全国大联考(理科)高三第二次联考 数学试卷
高三数学第二次联考理试题含解析试题
“皖南八校〞2021届高三第二次联考制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日数学〔理科〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 集合，，那么等于A. B. C. D.【答案】D【解析】因为集合，，那么，应选D.2. 是虚数单位，假设是纯虚数，那么实数A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】A【解析】化简，由是纯虚数可得，解得，应选A.3. 向量满足，，，那么A. B. 3 C. 5 D. 9【答案】B【解析】因为，所以，应选B.........................4. 直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，那么直线的倾斜角的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的HY方程为，故直线过圆的圆心，因为直线不经过第三象限，结合图象可知，，，应选A.5. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得图象的一条对称轴的方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍可得的图象，再向左平移个单位，所得的图象，由，，时图象的一条对称轴的方程是，应选C.6. 函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得函数，为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项；又由可排除选项，应选C.7. 假设，展开式中，的系数为-20，那么等于A. -1B.C. -2D.【答案】A【解析】由，可得将选项里面的数值代入验证可得，符合题意，应选A.8. 当时，执行如下图的程序框图，输出的值是〔〕A. 28B. 36C. 68D. 196【答案】D【解析】执行程序框图，；；；，退出循环，输出，应选D. 【方法点睛】此题主要考察程序框图的循环构造流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支构造还是循环构造；(3) 注意区分当型循环构造和直到型循环构造；(4) 处理循环构造的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,〔6〕在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到到达输出条件即可.9. 榫卯〔〕是我国古代工匠极为精巧的创造，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 我国的紫禁城，悬空寺，的廊桥等建筑都用到了榫卯构造. 图中网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，那么其体积与外表积分别为A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，这榫卯构件中榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成，故其体积，外表积，应选C.【方法点睛】此题利用空间几何体的三视图重点考察学生的空间想象才能和抽象思维才能，属于难题.三视图问题是考察学生空间想象才能最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译〞成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“齐，长对正，宽相等〞，还要特别注意实线与虚线以及一样图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 椭圆的左、右焦点分别为，假设在直线上存在点使线段的中垂线过点，那么椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线上存在点使线段的中垂线过点，所以，根据种垂涎的性质以及直角三角形的性质可得，，，又因为，椭圆离心率的取值范围是，应选B.11. ，且，那么A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，令，那么原式化为，解得舍去〕，故，那么，即，即，，解得或者，那么，应选D.12. 函数假设关于的方程至少有两个不同的实数解，那么实数的取值范围为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】令，关于的方程至少有两个不同的实数解等价于，至少有两个不同的实数解，即函数的图象与直线至少有两个交点，作出函数的图象如下图，直线过定点，故可以寻找出临界状态下虚线所示，联立，故，即，令，解得，，故，结合图象知，实数的取值范围为，应选A.【方法点睛】函数有零点(方程根)的个数求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)别离参数法：先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题：本小题4小题，每一小题5分，一共20分.13. 在1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个不同的数，取到3的概率为_________．【答案】【解析】在、中任取三个不同的数，一共有种取法，其中一定取到的方法有种，在、中任取三个不同的数取到的概率为，故答案为.14. 的面积为，角的对边分别为，假设，，，那么___________．【答案】【解析】，，，可得，所以得，由余弦定理可得，，故答案为.15. 函数是偶函数，定义域为，且时，，那么曲线在点处的切线方程为____________．【答案】【解析】曲线在点处的切线方程为，又是偶函数，曲线在点处的切线方程与曲线在点处的切线方程成心轴对称，为，故答案为.【方法点晴】此题主要考察函数的奇偶性以及利用导数求曲线切线题，属于中档题. 求曲线切线方程的一般步骤是：〔1〕求出在处的导数，即在点出的切线斜率〔当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为〕；〔2〕由点斜式求得切线方程.16. 正方体的体积为1，点在线段上〔点异于点〕，点为线段的中点，假设平面截正方体所得的截面为四边形，那么线段长的取值范围为__________ ．【答案】【解析】依题意，正方体的棱长为，如下图，当点线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，平面与平面也有交线，故截面为五边形，平面截正方体所得的截面为四边形，线段的取值范围为，故答案为.∽21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〔一〕必考题：一共60分17. 是等比数列，满足，且. 〔Ⅰ〕求的通项公式和前项和；〔Ⅱ〕求的通项公式.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：〔I〕由，令可解得，，从而可得的通项公式和前项和；〔II〕结合〔I〕的结论，可得，从而得时，，两式相减、化简即可得的通项公式.试题解析：〔Ⅰ〕，，，，，，是等比数列，，的通项公式为，的前项和.〔Ⅱ〕由及得，时，，，，，的通项公式为.，18. 随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的阅读网页，聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区18∽50岁的5000名居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下列图所示：〔Ⅰ)以频率估计概率，假设在该地区任取3位居民，其中恰有位居民的月流量的使用情况在300M∽400M之间，求的期望；〔Ⅱ〕求被抽查的居民使用流量的平均值；〔Ⅲ〕经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况与其日销售份数成线性相关关系，该研究人员将流量套餐的打折情况与其日销售份数的结果统计如下表所示：折扣1折2折3折4折5折销售份数50 85 115 140 160试建立关于的的回归方程.附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】(Ⅰ)0.75；(Ⅱ)369M；(Ⅲ).【解析】试题分析：〔I〕直接根据二项分布的期望公式求解即可；〔II〕根据频率分布直方图中数据，每组数据中间值与纵坐标的乘积之和即是被抽查的居民使用流量的平均值；(Ⅲ)先根据平均值公式求出样本中心点的坐标，利用公式求出，样本中心点坐标代入回归方程可得，从而可得结果.试题解析：〔Ⅰ〕依题意，∽，故；〔Ⅱ〕依题意，所求平均数为故所用流量的平均值为；〔Ⅲ)由题意可知，，，所以，关于的回归方程为： .【方法点晴】此题主要考察二项分布的期望公式、直方图的应用和线性回归方程的求法，属于难题.求回归直线方程的步骤：①根据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点〔靠近点〕，与的延长线交于点，连接. 〔Ⅰ〕求证：平面平面；〔Ⅱ〕求二面角的正切值【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：〔I〕由线面垂直的性质可得，由矩形的性质可得，从而由线面垂直的断定定理可得平面，进而由面面垂直的断定定理可得结论；〔II〕以，，分别为，，轴建立如下图的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得夹角余弦值，利用同角三角函数之间的关系可得正切值.试题解析：〔Ⅰ〕证明：因为平面，所以又因为底面是矩形，所以又因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面.