山东省济南市数学高三理数第二次联考试卷
2022届高三第二次模拟考试数学题带答案和解析(山东省济南省)
2022届高三第二次模拟考试数学题带答案和解析（山东省济南省）选择题设全集,集合,集合则下图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：先化简集合A，B，然后求交集即可.详解：由题意可得：，∴故选：D选择题设复数满足(其中为虚数单位),则下列说法正确的是（）A. B. 复数的虚部是C. D. 复数在复平面内所对应的点在第一象限【答案】D【解析】分析：先求出，然后依次判断模长，虚部，共轭复数，对应的点是否正确即可.详解：∴，复数的虚部是1，，复数在复平面内所对应的点为，显然在第一象限.故选：D选择题已知是公差为的等差数列, 为数列的前项和,若,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:先根据已知条件求出,再利用通项求.详解:由题得所以故答案为：C选择题已知角的终边经过点,其中,则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用三角函数定义确定与的值，即可得到结果.详解：∵角的终边经过点,其中,∴时，，，∴；时，，，∴；∴故选：B选择题某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:箱子中有编号为的五个形状、大小完全相同的小球,从中任取两球,若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖;否则不中奖则中奖的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求出所有的基本事件的个数，再求摸出的两球号码的乘积为奇数的基本事件的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.详解：由题得试验的所有基本事件有：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4）,(3,5),(4,5),共10个，摸出的两球号码的乘积为奇数的基本事件有（1,3），（1,5），（3,5），共3个，由古典概型的概率公式得.故答案为：C选择题已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先作出不等式对应的可行域，再利用数形结合分析得到z的最小值.详解：不等式组对应的可行域如图所示：因为z=2x+y,所以y=-2x+z,所以当直线y=-2x+z经过点A(1，4)时，直线的纵截距z最小，所以z的最小值为2×1+4=6.故答案为：B选择题已知底面是直角三角形的直棱柱的正视图、俯视图如下图所示,则该棱柱的左视图的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题得侧视图是一个矩形，先求矩形的长，再求侧视图的面积.详解：设侧视图的长为x，则所以侧视图的面积为故答案为：C选择题设分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线的左右顶点,其中,若双曲线的顶点到渐近线的距离为,则双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据题意得到2c=a,,解方程组即得双曲线的标准方程.详解：由题得故答案为：A选择题执行如图所示的程序框图,则该程序框图的输出结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：运行程序得到s的周期是4，再通过周期得到输出的值.详解：运行程序如下：s=2,i=1,s=-3,i=2,s=-,i=3,s=,i=4,s=2,i=5,可以看出S的周期性，周期为4，，所以输出的是.故答案为：选择题如图,半径为的圆中, 为直径的两个端点,点在圆上运动,设,将动点到两点的距离之和表示为的函数,则在上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：分成两类情况与分别求表达式即可.详解：当时，，，∴，当时，，∴故选：A选择题已知抛物线,过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线为两切线的交点为坐标原点若,则直线与的斜率之积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先设A,B,,再求切线PA,PB方程，再求点P坐标，再根据得到最后求直线与的斜率之积.详解:设A,B,,因为所以切线PA的方程为所以切线PB的方程为联立切线PA,PB的方程解之得x=a+b,y=ab,所以P（a+b,ab）.所以故答案为：A选择题已知定义在上的函数,当时, 且为奇函数,若方程的根为,则的所有的取值为（）A. 或或B. 或或C. 或或或D. 或或或【答案】D【解析】分析：先求出函数f(x)的对称中心，再画出分段函数的图像，再画出直线y=kx+k（过定点（-1,0））图像，数形结合分析得到答案.详解：因为为奇函数，所以函数f(x)的对称中心为（-1,0），画出函数f(x)的图像如图所示，直线y=k(x+1)，所以直线过定点P（-1,0）,当直线y=kx+k处于直线AF位置时，函数f(x)与直线y=kx+k有七个交点，它们分别是A,B,C,P,D,E,F,其中A和F，B和E，C和D都关于点P 对称，所以所以故答案为：D填空题已知是互相垂直的单位向量,向量,,则__________．【答案】2【解析】分析:直接利用向量的数量积运算即得解.详解:由题得.故答案为:2填空题2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是__________．【答案】丙【解析】分析：利用反推法，逐一排除即可.详解：如果甲是冠军，则爸爸与妈妈均猜对，不符合；如果乙是冠军，则三人均未猜对，不符合；如果丙是冠军，则只有爸爸猜对，符合；如果丁是冠军，则妈妈与孩子均猜对，不符合；如果戊是冠军，则妈妈与孩子均猜对，不符合；故答案为：丙填空题已知表示不超过的最大整数,例如: .在数列中, ,记为数列的前项和,则__________．【答案】4947【解析】分析：先对n分类讨论，求出每一段的数列的和，再求.详解：当1≤n≤9时，=0；当10≤n≤99时，=1，此区间所有项的和为90.当100≤n≤999时，=2，此区间所有项的和为900×2=1800.当1000≤n≤2018时，=3，此区间所有项的和为3×1019=3057.所以90+1800+3057=4947.故答案为：4947填空题已知点均在表面积为的球面上,其中平面,,则三棱锥的体积的最大值为__________．【答案】【解析】分析：先求出球的半径，再求出三棱锥的体积的表达式，最后求函数的最大值.详解：设球的半径为R,所以设AB=x,则，由余弦定理得设底面△ABC的外接圆的半径为r,则所以PA=.所以三棱锥的体积=.当且仅当x=时取等.故答案为：解答题在中, ,.(1)求的长;(2)设是平面内一动点,且满足，求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】分析：(1)先求出，再利用余弦定理求的长.(2)先求出的表达式，再求函数的取值范围得解.详解：（1）在中，.代入数据得: .，.在中，由余弦定理知:代入数据得: .（2）设，则.在中，由余弦定理知:.，又，，的取值范围为.解答题如图,在以为顶点的五面体中,底面是矩形, .(1)证明: 平面;(2)在中国古代数学经典著作《九章算术》中,称图中所示的五面体为“刍甍”(chúméng),书中将刍甍的体积求法表述为:术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一.其意思是:若刍甍的“下袤”的长为,“上袤”的长为,“广”的长为,“高”即“点到平面的距离”为,则刍甍的体积的计算公式为:,证明该体积公式.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）先证明，再证明平面.(2)利用割补法证明.详解：（1）证明：是矩形，，又平面，平面平面，又平面，平面平面又平面，平面，平面.（2）解：设分别是棱上的点，且满足，链接.由第（1）问的证明知，，所以四边形和为平行四边形.，又，平面，多面体为三棱柱.因此，刍甍可别分割成四棱锥和三棱柱.由题意知，矩形中，矩形的面积，又四棱锥的高，即“点到平面的距离”为，四棱锥的体积；三棱柱的体积可以看成是以矩形为底,以点到平面的距离为高的四棱柱体积的一半.又矩形的面积三棱柱的体积刍甍的体积：.刍甍体积公式得证.解答题近期济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用表示活动推出的天数, 表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表所示:根据以上数据,绘制了散点图.