，还可用 函数法或几何意义 (课本上叫做图象法、几 ________________ 何法)．
单向的绝对值不等式
例1
解下列不等式．
(1)|2x＋5|<7.
(2)|2x＋5|>7＋x. (3)|x2－3x＋1|<5.
－a－3≥－3， a 应满足 3－a≤7.
∴－4≤a≤0. ∴a 的取值范围是{a|－4≤a≤0}．
【名师点评】 解此类题，常借助数轴考虑， 把不变的集合固定好，让含参数的集合移动， 使它满足已知条件即可．
形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)a的不等式的求解
例4 解不等式|x－1|＋|x－2|>2.
【思路点拨】 仿照|x|>a，|x|<a的解集形式． 【解】 (1)原不等式等价为 －7<2x＋5<7. ∴－12<2x<2， ∴－6<x<1， ∴原不等式解集为{x|－6<x<1}． (2)由不等式|2x＋5|>7＋x， 可得2x＋5>7＋x或2x＋5<－(7＋x)， ∴x>2或x<－4. ∴原不等式解集为{x|x>2或x<－4}．
(3)当 x≥4 时，原式可转化为 x－4＋x －3<a， a＋7 ∴2x－7<a，∴x< . 2 a＋7 又∵x≥4，∴ >4，∴a>1. 2 综上所述，使不等式有解的条件是 a>1.
法二：设数x、3、4在数轴上对应的点分别 为P、A、B，由绝对值的几何意义，知|PA| ＋|PB|<a成立．又∵AB＝1， ∴数轴上的点到A、B的距离之和大于等于1，
【思路点拨】 可用零点分段讨论，可用图 象法，也可用绝对值几何意义求解．
【解】 法一：令 x－1＝0，∴x＝1. 令 x－2＝0，∴x＝2. ∴当 x<1 时，原不等式可化为 1 1－x＋2－x>2，∴x< ， 2 1 ∴原不等式解集为 x< . 2 当 1≤x<2 时，原不等式可化为 x－1＋2－x>2 不成立．
2．|ax＋b|>c(c>0)型不等式的解法： (1)换元法：令t＝ax＋b，则|t|>c，故 t>c或t<－c ax＋b>c ax＋b<－c ____________ ，即________或__________， 然后再求x，得原不等式的解集．
(2)分段讨论法： |ax＋b|≤c(c>0)⇔
ax＋b≥0 ax＋b<0 或 . ax＋b≤c － ax＋b ≤c __________________________________
当x<1时，原不等式变为－(x－1)－(x－2)>3 ＋x，即x<0，∴x<0.
综上可知，原不等式解集为{x|x<0或x>6}． 【名师点评】 以上例题用的解法叫零点分 段讨论法，含绝对值两个或两个以上的不等 式常用此法．首先找到使每个绝对值等于零 的点，然后分段讨论，再求各段结果的并 集．一般地，n个零点把数轴分成n＋1段．
形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)a恒成立的问题
例6
(1)对任意x∈R，若|x－3|＋|x＋2|>a恒 成立，求实数a的取值范围． (2)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|的解集非 空，求实数a的取值范围． (3)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|在R上无 解，求实数a的取值范围．
【思路点拨】 对(1)来说，a<f(x)对x∈R恒 成立等价于a<f(x)的最小值，求f(x)的最小值， 只需使用含绝对值的重要不等式|x－3|＋|x＋ 2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，求出|x－3|＋|x＋2| 的最小值，则问题获解． 对(2)(3)来说，问题的关键是如何转化，是 求函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|的最大值还是最 小值．
变式训练2
解不等式1<|x－2|≤3.
解：原不等式等价于不等式组 |x－2|>1， ， |x－2|≤3
x<1或x>3， 即 －1≤x≤5，
解得－1≤x<1 或 3<x≤5， 所以原不等式的解集为{x|－1≤x<1 或 3<x≤5}．
含参数的绝对值不等式
例3 已知集合A＝{x||2－x|<5}，B＝{x||x＋
误区警示 求使不等式|x－4|＋|x－3|<a有解的a的取 值范围． 【错解】 ∵|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1.
例
∴|x－4|＋|x－3|有最小值为1.
∴a<1时原不等式有解．
【错因】
“|x－4|＋|x－3|<a有解”理解错．
上述解法是无解的情况．
【自我校正】
法一：(1)当 x≤3 时， 7－a 原式可转化为 4－x＋3－x<a， ∴x> . 2 7－a 又∵x≤3，∴ <3，∴a>1. 2 (2)当 3<x<4 时，原式可转化为 4－x＋x －3<a， ∴a>1.