〔Ⅱ)解：方法一：〔几何法)过点作，垂足为点，连接. 不妨设，那么.因为平面，所以.又因为底面是矩形，所以.又因为，所以平面，所以A.又因为，所以平面，所以所以就是二面角的平面角.在中，由勾股定理得，由等面积法，得，又由平行线分线段成比例定理，得.所以.所以.所以.所以二面角的正切值为.方法二：〔向量法〕以，，分别为，，轴建立如下图的空间直角坐标系：不妨设，那么由〔Ⅱ〕可得，.又由平行线分线段成比例定理，得，所以，所以.所以点，，.那么，.设平面的法向量为，那么由得得令，得平面的一个法向量为；又易知平面的一个法向量为；设二面角的大小为，那么.所以.所以二面角的正切值为.【方法点晴】此题主要考察线面垂直的断定定理及面面垂直的断定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：〔1〕观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；〔2〕写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；〔3〕设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；〔4〕将空间位置关系转化为向量关系；〔5〕根据定理结论求出相应的角和间隔 .20. 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当点的纵坐标为1时，.〔Ⅰ〕求抛物线的方程；〔Ⅱ〕假设抛物线上存在点，使得，求直线的方程.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：〔I〕利用拋物线的定义,结合即可得，，从而抛物线的方程为；〔II〕方程为，由得，令，，,利用韦达定理及,建立关于的方程,解方程即可求直线的方程.试题解析：〔Ⅰ〕的准线方程为，当点纵坐标为1时，，，势物线的方程为.〔Ⅱ〕在上，，又,设方程为，由得，令，，那么，，，，,，或者0，当时，过点〔舍〕，，方程为.21. 函数.〔Ⅰ〕假设，证明：函数在上单调递减；〔Ⅱ〕是否存在实数，使得函数在内存在两个极值点？假设存在，务实数的取值范围；假设不存在，请说明理由. 〔参考数据：，〕【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：〔I〕；求导得，只需利用导数研究函数的单调性，求出最大值，从而证明即可得结论；〔II〕讨论时，时两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，排除不合题意的情况，从而可得使得函数在内存在两个极值点的实数的取值范围.试题解析：〔Ⅰ〕函数的定义域是.求导得.设，那么与同号.所以，假设，那么对任意恒成立.所以函数在上单调递减.又，所以当时，满足.即当时，满足.所以函数在上单调递减.〔Ⅱ〕①当时，函数在上单调递减.由，又，时，，取，那么，所以一定存在某个实数，使得.故在上，；在上，.即在上，；在上，.所以函数在上单调递增，在只有1个极值点，不合题意，舍去；②当时，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.故函数的单调情况如下表：0 ＋极小值要使函数在内存在两个极值点，那么需满足，即，解得又，，所以.此时，，又，；综上，存在实数，使得函数在内存在两个极值点.选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题. 假如多做，那么按所做的第一题计分.22. 平面直角坐标系中，直线的参数方程是〔为参数〕，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.〔Ⅰ〕求直线的极坐标方程；〔Ⅱ〕假设直线与曲线相交于两点，求.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)3.【解析】试题分析：〔I〕利用代入法消去参数，将直线的参数方程化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，再利用互化公式可得到直线的极坐标方程；〔II〕将直线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程,可得关于的一元二次方程,然后根据韦达定理以及极径的几何意义,可以得到的值.试题解析：〔Ⅰ〕由得，的极坐标方程为即，.〔Ⅱ〕由得，设，，那么，.23. 函数.〔Ⅰ〕假设，解不等式；〔Ⅱ〕假设不等式对任意恒成立，务实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：〔I〕对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得不等式的解集；〔II〕利用根本不等式求得的最小值为，不等式对任意恒成立，等价于，平方后利用一元二次不等式的解法求解即可求得实数的取值范围.试题解析：〔Ⅰ〕时，，由得，不等式的解集为.〔Ⅱ〕对成立，又对成立，，，即.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。
2019年4月2019届高三第二次全国大联考(新课标Ⅲ卷)-理数(考试版)
理科数学试题 第1页（共6页） 理科数学试题 第2页（共6页）绝密★启用前2019年第二次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|28}M x x x =∈-<Z ，{1,3}P =，{0,7}Q =，则()M Q P =ðA ．{0,1,7}B ．{1,0,7}-C ．{0,1,3,7}D ．{1,0,2,7}-2．已知复数z 满足i 2i z z +=-，则在复平面内与复数z 对应的点Z 在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“ln ln a b >”是“11a b<”的 A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转π4后经过点(，则sin α=A B ．6C ．6D ．65．已知抛物线28y x =的准线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于A 、B 两点，O 为点坐标原点，若OAB △的面积等于A ．3B C ．D ．46．函数3()3x f x x =-的图象是A ．B ．C ．D ．7．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，如图是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板拼成的大正方形ABCD ，若在正方形ABCD 中任取一点，则此点取自两个四边形（即阴影部分）的概率为A ．13B ．14C ．4D ．68．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由直三棱柱切掉一部分得到的几何体的三视图，则该几何体的体积为○………………装………………卷只装○………………装………………A．53B．32C．3 D．29．将函数2()cos2cos1f x x x x=+-的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位后，其函数图象关于y轴对称，则ϕ的最小值为A．π6B．5π6C．π3D．2π310．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，若点D在直线AB上，且DF x⊥轴，O为坐标原点，且AB ODk kλ=，若离心率11(,)32e∈，则λ的取值范围为A．11(,43B．11(,32C．(3,4)D．(2,3)11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，2AD=，1ED=，若鳖臑P ADE-的外接球的体积为3，则阳马P ABCD-的外接球的表面积等于A．15πB．16πC．17πD．18π12．已知定义在R上的可导函数()y f x=的导函数为()y f x'=，若当0x≠时，3()()0f xf xx'+>，则函数31()()g x f xx=+的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．0或2第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．为了解某种新型材料的功能，产品研究所测试了2000件产品在高强度下试用一段时间后的某项指标在[20,90]内，按指标在[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]进行分组，得到指标取值的频率分布直方图如图所示．则在试用后指标值在[40,70)内的产品件数为____________．14．已知向量(2sin19,2sin109)=︒︒a，||1-=a b，,60-=︒a a b，则||=b____________．15．若二项式29()axx+的展开式中9x的系数为672-，则展开式中除常数项外其余各项系数之和为____________．16．在ABC△中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c，已知sin6sina Cc B=，且(0,)3Cπ∈，则sin sinsinA BC+的取值范围为____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知正项数列{}na中，13a=，当2n≥时，22112()n n n na a a a---=+．（1）求数列{}na的通项公式及其前n项和nS；（2）数列1{}nS的前n项和为n T，数列{}n b满足4(1)(2)n nb n n T=++，求数列{}nb的通项公式．18．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD-的底面ABCD为平行四边形，PD⊥底面ABCD，1AD=，2DC=，3ABCπ∠=．