(1)根据散点图判断,在推广期内, 与(均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);(2)根据(1)的判断结果及表中的数据,建立关于的回归方程,并预测活动推出第天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后,为更好的服务乘客,车队随机调查了人次的乘车支付方式,得到如下结果：已知该线路公交车票价元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受折优惠,扫码支付的乘客随机优惠,根据调查结果发现:使用扫码支付的乘客中有名乘客享受折优惠,有名乘客享受折优惠,有名乘客享受折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下,按照上述收费标准,试估计该车队一辆车一年的总收入.参考数据:其中参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:【答案】(1)见解析;(2) 活动推出第天使用扫码支付的人次为；(3)见解析.【解析】分析：（1）根据散点图判断, 适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型. (2)先求出，再得到，再预测活动推出第天使用扫码支付的人次.(3)先求出享受折优惠、8折优惠、9折优惠的收入，再得到总的收入.详解：(1)根据散点图判断, 适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型. (2) ,两边同时取常用对数得:；设,,，，把代入,得: ，，，；把代入上式:；活动推出第天使用扫码支付的人次为关于的回归方程为: ，活动推出第天使用扫码支付的人次为；(3)由题意可知:一个月中使用现金的乘客有人,共收入元；使用乘车卡的乘客有人，共收入元；使用扫码支付的乘客有人，其中:享受折优惠的有人,共收入元享受折优惠的有人,共收入元:享受折优惠的有人,共收入元所以,一辆车一个月的收入为:（元）所以,一辆车一年的收入为: (元)解答题如下图已知离心率为的椭圆经过点,斜率为的直线交椭圆于两点，交轴于点,点为线段的中点.(1)求椭圆的方程；(2)若点关于轴的对称点为,过点且与垂直的直线交直线于点,求面积的最大值.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）根据题意得方程组，解之即得椭圆的方程.(2)先求出，再利用基本不等式求函数的最大值.详解：(1)由已知得: 解得,椭圆的方程为:(2)椭圆的左顶点,设的方程: ),则,由得: .设.，.则，直线的斜率为: ，所以直线的方程为,即.直线的方程式为：.所以点.点到直线的距离,，,的面积,所以，当时取等号.所以面积的最大值为.解答题已知函数,(1)讨论单调性;(2)当时,函数的最大值为,求不超过的最大整数.【答案】(1)见解析;(2)-1.【解析】分析：（1）对a分类讨论求单调性.(2)先利用导数求出m的表达式，，再求不超过的最大整数.详解：（1），①当时，时，单调递减；时，单调递增；②当时，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；③当时，时，单调递增；④当时，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；综上，当时，在上单调递减，上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；（2），，当时，，单调递增；时，，单调递减；，，，所以，存在唯一的，使，即所以，当时，，单调递增；时，，单调递减；又，所以，.所以，不超过的最大整数为.解答题选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.(1)求直线l的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)已知点的极坐标为,求的值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：(1)利用代入消参法把直线的参数方程互为普通方程，利用，把曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）把直线的参数方程化为标准形式，代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理表示即可.详解：(1) 的普通方程为: ；又,即曲线的直角坐标方程为:(2)解法一: 在直线上,直线的参数方程为(为参数),代入曲线的直角坐标方程得，即,.解法二:，，，．解答题选修4-5：不等式选讲已知函数.(1)解不等式；(2)若，且,证明: ，并求时，的值.【答案】(1);(2).【解析】分析：(1) 通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；(2)利用绝对值三角不等式证明不等式，同时可知=，在结合均值不等式即可得到的值详解：(1)当时,不等式为,；当时,不等式为,不成立；当时,不等式为,,综上所述,不等式的解集为；（2）解法一:，，当且仅当，即时“”成立；由可得：.解法二：，当时，；当时，；当时，的最小值为，，当且仅当，即时“”成立；由可得：.。
2022年山东省济南市高考数学二模试卷+答案解析(附后)
2022年山东省济南市高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数x的值为( )A. B. 1 C. D. 22.已知集合，，，则C中元素的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 43.“”是“直线与平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4.已知函数，若，则m的值为( )A. B. 2 C. 9 D. 2或95.的展开式中，常数项为( )A. 2B. 6C. 8D. 126.济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位．它是典型的哥特式建筑．哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为( )A. B. C. D.7.如图，是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等，则的值为( )A.B.C.D.8.已知数列，，，，，，，，，，……，其中每一项的分子和分母均为正整数．第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推．此数列第n项记为，则满足且的n的最小值为( )A. 47B. 48C. 57D. 58二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球．记事件“第一次抽到的是白球”，事件“第二次抽到的是白球”，则( )A. 事件A与事件B互斥B. 事件A与事件B相互独立C. D.10.下列不等关系中一定成立的是( )A. B.C. ，D. ，11.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点在第一象限，M为线段AB的中点．M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是( )A. 的最小值为4B.C. 面积的最小值为6D. 若直线AB的斜率为，则12.在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为线段，CD，CB上的动点均不与点C重合，则下列说法正确的是( )A. 存在点E，F，G，使得平面EFGB. 存在点E，F，G，使得C. 当平面EFG时，三棱锥与体积之和的最大值为D. 记CE，CF，CG与平面EFG所成的角分别为，，，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年山东省济南市高三第二次教学质量检测理科数学(PDF版)
5 3 15 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 19．（本小题满分 12 分)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝ AC＝2，BC＝1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点.
π
|PQ|
(2)若直线θ＝
4
(ρ∈R)与曲线
C1
交于
M，N
两点，与曲线
C2
交于
P，Q
两点，求 的值． |MN|
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
1
(1)已知 x，y 均为正数，且 x>y，求证：2x＋
≥2y＋3；
x2－2xy＋y2
(2)设 a，b，c>0 且 ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥ 3.
等于( )
3π
π
A.
B.
4
3
π C.
4
π D.
