新编山东省济南市高三数学一模考试试题(理)(含答案)
山东省济南市2022届高三一模数学试题(解析版)
9. 的展开式中，下列结论正确的是（）
A. 展开式共6项B. 常数项为64
C. 所有项的系数之和为729D. 所有项的二项式系数之和为64
【9题答案】
A. 34B. 46C. 50D. 70
【3题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的扇形统计图求出购买的侧柏数量，再按各年级报名人数比求解作答.
【详解】由扇形统计图知，购买的1200棵树苗中，侧柏的数量为 ，
依题意，高一、高二、高三分到的侧柏的棵数比为： ，
所以高三年级应分得侧柏的数量为 .
故选：C
8.已知直线 与直线 相交于点P，点 ，O为坐标原点，则 的最大值为（）
A. B. C. 1D.
【8题答案】【答案】BFra bibliotek【解析】
【分析】根据给定条件求出点P的轨迹，再借助几何图形，数形结合求解作答.
【详解】直线 恒过定点 ，直线 恒过定点 ，
而 ，即直线 与直线 垂直，当P与N不重合时， ， ，
当P与N重合时， ，令点 ，则 ， ，
A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件求出父亲所有可能血型的概率，再分情况求解小明是A型血的概率作答.
【详解】因小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型，则小明父亲的血型可能是AA，AB，BB，它们对应的概率分别为 ，
当小明父亲的血型是AA时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型可能是AA，AB，它们的概率均为 ，
2022年山东省济南市高三一模数学试题
2021年山东省济南市高考第一次模拟考试数学试卷-含答案与解析
2021年山东省济南市高考第一次模拟考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知α∈（0，π），若cosα＝﹣，则tanα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣2．设集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x+1＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．已知单位向量，，满足++＝，则与的夹角为（）A．B．C．D．4．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．5．已知双曲线﹣＝1（m＞0）的渐近线方程为x±y＝0，则m＝（）A．B．C．D．26．函数y＝f（x）在[﹣2π，2π]上的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝sin x+cos x B．f（x）＝|sin x|+cos xC．f（x）＝sin|x|+cos x D．f（x）＝sin|x|+|cos x|7．已知菱形ABCD，AB＝BD＝2，将△ABD沿BD折起，使二面角A﹣BD﹣C的大小为60°，则三棱锥A﹣BCD的体积为（）A．B．C．D．28．设a＝2022ln2020，b＝2021ln2021，c＝2020ln2022，则（）A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在（﹣x）6的展开式中，下列说法正确的是（）A．常数项为160B．第4项的二项式系数最大C．第3项的系数最大D．所有项的系数和为6410．已知函数f（x）＝x3﹣ax+1的图象在x＝2处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（）A．a＝3B．f（x）在x＝﹣1处取得极大值C．当x∈（﹣2，1]时，f（x）∈（﹣1，3]D．f（x）的图象关于点（0，1）中心对称11．1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线．如图，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的擦掉，得到第2个图形，重复上面的步骤，得到第3个图形．这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线．云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”．下列说法正确的是（）A．第4个图形的边长为B．记第n个图形的边数为a n，则a n+1＝4a nC．记第n个图形的周长为b n，则b n＝3•（）n﹣1D．记第n个图形的面积为S n，则对任意的n∈N+，存在正实数M，使得S n＜M12．画法几何的创始人一法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点．直线l的方程为bx+ay﹣a2﹣b2＝0．下列说法正确的是（）A．C的蒙日圆的方程为x2+y2＝3b2B．对直线l上任意点P，•＞0C．记点A到直线l的距离为d，则d﹣|AF2|的最小值为bD．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021年山东省济南市质检一：济南市2020届高三第一次质量检测数学(理)试题附答案
山东省济南市2020届高三第一次质量检测
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈A}，则B＝（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2}C．{0，2，4}D．{1，2}
2．（5分）复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）已知p：2m+4n＜4，q：m+2n＜2，则p是q的（）
A．充分而非必要条件B．必要而非充分条件
第1页（共19页）。
山东省济南市高三一模(数学理)word版
山东省济南市高三一模（数学理）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
共150分，测试时间1。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号，考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集,U=R集合2{|37},{|7100},()A x xB x x x A B=≤<=-+<R则ð=（）A．(),3(5,)-∞+∞B．()[),35,-∞+∞C．(][),35,-∞+∞D．(],3(5,)-∞+∞2．一次选拔运动员，测得7名选手的身高（单位cm）分布茎叶图如图，18 17记录的平均身高为177cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为（）A．5 B．6 C．7 D．83．函数1()tan,{|00}tan22f x x x x x xxππ=+∈-<<<<或的图像为（）0 10 3 x8 94．曲线321y x x x =-=-在处的切线方程为 （ ）A ．20x y ++=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y --=5．已知各项不为0的等差数列23711{},220,n a a a a -+=满足数列{}n b 是等比数列，且7768,b a b b =则=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．166．已知复数11222,34,z z m i z i z =+=-若为实数，则实数m 的值为 （ ）A ．83B ．32C ．—83D ．—327．将函数sin 2cos 2y x x =+的图象向左平移4π个单位，所得图像的解析式是 （ ）A ．cos 2sin 2y x x =+B ．cos 2sin 2y x x =-C ．sin 2cos 2y x x =-D ．cos sin y x x =8．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，则双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为（ ）A ．12y x=± B ．2y x =± C ．4y x =±D ．14y x=±9．在如图所示的程序框图中，如果输入的5n =，那么输出的i= （ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．16πB．8πC．4πD．2π11．设函数()f x定义在实数集上，(2)(),1,()lnf x f x x f x x-=≥=且当时，则有（）A．11()(2)()32f f f<<B．11()(2)()23f f f<<C．11()()(2)23f f f<<D．11(2)()()23f f f<<12．已知椭圆2214xy+=的焦点为F1、F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P，则使得120PF PF⋅<的M点的概率为（）A．3B．3C．3D．12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