理科数学试题第3页（共6页）理科数学试题第4页（共6页）理科数学试题 第5页（共6页） 理科数学试题 第6页（共6页）………线………………………线………………___________（1）求证：CA ⊥平面PAD ；（2）若直线PA 与平面ABCD 所成的角为π4，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小．19．（本小题满分12分）电动化是汽车工业未来发展的大趋势，在国家的节能减排、排放法规等硬性要求之下，新能源汽车乘势而起，来自中国汽车工业协会的统计数据显示，2018年新能源汽车累计销量已经超过100万辆，意味着我国的新能源汽车市场的正式兴起．某人计划购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到2018年1月到5月的实际销量如下表：（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量y （辆）与月份x 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并据此预测2018年10月份当地该品牌新能源汽车的销量；（2）2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程对购车补贴进行新一轮调整．下表为2018年执行的补贴政策．某企业一次采购了6辆电动汽车，已知其中有2辆最大续航里程[200,250)R ∈，其余车辆的最大续航里程[250,300)R ∈，若从这6辆车中任取3辆，求这3辆车的补贴金额之和X 的分布列和数学期望．参考公式：回归方程y bx a =+，其中1122ˆni i i nii x y n xx ybxn ==-=-∑∑，ˆˆab y x =-． 参考数据：5118800i ii x y==∑．20．（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆C 上，12DF F △的周长为6．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 经过点(2,1)A ，且与椭圆C 交于不同的两点,M N ，若1||,||,||2AM OA AN （O 为坐标原点）成等比数列，判断直线l 的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x a x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若不等式2ln et xt x +≤恒成立，求实数t 的取值范围． 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为123x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 交于A 、B 两点，设(1,2)M ，求11||||MA MB +的值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2|3||2|f x x x =--+．（1）求不等式()2f x <的解集；（2）若对任意的实数x ，不等式24()0t t f x -+>恒成立，求实数t 的取值范围．。
高三第二次联考数学理试题(含解析)
高三第二次联考 数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1，答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在 本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的1、已知全集U ＝｛y ｜y ＝xe ｝，集合A ＝{x ｜ln （x －1）＜0＝，则U A ＝A.（－∞，0］∪［2，＋∞）B.［2，＋∞） C ．（－∞，1］∪［2，＋∞） D. （0，0］∪［2，＋∞） 2.函数136,0()2,0xx x f x x +<⎧=⎨≥⎩，若角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过P （－5，12），则f ［f （cos α)］＝ A 、1 B 、2 C 、3 D 、 43.已知点P(x ，y)满足不等式，点Q(x ，y)是函数的图像上任意一点，则两点P 、Q 之间距离的最小值为 A.522－1 B.13－1 C. 4 D. 5224.已知b ＞1，0＜α＜，则x ，y ，z 的大小关系为A.x ＞y ＞zB.z ＞x ＞yC.z ＞y ＞xD.y ＞z ＞x5．如果关于实数θ的方程2x sin θ－x 2－1＝0有解，那么实数x 的取值范围是 A. ｛x ｜x ≤－l 或x ≥1} B.｛x ｜x ＞0l 或x ＝－1} C. ｛x ｜x ＜0或x ＝1} D{－1，1}6．要得到函数y 2cos2x 的图像，只需将函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图像 A ．向左平移8π个单位 B 、向右平移8π个单位 C 、左平移38π个单位 D ．向右平移38π个单位7．在公差不为0的等差数列｛n a ｝中取三项a 2、a 4、a 8，这三个数恰好成等比数列，则此等比数列的公比为A·13 B·12C 、2D ．38、设m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同的平面：命题p ：m ∥n ，且p 是命题q 的必要条件，· 则q 可以是9．设函数()(xxf x e e x a x -=++-＞0），若存在b ∈（0，1］使得f ［f （b ）］＝b 成立，则实数a的取值范围是 A ．（2，1e e +］ B ．（2，1e e +） C 、［e ，1e e+］ D·［2，＋∞） 10．长度为1的线段MN 的正视图、侧视图和俯视图的投影长分别为a 、b 、c ，则a ＋b ＋c 的最大值为A\2 B ．22 C ．6 D ．311．如图所示，点P 为椭圆2243x y +＝1上任一点，F 1、F 2为其左右两焦点，△P F 1F 2的内心为I ，则12、偶函数y ＝f （x ）满足f （2＋x ）＝f （2－x ），当x ∈［－2，0］时有f （x ）＝2x-．若存在实数满足＝299，则的最小值为A 、198B 、199C 、198＋log 23D 、199一log 23二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置 13、已知＝14．已知三棱锥A 一BCD 所有顶点都在半径为2的球面上， AD ⊥面ABC ，∠BAC ＝90º，AD ＝2，则三棱锥A 一BCD 的体积最大值为15．函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，若对任意且，都有成立，则不等式的解集为16·如图所示，F 1，F 2为椭圆的左右焦点，过F 2的直线交椭圆于B 、D 两点且｜BF 2｜＝2｜F 2D ｜，E 为线段BF 1上靠近F 1的四等分点，若对于线段BF 1上的任意点P ，都有成立，则椭圆的离心率为三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知函数（1）当3πϕ=时，求函数()()2sin 2g x f x x =+的单调递增区间；（2）若函数()f x 满足()()66f x f x ππ-=+，求ϕ的值。
2023年高三2月大联考(全国乙卷)理科数学试题及参考答案
2023届高三2月大联考（全国乙卷）理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.砸每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()i i z -=+82（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数=z （）A .i23-B .i 23+C .i -4D .i+42.若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=031x x xM ，{}22+==x y y N ，则=N M （）A .[)3,2B .()3,0C .[]2,1D .(]3,23.已知命题p ：1>∀x ，()01≥-x x ，则p ⌝为（）A .1>∀x ，()01<-x xB .1>∃x ，()01<-x xC .1<∀x ，()01≥-x x D .1>∃x ，()01≥-x x 4.已知空间四条直线n m b a ,,,和两个平面βα，满足α⊂b a ,，β⊂n m ,，P b a = ，Q n m = ，则下列结论正确的是（）A .若m a ∥，则β∥aB .若β∥a 且α∥m ，则βα∥C .若β∥a 且β∥b ，则α∥m D .若m a ⊥且n b ⊥，则βα⊥5.已知角⎪⎭⎫⎝⎛∈24ππα，，且542sin =α，则=αsin （）A .52B .55C .54D .5526.若函数()x f 的部分图象如图，则()x f 的解析式可能是（）A .()()0cos 1≠-=x x x fB .()xx e e x x x f --=sin 2C .()xxx f sin =D .()xxx x f ln cos ⋅=7.2022年4月，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准（2022版）》，将劳动教育作为义务教育阶段一门独立的课程.劳动教育将成为学生成长成才的必修课与基础课.某学校准备开设4项劳动课程：“蔬菜种植”“绿植修剪”“糕点制作”“自行车修理”.开课之前，要安排4男2女共6名教师参加这4项劳动课程的技术培训，要求：每一项培训都要有教师参加，每位教师只能参加其中一项培训，其中“蔬菜种植”必须安排2为教师，“自相车修理”不安排女教师，“糕点制作”不安排男教师，则不同的安排方法有（）A .132种B .112种C .96种D .84种8.对于函数()()1sin cos sin 2+-=x x x x f ，下列结论中正确的是（）A .()x f 的最大值为122+B .()x f 的图象可由x y 2cos 2=的图象向右平移4π个单位长度得到C .