6
7.如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上 f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上 f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上 f(x)是增函数 D．当 x＝2 时，f(x)取到极小值 8.已知△ABC 外接圆的圆心为 O，AB＝2 3，AC＝2 2，A 为钝角，M 是 BC 边的中点，则A→M·A→O 等于( )
A．[2，＋∞)
B．[1,2]
C．[1，＋∞)
D．(0,2]
2
ex
＋ln x
12.已知函数 f(x)＝ －k x
，若 x＝2 是函数 f(x)的唯一一个极值点，则实数 k 的
山东省济南市重点中学2025届高三第二次调研数学试卷含解析
山东省济南市重点中学2025届高三第二次调研数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )A ．65B ．5C ．655D ．62．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 3．复数5i12i+的虚部是 ( )A ．iB ．i -C ．1D ．1-4．设i 是虚数单位，a R ∈，532aii a i+=-+，则a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．25．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ）A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =7．若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（ ）A ．45 B ．35C ．25 D．158．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 9．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)10．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ） A ．2 B ．1C ．2D ．511．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（ ）A 51+ B 51+ C 51RD - D 51RC - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省济南市历城第二中学高三第二次模拟考试数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年山东省济南市历城第二中学高三第二次模拟考试数学试题的。
1.已知集合，，则( )A. B.C. D.2.在，“”是“”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.已知向量，，若，则的最小值为( )A.B.C.D. 4.《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问第11日到第20日这10日共织布( )A. 30尺 B. 40尺C. 6尺D. 60尺5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则函数的大致图象为( )A. B.C.D.6.在平面直角坐标系中，P 为圆上的动点，定点现将y 轴左侧半圆所在坐标平面沿y 轴翻折，与y 轴右侧半圆所在平面成的二面角，使点A 翻折至，P 仍在右侧半圆和折起的左侧半圆上运动，则，P 两点间距离的取值范围是( )A. B.C.D.7.函数且的所有零点之和等于( )A. B.C. D.8.已知函数满足，，若对任意正数a ，b 都有，则x 的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列四个命题中，正确的有( ) A. 数列的第k 项为 B. 已知数列的通项公式为，则是该数列的第7项C. 数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为D. 数列的通项公式为，则数列是递增数列10.关于函数，下列叙述正确的是( )A. 其图象关于直线对称B. 其图象关于点对称C. 其值域是D. 其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到11.如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形ABCD为直角梯形，，，在四棱锥中，则( )A. 平面平面PBDB. 平面PBCC. 三棱锥的外接球表面积为D. 平面PAD与平面PBC所成的二面角的正弦值为三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
山东省济南市2020年高三第二次教学质量检测理科数学
(1)求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面 ABE； (3)求三棱锥 E－ABC 的体积.
x2 y2
11
20．（本小题满分 12 分）设椭圆 ＋ ＝1(a> 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知 ＋
a2 3
|OF| |OA|
＝ 3e ，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率． |FA|
18．（本小题满分 12 分）某投资公司在 2019 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目 上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损
72 15%，且这两种情况发生的概率分别为 和 ；
99 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，
A．在区间(－2,1)上 f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上 f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上 f(x)是增函数 D．当 x＝2 时，f(x)取到极小值 8.已知△ABC 外接圆的圆心为 O，AB＝2 3，AC＝2 2，A 为钝角，M 是 BC 边的中点，则A→M·A→O 等于( )
A.3
只一项是符合题目要求的． 1.若集合 A＝{x∈N|x≤ 2 020}，a＝2 2，则下列结论正确的是( )
A．{a}⊆A
B．a⊆A
C．{a}∈A
D．a∉ A
2.设 z＝1－i＋2i，则|z|等于( ) 1＋i
1
A.0
B.
C.1
D. 2
2
f x＋1
3.若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2 020]，则函数 g(x)＝
31 1 也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， 和 .
2023年山东省济南市高考数学二模试卷【答案版】
2023年山东省济南市高考数学二模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z =−12+√32i ，则z 2+z ＝（ ） A ．﹣1B ．−12C ．12D ．12．已知集合A ＝{（x ，y ）|y ＝x }，B ＝{（x ，y ）||x |+|y |＝1}，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点在圆x 2+y 2＝4上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．84．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ） A ．7.6B ．7.8C ．8D ．8.25．已知直线y ＝x ﹣1与曲线y ＝e x +a 相切，则实数a 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．26．17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法．如图，AEB̂是一个半圆，圆心为O ，ABCD 是半圆的外切矩形．以直线OE 为轴将该平面图形旋转一周，记△OCD ，阴影部分，半圆AEB ̂所形成的几何体的体积分别为V 1，V 2，V 3，则下列说法正确的是（ ）A ．V 1+V 2＜V 3B ．V 1+V 2＞V 3C ．V 1＞V 2D ．V 1＝V 27．已知函数f(x)=3x−13x +1，数列{a n }满足a 1＝1，a n +3＝a n （n ∈N +），f （a 1）+f （a 2+a 3）＝0，则∑ 2023i=1a i =（ ） A ．0B ．1C ．675D ．20238．已知函数f （x ）＝a sin2x +b cos2x （ab ≠0）的图象关于直线x =π6对称，则下列说法正确的是（ ） A ．f(x −π6)是偶函数B ．f （x ）的最小正周期为2πC ．f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．