2020届山东省济南市高三第一模数学试题(word版含答案)
2020年山东省济南市高三一模数学试题、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分。
某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60 ,每只胳膊的拉力大小均为 400N,则该学生的体重（单位：kg ）约为（参考数据：取重力加速度大小为 g = 10m/s ；J3 1.732 ）5 .方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用。
每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班。
若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚 早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为6 .已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,直线l 过F 且与抛物线交于 A, B 两点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为M,MAF 的角平分线与抛物线的准线交于点P,线段AB 的中点为Q 。
若7 .洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。
在古代传说中有神龟出于洛水， 其甲壳上有图1: “以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图 2所示的九宫格里，九宫格的中1.已知全集U = R,集合2A={X x>x},则 0A = 0,1B. (0,1)C.,1D.2.设复数z=二1 i（其中 i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点所在的象限为B. C. D.第四象限A. f( x) =x+ tanxB. f(x) = x+ sin2x1 .八 C. f (x) = x —sin 2x21D. f(x) = x -cosx 2某方舱医院医疗小组有七名护士,B.C. 戊D.庚B.4C. 6D. 8AB =8,则 PQ”,y= f （x ）的部分图象如图，则D. 8175 f （x ）的解析式可能是4.已知函数的概率是3 .8 .已知直线y= ax+ b b>0）与曲线y= x 有且只有两个公共点 2x 1+ x 2 =A.1B. 0C. 1D. a二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年山东省济南市高考数学一模试卷(理科)(有答案解析)
利用复数代数形式的乘除运算，求出 的坐标得答案．
【解答】
解：∵z= =
，
∴
，
则 在复平面内对应的点的坐标为（
故选 D．
2.答案：A
），位于第四象限．
解析：解：∵全集 U={x||x|＜2}=（-2，2），集合 P={x|log2x＜1}=（0，2） ∴∁UP=（-2，0] 故选：A． 利用补集定义直接求解． 本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20. 某用户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年．如图 1 所示，两 个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装．
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其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期
更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换．若用户在安装净水系统的同时
A. （-2，0]
B. （-2，1]
C. （0，1）
D. [1，2）
3. 已知{an}为等比数列，若 a3=2，a5=8，则 a7=（ ）
A. 64
B. 32
C. ±64
D. ±32
4. 随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭 2018 年全年的收入与 2014 年
全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了
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19. 设 M 是抛物线 E：x2=2py（p＞0）上的一点，抛物线 E 在点 M 处的切线方程为 y=x-1． （1）求 E 的方程； （2）已知过点（0，1）的两条不重合直线 l1，l2 的斜率之积为 1，且直线 l1，l2 分别交抛物线 E 于 A，B 两点和 C，D 两点，是否存在常数 λ 使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|成立？若存在，求出 λ 的 值；若不存在，请说明理由．
山东省济南市2021届新高考数学一模试卷含解析
山东省济南市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++成立，则2414a a a +++=（ ）A ．0B ．5C ．7D ．13【答案】D 【解析】 【分析】根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可. 【详解】由2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++可知：令0x =，得0011a a ⇒==； 令1x =，得012140121411(1)a a a a a a a a =++++++++⇒=；令1x =-，得0123140123142727(2)()()a a a a a a a a a a =-++-++-++⇒=+-+，(2)(1)+得，024********(28)14a a a a a a a a ++++=⇒++++=，而01a =，所以241413a a a +++=.故选：D 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力. 2．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =，则实数a 的值可以为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．2-【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得{|1}A x x =≤-，根据A B R =，即可得出1a ≤-，从而求出结果．【详解】{|},1{|}A x x B x x a =≤-=≥，且A B R =，1a ∴≤-，∴a 的值可以为2-． 故选：D ． 【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．3．若i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数2iz的点是（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H【答案】C 【解析】 【分析】由于在复平面内点Z 的坐标为(1,1)-，所以1z i =-+，然后将1z i =-+代入2iz化简后可找到其对应的点. 【详解】 由1z i =-+，所以22(1)11i i i i i z i==--=--+，对应点G . 