()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛834ππ，上单调递减D .()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛18，π中心对称9.若非负数y x ,满足⎩⎨⎧≤+≤-31y x y x ，则事件“42≥+y x ”发生的概率为（）A .152B .152C .52D .5210.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手指规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足53cos =α，则这块四边形木板周长的最大值为（）A .cm 20B .cm 220C .cm 320D .cm3011.已知椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，.若椭圆C 上存在一点M ，使得21221MF MF F F ⋅=，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡2155，B .⎦⎤⎢⎣⎡21105，C .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1105，D .⎥⎦⎤ ⎝⎛210，12.已知4.06.0ea =，4ln 2-=b ，2-=ec ，则c b a ,,的大小关系为（）A .c b a >>B .b c a >>C .a c b >>D .ab c >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量()2,1-=a，()3,4-=b ，则b a +与a 的夹角为.14.已知双曲线M ：()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，点P 为双曲线M 右支上一点，且满足312121=-F F PF PF ，则双曲线M 的渐近线方程为.15.已知定义在R 上的函数()x f 满足()()x f x f 222-=+，且()12-=x f y 的图象关于直线41=x 对称.若⎪⎭⎫⎝⎛∈45,21x 时，()x x f 43-=，则()=2022f .16.如图是水平放置的三棱锥ABC P -的三视图，其中正视图为正三角形.记经过棱P A 的平面截三棱锥ABC P -的外接球所得圆面的面积为S .若S 的最大值为π3，则三棱锥ABC P -的体积的最大值为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）某种植大户购买了一种新品种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下边：（单位：cm）（1）估计该种植大户收获的果实长度的平均数x 和方差2s ；（2）若这种蔬菜果实的长度不小于12cm，就可以标为“AAA”级，该种植大户随机从收获的果实中选取4个，其中可以标为“AAA”级的果实数记为X.若收获的果实数量巨大，并以样本的频率估计总体的概率，估计X 的数学期望与方程.参考数据：∑==2016.3133i ix.18.已知数列{}n a 满足对任意*,N n m ∈都有m n m n a a a +=+，数列{}n b 是等比数列，且11a b =，022=-a b ，133=-a b .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设nnn b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .19.（12分）如图，已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，平面⊥P AD 平面ABCD ，PD P A =，E 为CD 的中点.（1）求证：BD ⊥PE ；（2）若82==BD AC ，3=P A ，求平面PBC 与平面P AE 所成锐二面角的余弦值.20.（12分）已知抛物线C ：()022>=p px y ，圆E ：()12422=+-y x 与抛物线C 有且只有两个公共点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过圆心E 的直线与圆E 交于点B A ,，直线OB OA ,分别交抛物线C 于点Q P ,（点Q P ,不与点O 重合）.记OAB ∆的面积为1S ，OPQ ∆的面积为2S ，求21S S 的最大值.21.（12分）已知函数()()()R a x ax e x x f x∈---=2321311，()x f '是()x f 的导函数.（1）若()()xx f x g '=，求证：当0>a 时，()0>a g 恒成立；（2）若()x f 存在极小值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==t y t x sin 2cos （t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为04cos 2=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-m πθρ.（1）写出直线l 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与x 轴的交点为B A ,（点A 在点B 的左侧），若直线l 上存在点M ，满足MB MA 3=，求实数m 的取值范围.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()R a x ax x f ∈---=22.（1）当2=a 时，求不等式()2>x f 的解集；（2）若存在[]4,2∈x ，使得()0≤x f ，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1.B解析：由()i i z -=+82得：()()()()i i i i i i i z 23222828-=-+--=+-=，∴i z 23+=.2.A 解析：由031≤--x x 得()()031≤--x x 且03≠-x ，解得31<≤x ，∴{}31<≤=x x M .由22+=x y 得2≥y ，∴{}2≥=y y N ，∴=N M [)3,2.3.B 解析：根据全程命题的否定为特称命题，可知p ⌝为1>∃x ，()01<-x x .4.C解析：对于A：a 可能在平面β内，故A 错误；对于B：a 与m 可能平行，从而α与β可能相交，故B 错误；对于C：∵β∥a 且β∥b ，α⊂b a ,，P b a = ，∴αβ∥，∵β⊂m ，∴α∥m ，故C 正确；对于D：如图，由正方形沿一条对角线折叠形成，其中形成的两个平面设为βα，，折痕为b ，在平面α的对角线设为a ，在β内的对角线设为n ，同时作n m ⊥，此时b m ∥，易知a b ⊥，则a m ⊥，但此时α与β不垂直，故D 错误.5.D解析：∵⎪⎭⎫⎝⎛∈24ππα，，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα，22，又542sin =α，∴532sin 12cos 2-=--=αα，∴53sin 212-=-α，即54sin 2=α，∵⎪⎭⎫⎝⎛∈24ππα，，∴552sin =α.6.B解析：对于A，∵()0cos 1≥-=x x f ，由图可知，A 不正确；对于C，()2sin cos xxx x x f -='，令()x x x x g sin cos -=，则()()x x x x x x x g sin cos sin cos -=--⋅+='，当()π,0∈x 时，()0<'x g 恒成立，∴()x g 在()π，0上单调递减，∵()00=g ，∴()()00=<g x g 在()π，0上恒成立，∴当()π,0∈x 时，()0<'x f 恒成立，∴()x f 在()π，0上单调递减，∴排除C.对于D，()x xxx f ln cos ⋅=的定义域为()()∞+∞-，，00 ，关于原点对称，()()()x f x xxx x x x f -=-=---=-ln cos ln cos ，()x f 为奇函数，其图象关于原点对称，故D 不正确.7.C解析：（1）若“糕点制作”安排1名女教师，有12C 种不同的安排方法，后续项目分两类：①若“自行车修理”安排1名男教师，则余下4人安排到另两个项目，每个项目2人，有222414C C C 种不同的安排方法；②若“自行车修理”安排2名男教师，则余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有221314C C C 种不同的安排方法.（2）若“糕点制作”安排2名女教师，则“自相车修理”只能安排1名男教师，余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有22131422C C C C 种不同的安排方法，∴一共有()962213142222132422241412=++C C C C C C C C C C C 种不同的安排方法.8.C解析：()()xx x x x x x x f 2cos 2sin 1sin 22sin 1sin cos sin 22+=+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos 2πx ∴当Z k k x ∈=-,242ππ，即Z k k x ∈+=,8ππ时，()x f 取得最大值为2，故A 错误；将x y 2cos 2=的图象向右平移4π个单位长度得到⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos 2πx y x x 2sin 222cos 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π的图象，∴B 错误；由()Z k k x k ∈+≤-≤ππππ2422，得()Z k k x k ∈+≤≤+ππππ858，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡858ππ，是()x f 的一个单调减区间，∴()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛834ππ，上单调递减，故C 正确；∵2482cos 28=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛πππf ，∴点⎪⎭⎫⎝⎛18π不是()x f 图象对称中心，故D 错误.9.A 解析：由题意，知y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥-≤-≥≥3110,0y x y x y x y x ，作出不等式组表示的平面区域，如图中又阴影部分所示（五边形OEBCD （包含边界））作出直线42=+y x ，易得⎪⎭⎫⎝⎛32,25A ，()12，B ，()10，D ，()01，E ，连接DE，则非负数y x ,对应的可行域的面积为25221121=⨯+⨯⨯=+∆BCDE ODE S S 正方形，事件“42≥+y x ”对应的可行域的面积为312322121=⨯⨯=⋅=∆BC AB S ABC ，∴所求概率为1522531==P .10.D 解析：由题图（2）得，圆形木板的直径为()cm 5551022=+.