方程f （x ）＝2b 在区间[0，2π]上有2个实根二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ，且a +b +c ＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．1a−c＞1b−cB ．a ﹣c ＞2bC ．a 2＞b 2D ．ab +bc ＞010．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A ．乙发生的概率为12B ．丙发生的概率为12C ．甲与丁相互独立D ．丙与丁互为对立事件11．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD =π3，E ，F ，G 分别是线段AD ，CD ，BC 的中点，将△ABD 沿直线BD 折起得到三棱锥A ﹣BCD ，则在该三棱锥中，下列说法正确的是（ ）A ．直线EF ∥平面ABCB ．直线BE 与DG 是异面直线C ．直线BE 与DG 可能垂直D ．若EG =√74AB ，则二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为π312．若定义在[0，1]上的函数f （x ）同时满足：①f （1）＝1；②对∀x ∈[0，1]，f （x ）≥0成立；③对∀x 1，x 2，x 1+x 2∈[0，1]，f （x 1）+f （x 2）≤f （x 1+x 2）成立；则称f （x ）为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）＝x 2，x ∈[0，1]是“正方和谐函数”B ．若f （x ）为“正方和谐函数”，则f （0）＝0C ．若f （x ）为“正方和谐函数”，则f （x ）在[0，1]上是增函数D ．若f （x ）为“正方和谐函数”，则对∀x ∈[0，1]，f （x ）≤2x 成立 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sin(5π6−α)=√3cos(α+π6)，则tan(α+π6)的值为 ．14．已知abc 表示一个三位数，如果满足a ＞b 且c ＞b ，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共 个（用数字作答）．15．已知向量a →=(1，2)，b →=(4，2)，若非零向量c →与a →，b →的夹角均相等，则c →的坐标为 （写出一个符合要求的答案即可）．16．如图，在矩形ABCD 中，|AB |＝2|AD |，A 1，A 2分别为边AB ，CD 的中点，M ，N 分别为线段A 2C （不含端点）和AD 上的动点，满足|MA 2||CD|=|DN||AD|，直线A 1M ，A 2N 的交点为P ，已知点P 的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）根据国家统计局统计，我国2018﹣2022年的新生儿数量如下：（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合新生儿数量y 与年份编号x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测我国2023年的新生儿数量． 参考公式及数据：r =∑x i y n i=1−nxy√(∑ i=1x i −nx2)(∑ i=1y i −ny 2)，b =∑x i y ini=1−nxy ∑ n i=1x i2−nx 2，a =y −b x ，∑ 5i=1y i =6206，∑x i y i 5i=1=17081，√(∑ 5i=1x i 2−5x 2)(∑ 5i=1y i 2−5y 2)≈1564．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n +1﹣2，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）由a n ，b n 构成的n ×n 阶数阵如下所示，求该数阵中所有项的和T n ． (a 1b 1，a 1b 2，a1b 3，⋯，a 1b n a 2b 1，a 2b 2，a 2b 3，⋯，a 2b n a 3b 1，a 3b 2，a 3b 3，⋯，a 3b n⋯a nb 1，a n b 2，a n b 3，⋯，a n b n)19．（12分）如图，在正三棱台ABC ﹣DEF 中，M ，N 分别为棱AB ，BC 的中点，AB ＝2DE ． （1）证明：四边形MNFD 为矩形；（2）若四边形MNFD 为正方形，求直线BC 与平面ACFD 所成角的正弦值．20．（12分）已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点G 是△ABC 的重心，且AG →⋅BG →=0． （1）若∠GAB =π6，求tan ∠GAC 的值； （2）求cos ∠ACB 的取值范围．21．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，由E 的三个顶点构成的三角形的面积为2．（1）求E 的方程；（2）记E 的右顶点和上顶点分别为A ，B ，点P 在线段AB 上运动，垂直于x 轴的直线PQ 交E 于点M （点M 在第一象限），P 为线段QM 的中点，设直线AQ 与E 的另一个交点为N ，证明：直线MN 过定点．22．（12分）已知函数f(x)=lnx (x−a)2．（1）当a ＝0时，求f （x ）在区间[1，e ]上的值域； （2）若f （x ）有唯一的极值点，求a 的取值范围．2023年山东省济南市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z =−12+√32i ，则z 2+z ＝（ ） A ．﹣1B ．−12C ．12D ．1解：由z =−12+√32i 得z 2+z =z(z +1)=(−12+√32i)(12+√32i)=(√32i)2−(12)2=−1． 故选：A ．2．已知集合A ＝{（x ，y ）|y ＝x }，B ＝{（x ，y ）||x |+|y |＝1}，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：解{y =x |x|+|y|=1得，{x =12y =12或{x =−12y =−12， ∴A ∩B ={(−12，−12)，(12，12)}，A ∩B 的元素个数为2． 故选：C ．3．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点在圆x 2+y 2＝4上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．8解：由于抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为x 轴正半轴上， x 2+y 2＝4与x 轴正半轴的交点为（2，0）， 故抛物线的焦点为（2，0），所以p2=2⇒p =4，因此抛物线的焦点到准线的距离为p ＝4． 故选：C ．4．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ） A ．7.6B ．7.8C ．8D ．8.2解：这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数， 又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9， 又极差为3，所以最小数字为6， 所以这组数据为6、7、8、9、9，所以平均数为6+7+8+9+95=7.8．故选：B ．5．已知直线y ＝x ﹣1与曲线y ＝e x +a 相切，则实数a 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．2解：由y ＝e x +a ，得y ′＝e x +a •（x +a ）′＝e x +a ， 设切点为（x 0，y 0），则{y 0=x 0−1①y 0=e x 0+a ②e x 0+a =1③，由①②得，x 0−1=e x 0+a ④， 联立③④得，x 0＝2，a ＝﹣2． 故选：A ．6．17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法．如图，AEB̂是一个半圆，圆心为O ，ABCD 是半圆的外切矩形．以直线OE 为轴将该平面图形旋转一周，记△OCD ，阴影部分，半圆AEB ̂所形成的几何体的体积分别为V 1，V 2，V 3，则下列说法正确的是（ ）A ．V 1+V 2＜V 3B ．V 1+V 2＞V 3C ．V 1＞V 2D ．V 1＝V 2解：设半圆的半径为r ，则△OCD 以直线OE 为轴旋转一周所得图形为圆锥， 底面半径与高均为r ，则V 1=13πr 3； 半圆AEB̂所形成的几何体为半球，体积V 3=12×43πr 3=23πr 3； 阴影部分所形成的几何体为圆柱挖去一个半球，体积V 2=πr 3−23πr 3=13πr 3． ∴V 1＝V 2，V 1+V 2＝V 3，结合选项可知，D 正确． 故选：D ．7．已知函数f(x)=3x−13x +1，数列{a n }满足a 1＝1，a n +3＝a n （n ∈N +），f （a 1）+f （a 2+a 3）＝0，则∑ 2023i=1a i =（ ） A ．0B ．1C ．675D ．2023解：函数f （x ）的定义域为R ，且f （﹣x ）=3−x−13−x +1=−3x−13x +1=−f （x ），故函数f （x ）为奇函数，又f （x ）＝1−23x+1为R 上的增函数， 因为f （a 1）+f （a 2+a 3）＝0，所以f （a 1）＝﹣f （a 2+a 3）＝f （﹣a 2﹣a 3）， ∴a 1+a 2+a 3＝0，因为数列{a n }满足a 1＝1，a n +3＝a n （n ∈N +）， 所以∑ 2023i=1a i =674（a 1+a 2+a 3）+a 2023＝0+a 1＝1， 故选：B ．