故选：C 【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.4．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为（ ）A ．221155x y -=B ．221515x y -=C ．221312y x -=D ．221217y x -=【答案】C 【解析】 【分析】判断出已知条件中双曲线C 的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项. 【详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与x 轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与x 轴的夹角为30°或60°，双曲线C 的渐近线方程为3y x =或3y x =.A 选项渐近线为3y x =，B 选项渐近线为3y x =，C 选项渐近线为12y x =±，D 选项渐近线为3y x =.所以双曲线C 的方程不可能为221312y x -=.故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.5．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断. 【详解】由于0.2110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120.2-==， 1133log 2log 10<=故b a c >>. 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题. 6．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 【答案】B 【解析】 【分析】 易得2i1iz +=-，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知，i i 2z z -=+，所以2i (2i)(1i)13i 13i 1i 2222z ++++====+-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.7．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．54B ．5CD 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线1C 与双曲线2C 有相同的渐近线，列出方程求出m 的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案． 【详解】由双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，2=，解得2m =，此时双曲线221:128x y C -=，则曲线1C 的离心率为c e a ===C ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）A ．B ．4πC ．D ．3π【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱锥底边边长为21，从而底面的中心即为球心. 【详解】 如图所示：因为正四棱锥底边边长为22， 所以2,2OB SB == ，O 到SB 的距离为1SO OBd SB⨯==，同理O 到,,SC SD SA 的距离为1， 所以O 为球的球心， 所以球的半径为：1， 所以球的表面积为4π. 故选：B 【点睛】本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.9．设过抛物线()220y px p =>上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线()280y px p =>交于,A B两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。
2021届山东省济南市高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析
2021届山东省济南市高三第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数（其中为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，复数的虚部为，故选C.2. 若集合，，则的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，充要条件是，是的充分不必要条件，故选D.3. 已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，，故选A.4. 已知椭圆：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】椭圆长轴为，焦点恰好三等分长轴，所以椭圆方程为，故选B.5. 已知正项等比数列满足，与的等差中项为，则的值为（）A. 4B. 2C.D.【答案】A【解析】设公比为，，与的等差中项为，，即的值为，故选A.6. 已知变量，满足约束条件，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】画出表示可行域，如图，由，得；由，得，平移直线，由图知，当经过时，最小值为，当经过时，最大值为，直线为虚线，，即范围是，故选A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7. 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】号与号是全等的等腰直角三角形，设其面积为，可得号板面积为号板面积为号板面积为，则正方形面积为，阴影的面积为，由古典概型概率的公式可得，此点取自阴影部分的概率为，故选C.8. 已知函数的最小正周期为，且，则（）A. 在上单调递减B. 在上单调递增C. 在上单调递增D. 在上单调递减【答案】D【解析】，因为函数的最小正周期为，所以，，又因为，所以是函数的对称轴，所以在上不是单调函数，排除；由可得，，，可排除，故选D.9. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出，的值分别为（）A. 13，21B. 34，55C. 21，13D. 55，34【答案】B【解析】执行程序框图，；；；，结束循环，输出，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10. 设函数，则使得成立的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，，在上递减，是偶函数，在上递增，等价于，两边平方化为，的范围是，故选C.11. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】渐近线方程与直线，联立可得的坐标为，由，可得的坐标为，将点坐标代入双曲线方程，可得，化为，，即双曲线的离心率为,故选B.12. 设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的零点是方程即的解，的零点是是方程，即的解，即是与与交点的横坐标，可得，的图象与关于对称，的图象也关于对称，关于对称，设关于对称点与重合，，，的取值范围是,故选D.【方法点睛】本题主要考查函数的零点、反函数的性质，函数零点问题主要有以下思路：(1)直接法，函数图象与横轴的交点横坐标；(2)转化为方程解的问题；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点问题，二是转化为的交点问题 .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，，若与平行，则实数的值是__________．【答案】2【解析】，，与平行，，，所以，解得，故答案为.14. 某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆.则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由两个底面重合的半圆锥组成，圆锥的底面半径为，高为，所以组合体的体积为，故答案为.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.15. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含项的系数为__________．【答案】-48【解析】令，可得的展开式中各项系数的和为，得，展开式的系数，即是展开式中的与系数的和，展开式通项为，令，得，令，得，将与，分别代入通项，可得与的系数分别为与原展开式的系数为，故答案为............................16. 如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：原点处标数字0，记为；点处标数字1，记为；点处标数字0，记为；点处标数字-1，记为；点处标数字-2，记为；点处标数字-1，记为；点处标数字0，记为；点处标数字1，记为；…以此类推，格点坐标为的点处所标的数字为（，均为整数），记，则__________．【答案】-249【解析】设坐标为，由归纳推理可知，，第一圈从点到点共个点，由对称性可得；第二圈从点到共个点由对称性可得，第圈共有个点，这项和也为零，设在第圈，则，可得前圈共有个数，，，所在点坐标为，，所在点坐标为，，，，可得，，故答案为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（1）证明：；（2）若，且的面积为，求.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）由，根据正弦定理可得，利用两角和的正弦公式展开化简后可得，所以，；（2）由，根据余弦定理可得，结合（1）的结论可得三角形为等腰三角形，于是可得，由，解得.试题解析：（1）根据正弦定理，由已知得：，展开得：，整理得：，所以，.（2）由已知得：，∴，由，得：，，∴，由，得：，所以，，由，得：.18. 如图1，在高为6的等腰梯形中，，且，，将它沿对称轴折起，使平面平面.如图2，点为中点，点在线段上（不同于，两点），连接并延长至点，使.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）由题设知，，两两垂直，所以可以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求出，，根据数量积为零可证明，，根据线面垂直的判定定理可得结果；（2）利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面平面的法向量，结合平面的法向量为，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解析：（1）由题设知，，两两垂直，所以以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设的长度为，则相关各点的坐标为，，，，，.∵点为中点，∴，∴，，，∵，，∴，，且与不共线，∴平面.（2）∵，，∴，则，∴，.设平面的法向量为，∵，∴，令，则，，则，又显然，平面的法向量为，设二面角的平面角为，由图可知，为锐角，则.【方法点晴】本题主要考查利用空间向量证明线面垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.表1：设备改造后样本的频数分布表（1）完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品．．．进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品．．．．中的频率．．．．代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望.附：0.150 0.100 0.050 0.025 0.0102.072 2.7063.841 5.024 6.635【答案】(1) 有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关(2)见解析【解析】试题分析：（1）根据直观图以及表格中所给数据，可完成列联表；根据列联表，利用公式可得，与临界值比较可得结果；（2）根据图和表可知，利用古典概型概率公式可得设备改造前产品为合格品的概率约为，设备改造后产品为合格品的概率约为，比较合格率的大小即可得结果；（3）随机变量的取值为：，，，，，根据独立事件的概率公式计算出各随机变量对应的概率，可得分布列，利用期望公式可得结果.试题解析：（1）根据图3和表1得到列联表：设备改造前设备改造后合计合格品172 192 364不合格品28 8 36合计200 200 400将列联表中的数据代入公式计算得：.∵，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.（2）根据图和表可知，设备改造前产品为合格品的概率约为，设备改造后产品为合格品的概率约为；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优.（3）由表1知：一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为.由已知得：随机变量的取值为：，，，，.，，，，.∴随机变量的分布列为：240 300 360 420 480∴.【方法点睛】本题主要考查频率分布直方图、古典概型概率公式以及独立性检验与离散型随机变量的分布列与期望，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）20. 在平面直角坐标系中，抛物线：，直线与抛物线交于，两点.（1）若直线，的斜率之积为，证明：直线过定点；（2）若线段的中点在曲线：上，求的最大值.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）直线的方程为，由，得：，根据韦达定理及斜率公式可得，得，∴直线的方程为，直线过定点；（2）设，则，，代入抛物线方程可得，由，可得，结合，利用弦长公式可得.试题解析：设，，（1）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由，得：，，，，，由已知：，所以，∴直线的方程为，所以直线过定点.（2）设，则，，将带入：得：，∴.∵，∴，∴，又∵，∴，故的取值范围是：.，将代入得：，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.21. 已知函数有两个不同的零点.（1）求的取值范围；（2）设，是的两个零点，证明：.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性，结合函数草图可筛选出符合题意的的取值范围；（2）构造函数设，，可利用导数证明∴，∴，于是，即，在上单调递减，可得，进而可得结果.试题解析：（1）【解法一】函数的定义域为：.，①当时，易得，则在上单调递增，则至多只有一个零点，不符合题意，舍去.②当时，令得：，则+ 0 -增极大减∴.设，∵，则在上单调递增.又∵，∴时，；时，.因此：（i）当时，，则无零点，不符合题意，舍去.（ii）当时，，∵，∴在区间上有一个零点，∵，设，，∵，∴在上单调递减，则，∴，∴在区间上有一个零点，那么，恰有两个零点.综上所述，当有两个不同零点时，的取值范围是.（1）【解法二】函数的定义域为：.，①当时，易得，则在上单调递增，则至多只有一个零点，不符合题意，舍去.②当时，令得：，则+ 0 -增极大减∴.∴要使函数有两个零点，则必有，即，设，∵，则在上单调递增，又∵，∴；当时：∵，∴在区间上有一个零点；设，∵，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴，∴，则，∴在区间上有一个零点，那么，此时恰有两个零点.综上所述，当有两个不同零点时，的取值范围是.（2）【证法一】由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时，是增函数；当时，是减函数；不妨设：，则：；设，，则：.当时，，∴单调递增，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，在上单调递减，∴，∴.（2）【证法二】由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时，是增函数；当时，是减函数；不妨设：，则：；设，，则.当时，，∴单调递增，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，，在上单调递减，∴，∴.