吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高三10月月考数学(文)试题
2021学年吉林省吉林市某校高三(上)10月月考数学(文)试卷(有答案)
2020-2021学年吉林省吉林市某校高三（上）10月月考数学（文）试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|x 2−x −6≤0}，B ={x|x ∈N }，则A ∩B =( )A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}2. 下列函数中最小正周期为π的函数的个数是( )①y =|sin x|；②y =cos (2x +π3)；③y =tan 2x .A.0B.1C.2D.33. 下列向量中不是单位向量的是( )A.(1,0)B.(1,1)C.(cos α,sin α)D.a →|a →|(|a →|≠0)4. 为了得到函数y =cos (12x +π4)的图象，可将函数y =cos 12x 的图象( )A.向左平移π4个单位B.向右平移π4个单位C.向左平移π2个单位D.向右平移π2个单位5. 设角α的始边为x 轴非负半轴，则“角α的终边在第二、三象限”是“cos α<0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 等差数列{a n }中，a 5+a 10+a 15=30，则a 22−2a 16的值为( )A.−10B.−20C.10D.207. 已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞）是单调增函数，若f (1−a )<f (2)，则实数a 的取值范围是( )A.−1<a <3B.a <−1或a >3C.−3<a <1D.a <−3或a >18. 已知e 1→，e 2→是夹角为60∘的单位向量，若a →=e 1→+λe 2→，b →=2e 1→−3e 2→，且a →⊥b →，则λ=( )A.−32B.23C.14D.789. 已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A.y =(e x −1e x +1)cos x B.y =2|x|−x 2−2C.y =2|x|−|x|+2D.y =(x 2−1)cos x10. 某兴趣小组对函数f (x )的性质进行研究，发现函数f (x )是偶函数，在定义域R 上满足f (x +1)=f (x −1)+f (1)，且在区间[−1,0]为减函数．则f (−3)与f (−52)的关系为( )A.f (−3)≥f (−52)B.f (−3)>f (−52)C.f (−3)≤f (−52)D.f (−3)<f (−52)11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为1：25，则cos (α−β)的值为( )A.2425B.1C.725D.012. 已知函数f (x )={ln x,x ≥1,x e x ,x <1,g (x )=kx +f ′(2)，对∀x 1∈R ，∃x 2∈[−3,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则k 的取值范围是( )A.(−∞,−13e −16] B.[13e+16,+∞)C.[−13e −16,13e+16] D.(−∞,−13e−16]∪[13e+16,+∞)二、填空题已知复数z=2−3i，则|z+1|=________.已知函数f(x)=a1−x(a>0且a≠1），若f(2021)>f(2020)，则实数a的取值范围是________.有一个数阵排列如下：则第40行从左至右第6个数字为________.如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪ABC，经测量得AB=30m，AC= 40m，BC=10√13m，在保护草坪的同时，为了方便游人行走，现打算铺设一条小路DE（其中点D在边AB上，点E在边AC上），若DE恰好将该草坪的面积平分，则D，E两点间的最小距离为________m．三、解答题已知数列{b n}满足b1=1，b n+1=12b n.(1)求{b n}的通项公式；(2)求b2+b4+b6+⋯+b2n的值．已知函数f(x)=2sin x cos(x−π3)，x∈R.(1)求函数f(x)的对称中心；(2)若存在x0∈[π4,3π4]，使不等式f(x0)<m成立，求实数m的取值范围．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，√3a=c sin B+√3b cos C.(1)求角B的大小；(2)若b=4，且△ABC的面积等于4√3，求a，c的值．已知函数f(x)=13ax3+2a+12x2+3x.