8．已知函数f （x ）＝a sin2x +b cos2x （ab ≠0）的图象关于直线x =π6对称，则下列说法正确的是（ ） A ．f(x −π6)是偶函数B ．f （x ）的最小正周期为2πC ．f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．方程f （x ）＝2b 在区间[0，2π]上有2个实根解：∵函数f （x ）＝a sin2x +b cos2x （ab ≠0）的图象关于直线x =π6对称， ∴f （0）＝f （π3），即b ＝a sin2π3+b cos2π3，所以a =√3b ，所以f （x ）=√3b sin2x +b cos2x ＝2b sin （2x +π6）， 此时f （π6）＝2b sin （2×π6+π6）＝2b ， 故函数图象关于x =π6对称，f （x −π6）＝2b sin （2x ﹣2×π6+π6）＝2b sin （2x −π6）， 令g （x ）＝f （x −π6）＝2b sin （2x −π6）， 则g （π12）＝2b sin （π6−π6）＝0，而g （−π12）＝2b sin （﹣2×π6）=−√3b ≠0，故g （x ）＝f （x −π6）＝2b sin （2x −π6）不是偶函数，故A 错误； f （x ）的最小正周期为2π2=π，故B 错误；因为b 的正负无法确定，故f （x ）在区间[−π3，π6]上的单调性无法确定，故C 错误； 令f （x ）＝2b ，x ∈[0，2π]，因2b ≠0，则sin （2x +π6）＝1，因为x ∈[0，2π]，所以2x +π6∈[π6，25π6]，所以2x +π6=π2或2x +π6=5π2，解得x =π6或x =7π6，故D 正确． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ，且a +b +c ＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．1a−c＞1b−cB ．a ﹣c ＞2bC ．a 2＞b 2D ．ab +bc ＞0解：对于A ，∵a ＞b ＞c ，∴a ﹣c ＞b ﹣c ＞0，∴1a−c＜1b−c，A 错误；对于B ，∵a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，∴a ＞0，c ＜0，∴b +c ＝﹣a ＜0，a ﹣b ＞0， ∴a ﹣b ＞b +c ，即a ﹣c ＞2b ，B 正确；对于C ，∵a ﹣b ＞0，a +b ＝﹣c ＞0，∴a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）＞0，即a 2＞b 2，C 正确； 对于D ，ab +bc ＝b （a +c ）＝﹣b 2≤0，D 错误． 故选：BC ．10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A ．乙发生的概率为12B ．丙发生的概率为12C ．甲与丁相互独立D ．丙与丁互为对立事件解：对于A ，基本事件总数为6×5＝30，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”包含的基本事件数为5×3＝15，∵P （乙）=1530=12，∴正确，对于B ，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”包含的基本事件数为2×3×3＝18， ∴P （丙）=1830=35，∴错误，对于C ，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”包含的基本事件数为2×3×2＝12， ∴P （丁）=1230=25，∵P （甲丁）=3×230=15，∴P （甲）=12， ∴P （甲丁）＝P （甲）P （丁），∴正确，对于D ，∵丙与丁两个事件不会同时发生，是互斥事件，且并事件为必然事件，∴丙与丁互为对立事件，∴D 正确． 故选：ACD ．11．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD =π3，E ，F ，G 分别是线段AD ，CD ，BC 的中点，将△ABD 沿直线BD 折起得到三棱锥A ﹣BCD ，则在该三棱锥中，下列说法正确的是（ ）A ．直线EF ∥平面ABCB ．直线BE 与DG 是异面直线C ．直线BE 与DG 可能垂直D ．若EG =√74AB ，则二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为π3解：对于A ，∵E ，F 分别为AD ，CD 中点，∴EF ∥AC ， ∵AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ，A 正确； 对于B ，∵BE ∩平面BCD ＝B ，DG ⊂平面BCD ，B ∉DG ， ∴BE 与DG 为异面直线，B 正确；对于C ，设菱形ABCD 的边长为2，又∠BAD =π3，则BD ＝2，∵BE →=BD →+DE →=BD →+12DA →，DG →=DB →+BG →=DB →+12BC →， ∴BE →⋅DG →=(BD →+12DA →)⋅(DB →+12BC →)=−BD →2+12BD →⋅BC →−12BD →⋅DA →+14DA →⋅BC → =−4+12×4×12−12×4×(−12)+14DA →⋅BC →=−2+14DA →⋅BC →， ∵DA →⋅BC →=4cos ＜DA →，BC →＞∈[−4，4]，∴BE →⋅DG →≠0， 即BE 与DG 不可能垂直，C 错误；对于D ，取BD 中点O ，连接AO ，CO ，OG ，OE ，∵△ABD ，△CBD 为等边三角形，∴AO ⊥BD ，CO ⊥BD ， ∴∠AOC 即为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角， 设菱形ABCD 的边长为2，则OA =OC =√3，∵EG →=OG →−OE →=12(OB →+OC →)−12BA →=12(OB →+OC →)−12(OA →−OB →)=12OC →−12OA →+OB →， ∴EG →2=14OC →2+14OA →2+OB →2−12OA →⋅OC →+OB →⋅OC →−OA →⋅OB →=34+34+1−32cos∠AOC =52−32cos∠AOC ， 又EG =√74AB ，∴52−32cos∠AOC =74，解得：cos ∠AOC =12，∴二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为π3，D 正确． 故选：ABD ．12．若定义在[0，1]上的函数f （x ）同时满足：①f （1）＝1；②对∀x ∈[0，1]，f （x ）≥0成立；③对∀x 1，x 2，x 1+x 2∈[0，1]，f （x 1）+f （x 2）≤f （x 1+x 2）成立；则称f （x ）为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）＝x 2，x ∈[0，1]是“正方和谐函数”B ．若f （x ）为“正方和谐函数”，则f （0）＝0C ．若f （x ）为“正方和谐函数”，则f （x ）在[0，1]上是增函数D ．若f （x ）为“正方和谐函数”，则对∀x ∈[0，1]，f （x ）≤2x 成立 解：A ：易知①②满足，∀x 1，x 2，x 1+x 2∈[0，1]时，f(x 1)+f(x 2)=x 12+x 22≤(x 1+x 2)2≤f(x 1+x 2)，故A 对；B ：由②知f （0）≥0，在③中令x 1＝x 2＝0，故2f （0）≤f （0）得f （0）≤0，故f （0）＝0，故B 对；C ：举反例，函数f(x)={0，x =01，0＜x ≤1是正方和谐函数，但不是增函数，故C 错；实际上，若0≤x 1＜x 2≤1，则0＜x 2﹣x 1≤1，故f （x 1）+f （x 2﹣x 1）≤f （x 1+x 2﹣x 1）＝f （x 2），f （x ）为[0，1]上的不减函数； D ：由C 知，f （x ）为[0，1]上的不减函数，0＝f （0）≤f （x ）≤f （1）＝1，当12≤x ≤1时，得f （x ）≤1≤2x ；当14≤x ＜12时，12≤2x ＜1，故f （2x ）≤1≤4x ；依次类推，⋯，当12n≤x ＜12n−1时，则12≤2n−1x ＜1，f(2n−1x)≤1≤2n x （1）， 条件③中令x 1=x 2=x ∈[0，12]，2f(x)≤f(2x)⇒f(x)≤12f(2x)，f(2x)≤12f(4x)(x ∈[0，14])，⋯，f(x)≤12f(2x)≤⋯≤12n−1f(2n−1x)(x ∈[0，12n−1])（2）， 由（1）（2）得f(x)≤12f(2x)≤⋯≤12n−1f(2n−1x)≤2x ，12n≤x ≤1时，f （x ）≤2x ，当n →+∞时，12n→0，故0＜x ≤1时，f （x ）≤2x ，又由f （0）＝0也满足上式，故∀x ∈[0，1]，f （x ）≤2x ，故D 对． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sin(5π6−α)=√3cos(α+π6)，则tan(α+π6)的值为 √3 ． 解：由sin(5π6−α)=√3cos(α+π6)可得sin[π−(π6+α)]=√3cos(α+π6)⇒sin(π6+α)=√3cos(α+π6)⇒tan(α+π6)=√3． 