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于，两点，求的值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）将参数方程利用代入法消去参数可得直线的普通方程，将曲线的极坐标方程两边同乘以利用即可得曲线的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理及直线参数方程的几何意义可得结果. 试题解析：（1）由已知得：，消去得，∴化为一般方程为：，即：：.曲线：得，，即，整理得，即：：.（2）把直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程中得：，即，设，两点对应的参数分别为，，则，∴.23. [选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）求不等式的解集；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得不等式的解集；（2）分三种情况讨论当时，；当时，；当时，，综上，实数的取值范围为.试题解析：（1）当时，，∴，故；当时，，∴，故；当时，，∴，故；综上可知：的解集为.（2）由（1）知：，【解法一】如图所示：作出函数的图象，由图象知，当时，，解得：，∴实数的取值范围为.【解法二】当时，恒成立，∴，当时，恒成立，∴，当时，恒成立，∴，综上，实数的取值范围为.。
济南市高三数学一模试卷
济南市高三数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确选项的字母填入答题卡的相应位置。
）1. 设函数f(x)=x^2-2x+3，若f(a)=f(b)，则a+b的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=15，S_10=55，则a_6+a_7+a_8+a_9+a_10的值为（）A. 40B. 45C. 50D. 553. 已知复数z满足|z|=1，且z^2+z+1=0，则z的值是（）A. 1B. -1C. iD. -i4. 在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，且a^2+b^2=c^2，则△ABC是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定5. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+1，若f(x)在x=1处取得极值，则该极值是（）A. 0B. 1C. 2D. 36. 已知向量a=(2,3)，向量b=(4,-1)，则|a+b|的值为（）A. √10B. √13C. √17D. √217. 已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=9，点A(2,3)，则点A到圆心的距离是（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知函数y=x^2-6x+5，若y≥0，则x的取值范围是（）A. (-∞,1]∪[5,+∞)B. (-∞,1)∪[5,+∞)C. [1,5]D. (1,5)9. 设等比数列{a_n}的首项为1，公比为2，若a_1+a_2+a_3+...+a_8=255，则a_9的值为（）A. 256B. 512C. 1024D. 204810. 已知函数f(x)=x^3-3x，若f'(x)=0，则x的值为（）A. 0B. ±1C. ±√3D. ±√2二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
请将答案直接填入答题卡的相应位置。
2020-2021学年度山东省济南市高考第一次模拟考试数学(理)试题及答案
高考模拟考试 理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数11212i i+++（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．35B ．35i C ．35- D ．35i - 2.若集合{|12}A x x =<<，{|,}B x x b b R =>∈，则A B ⊆的一个充分不必要条件是（ ） A ．2b ≥ B ．12b <≤ C ．1b ≤ D ．1b <3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，则（ ）A ．4x =，22s <B ．4x =，22s >C ．4x >，22s <D ．4x >，22s >4.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）A ．2213632x y += B ．22198x y += C ．22195x y +=D ．2211612x y += 5.已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．12 D ．146.已知变量x ，y 满足约束条件40221x y x y --≤⎧⎪-≤<⎨⎪≤⎩，若2z x y =-，则z 的取值范围是（ ）A ．[5,6)-B ．[5,6]-C ．(2,9)D ．[5,9]-7.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．18B ．14 C ．316 D ．388.已知函数()sin()f x x ωϕ=+3cos()x ωϕ++0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出M ，N 的值分别为（ ）A ．13，21B ．34，55C ．21，13D ．55，34 10.设函数212()log (1)f x x =+112x++，则使得()(21)f x f x ≤-成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞B ．[1,)+∞C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U11.设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，延长1F M 与双曲线的右支相交于点N ，若13MN F M =u u u u r u u u u r，则此双曲线的离心率为（ ）A ．132 B ．53 C ．43D ．263 12.设1x ，2x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则124x x +的取值范围是（ ）A ．[4,)+∞B ．(4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(1,1)a =r ，(2,)b x =r，若a b +r r 与3a b -r r 平行，则实数x 的值是．14.某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为23，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆.则该几何体的体积为．15.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含4x 项的系数为．16.如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签： 原点处标数字0，记为0a ；点(1,0)处标数字1，记为1a ； 点(1,1)-处标数字0，记为2a ；点(0,1)-处标数字-1，记为3a ； 点(1,1)--处标数字-2，记为4a ；点(1,0)-处标数字-1，记为5a ； 点(1,1)-处标数字0，记为6a ；点(0,1)处标数字1，记为7a ； …以此类推，格点坐标为(,)i j 的点处所标的数字为i j +（i ，j 均为整数），记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，则2018S =．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2b A a B c -=. （1）证明：tan 3tan B A =-；（2）若2223b c a bc +=+，且ABC ∆的面积为3，求a .18.如图1，在高为6的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，且6CD =，12AB =，将它沿对称轴1OO 折起，使平面1ADO O ⊥平面1BCO O .