2020年山西省八校联考高考数学一模试卷含答案解析
2020年山西省古县、高阳、离石三区八校联考高考数学一模试
卷
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．
1．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z=（）
A．B． C．1﹣i D．1+i
2．当1＜m＜时，复数（3+i）﹣m（2+i）在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若a=50.2，b=logπ3，c=log5sinπ，则（）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b
4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为8，则判断条件是（）
A．k＜2 B．k＜4 C．k＜3 D．k≤3
5．点P为△ABC边AB上任一点，则使S△PBC≤S△ABC的概率是（）A．B．C．D．
6．函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后关于原点对称，则φ的最小值为（）
A． B．C．D．
7．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l
与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，则双曲线的离心率为（）
A． B． C．2 D．
8．在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°，平面ABCD内有一点P，满足AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则2λ+μ的最大值为（）
A．B．C．D．
9．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）．根据收集到的数据可知=20，
由最小二乘法求得回归直线方程为=0.6x+48，则y1+y2+y3+y4+y5=（）
A．60 B．120 C．150 D．300
10．若点（a，16）在函数y=2x的图象上，则tan的值为（）
A．B．C．﹣D．﹣
11．点M、N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1中点，用过A、M、N和D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图、侧视图（左视图）、俯视图依次为图2中的（）
A．①、②、③ B．②、③、④ C．①、③、④ D．②、④、③
12．圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0．若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（）
A．0 B．C．D．﹣1
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 13．某学校小学部有270人，初中部有360人，高中部有300人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了12人，则从该校应一共抽取人进行该项调查．
14．甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于．
15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．
16．若函数f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的图象与x轴有三个不同的交点，函数g（x）=f（x）﹣b有4个零点，则实数b的取值范围是．
三.解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数f（x）=cosx（cosx+sinx）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若f（C）=1且c=，a+b=4，求S△ABC．
18．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：
每件产品A 每件产品B
研制成本、搭载费用之和（百万元）2 1.5
计划最大资金额15（百万
元）
产品重量（千克） 1 1.5 最大搭载重量12（千克）
预计收益（百元）1000 1200
并且B产品的数量不超过A产品数量的2倍．如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
19．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，且FA=FC．（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）求三棱锥E﹣ABD的体积．
20．椭圆C1： +y2=1，椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），
斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，﹣1）．（1）求椭圆C2的方程；
（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且=+2，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21．已知函数f（x）=x2﹣alnx+x（a∈R）
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，PA、PC切⊙O于A、C，PBD为⊙O的割线．
（1）求证：AD?BC=AB?DC；
（2）已知PB=2，PA=3，求△ABC与△ACD的面积之比．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，已知⊙O的方程x2+y2=4，直线l：x=4，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点作射线交⊙O于A，交直线l于B．
（1）写出⊙O及直线l的极坐标方程；
（2）设AB中点为M，求动点M的轨迹方程．
[选修4-5：不等式选讲]
24．不等式|x﹣|≤的解集为{x|n≤x≤m}
（1）求实数m，n；
（2）若实数a，b满足：|a+b|＜m，|2a﹣b|＜n，求证：|b|＜．
2020年山西省古县、高阳、离石三区八校联考高考数学
一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．
1．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z=（）
A．B． C．1﹣i D．1+i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用分子分母同时乘以分母的共轭复数得答案．
【解答】解：z==，
故选：A．
2．当1＜m＜时，复数（3+i）﹣m（2+i）在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义、不等式的性质即可得出．