(1)当a=2时，求函数f(x)的单调区间与极值；(2)是否存在正实数a，使得函数f(x)在区间[−1,1]上为减函数？若存在，请求a的取值范围；若不存在，请说明理由．已知数列{a n}的首项a1=3，且满足a n+1=2a n+2n+1−1.(1)设b n=a n−12n，证明{b n}是等差数列；(2)求数列{a n−1}的前n项和S n.设函数f(x)=m ln x−2x.(1)当m=2时，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线；(2)当m=1时，曲线y=f(x)上的点(x0,y0)(x0>0)处的切线与y=x2相切，求满足条件的x0的个数．参考答案与试题解析2020-2021学年吉林省吉林市某校高三（上）10月月考数学（文）试卷一、选择题1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】先求出集合A，再利用交集运算求解即可.【解答】解：∵A={x|x2−x−6≤0}={x|−2≤x≤3}，B={x|x∈N}，∴A∩B={0,1,2,3}.故选D.2.【答案】C【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】根据三角函数性质求各自的最小正周期即可.【解答】解：①y=|sin x|的周期为y=sin x的周期的一半，故y=|sin x|的最小正周期为T=2π2=π；②y=cos(2x+π3)的最小正周期为T=2π2=π；③y=tan2x的最小正周期为T=π2，故最小正周期为π的函数有2个.故选C．3.【答案】B【考点】单位向量向量的模同角三角函数基本关系的运用【解析】分别计算各个选项向量的模,看是否为1即可.【解答】解：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.由题意可知，选项A，C，D中向量的模均为1，所以均为单位向量；选项B中向量的模为√12+12=√2，不是单位向量.故选B.4.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角函数的图象变换得解.【解答】解：∵y=cos(12x+π4)=cos12(x+π2)，∴将函数y=cos12x向左平移π2个单位即可得到函数y=cos(12x+π4)的图象.故选C.5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断三角函数值的符号【解析】利用余弦函数在各象限的符号得解.【解答】解：由角α的终边在第二、三象限，可以得到cosα<0，而当cosα<0时，角α的终边可能在x轴的负半轴上，不一定在第二、三象限，所以“角α的终边在第二、三象限”是“cosα<0”的充分不必要条件.故选A.6.【答案】A【考点】等差中项等差数列的性质【解析】利用等差数列的性质求出a10，再次利用性质化简求值即可.【解答】解：由等差数列的性质可知：a5+a10+a15=3a10=30，∴a10=10，∴a22−2a16=a22−(a10+a22)=−a10=−10.7.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】直接利用函数的奇偶性及单调性，构造不等式即可.【解答】解：由函数f (x )为偶函数，且f (1−a )<f (2)，得：f(|1−a |)<f(2).又因为函数f (x )在区间[0,+∞)是单调增函数，所以|1−a |<2，解得−1<a <3.故选A .8.【答案】C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的运算【解析】根据条件便可以得到|e 1→|=1，|e 2→|=1，e 1→⋅e 2→=12，而根据a →=e 1→+λe 2→与b →=2e 1→−3e 2→垂直，从而有(e 1→+λe 2→)⋅(2e 1→−3e 2→)=0，进行数量积的运算即可得出关于λ的方程，解方程便可得出λ的值．【解答】解：根据题意，得|e 1→|=|e 2→|=1，e 1→⋅e 2→=12.∵ a →⊥b →，∴ (e 1→+λe 2→)⊥(2e 1→−3e 2→)，∴ (e 1→+λe 2→)⋅(2e 1→−3e 2→)=2e 1→2+(2λ−3)e 1→⋅e 2→−3λe 2→2=2+12(2λ−3)−3λ=0，解得：λ=14．故选C ．9.【答案】B函数的图象【解析】利用特殊得函数值，排除即可.【解答】解：由图象可知：f (0)<0，A ，当x =0时，y =1−11+1×cos 0=0，故A 错误；C ，当x =0时，y =20−0+2>0，故C 错误；D ，令y =(x 2−1)cos x =0，解得x =±1，或cos x =0，即x =±1或x =π2+kπ，k ∈Z ，即该函数的零点个数大于2，故D 错误.故选B .10.【答案】B【考点】函数的周期性奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】首先求出f (1)，再判断函数的周期，再结合单调性即可比较大小.