如图2，点P 为BC 中点，点E 在线段AB 上（不同于A ，B 两点），连接OE 并延长至点Q ，使//AQ OB .（1）证明：OD ⊥平面PAQ ；（2）若2BE AE =，求二面角C BQ A --的余弦值.19.2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.表1：设备改造后样本的频数分布表 质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]频数4369628324改造有关；设备改造前设备改造后合计 合格品 不合格品 合计（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品．．．进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合．．格品中的频率．．．．．．代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望. 附：20()P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.6352()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：24x y =，直线l 与抛物线1C 交于A ，B 两点.（1）若直线OA ，OB 的斜率之积为14-，证明：直线l 过定点； （2）若线段AB 的中点M 在曲线2C ：214(2222)4y x x =--<<上，求AB 的最大值. 21.已知函数2()ln (21)f x a x x a x =-+-()a R ∈有两个不同的零点. （1）求a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x a +>.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P 的直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11PM PN+的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()222f x x x =--+. （1）求不等式()6f x ≥的解集；（2）当x R ∈时，()f x x a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围.2018年济南市高考数学模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5: CDABA 6-10: ACDBC 11、12：BD 二、填空题 13. 214. 315. -48 16. -249 三、解答题 17.【解析】（1）根据正弦定理，由已知得：sin cos cos sin B A B A -2sin 2sin()C A B ==+， 展开得：sin cos cos sin B A B A -2(sin cos cos sin )B A B A =+， 整理得：sin cos 3cos sin B A B A =-，所以，tan 3tan B A =-.（2）由已知得：222b c a +-=，∴222cos 2b c a A bc+-===， 由0A π<<，得：6A π=，tan A =，∴tan B = 由0B π<<，得：23B π=，所以6C π=，a c =， 由12sin23S ac π=212==，得：2a =.18.【解析】（1）【解法一（几何法）】取1OO 的中点为F ，连接AF ，PF ；∴//PF OB ， ∵//AQ OB ，∴//PF AQ ，∴P 、F 、A 、Q 四点共面， 又由图1可知1OB OO ⊥， ∵平面1ADO O ⊥平面1BCO O ， 且平面1ADO O I 平面11BCO O OO =， ∴OB ⊥平面1ADO O ， ∴PF ⊥平面1ADO O ， 又∵OD ⊂平面1ADO O ， ∴PF OD ⊥.在直角梯形1ADO O 中，1AO OO =，1OF O D =，1AOF OO D ∠=∠，∴1AOF OO D ∆≅∆，∴1FAO DOO ∠=∠，∴190FAO AOD DOO AOD ∠+∠=∠+∠=o， ∴AF OD ⊥.∵AF PF F =I ，且AF ⊂平面PAQ ，PF ⊂平面PAQ ， ∴OD ⊥平面PAQ .（1）【解法二（向量法）】由题设知OA ，OB ，1OO 两两垂直，所以以O 为坐标原点，OA ，OB ，1OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ 的长度为m ，则相关各点的坐标为(0,0,0)O ，(6,0,0)A ，(0,6,0)B ，(0,3,6)C ，(3,0,6)D ，(6,,0)Q m .∵点P为BC中点，∴9 (0,,3)2P，∴(3,0,6)OD=u u u r，(0,,0)AQ m=u u u r，9(6,,3)2PQ m=--u u u r，∵0OD AQ⋅=u u u r u u u r，0OD PQ⋅=u u u r u u u r，∴OD AQ⊥u u u r u u u r，OD PQ⊥u u u r u u u r，且AQuuu r与PQuuu r不共线，∴OD⊥平面PAQ.（2）∵2BE AE=，//AQ OB，∴132AQ OB==，则(6,3,0)Q，∴(6,3,0)QB=-u u u r，(0,3,6)BC=-u u u r.设平面CBQ的法向量为1(,,)n x y z=u r，∵11n QBn BC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r，∴630360x yy z-+=⎧⎨-+=⎩，令1z=，则2y=，1x=，则1(1,2,1)n=u r，又显然，平面ABQ的法向量为2(0,0,1)n=u u r，设二面角C BQ A--的平面角为θ，由图可知，θ为锐角，则12126cosn nn nθ⋅==⋅u r u u ru r u u r19.【解析】（1）根据图3和表1得到22⨯列联表：设备改造前设备改造后合计合格品172 192 364 不合格品28 8 36合计200 200 40022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2400(172828192)20020036436⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12.210≈.∵12.210 6.635>，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. （2）根据图3和表1可知，设备改造前产品为合格品的概率约为1724320050=，设备改造后产品为合格品的概率约为1922420025=；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优. （3）由表1知： 一等品的频率为12，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为12； 二等品的频率为13，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为13； 三等品的频率为16，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为16. 由已知得：随机变量X 的取值为：240，300，360，420，480.240P X =（）1116636=⨯=，300P X =（）12111369C =⨯⨯=，360P X =（）1211115263318C =⨯⨯+⨯=，420P X =（）12111233C =⨯⨯=，480P X =（）111224=⨯=.∴随机变量X 的分布列为：∴240300369E X =⨯+⨯（）3604204804001834+⨯+⨯+⨯=. 20.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，（1）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，由24x y y kx m⎧=⎨=+⎩，得：2440x kx m --=， ()2160k m ∆=+>，124x x k +=，124x x m =-，1212OA OBy y k k x x ⋅⋅=⋅2212121144x xx x ⋅=⋅12164x x m⋅==-， 由已知：14OA OB k k ⋅=-，所以1m =， ∴直线l 的方程为1y kx =+，所以直线l 过定点(0,1). （2）设()00,M x y ，则12022x x x k +==，2002y kx m k m =+=+， 将()00,M x y 带入2C：214(4y x x =--<<得： 22124(2)4k m k +=-，∴243m k =-.