【解答】解：复数（3+i）﹣m（2+i）=（3﹣2m）+（1﹣m）i，
∵1＜m＜，∴3﹣2m＞0，1﹣m＜0，
在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D．
3．若a=50.2，b=logπ3，c=log5sinπ，则（）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b
【考点】对数值大小的比较．
【分析】分别利用指数式与对数函数的运算性质比较三个数与0和1的大小得答案．
【解答】解：∵a=50.2＞50=1，
0＜b=logπ3＜logππ=1，
c=log5sinπ≤0，
∴a＞b＞c．
故选：C．
4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为8，则判断条件是（）
A．k＜2 B．k＜4 C．k＜3 D．k≤3
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，由题意当s=8，k=3时，由题意应该不满足条件，退出循环，输出s的值为8，即可得解．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
k=0，s=1
应满足条件，执行循环体，s=1，k=1
应满足条件，执行循环体，s=2，k=2
应满足条件，执行循环体，s=8，k=3
此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出s的值为8．
则判断框内应为：k＜3？
故选：C．
5．点P为△ABC边AB上任一点，则使S△PBC≤S△ABC的概率是（）A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，使S△PBC≤S△ABC
得到三角形高的关系，利用几何概型求概率．
【解答】解：设P到BC的距离为h，
∵三角形ABC的面积为S，设BC边上的高为d，
因为两个三角形有共同的边BC，所以满足S△PBC≤S△ABC时，h≤d，所以使S△PBC ≤S△ABC的概率为=；
故选：A．
6．函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后关于原点对称，则φ的
最小值为（）
A． B．C．D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数解析式，由图象关于原点对称列式求得φ的最小值．
【解答】解：∵f（x）=sin（2x+），
∴图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度得到y=sin[2（x+φ）+]=sin（2x+2φ+），
∵所得的图象关于原点对称，
∴2φ+=kπ（k∈Z），φ＞0，
则φ的最小正值为．
故选：B．
7．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l
与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，则双曲线的离心率为（）
A． B． C．2 D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设|AF1|=t，|AB|=4x，根据双曲线的定义算出t=2x，x=a，Rt△ABF2中算出cos ∠BAF2==，可得cos∠F2AF1=﹣，在△F2AF1中，利用余弦定理与双曲线的离
心率公式加以计算，可得答案．
【解答】解：设|AF1|=t，|AB|=4x，则|BF2|=3x，|AF2|=5x，
根据双曲线的定义，得|AF2|﹣|AF1|=|BF1|﹣|BF2|=2a，
即5x﹣t=（4x+t）﹣3x=2a，解得t=2x，x=a，
即|AF1|=a，|AF2|=a，
∵|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，得△ABF2是以B为直角的Rt△，
∴cos∠BAF2==，
可得cos∠F2AF1=﹣，
△F2AF1中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|?|AF2|cos∠F2AF1
=a2+a2﹣2×a×a×（﹣）=20a2，
可得|F1F2|=2a，即c=a，
因此，该双曲线的离心率e==．
故选：D．
8．在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°，平面ABCD内有一点P，满足AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则2λ+μ的最大值为（）
A．B．C．D．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】可作出图形，根据题意可知λ，μ＞0，根据条件对两边平方，进行数量积的运算便可得到5=4λ2+2λμ+μ2=（2λ+μ）2﹣2λμ，由基本不等式即可得出2λ+μ的范围，从而便可得出2λ+μ的最大值．
【解答】解：如图，依题意知，λ＞0，μ＞0；
根据条件，
5=
=4λ2+2λμ+μ2
==；
∴；
∴；
∴2λ+μ的最大值为．
故选B．
9．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）．根据收集到的数据可知=20，
由最小二乘法求得回归直线方程为=0.6x+48，则y1+y2+y3+y4+y5=（）
A．60 B．120 C．150 D．300
【考点】线性回归方程．
【分析】根据回归方程求出即可得出答案．
【解答】解：将代入回归方程得=0.6×20+48=60．
∴y1+y2+y3+y4+y5=5=300．
故选D．
10．若点（a，16）在函数y=2x的图象上，则tan的值为（）
A．B．C．﹣D．﹣
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】由条件求得a的值，再利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．
【解答】解：∵点（a，16）在函数y=2x的图象上，
∴16=2a，
∴a=4，
则tan=tan=﹣tan=﹣，
故选：C．
11．点M、N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1中点，用过A、M、N和D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图、侧视图（左视图）、俯视图依次为图2中的（）
A．①、②、③ B．②、③、④ C．①、③、④ D．②、④、③
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】直接利用三视图的定义，正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，据此可以判断出其正视图．左视图是光线从几何体的左侧向右侧正投影得到的投影图，据此可以判断出其左视图．类似判断俯视图即可．
【解答】解：由正视图的定义可知：点A、B、B1在后面的投影点分别是点D、C、C1，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，正视图为②，左视图为③，俯视图为④；
故选B．