设截得的四边形木板为ABCD ，设α=∠A ，c AB =，a BD =，b AD =，n BC =，m CD =，如图所示，由53cos =α且πα<<0可得54cos 1sin 2=-=αα在ABD ∆中，由正弦定理得55sin =αa，解得54=a 在ABD ∆中，由余弦定理得αcos 2222bc c b a -+=，∴()()()()545165165680222222c b c b c b bc c b bc c b +=+⨯-+≥-+=-+=，即()4002≤+c b ，可得200≤+<c b ，当且仅当10==c b 时等号成立.在BCD ∆中，απ-=∠BCD ，由余弦定理可得()mn n m mn n m a 56cos 28022222++=--+==απ()()()()54454542222n m n m n m mn n m +=+⨯-+≥-+=，即()1002≤+n m ，即100≤+<n m ，当且仅当5==n m 时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为30cm.11.A 解析：设m MF =1，n MF =2，椭圆C 的半焦距为c ，则242c mn a n m ==+，，∴()22222224a m n m mn n m c a -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-，∵c a m c a +≤≤-，∴c a m c ≤-≤，∴()[]2222,04ca m c a ∈-=-，即22254c a c ≤≤，则41512≤≤e ，∴2155≤≤e .12.B 解析：对于a 和b ，∵()4.04.04.0ln 16.0e e ea -==，()2ln 124ln 2-=-=b ，∴可以构造函数()()x x x f ln 1-=，则()4.0e f a =，()2f b =.对()x f 求导得()x x f ln -='，当()+∞∈,1x 时，()0<'x f ，∴()x f 在()∞+，1上单调递减.∵215.04.00<<<<e ee ，∴()()24.0f e f >，即b a >；对于b 和c ，∵e e c b --=--=-2ln 244ln 4.∴可以构造函数()e x x x x g --=ln 2，则()x x g ln 1-='，当()e x ,0∈时，()0>'x g ；当()+∞∈,e x 上单调递减，∴()()0max ==e g x g ，∴()02<g ，∴0<-c b ，即b c >；对于a 和c ，∵()24.014.0+--=-e ec a ，则()x xe x h -='，当()1,0∈x 时，()0<'x h ，∴()x h 在()1,0上单调递减.又∵()25.05.05.0+-=e eh ，且6.15.0>e ，∴()05.0>h ，∴()()05.04.0>>h h ，∴0>-c a ，即c a >.∴b c a >>.二、填空题13.43π解析：设b a +与a 的夹角为θ，由已知得()1,3-=+b a ，∴()()52113-=-⨯+⨯-=⋅+a b a .又5=a ，10=+b a ，∴()221055cos -=⨯-=+⋅+=a b a a b a θ，∵[]πθ，0∈，∴43πθ=.14.x y 22±=解析：由双曲线的定义知312121=-F F PF PF ，即3122=c a ，∴31=c a ，∴2222=-=a a c ab ，∴双曲线M 的渐近线方程为x y 22±=.15.1-解析：∵()12-=x f y 的图象关于直线41=x 对称，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+14121412x f x f ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-212212x f x f ，∴()x f y =的图象关于直线21-=x 对称，故()()x f x f -=-1（*）由()()x f x f 222-=+得()()222--=x f x f ，∴()()2222-=+x f x f ，∴()()422-=x f x f ，∴()x f 的周期为4，∴()()22022f f =.由（*）式得()()()()()11143132-==+-=-=-=f f f f f .16.3解析：由三视图得三棱锥ABC P -的直观图，其中，ABC ∆为直角三角形，两直角边为BC AB ，，由图知，PB AB BC AB ⊥⊥，，B PB BC = ，⊂BC 平面PBC ，⊂PB 平面PBC ，则⊥AB 平面PBC ，又⊂AB 平面ABC ，则平面PBC ⊥平面ABC ，且PBC ∆为正三角形.∴BCPD ⊥面PBC ∩平面ABC BC =，⊂PD 平面PBC ，则⊥PD 平面ABC ，由已知得三棱锥ABC P -的外接球的半径3=R .设a AB =，b BC =，三棱锥ABC P -的外接球的球心为O ，D 为BC 的中点，1O 为AC 的中点，PBC ∆的中心为2O ，则1OO ⊥平面ABC ，2OO ⊥平面PBC .在P OO Rt 2∆中，22222OP PO OO =+，即33321222==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛R b a ，即22439a b -=∴三棱锥ABC P -的体积为()()3201216312323213132≤<-==⋅⨯=a a a ab b ab V .设()()()320121633≤<-=x x x x V ，则()()()()x x x x V -+=-='221633416332.当20<<x 时，()0>'x V ；当322≤<x 时，()0<'x V ，∴()x V 在()2,0上单调递增，在(]32,2上单调递减，∴()x V 在2=x 处取得极大值，也是最大值，∴当2=a 时，三棱锥ABC P -的体积V 最大，且最大值为3.三、解答题（一）必考题：共60分17.解：（1）由题意知，2.138.129.124.124.137.125.118.120.128.118.120.136.11++++++++++++0.2500.122.138.128.116.122.115.13=+++++++，∴5.1220250==x ，()()()[]22022212201x x x x x x S -++-+-= )[]43.020120220120122220212202221=-=++++-+++=∑=i i x x x x x x x x x x （2）由表中数据得，样本中果实长度不小于12cm 的频率为43.由于收获果实数量巨大，∴X 近似服从二项分布，即⎪⎭⎫⎝⎛434~，B X ，∴()3434=⨯=X E ，()43431434=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=X D .∴据此可以估计，X 的数学期望与方差分别为3，43.18.解：（1）∵对任意*,N n m ∈，m n m n a a a +=+，∴11a a a n n +=+，∴数列{}n a 是公差1a d =的等差数列，1na a n =.设等比数列{}n b 的公比为q ，∵11a b =，022=-a b ，133=-a b ，∴⎩⎨⎧=-=-130212111a q a a q a .又∵011≠=a b ，解得111==a b ，2=q ，∴n a n =，12-=n n b .（2）∵n n n b a c =，∴12102232221-++++=n n n T ，n n n T 22322212321++++= ，两式相减得n n n n n n n n n T 222221121112212121212132+-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=- ，∴1224-+-=n n n T .19.解：（1）如图，取AD 的中点F ，连接EF PF ，.∵PD P A =，∴AD PF ⊥.∵平面⊥P AD 平面ABCD ，平面 P AD 平面ABCD AD =，⊂PF 平面P AD ，∴PF ⊥平面ABCD .又⊂BD 平面ABCD ，∴BD PF ⊥.又四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥.∵点F E ,分别为AD CD ,的中点，∴AC EF ∥，∴BD EF ⊥.∵BD PF ⊥，BD EF ⊥，F EF PF = ，⊂EF PF ,平面PEF ，∴⊥BD 平面PEF ，又⊂PE 平面PEF ，∴BD ⊥PE（2）记O BD AC = ，则OB OA ⊥.由（1）知，PF ⊥平面ABCD ，⊂OA 平面ABCD ，⊂OB 平面ABCD ，则OA PF ⊥，OB PF ⊥.过点O 作PF OQ ∥，则OQ OB OA ,,两两垂直.