∵0x -<，∴2k -<k <<，又∵()216k m ∆=+22216(43)32(2)0k k k =+-=->，∴k <<，故k的取值范围是：(k ∈.AB ==243m k =-代入得：AB =22≤=当且仅当2212k k+=-，即2k =±所以AB 的最大值为. 21.【解析】 （1）【解法一】函数()f x 的定义域为：(0,)+∞.'()221a f x x a x =-+-(21)()x a x x+-=， ①当0a ≤时，易得'()0f x <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增， 则()f x 至多只有一个零点，不符合题意，舍去. ②当0a >时，令'()0f x =得：x a =，则max 极大. 设()ln 1g x x x =+-，∵1'()10g x x=+>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增. 又∵(1)0g =，∴1x <时，()0g x <；1x >时，()0g x >. 因此：（i ）当01a <≤时，max ()()0f x a g a =⋅≤，则()f x 无零点， 不符合题意，舍去.（ii ）当1a >时，max ()()0f x a g a =⋅>， ∵12()(1)f a e e =-2110e e --<，∴()f x 在区间1(,)a e上有一个零点， ∵(31)ln(31)f a a a -=-2(31)(21)(31)a a a --+--[ln(31)(31)]a a a =---， 设()ln h x x x =-，(1)x >，∵1'()10h x x=-<， ∴()h x 在(1,)+∞上单调递减，则(31)(2)ln 220h a h -<=-<， ∴(31)(31)0f a a h a -=⋅-<，∴()f x 在区间(,31)a a -上有一个零点，那么，()f x 恰有两个零点. 综上所述，当()f x 有两个不同零点时，a 的取值范围是(1,)+∞. （1）【解法二】函数的定义域为：(0,)+∞.'()221a f x x a x =-+-(21)()x a x x+-=， ①当0a ≤时，易得'()0f x <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增， 则()f x 至多只有一个零点，不符合题意，舍去. ②当0a >时，令'()0f x =得：x a =，则max 极大.∴要使函数()f x 有两个零点，则必有()(ln 1)0f a a a a =+->，即ln 10a a +->，设()ln 1g a a a =+-，∵1'()10g a a=+>，则()g a 在(0,)+∞上单调递增， 又∵(1)0g =，∴1a >； 当1a >时： ∵12()(1)f a e e =-2110e e--<， ∴()f x 在区间1(,)a e上有一个零点； 设()ln h x x x =-， ∵11'()1xh x x x-=-=，∴()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， ∴()(1)10h x h ≤=-<，∴ln x x <，∴2()ln (21)f x a x x a x =-+-22(21)3ax x a x ax x x ≤-+-=--23(3)ax x x a x ≤-=-， 则(4)0f a <，∴()f x 在区间(,4)a a 上有一个零点， 那么，此时()f x 恰有两个零点.综上所述，当()f x 有两个不同零点时，a 的取值范围是(1,)+∞. （2）【证法一】由（1）可知，∵()f x 有两个不同零点，∴1a >，且当(0,)x a ∈时，()f x 是增函数； 当(,)x a ∈+∞时，()f x 是减函数； 不妨设：12x x <，则：120x a x <<<； 设()()(2)F x f x f a x =--，(0,2)x a ∈， 则：'()'()'(2)F x f x f a x =--2(21)2a ax a x a x=-+-+-2(2)(21)a x a --+- 22()22(2)a a x a x a x x a x -=+-=--. 当(0,)x a ∈时，'()0F x >，∴()F x 单调递增，又∵()0F a =， ∴()0F x <，∴()(2)f x f a x <-， ∵1(0,)x a ∈，∴11()(2)f x f a x <-， ∵12()()f x f x =，∴21()(2)f x f a x <-，∵2(,)x a ∈+∞，12(,)a x a -∈+∞，()f x 在(,)a +∞上单调递减， ∴212x a x >-，∴122x x a +>. （2）【证法二】由（1）可知，∵()f x 有两个不同零点，∴1a >，且当(0,)x a ∈时，()f x 是增函数； 当(,)x a ∈+∞时，()f x 是减函数； 不妨设：12x x <，则：120x a x <<<； 设()()()F x f a x f a x =+--，(0,)x a ∈， 则'()'()'()F x f a x f a x =++-2()(21)a aa x a a x a x=-++-++-2()(21)a x a --+- 222()()a a x a x a x a x a x =+-=+-+-. 当(0,)x a ∈时，'()0F x >，∴()F x 单调递增， 又∵(0)0F =，∴()0F x >，∴()()f a x f a x +>-， ∵1(0,)a x a -∈，∴12()()f x f x =11(())(())f a a x f a a x =--<+-1(2)f a x =-， ∵2(,)x a ∈+∞，12(,)a x a -∈+∞，()f x 在(,)a +∞上单调递减， ∴212x a x >-，∴122x x a +>. 22.【解析】（1）由已知得：11222x t y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去t得21)y x -=-，20y -+-=， 即：l20y -+=.曲线C ：4sin ρθ=得，24sin ρρθ=，即224x y y +=，整理得22(2)4x y +-=，即：C ：22(2)4x y +-=.（2）把直线l的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程中得：221(1))42t ++=，即230t t +-=， 设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则121213t t t t +=-⎧⎨⋅=-⎩，∴11 PM PN+1212PM PN t tPM PN t t++==⋅⋅21212121212()4t t t t t tt t t t-+-⋅==⋅⋅13=.23.【解析】（1）当2x≤-时，()4f x x=-+，∴()646f x x≥⇒-+≥2x⇒≤-，故2x≤-；当21x-<<时，()3f x x=-，∴()636f x x≥⇒-≥2x⇒≤-，故xφ∈；当1x≥时，()4f x x=-，∴()646f x x≥⇒-≥10x⇒≥，故10x≥；综上可知：()6f x≥的解集为(,2][10,)-∞+∞U.（2）由（1）知：4,2()3,214,1x xf x x xx x-+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，【解法一】如图所示：作出函数()f x的图象，由图象知，当1x=时，13a-+≤-，解得：2a≤-，∴实数a的取值范围为(,2]-∞-.【解法二】当2x≤-时，4x x a-+≥-+恒成立，∴4a≤，当21x-<<时，3x x a-≥-+恒成立，∴2a≤-，当1x≥时，4x x a-≥-+恒成立，∴2a≤-，综上，实数a的取值范围为(,2]-∞-.。
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山东省济南市高三数学一模考试试题 理
本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A ，B 独立，那么P(AB)=P(A)·P(B)．
第I 卷(共50分)