故答案为：√3．14．已知abc 表示一个三位数，如果满足a ＞b 且c ＞b ，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共 240 个（用数字作答）．解：a ，b ，c 为取自0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的不同的三个数字， 最小的数字放置在中间，余下两数可排百位或个位，故共有“凹数”的个数为2×C 103=240．故答案为：240．15．已知向量a →=(1，2)，b →=(4，2)，若非零向量c →与a →，b →的夹角均相等，则c →的坐标为 （1，1）（答案不唯一，可以去直线y ＝x 上除原点外的任意点） （写出一个符合要求的答案即可）． 解：设c →=（x ，y ），c →与a →，b →的夹角分别为α，β，则cos α＝cos β，∴c →⋅a→|c →||a →|=c →⋅b→|c →||b →|，可得2√5(x +2y)=√5(4x +2y)，整理得x ＝y ，不妨取x ＝y ＝1，则c →=(1，1)．故答案为：（1，1）（答案不唯一，可以去直线y ＝x 上除原点外的任意点）．16．如图，在矩形ABCD 中，|AB |＝2|AD |，A 1，A 2分别为边AB ，CD 的中点，M ，N 分别为线段A 2C （不含端点）和AD 上的动点，满足|MA 2||CD|=|DN||AD|，直线A 1M ，A 2N 的交点为P ，已知点P 的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为 √3 ．解：以A 1A 2所在的直线为y 轴，线段A 1A 2的中垂线所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系：设|AD |＝|BC |＝m （m ＞0），则|AB |＝|CD |＝2m ，则有A （﹣m ，−m2），B （m ，−m 2），A 1（0，−m 2），A 2（0，m2），C （m ，m2），D （﹣m ，m2），设M （x 0，m2）（0＜x 0＜m ），N （﹣m ，y 0）（−m 2≤y 0≤m2），所以|MA 2|＝x 0，|DN |=m2−y 0， 又因为|MA 2||CD|=|DN||AD|，所以x 02m=m2−y 0m，所以x 0＝m ﹣2y 0或y 0=m−x 02， 又因为k AM =m 2−(−m 2)x 0−0=m x 0， 所以直线A 1M 的方程为：y ﹣（−m2）=mx 0（x ﹣0），即y =mx 0x −m2，同理可得直线A 2N 的方程为：y −m2=−y 0−m 2m （x ﹣0），即y =m 2−y 0−m2m x =m 2−m−x 02−m 2mx =m 2+x2m ，由{y =m x 0x −m 2y =m 2+x 02m x ，可得{x =2x 0m 22m 2−x 02y =2m 3+mx 022(2m 3−x 02)， 即P （2x 0m 22m 2−x 02，2m 3+mx 022(2m 2−x 02)），因为x P =2x 0m 22m 2−x 02，∴x P 2=（2x 0m 22m 2−x 02）2， y P =2m 3+mx 022(2m 2−x 02)=m(2m 2+x 02)2(2m 2−x 02)，∴y P 2=（m(2m 2+x 02)2(2m 2−x 02)）2=m 24•(2m 2−x 02)2+8m 2x 02(2m 2−x 02)2=m 24•（1+8m 2x 02(2m 2−x 02)2=m 24+2m 4x 02(2m 2−x 02)2=m 24+x P 22，即有y P2−x P 22=m 24，∴y P 2m 24−x P 2m 22=1，所以点P 所在双曲线方程为：y 2m 24−x 2m 22=1，所以a 2=m 24，b 2=m 22，所以c 2＝a 2+b 2=3m 24，所以e =ca =√32m 12m =√3．故答案为：√3．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）根据国家统计局统计，我国2018﹣2022年的新生儿数量如下：（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合新生儿数量y 与年份编号x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测我国2023年的新生儿数量． 参考公式及数据：r =∑x i y n i=1−nxy√(∑ i=1x i −nx 2)(∑ i=1y i −ny 2)，b =∑x i y ini=1−nxy ∑ n i=1x i2−nx 2，a =y −b x ，∑ 5i=1y i =6206，∑x i y i 5i=1=17081，√(∑ 5i=1x i 2−5x 2)(∑ 5i=1y i 2−5y 2)≈1564．解：（1）∵x =1+2+3+4+55=3，y =15∑ 5i=1y i =15×6206=1241.2， ∑x i y i 5i=1=17081，√(∑ 5i=1x i 2−5x 2)(∑ 5i=1y i 2−5y 2)≈1564，∴r =∑5i=1i i −5xy√(∑ i=1x i −5x 2)(∑ i=1y i −5y 2)≈17081−5×3×1241.21564≈−0.983．∴新生儿数量y 与年份编号x 具有很强的负相关性； （2）b =∑ 5i=1x i y i −5xy ∑ 5i=1x i2−5x 2=17081−5×3×1241.212+22+32+42+52−5×32=−153710=−153.7， a =y −b x =1241.2−(−153.7)×3=1702.3． ∴y =−153.7x +1702.3．取x ＝6，得y =−153.7×6+1702.3=780.1． ∴预测我国2023年的新生儿数量为780.1万人．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n +1﹣2，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）由a n ，b n 构成的n ×n 阶数阵如下所示，求该数阵中所有项的和T n ． (a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，⋯，a 1b n a 2b 1，a 2b 2，a 2b 3，⋯，a 2b n a 3b 1，a 3b 2，a 3b 3，⋯，a 3b n⋯a nb 1，a n b 2，a n b 3，⋯，a n b n)解：（1）由S n＝2n+1﹣2，可得n＝1时，a1＝S1＝4﹣2＝2；当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，对n＝1也成立．所以a n＝2n，n∈N*；b n＝log2a n＝log22n＝n；（2）T n＝（a1b1+a1b2+...+a1b n）+（a2b1+a2b2+...+a2b n）+...+（a n b1+a n b2+...+a n b n）＝（a1+a2+...+a n）（b1+b2+...+b n）=2(1−2n)1−2•12n（1+n）＝n（1+n）（2n﹣1）．19．（12分）如图，在正三棱台ABC﹣DEF中，M，N分别为棱AB，BC的中点，AB＝2DE．（1）证明：四边形MNFD为矩形；（2）若四边形MNFD为正方形，求直线BC与平面ACFD所成角的正弦值．证明：（1）延长AD，BE，CF，则AD，BE，CF相交于一点G，连接FM，GN，DN，GM，M，N分别为棱AB，BC的中点，所以MN∥AC，且MN=12AC，由于AB＝2DE，所以AC＝2DF，又AC∥DF，所以DF∥MN，MN＝DF，所以四边形MNFD为平行四边形，在三棱锥G﹣ABC中，GA＝GC，GM＝GN，MC＝AN，所以△GAN≅△GCM，进而得∠CGM＝∠AGN，又GF＝GD，GM＝GN，因此△FGM≅△DGN，所以MF＝DN，故四边形MNFD为矩形；解：（2）由DE =12AB ，DE ∥AB 可知D ，E 分别是GA ，GB 的中点， 所以DM ∥GB ，DM =12GB ，又四边形MNFD 为正方形，所以DM ＝MN ，所以AC ＝GB ，由于三棱锥G ﹣ABC 为正三棱锥，且AC ＝GB ，因此三棱锥G ﹣ABC 为正四面体， 因此直线BC 与平面ACFD 所成的角即为直线GC 与平面ABC 所成角，取△ABC 的中心为O ，连接GO ，则GO ⊥平面ABC ，所以∠GCO 为直线GC 与平面ABC 所成角， 设四面体G ﹣ABC 的棱长为a ，在△ABC 中，由正弦定理可得AO =12BCsin60°=√33a ，GO =√GC 2−OC 2=√a 2−(√33a)2=√63a ，在△GOC 中，sin ∠GCO =GO GC =√63， 故直线BC 与平面ACFD 所成的角的正弦值为√63．20．（12分）已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点G 是△ABC 的重心，且AG →⋅BG →=0． （1）若∠GAB =π6，求tan ∠GAC 的值； （2）求cos ∠ACB 的取值范围．