12．圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0．若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（）
A．0 B．C．D．﹣1
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】圆C化成标准方程，得圆心为C（4，0）且半径r=1，根据题意可得C到直线y=kx
﹣2的距离小于或等于2，利用点到直线的距离公式建立关于k的不等式，解之得0≤k≤，
即可得到k的最大值．
【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，
∴整理得：（x﹣4）2+y2=1，可得圆心为C（4，0），半径r=1．
又∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴点C到直线y=kx﹣2的距离小于或等于2，可得，
化简得：3k2﹣4k≤0，解之得0≤k≤，可得k的最大值是．
故选：B
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 13．某学校小学部有270人，初中部有360人，高中部有300人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了12人，则从该校应一共抽取31人进行该项调查．【考点】分层抽样方法．
【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【解答】解：解：由分层抽样的定义得该校共抽取：=31，
故答案为：31；
14．甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于1：3．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥．利用体积计算公式即可得出．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥．
∴V1==，V2==4π．
∴V1：V2=1：3．
故答案为：1：3．
15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．
【解答】解：∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．
∵双曲线方程为x2﹣y2=1，
∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8
又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，
∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4
因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12
∴|PF1|+|PF2|的值为
故答案为：
16．若函数f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的图象与x轴有三个不同的交点，函数g（x）=f（x）﹣b有4个零点，则实数b的取值范围是（﹣6，0）．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】根据函数f（x）是偶函数，结合函数与x轴交点个数得到f（0）=0，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，
∴f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的图象与x轴有三个不同的交点，
则必有f（0）=0，
即a2﹣6=0，即a2=6，
即a=±，
当a=时，f（x）=x2+2|x|，此时函数f（x）只有1个零点，不满足条件．
当a=﹣时，f（x）=x2﹣2|x|，此时函数f（x）有3个零点，满足条件，
此时f（x）=x2﹣2|x|=（|x|﹣）2﹣6，
∴f（x）≥﹣6，
由g（x）=f（x）﹣b=0得b=f（x），
作出函数f（x）的图象如图：
要使函数g（x）=f（x）﹣b有4个零点，
则﹣6＜b＜0，
故答案为：（﹣6，0）
三.解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数f（x）=cosx（cosx+sinx）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若f（C）=1且c=，a+b=4，求S△ABC．
【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．
【分析】（I）利用倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性值域即可得出．
（II）利用三角函数求值、余弦定理、三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）
==．
当时，f（x）取最小值为．
（Ⅱ），∴．
在△ABC中，∵C∈（0，π），，∴，
又c2=a2+b2﹣2abcosC，
（a+b）2﹣3ab=7．
∴ab=3．
∴．
18．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：
每件产品A 每件产品B
研制成本、搭载费用之和（百万元）2 1.5
计划最大资金额15（百万
元）
产品重量（千克） 1 1.5 最大搭载重量12（千克）
预计收益（百元）1000 1200 10200（百元）
并且B产品的数量不超过A产品数量的2倍．如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
【考点】简单线性规划．
【分析】设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z=1000x+1200y．由图表列出关于x，y的不等式组，画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z=1000x+1200y．
则有．
作出可行域如图：
作直线l：1000x+1200y=0，即直线x+1.2y=0．
把直线l向右上方平移到l1的位置，直线l1经过可行域上的点B，
此时z=1000x+1200y取得最大值．
由，解得点M的坐标为（3，6）．
∴当x=3，y=6时，z max=3×1000+6×1200=10200（百元）．
答：搭载A产品3件，B产品6件，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为10200
百元．
故答案为：10200百元．
19．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，且FA=FC．（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）求三棱锥E﹣ABD的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）设AB ，CD 交于点O ，根据菱形的性质可得AC ⊥BD ，由FA=FC 可得AC ⊥FO ，故而AC ⊥平面BDEF ；