如图，以OQ OB OA ,,所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz O -，则()()()()012004020004，，，，，，，，，，，---E C B A，∵421==AC OA ,221==BD OD，∴5241622=+=+=OD OA AD ,∴521==AD AF ，222=-=AF P A PF ，∴()2,12-，P ∴()212-=，，P A ,()016，，--=AE ,()232--=，，PB ,()216--=，，PC .设平面P AE 法向量为()111,,z y x m = ，由⎪⎩⎪⎨⎧=--=⋅=-+=⋅0602211111y x AE m z y x P A m ，令11=x ，则61-=y ，2-=z ，∴()2,6,1--=m .设平面PBC 的法向量为()222,,z y x n = ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-+-=⋅0260232222222z y x PC n z y x PB n ，令12=x ，则4222-=-=z y ，，∴()4,2,1--=n .设平面PBC 与平面P AE 所成锐二面角为θ，则()()()()()()()()41861421261422611cos 222222=-+-+⨯-+-+-⨯-+-⨯-+⨯=⋅=n m n m θ，∴平面PBC 与平面P AE 所成锐二面角的余弦值为41861.20.解：（1）由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1242222y x px y 整理得()04282=+--x p x .由对称性可得关于x 的方程有两个相等的正的实数根，∴()016282=--=∆p ，且028>-p ，解得2=p ，∴抛物线C 的方程为x y 42=.（2）由题意，知直线AB 的斜率不为0，故设直线AB 的方程为4+=my x ，如图，设()()()()44332211,,,,y x Q y x P y x B y x A ，，，.将直线AB 的方程代入圆E 的方程中，消去x ，得()12122=+y m ，∴11222+=m y ，∴12y y -=，且11222221+==m y y .直线OA 的方程为x x y y 11=，代入抛物线方程x y 42=，消去x ，得y y x y 1124=，解得114y x y =或0=y ，∴1134y x y =.同理得2244y x y =，∴22211142312144sin 21sin 21y x y y x y y y y y OQ OP OB OA POQ OQ OP AOB OB OA S S ⋅=⋅=⋅⋅=∠⋅∠⋅=()()()()()()16416441616212122212122121221+++=++==y y m y y m y y my my y y x x y y ()()()9254941491611216112161622222222212221-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=m m m m m m y y m y y ∴当0=m 时，21S S 取得最大值为169.21.解：（1）∵()x f 的定义域为R ，()()1--='ax e x x f x ，∴()()01≠--=x ax e x g x ，()12--=a e a g a .令()()012>--=x x e x h x ，则()x e x h x2-='.令()()02>-=x x e x x ϕ，则()()02>-='x e x xϕ.由()0='x ϕ得2ln =x ∴当()2ln ,0∈x 时，()0<'x ϕ；当()+∞∈,2ln x 时，()0>'x ϕ，∴()x ϕ在()2ln ,0上单调递减，在()+∞,2ln 上单调递增，∴当()+∞∈,0x 时，()()02ln 22ln >-=≥ϕϕx ，即当()+∞∈,0x 时，()0>'x h ，∴()x h 在()∞+，0上单调递增.∵0>a ，∴()()00=>h a h ，当0>a 时，()0>a g 恒成立.（2）由（1）知，()()1--='ax e x x f x .设()()R x ax e x m x ∈--=1，则()a e x m x-='.①当0≤a 时，()0>'x m 恒成立，∴()x m 在R 上单调递增.∵()00=m ，∴当()0,∞-∈x 时，()0<x m ，从而()0>'x f ；当()+∞∈,0x 时，()0>x m ，从而()0>'x f .又∵()00='f ，∴R x ∈∀，都有()0≥'x f ，∴()x f 在R 上单调递增，此时()x f 无极值；②当0>a 时，由()0='x m ，得a x ln =，∴当()a x ln ,∞-∈时，()0<'x m ；当()+∞∈,ln a x 时，()0>'x m ，∴()x m 在()a ln ,∞-上单调递减，在()+∞,ln a 上单调递增，∴当a x ln =时，()x m 取得最小值，且最小值为()1ln ln --=a a a a m .令()()01ln >--=x x x x x F ，()x x F ln -='.∴当()1,0∈x 时，()0>'x F ；当()+∞∈,1x 时，()0<'x F ，∴()x F 在()1,0行单调递增，在()∞+，1上单调递减.∵()01=F ，∴()+∞∈,0x 时，()0≤x F ，即当0>a 时，()01ln ln ≤--=a a a a m （当且仅当1=a 时等号成立）.（ⅰ）当1=a 时，()()00ln ==m a m ，且当0≠x 时，都有()0>x m ，∴()00='f ，且当()0,∞-∈x 时，()0<'x f ；当()+∞∈,0x 时，()0>'x f ，∴()x f 在()0，∞-上单调递减，在()∞+，0上单调递增，∴()x f 在0=x 处取得极小值，符合题意.（ⅱ）当10<<a 时，0ln <a ，且()0ln <a m .∵011>=⎪⎭⎫ ⎝⎛--a e a m ，∴()00=m ，∴()x m y =的图象大致如图（1）.由函数的单调性及零点存在定理，得在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ln ,1内存在唯一的实数1x ，使得()01=x m ∴当()1,x x ∞-∈时，()0>x m ，从而()0<'x f ；当()0,1x x ∈时，()0<x m ，从而()0>'x f ；当()+∞∈,0x 时，()0>x m ，从而()0<'x f ，∴()x f 在()1,x ∞-上单调递减，在()+∞,1x 上单调递增，∴()x f 在1x x =处取得极小值，符合题意.（ⅲ）当1>a 时，0ln >a ，且()0ln <a m .∵()00=m ，由（1）知，()0>a m ，∴()x m y =的图象大致如图（2）.由函数的单调性及零点存在定理，得在()a a ,ln 内存在唯一的实数2x ，使()02=x m ，∴当()0,∞-∈x 时，()0>x m ，从而()0<'x f ；当()2,0x x ∈时，()0<x m ，从而()0<'x f ；当()+∞∈,2x x 时，()0>x m ，从而()0>'x f ，∴()x f 在()2,x ∞-上单调递减，在()+∞,2x 上单调递增，∴()x f 在2x x =处取得极小值，符合题意.综上，当()x f 存在极小值，实数a 的取值范围为()∞+，0.（二）选考题22.解：（1）∵04cos 2=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-m πθρ，∴0sin 22cos 222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅m θθρ，即0cos sin =++m θρθρ.又y =θρsin ，x =θρcos ，∴0=++m y x ，即直线l 的直角坐标方程为0=++m y x .（2）由⎪⎩⎪⎨⎧==2sin cos y t x t ，且1sin cos 22=+t t ，则曲线C 的普通方程为1422=+y x ，其与x 轴的交点分别为()()0,101B A ，，-.设点()y x M ,，由MB MA 3=，得()()[]2222131y x y x +-=++，即01422=+-+x y x ，∴()3222=+-y x ，它表示圆心为()02，E ，半径为3的圆.∵点()y x M ,既在直线l 上，又在圆E 上，∴322≤+m，即62≤+m ，∴6262+-≤≤--m ，即实数m 的取值范围为[]6262+---，.23.解：（1）当2=a 时，原不等式可化为2212>---x x .当2≥x 时，原不等式可化为()()2212>---x x ，整理得2>x ，∴2>x .当21<<x 时，原不等式可化为()()2212>-+-x x ，整理得2>x ，∴此时不等式的解集为空集..当1≤x 时，原不等式可化为()()2212>-+--x x ，整理得2-<x ，∴2-<x .综上，当2=a 时，不等式()2>x f 的解集为()()∞+-∞-，，22 .（2）若存在[]4,2∈x ，使得()0≤x f ，即存在[]4,2∈x ，使得22-≤-x ax ①①式可转化为()22-≤--ax x ，即⎩⎨⎧-≤--≤+-2222x ax ax x ②∵[]4,2∈x ，∴②式可化为()⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥0114x a x a ③若存在[]4,2∈x 使得③式成立，则⎪⎩⎪⎨⎧≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥0114min a x a ，即⎩⎨⎧≤≥10a a ，∴10≤≤a ，即a 的取值范围为[]1,0.。
高三数学第二次联考试题 理含解析 试题