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
(1)设集合{}20,41=3x A x B x x A B x -⎧⎫=≤=-≤≤⋂⎨⎬+⎩⎭
，则 (A)[－3，1] (B)[－4，2] (C)[－2，1] (D)(－3，1]
(2)若复数z 满足)=4i z i ⋅，其中i 为虚数单位，则z=
(A) 1i i (D) 1
(3)中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展
了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如右图．若规定得分
不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的
学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号．根据
该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学
生中获得“诗词能手”称号的人数为
(A)2 (B)4 (C)5 (D)6
(4)
在1,60ABC AC BC B ∆===o 中，，则ABC ∆的面积为
(B)2
(C) (5)若变量x ，y 满足约束条件20,0,3220.x y y x y z x x y +≥⎧⎪-≤=⎨-⎪-+≥⎩
则的最小值等于 (A) 4- (B) 2- (C) 18
- (D)0 (6)设x ∈R ，若“()1x a a R -<∈”是“220x x +->”的充分不必要条件，则a 的取值范围是
(A) (][),32,-∞-⋃+∞
(B) ()[),32,-∞-⋃+∞ (C) ()32-， (D)[－3，2]
(7)我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是．他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的
猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面
为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分．如果“牟
合方盖”的主视图和左视图都是圆，则其俯视图形状为
(8)若110a b
>>，有四个不等式：①33a b <；②21log 3log 3a b ++>
<；④3322a b ab +>．则下列组合中全部正确的为
(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①④
(9)已知O 为坐标原点，F 是双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 做x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ，连结PB 交
y
轴于点E ，连结AE 交QF 于点M ，若M 是线段QF 的中点，则双曲线C 的离心率为
(A) 2 (B) 52 (C) 3 (D) 72
(10)设函数()22,0,11,22,0.
ax x x f x x ax x x ⎧+≥⎪⎡⎤=∈-⎨⎢⎥-+<⎣⎦⎪⎩当时恒有()()f x a f x +<，则实数a 的取值范围是
(A) 11,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
(B) 11,2⎛+- ⎝⎭
(C) ⎫⎪⎪⎝⎭ (D) 12⎫-⎪⎪⎝⎭
第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．
(11)函数()31
f x x =+的定义域为____________． (12)执行下边的程序框图，当输入的x 为20xx 时，输出的y =___________．
(13)已知()()*
12n x n N -∈的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中所有项的系数和为_____________．
(14)在平面直角坐标系内任取一个点(),P x y 满足0202
x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则点P 落在曲线1y x =与直线2,2x y ==围成的阴影区域(如图所示)内的概率为__________．
(15)如图，正方形ABCD 的边长为8，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且AE=3ED ，CF=FB ，如果对于常
数m ，在正方形ABCD 的四条边上有且只有6个不同的点P ，使得PE PF uur uu u r g =m 成立，那么m 的取值范
围是__________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
(16)(本小题满分12分)
已知函数(
)2
2sin cos 222x x x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭ (I)求()f x 的单调区间；
(II)求()[]0f x π在，上的值域．
(17)(本小题满分12分)
如图，正四棱台1111ABCD A B C D -的高为2，下底面中心为O ，上、
下底面边长分别为2和4．
(I)证明：直线1//OC 平面11ADD A ；
(II)求二面角1B CC O --的余弦值．
(18)(本小题满分12分)
已知{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，325149,,S a a a =，并且成等比数列，数列{}n b 的前n 项和为1332
n n T +-=． (I)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
(Ⅱ)若2318log n n n n n
a b c a b ++=，求数列{}n c 的前n 项和n M ．
(19)(本小题满分12分)
1月25日智能共享单车项目摩拜单车正式登陆济南，两种车型采用分段计费的方式，
Mobike Lite
型(Lite 版)每30分钟收费0.5元 (不足30分钟的部分按30分钟计算)；Mobike (经典版)每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算)．有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次)．设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为
321,,432，三人租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用Lite 版单车，丙租用经典版单车．
(I)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；
(Ⅱ)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
(20)(本小题满分13分)
已知函数()()211ln 2
f x ax a x x a R =-++∈，其中． (I)当0a >时，讨论函数f (x )的单调性；
(II)当0a =时，设()()2g x xf x =-+，是否存在区间[](),1,m n ⊆+∞使得函数()g x 在区间[],m n 上的值域为()()2,2k m k n ++⎡⎤⎣⎦?若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．
(21)(本小题满分14分) 设椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，定义椭圆的“伴随圆”方程为2222x y a b +=+；若抛物线
24x y =的焦点与椭圆C 的一个短轴端点重合，且椭圆C 的离心率为
3
(I)求椭圆C 的方程和“伴随圆”E 的方程；
(II)过“伴随圆”E 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，延长PA 与“伴随圆”E 交于点Q ，O 为坐标原点．
(i)证明：PA ⊥PB ；
(ii)若直线OP ，OQ 的斜率存在，设其分别为12,k k ，试判断12k k ⋅是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．。