（2）根据菱形的性质计算OA ，BD ，DE ，∠BDE ，得出S △BDE ，则V E ﹣ABD =V A ﹣BDE =?OA ．
【解答】（1）证明：设AB ∩CD=O ，连接DF ，OF ， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ，
∵AF=CF ，O 为AC 的中点， ∴AC ⊥OF ，
又∵BD ?平面BDEF ，OF ?平面BDEF ，BD ∩OF=O ， ∴AC ⊥平面BDEF ．
（2）解：四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2， ∴DE=BD=2，∠BDE=120°，OA=． ∴S △BDE =
=
，
由（1）得AC ⊥平面BDEF ， 所以AO ⊥平面BDEF ， ∴V E ﹣ABD =V A ﹣BDE =
?OA=
=1．
20．椭圆C1： +y2=1，椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），
斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，﹣1）．（1）求椭圆C2的方程；
（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且=+2，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．
【分析】（1）求出椭圆C2的c，设出A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，得到a，b的方程，解方程解得a，b，即可得到所求椭圆方程；
（2）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程，再由向量的坐标相等，得到方程，代入整理，即可得到x1x2+2y1y2=0，再由斜率公式，即可得到斜率之积为定值．
【解答】解：（1）椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），
则c=，即有a2﹣b2=5，①
设A（x1，y1），B（x2，y2），则=1，=1，
两式相减的， +=0，
由于x1+x2=4，y1+y2=﹣2，
则有k AB===1，②
由①②解得，a=，b=．
则椭圆C2的方程为=1；
（2）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），
则x02+2y02=10，x12+2y12=2，x22+2y22=2，
由=+2，
可得：（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），
∴，
∴x02+2y02=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2
=x12+4x1x2+4x22+2y12+8y1y2+8y22=（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）
=10+4（x1x2+2y1y2）=10．
∴x1x2+2y1y2=0，
∴=﹣，即k OM?k ON=﹣，
∴直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为﹣．
21．已知函数f（x）=x2﹣alnx+x（a∈R）
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求导函数，可得切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程；（Ⅱ）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可讨论函数y=f（x）的单调性．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣lnx+x，f（1）=2，此时点A（1，2），，
∴切线的斜率k=f′（1）=2，
∴切线方程为：y﹣2=2（x﹣1），
即y=2x…
（Ⅱ）由题意知：f（x）的定义域为（0，+∞），…
令g（x）=2x2+x﹣a（x＞0）
（1）当△=1+8a≤0，即时，g（x）≥0，
∴?x∈（0，+∞），f′（x）≥0，
∴f（x）为（0，+∞）的单调递增函数；
（2）当△=1+8a＞0，即时，此时g（x）=0有两个根：，
①若时，f′（x）≥0，?x∈（0，+∞）
②若?a＞0时，当；
当
综上可知：（1）当时时，f（x）为（0，+∞）的单调递增函数；
（2）当时，f（x）的减区间是，增区间是…
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，PA、PC切⊙O于A、C，PBD为⊙O的割线．
（1）求证：AD?BC=AB?DC；
（2）已知PB=2，PA=3，求△ABC与△ACD的面积之比．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）证明△PAB∽△PDA，可得=，同理可得=，问题得以证明，（2）根据圆内接四边形的性质和三角形的面积公式可得=，问题得以解决．
【解答】证明：（1）∵PA是⊙O的切线，
由弦切角定理得∠PAB=∠ADB，
∵∠APB为△PAB与△PAD的公共角，
∴△PAB∽△PDA，
∴=，
同理=，
又PA=PC，
∴，
∴AD?BC=AB?DC；
（2）由圆的内接四边形的性质得∠ABC+∠ADC=π，
∴S△ABC=AB?BC?sin∠ABC，
S△ADC=AD?DC?sin∠ADC，
∴====
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，已知⊙O的方程x2+y2=4，直线l：x=4，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点作射线交⊙O于A，交直线l于B．
（1）写出⊙O及直线l的极坐标方程；
（2）设AB中点为M，求动点M的轨迹方程．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）根据极坐标方程与普通方程之间的转化公式，求得⊙O及直线l的极坐标方程．
（2）设动点M（ρ，θ），A（ρ1，θ）、B（ρ2，θ），则由题意可得，化简
可得动点M的轨迹方程．
【解答】解：（1）∵⊙O的方程x2+y2=4，故它的极坐标方程为ρ2=4，即ρ=2；
∵直线l：x=4，故它的极坐标方程为ρcosθ=4．
（2）由于AB中点为M，设动点M（ρ，θ），A（ρ1，θ）、B（ρ2，θ），则，∴动点M的轨迹方程为ρ=1+．
[选修4-5：不等式选讲]
24．不等式|x﹣|≤的解集为{x|n≤x≤m}
（1）求实数m，n；
（2）若实数a，b满足：|a+b|＜m，|2a﹣b|＜n，求证：|b|＜．
【考点】综合法与分析法(选修）．
【分析】（1）根据绝对值不等式的解法进行求解即可．
（2）根据绝对值不等式的性质进行转化证明．
【解答】解：（1）由|x﹣|≤得﹣≤x﹣≤，即≤x≤，
∵不等式|x﹣|≤的解集为{x|n≤x≤m}
∴n=，m=，
（2）证明：3|b|=|3b|=|2（a+b）﹣（2a﹣b）|≤2|a+b|+|2a﹣b|，
∵|a+b|＜m，|2a﹣b|＜n，∴|a+b|＜，|2a﹣b|＜，
则3|b|≤2|a+b|+|2a﹣b|＜2×+=，
即|b|＜．
2020年8月1日