四中、上高二中2021届高三第二次联考制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日数学〔理〕试题一、选择题：本大题一一共l2小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.集合M={}，集合N={}，(e为自然对数的底数)那么=〔〕A. {}B. {}C. {}D.【答案】C【解析】试题分析：，，故＝．考点：集合的运算．满足〔为虚数单位〕，那么复数的一共轭复数为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，那么复数z的一共轭复数为．应选：B．为偶函数，且当时，，那么不等式的解集为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为当时，，成立,所以排除C，当时，不成立，排除B、D,应选A.考点：1、分段函数的解析式；2、分段函数的奇偶性.4. 现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动完毕，那么活动恰好在第4人抽完后完毕的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：将张奖票不放回地依次取出一共有种不同的取法，假设获恰好在第四次抽奖完毕，那么前三次一共抽到张中奖票，第四次抽的最后一张奖票，一共有种取法，所以概率为，应选C.考点：古典概型及其概率的计算.中，，那么数列的前11项和( )A. 8B. 16C. 22D. 44【答案】C【解析】【分析】本道题利用,得到,再利用,计算结果,即可得出答案.【详解】利用等差数列满足,代入,得到,解得,应选C.【点睛】本道题考察了等差数列的性质,利用好和,即可得出答案.6.一个几何体的三视图如下图,该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合三视图,复原直观图,计算体积,即可得出答案.【详解】根据几何体的三视图得该几何体是四棱锥M-PSQN且四棱锥是棱长为2的正方体的一局部,直观图如下图,由正方体的性质得,所以该四棱锥的体积为:,故A正确.【点睛】本道题考察了三视图复原直观图,题目难度中等,可以借助立方体,进展实物图复原.〔，〕,其图像与直线相邻两个交点的间隔为,假设对于任意的恒成立, 那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得函数的周期为=π，求得ω=2．再根据当x∈〔﹣，〕时，sin〔2x+φ〕＞0恒成立，2kπ＜2•〔﹣〕+φ＜2•+φ＜2kπ+π，由此求得φ的取值范围．【详解】函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的间隔为π,故函数的周期为=π,所以ω=2,于是f(x)=2sin(2x+φ)+1.假设f(x)>1对∀x∈恒成立,即当x∈时,sin(2x+φ)>0恒成立,那么有2kπ≤2·+φ<2·+φ≤2kπ+π,求得2kπ+≤φ≤2kπ+,k∈Z,又|φ|≤,所以≤φ≤.故答案为：D【点睛】此题主要考察正弦函数的周期性、值域，函数的恒成立问题，属于中档题．对于恒成立问题一般要别离参数，然后利用函数的单调性求函数的最大值或者最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比拟多，需要多加体会.上有三点，的斜率分别为3，6，，那么的重心坐标为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解.【详解】设那么，得，同理，，三式相加得，故与前三式联立，得，，，那么.故所求重心的坐标为，应选C.【点睛】此题主要考察理解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的才能有一定的要求，属于中档题.，满足，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分析函数的性质，知函数为奇函数，且在定义域内单调递减，所以可变形为：，进而得，整理得：，利用几何意义可知满足条件的表示的区域是圆的内部〔含边界〕，从而列不等式求解即可.【详解】易知函数的定义域为R，由题意，，可得为奇函数，又是上的减函数，故，所以满足条件的表示的区域是圆的内部〔含边界〕，那么点到直线的间隔，所以的取值范围是，应选B.【点睛】此题考察函数性质与解析几何中直线与圆位置关系知识点的结合.中，两圆：和：，又点坐标为，是上的动点，为上的动点，那么四边形能构成矩形的个数为〔〕A. 0个B. 2个C. 4个D. 无数个【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形得出满足条件的四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．【详解】如下图，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，那么由圆的对称性知，MN=AQ，且∠AMQ=∠ANQ=90°，∴四边形AMQN是矩形，由作图知，四边形AMQN能构成无数个矩形．故答案为：D.【点睛】(1)此题主要考察圆和圆的位置关系，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.(2)解答此题的关键是“以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点〞，这样可以得到无数个矩形.11.如下图,圆形纸片的圆心为,半径为, 该纸片上的正方形ABCD的中心为.,,G,H 为圆上的点, 分别是以,,,为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后, 分别以,,,DA为折痕折起使得,,G,H重合,得到四棱锥. 当正方形ABCD的边长变化时，所得四棱锥体积(单位：)的最大值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本道题先用a表示四棱锥的体积，构造新函数，求导，结合导函数与原函数的单调性，计算原函数的极值，即可得出答案。
高三第二次联考理科数学试卷
高三第二次联考 数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}{}2|430,|,0x A x x x B y y e x =-+<==≤，则A B =U （ ） A.(),1-∞ B.()0,3 C.()1,3 D.()3,+∞2.已知()(47)5m ni i ++=，其中,m n 是实数，则复平面内，复数z m ni =+所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11+x x =求得12x =.（ ） A.3B.2C. 6D. 4.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3 C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n5.已知命题p ⌝:存在x ∈(1,2)使得0x e a ->,若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A.(-∞,e )B.(-∞, e ]C.(2e ,+∞)D.[2e ,+∞)6.直线y x =与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C 的离心率为( )A.－1＋52B.1＋52C.3－52D.127.已知数列{}n a 满足7128,38,n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩若对于任意的*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是( )A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.11,32⎛⎫⎪⎝⎭ D. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭8.将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]3a 和7[2,]6a π上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.[,]32ππB.[,]62ππC.[,]63ππD.3[,]48ππ9.在平行四边形ABCD 中，4,2,,3AB AD A M π==∠=为DC 的中点，N 为平面ABCDAN AM NB AB -==⋅AN AM （ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 610.若函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦11．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．给出下列四个结论，错误的是（ ） A ．存在点E ，使得11C A //平面F BED 1； B ．对于任意的点E ，平面⊥D C A 11平面F BED 1； C ．存在点E ，使得⊥D B 1平面F BED 1； D ．对于任意的点E ，四棱锥F BED B 11-的体积均不变.12．若曲线()()()2111ln 1f x e x e a x =-<<-+和()()320g x x x x =-+<上分别存在点,A B ，使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点y 轴上，则实数a 的取值范围是（ ） A.()2,e eB. 2,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()21,eD.[)1,e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学第二次联考试题理含解析试题
六2021届高三数学第二次联考试题理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的.，集合，那么集合等于〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题可得：集合是点集，集合是数集，由交集概念即可得解。
【详解】由题可得：集合是点集，集合是数集，所以.应选：D【点睛】此题主要考察了集合的表示及交集运算，属于根底题。