解：（1）延长CG 交AB 于点D ，如图所示：∵点G 是△ABC 的重心，∴D 是AB 的中点，且DG =12CG ，∵AG →⋅BG →=0，∴AG ⊥BG ，∴DG ＝DA ＝DB =12c ，GC ＝2DG ＝c ， 又∠GAB =π6，则AG =√32c ，在△AGC 中，设∠CAG ＝α，由正弦定理得AGsin∠ACG=CGsinα，即√32c sin(π6−α)=c sinα，∴√32sin α＝sin （π6−α），即cos α＝2√3sin α， ∴tan α=sinαcosα=√36，即tan ∠GAC =√36； （2）由（1）得CD =32c ，在△ABC 中，cos ∠BAC =AC 2+AB 2−BC 22AC⋅AB =b 2+c 2−a 22bc ，在△ACD 中，cos ∠DAC =AD 2+AC 2−DC22AD⋅AC=c 24+b 2−9c 242b⋅c 2=b 2−2c 2bc ，∴b 2+c 2−a 22bc=b 2−2c 2bc，即a 2+b 2＝5c 2，在△ACB 中，cos ∠ACB =a 2+b 2−c 22ab =2(a 2+b 2)5ab ≥45，当且仅当a ＝b 时等号成立，又∠ACB ∈（0，π），则cos ∠ACB ＜1， 故cos ∠ACB 的取值范围为[45，1）．21．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，由E 的三个顶点构成的三角形的面积为2．（1）求E 的方程；（2）记E 的右顶点和上顶点分别为A ，B ，点P 在线段AB 上运动，垂直于x 轴的直线PQ 交E 于点M （点M 在第一象限），P 为线段QM 的中点，设直线AQ 与E 的另一个交点为N ，证明：直线MN 过定点．解：（1）因为椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，故2a ＝4，所以a ＝2，E 的三个顶点构成的三角形，面积为12×2ab =ab ； 所以ab ＝2，解得b ＝1， 故E 的方程为x 24+y 2=1．（2）证明：由于MQ ⊥x 轴，所以MN 不可能垂直于x 轴，故直线MN 的斜率存在，故设直线MN 的方程为y ＝kx +m ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y =kx +m x 24+y 2=1⇒⇒(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0， 则Δ=(8km)2−4(1+4k 2)(4m 2−4)＞0，x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4m 2−41+4k2，直线AB 的方程为x2+y =1，当x ＝x 1时，y =1−x 12，所以P(x 1，1−x12)，P 是MQ 的中点，所以Q （x 1，2﹣x 1﹣y 1），k QA =2−x 1−y 1x 1−2=y 2x 2−2，即−1−y 1x 1−2=y 2x 2−2，所以−1=y 1x 1−2+y 2x 2−2， 则（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝y 2（x 1﹣2）+y 1（x 2﹣2）⇒（kx 2+m ）（x 1﹣2）+（kx 1+m ）（x 2﹣2）＝﹣（x 1﹣2）（x 2﹣2），化简得（2k +1）x 1x 2﹣（2+2k ﹣m ）（x 1+x 2）﹣4m +4＝0， 代入x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4m 2−41+4k2得(2k +1)4m 2−41+4k2−(2+2k −m)−8km 1+4k2−4m +4=0，故（m +2k ）（m +2k ﹣1）＝0，所以m ＝﹣2k 或m ＝﹣2k +1， 故直线NM 的方程为y ＝kx ﹣2k 或y ＝kx ﹣2k +1，由于M 不与A 重合，所以直线不经过（2，0），故直线NM 的方程为y ＝kx ﹣2k +1，此时Δ＝（8km ）2﹣4（1+4k 2）（4m 2﹣4）＝64k 2﹣16m 2+16＝64k 2﹣16（﹣2k +1）2+16＝64，故k ＞0，此时直线过定点（2，1）． 22．（12分）已知函数f(x)=lnx (x−a)2．（1）当a ＝0时，求f （x ）在区间[1，e ]上的值域； （2）若f （x ）有唯一的极值点，求a 的取值范围． 解：（1）当a ＝0时，f （x ）=lnx x 2， f ′（x ）=1x ⋅x 2−2xlnxx 4=1−2lnxx 3， 令f ′（x ）＝0得x =√e ，所以在（1，√e）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（√e，e）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x=√e处的极大值，且f（√e）=12e ，又f（1）＝0，f（e）=1e2，所以f（x）在[1，e]上的值域为[0，12e ]．（2）f′（x）=1x(x−a)2−2(x−a)lnx(x−a)4=1−ax−2lnx(x−a)3，x＞0，f（x）的极值点等价于f′（x）的变号零点，设g（x）＝1−ax−2lnx，x＞0，①若a≤0时，f（x）的定义域为（0，+∞），因为x＞0，所以x﹣a＞0，所以（x﹣a）3＞0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，因为g（1）＝1﹣a＞0，g（e﹣a）＝1−ae−a−2ln（e﹣a）＜0，所以存在唯一的x0∈（1，e﹣a），使得g（x0）＝0，即f′（x0）＝0，所以当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）存在唯一极大值点，符合题意，②若a＞0，f（x）的定义域为（0，a）∪（a，+∞），当x∈（a，+∞）时，（x﹣a）3＞0，g（x）＝1−ax−2lnx，g′（x）=ax2−2x=a−2xx2＜0，所以g（x）单调递减，又g（a）＝﹣2lna，当a＞1时，g（a）＜0，所以g（x）＜0，f′（x）＜0，所以f（x）在（a，+∞）上无极值点，当a＝1时，g（a）＝0，所以g（x）≤0，f′（x）≤0，f（x）单调递减，所以f （x ）在（a ，+∞）上无极值点， 当0＜a ＜1时，g （a ）＞0，g （2）＜0，所以存在唯一的x 1∈（a ，2），g （x 1）＝0，即f ′（x 1）＝0， 所以当x ∈（a ，x 1）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ∈（x 1，+∞）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 所以x ＝x 1为f （x ）在（a ，+∞）的极大值点， 所以f （x ）在（a ，+∞）有一个极值点， 当x ∈（0，a ）时，（x ﹣a ）3＜0， g （x ）＝1−ax −2lnx ，g ′（x ）=a x 2−2x =a−2x x2， 令g ′（x ）＝0得x =a2，所以当x ∈（0，a2）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，当x ∈（a2，a ）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，令g （a 2）＝﹣1﹣2ln a2=0，解得a =2√e， 当a ＞1时，若a ∈（1，√e），g （a2）＞0，g （a ）＝﹣2lna ＜0，当x ∈（0，a2）时，g （a 216）＝1−16a −2ln a 216＜1−16a +√a216−4＝﹣3＜0，所以存在x 2∈（a 216，a 2），x 3∈（a2，a ），g （x 2）＝g （x 3）＝0，当x ∈（0，x 2）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ∈（x 2，x 3）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x ∈（x 3，a ）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以x ＝x 2为f （x ）的极大值点，x ＝x 3为f （x ）的极小值点， 所以f （x ）在（0，a ）上有两个极值点， 若a ∈（√e，+∞），则g （a2）≤0，g （x ）≤0，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（0，a ）上无极值点， 所以a ＞1不符合题意， 当a ＝1时，g （12）＞0，g （116）＜0，g （1）＝0，所以存在唯一x 4∈（116，12），使得g （x 4）＝0，当x ∈（0，x 4）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＞0， 当x ∈（x 4，1）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＜0， 所以x ＝x 4为f （x ）的极大值点， 此时f （x ）在（0，a ）有一个极值点， 所以a ＝1符合题意，当0＜a ＜1时，g （a2）＞0，g （a ）＝﹣2lna ＞0，当x ∈（0，a2）时，g （a 216）＜0，所以存在为友谊x 5∈（a 216，a 2），使得g （x 5）＝0，当x ∈（0，x 5）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ∈（x 5，a ）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 所以x ＝x 5为f （x ）的极大值点，所以f （x ）在（0，a ）有一个极值点，不合题意， 综上所述，a 的取值范围为（﹣∞，0]∪{1}．。
山东名校考试联盟暨2024年4月济南市高三二模数学参考答案