满足，那么的虚部为〔〕A. -4B.C. 4D.【答案】B【解析】【分析】整理得：，问题得解。
【详解】因为，所以所以的虚部为：应选：B【点睛】此题主要考察了复数的模及复数的除法运算，还考察了复数的有关概念，考察计算才能，属于根底题。
的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进展调查.现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组〔1～80号，81～160号，…，2321～2400号〕，假设第3组与第4组抽出的号码之和为432，那么第6组抽到的号码是〔〕A. 416B. 432C. 448D. 464 【答案】A【解析】【分析】设第组抽到的号码是，那么构成以80为公差的等差数列，利用等差数列性质可得第6组抽到的号码.【详解】设第组抽到的号码是，那么构成以80为公差的等差数列，所以，，所以，解得，所以.应选：A【点睛】此题考察随机抽样的知识，考察数据处理才能和应用意识.的公差为2，且是与的等比中项，那么该数列的前项和取最小值时，那么的值是〔〕A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B【解析】以为变量，得，，那么，所以最小，故,应选B.是正方体的对角面〔含边界〕内的点，假设点到平面、平面、平面的间隔相等，那么符合条件的点〔〕A. 仅有一个B. 有有限多个C. 有无限多个D. 不存在【答案】A【解析】解：与平面间隔相等的点位于平面上；与平面间隔相等的点位于平面上；与平面间隔相等的点位于平面上；据此可知，满足题意的点位于上述平面，平面,平面的公一共点处，结合题意可知，满足题意的点仅有一个.此题选择A选项.点睛：此题考察点到平面的间隔，利用点到直线的间隔将平面问题类比到空间中点到面的间隔，据此找到满足题意的点是否存在即可.6.，点为斜边的中点，，，，那么等于〔〕A. -14B. -9C. 9D. 14【答案】D【解析】【分析】利用向量一共线及向量的加减法分别表示出，，再利用即可求得，问题得解。
高三数学第二次联考试卷理
四校2021届高三数学第二次联考试卷 理 新人教A 版制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日考试时间是是：120分钟 试卷总分：150分本套试卷分第I 卷和第II 卷两局部 第I 卷〔选择题，一共50分〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求，每一小题在选出答案以后，请把答案填写上在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．．。
1. 设集合{}23,log P a =，{},Q a b =，假设{}0PQ =，那么P Q =〔 〕A ．{}3,0B ．{}3,0,1C ．{}3,0,2D ．{}3,0,1,22. 命题:R p x ∀∈，函数2()2cos 23f x x x =+≤，那么〔 〕A ．p 是假命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =≤B ．p 是假命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =>C ．p 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =≤D ．p 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x => 3．以下“假设p ，那么q 〞形式的命题中，p 是q 的充分而不必要条件的有〔 〕① 假设x E ∈或者x F ∈，那么x EF ∈；② 假设关于x 的不等式2230ax ax a -++>的解集为R ，那么0a >；③ 是有理数，那么x 是无理数 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．双曲线2228x y －＝的实轴长是〔 〕A ．2B ．C ．4D ．5．定义：=sin θ⨯⋅⋅a b a b ，其中θ为向量a 与b 的夹角，假设，5=b ，6⋅=-a b ，那么⨯a b 等于〔 〕A ．8-B ．8C ．8-或者8D ．6 6．数列{}n a 满足11a =，且111()(233n n n a a n -=+≥，且)n ∈*N ，那么数列{}n a 的通项公式为〔 〕A ．n a =32n n +B ．n a =23nn + C ．n a =2n +D ．n a =(2)3nn +7．设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，那么该球的外表积为〔 〕A ．23aπB ．26aπC ．212a πD ．224aπ8．圆心在曲线()30y x x=> 上，且与直线3430x y ++=相切的面积最小的圆的方程为〔 〕A ．()223292x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B ．()()22216315x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭C ．()()22218135x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭D ．((229x y +=9．满足*12121,log log 1()n n a a a n +==+∈N ，它的前n 项和为n S ，那么满足1025n S >的 最小n 值是〔 〕A ．9B ．10C ．11D ．1210．椭圆C 1：()222210x y a b a b +=>>与双曲线C 2：2214y x -=有公一共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点．假设C 1恰好将线段AB 三等分，那么〔 〕A ．213a =B ．2132a = C ．22b = D ．212b = 第II 卷〔非选择题，一共100分〕二、填空题 ：本大题一一共5小题，每一小题4分，一共20分，请把答案．．．．填在答题．．．．卡的横线上．．．．．。
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全国大联考(理科)
高三第二次联考 数学试卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合M=｛x ｜2x 2-x-6＜0｝,N=｛x ｜0<x ≤4｝则M ∩N 等于( ) A.(-2
3,0) B.(-2,0) C.(0,2) D.(-2,3) 2.已知命题p:对x ∀∈（0，+∞），有;23x x >命题q:θ∃∈R,23cos sin =
+θθ,则下 列命题为真命题的是( )
A.p ∧q
B.p ∧(￢q)
C.(￢p)∧q
D.(￢p)∧(￢q)
3. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，
，则( ) A.
B. C. D. 4. 为了得到函数的图象,可以将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向右平移个单位
D. 向左平移个单位
5. 函数的零点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．4
D ．2
6．若， ，则=（ ）
A. B. C. D.
7.已知,则的值为( )
A. B. C. D.
8. 已知等比数列{}n a 中有71134a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则95b b +=（ ）
A.2
B.4
C.8
D. 16
9、已知数列是{}n a 等差数列,若它的前n 项和n s 有最大值,且
110
11-<a a ,则使0>n s 成立的最大自然数n 的值为( ) A. 10 B. 19 C. 20 D. 21
10．已知函数
若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，
则c b a ++的取值范围是( ) A ．（1，2014） B ．（1，2015） C ．（2，2015） D ．[2，2015]
11. )0)()((),(≠x g x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时， )(')()()('x g x f x g x f <，且0)3(=-f ,
0)()(<x g x f 的解集为（ ） A ．（－∞，－3）∪（3，+∞） B ．（－3，0）∪（0，3）
C ．（－3，0）∪（3，+∞）
D ．（－∞，－3）∪（0，3）
12.若函数)(x f 为R 上的单调递增函数，且对任意实数x ，都有f ﹝f(x)-e x
﹞=e+1 (e 是自然对数的底数)，则f(㏑2)的值等于（ ）
A ．3
B ．4
C ． 5
D ．6
二、填空题（本大题包括4小题每小题5分，共20分）
13. 设定义在R 上的函数f （x ）满足，若f(x+2)· f(x)=7,f （1）=2，则f （107）=__________.
14．已知直线y =2x +1与曲线y=㏑(x+a)相切，则a 的值为 ．
15.若数列{}n a 满足21=a ，)(111*+∈-+=n n a a a n
n n ，则该数列的前2015项的乘积 .
16．对于
,有如下几个结论： ①若
,则为等腰三角形； ②若S n 是等比数列
的前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列。
③若，则是直角三角形；
④若
,则是等边三角形； ⑤P 在所在平面内，且，则点P 是的垂心。
其中正确的结论序号是_______________
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题10分）已知函数
（1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求函数在区间上的值域.
18. （本题满分12分）已知向量
， （1）若，求;。