-1-山东名校考试联盟2024年4月高考模拟考试数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号12345678答案BCDADBBA8．【解析】因为球与三棱锥P ABC -的棱均相切，所以面ABC 截球得到的截面圆与ABC △的三边均相切，所以该球的球心在过截面圆圆心且与面ABC 垂直的直线上，又因为ABC △的内切圆半径恰为1，所以棱切球的球心即为圆心，如图过球心O 作PA 的垂线交PA 于H ,则1OH r ==，又因为2OA =所以PO =,所以2P ABC V -=．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号91011答案ACACDBCD11．【解析】对于A 选项：方法一：假设存在*k ∈N ，使1k a =，则1πsin12k k a a -==，因为[]10,1k a -∈，所以11k a -=，依次类推得，11a =，与已知111[,)32a ∈矛盾，所以A 选项错误．方法二：用数学归纳法证明，当1n 时，总有113n a < ．因为111[,32a ∈，所以1113a < ，设当n k =时，总有113k a < ，则πππ1π,sin 162222k k a a << ，即1113k a +< ，所以，当1n k =+时，总有1113k a +< ，-2-由数学归纳法知，当1n 时，总有113n a < ．所以A 选项错误．B 选项，要证数列{}n a 单调递增，只需证πsin2nn a a >，令()π1sin ([,1))23f x x x x =-∈，则()ππcos 122f x x '=-，()f x '在1[,1)3上单调递减，因为110,(1)1034f f ⎛⎫''=->=-< ⎪⎝⎭，故()f x '在1[,1)3上存在唯一零点0x ，当01[,)3x x ∈时，()0f x '>，当0(,1)x x ∈时，()0f x '<，所以()πsin 2f x x x =-在01[,)3x 上为增函数，在0(,1)x 上为减函数，因为()110,1036f f ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，所以当1[,1)3x ∈时，总有()0f x >，即πsin 2x x >，令n x a =，则有πsin 2n n aa >，B 选项正确．C 选项，要证13144n n a a ++ ，只需证π31sin 244n n a a + ，令()π31124sin ([43g x x x x =--∈，则()cos ππ3224g x x '=-，()g x '在[13,1)上单调递减，因为13(0,(1)034g g ''=>=-<，故()g x '在[13,1)上存在唯一零点1x ，当11[,)3x x ∈时，()0g x '>，当1(,1)x x ∈时，()0g x '<，所以()sin π31244g x x x =--在11[,)3x 上为增函数，在1(,1)x 上为减函数，因为1()(1)03g g ==，所以当1[,1)3x ∈时，总有()0g x ，即s π31244in x x + ，令n x a =，则有π31sin244n n a a + ，C 选项正确．A ，B ，C 三选项可通过数形结合直观观察：如图D 选项，令()π31sin ([,1))223h x x x x =-∈，则()ππ3cos 222h x x '=-，()h x '在1[,1)3上单调递减，因为133()0,(1)0322h h ''=<=-<，所以()π3sin 22h x x x =-在1[,1)3上为减函数，-3-因为1()03h =，所以当π(0,)2x ∈时，总有()1(03h x h = ，即π3sin 22x x ，所以π3sin 22n n a a ，即132n n a a + ，整理得112n n n a a a +- ，其中1,2,3n =所以21132211,21,212n n na a a a a a a a a +---累加后得，1112n n a a S +- ，即1122n n a a S ++ ，D 选项正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
山东省济南市数学高三理数第二次联考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）已知集合M={x|x<1}，N={x|2x>1}，则M∩N=（）
A .
B . {x|x<0}
C . {x|x<1}
D . {x|0<x<1}
2. （2分）已知是虚数单位，则复数的虚部为（）
A .
B . 2
C .
D . 1
3. （2分）(2020高一下·苍南月考) 若是等差数列，首项，公差，且
，则使数列的前n项和成立的最大自然数n是（）
A . 4027
B . 4026
C . 4025
D . 4024
4. （2分）己知成等差数列，成等比数列，则的值是（）
A . 或
C .
D .
5. （2分）已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题正确的（）
A . 若,则
B . 若,则
C . 若,则
D . 若,则
6. （2分） (2017高一下·淮北期末) 在△ABC中，已知D是AB边上一点， =2 ，，则实数λ=（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2017高一下·资阳期末) 若平面区域夹在两条斜率为的平行直线之间，则这两平行直线间的距离的最小值为（）
A .
B .
C .
8. （2分）函数f（x）=2 的大致图象为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2016高一上·翔安期中) 已知a= ，b=20.5 ， c=0.50.2 ，则a，b，c三者的大小关系是（）
A . b＞c＞a
B . b＞a＞c
C . a＞b＞c
D . c＞b＞a
10. （2分）已知椭圆，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的长轴的一端
点P作圆O的两条切线，切点为A、B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）(2017·衡阳模拟) 数列{an}满足2nan+1=（n+1）an ，其前n项和为Sn ，若，则使得最小的n值为（）
A . 8
B . 9
C . 10
D . 11
12. （2分）在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）若当时，函数取得最小值，则 ________.
14. （1分） (2018高二下·黄陵期末) 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________
15. （1分）(2020·淮北模拟) 从抛物线图象上一点作抛物线准线的垂线，垂足为，且
，设为抛物线的焦点，则的面积为________.
16. （1分）(2018·广元模拟) 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为________．
三、解答题 (共7题；共70分)
17. （10分） (2019高一下·黄山期中) 设函数 .
（Ⅰ）当时，求函数的值域；
（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为，若，且，求锐角的周长的取值范围.
18. （10分）如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面，，
分别为的中点.
（1）求证：面；
（2）求证：平面平面 .
19. （10分） (2016高二下·通榆期中) 市环保局举办2013年“六•五”世界环境日宣传活动，进行现场抽奖．抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案．参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖．
（1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“绿色环保标志”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是．求抽奖者获奖的概率；
（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽．用ξ表示获奖的人数．求ξ的分布列及E（ξ），D（ξ）．
20. （10分） (2016高二上·浦城期中) 已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值；
②若点M（﹣，0），求证：• 为定值．
21. （10分） (2019高三上·天津期末) 已知函数，其中 .
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）记的导函数为，若不等式在区间上恒成立，求的取值范围；
（3）设函数，是的导函数，若存在两个极值点，且满足，求的取值范围.
22. （10分）(2020·定远模拟) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）为曲线上任一点，过点作曲线的切线（为切点），求的最小值.
23. （10分）已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、
18-1、18-2、19-1、19-2、
20-1、20-2、21-1、
21-2、
21-3、
22-1、22-2、23-1、23-2、。