【解答】解：令x =0，则f(1)=f(−1)+f(1)，又因为f (x )是偶函数，则f (1)=f (−1)，所以f (1)=0，所以f(x +1)=f(x −1)，即f(x +2)=f(x)，故函数f (x )为周期函数，且周期为2，所以f (−3)=f (−1)，f (−52)=f (−12).又函数f (x )在区间[−1,0]为减函数，则f (−1)>f (−12)，即f(−3)>f (−52). 故选B .11.【答案】A【考点】诱导公式两角和与差的余弦公式同角三角函数基本关系的运用【解析】设出大正方形边长，由面积比得到小正方形边长，再结合边长关系，用三角函数表示，再利用三角恒等变化化简，即可求出.【解答】解：设大正方形的边长为1，由于面积之比为1：25，可得小正方形的边长为15， 则cos α−sin α=15， sin β−cos β=15， 由图可得cos α=sin β，sin α=cos β，∴ (cos α−sin α)(sin β−cos β)=cos αsin β−sin αsin β−cos αcos β+sin αcos β=sin 2β+cos 2β−cos (α−β)=1−cos (α−β)=125，∴ cos (α−β)=2425.故选A ．12.【答案】D【考点】利用导数研究函数的最值函数恒成立问题【解析】首先根据题意将问题转化为f(x)min ≥g(x)min ，利用导数求出f(x)min ，再对k 讨论求出g(x)min ，代入不等式即可求解.【解答】解：由题意可知，f(x)min ≥g(x)min .因为f(x)={ln x,x ≥1,x e x ,x <1.所以当x ≥1时，f(x)≥0，当x <1时，f ′(x)=(x +1)e x ，若x <−1时，f ′(x)<0，f (x )为减函数；若−1<x <1时，f ′(x)>0，f (x )为增函数，所以f(x)min =f(−1)=−1e <0， 所以f(x)min =−1e . 当x >1时，f ′(x)=1x ，f ′(2)=12，所以g(x)=kx +12.若k ≥0时，g(x)min =g(−3)=−3k +12≤−1e ，解得k ≥13e +16；若k <0时，g(x)min =g(3)=3k +12≤−1e ，解得k ≤−13e −16，所以k的取值范围是(−∞,−13e −16]∪[13e+16,+∞).故选D.二、填空题【答案】3√2【考点】复数的模【解析】先求出z+1，再利用复数的模的运算求解即可.【解答】解：∵z=2−3i，∴|z+1|=|3−3i|=√32+(−3)2=3√2.故答案为：3√2.【答案】(0,1)【考点】指数函数单调性的应用【解析】先由f(2021)>f(2020)确定函数的单调性，然后对函数进行变形，最终确定a的取值范围.【解答】解：∵f(2021)>f(2020)，∴函数f(x)=a1−x=(1a )x−1为增函数，∴1a>1，即0<a<1.故答案为：(0,1).【答案】1030【考点】数列的应用数列的求和等差数列的前n项和【解析】根据已知寻找规律，第一行第6个数是16，第二行第6个数是23，从而确定第40行的第6个数.【解答】解：观察每行的第6个数可知：第一行的第6个数是16，第二行的第6个数是23，通过计算第三行的第6个数是31，则第40行的第6个数为：16+7+8+9+10+⋯+45=16+39(7+45)2=1030.故答案为：1030.【答案】10√6基本不等式在最值问题中的应用 余弦定理 正弦定理【解析】先利用余弦定理求出A 的余弦值，再利用面积相等求出AD ⋅AE ，最后再利用余弦定理以及重要不等式计算D,E 之间的最小距离即可. 【解答】解：在三角形ABC 中，由余弦定理得： cos A =AB 2+AC 2−BC 22AB ⋅AC=302+402−(10√13)22×30×40=12.由题意知：S △ABC =12AB ⋅BC sin A =2S △DAE =2×12AD ⋅AE sin A ，所以AD ⋅AE =12AB ⋅AC =12×30×40=600. 在三角形ADE 中，由余弦定理得： cos A =AD 2+AE 2−DE 22AD⋅AE=12，所以DE 2=AD 2+AE 2−600≥2AD ⋅AE −600=1200−600=600， 当且仅当AD =AE 时等号成立， 所以DE ≥√600=10√6.故D ，E 两点间的最小距离为10√6m . 故答案为：10√6. 三、解答题 【答案】解：(1)由b n+1=12b n ，得b n+1b n=12，∴ {b n }为等比数列，且首项b 1=1，公比q =12， ∴ {b n }的通项公式为b n =(12)n−1.(2)设a n =b 2n ， 则a n+1a n=b n+2b 2n=(12)2n+1(12)2n−1=(12)2=14 ，∴ {b 2n }是首项为12，公比为14的等比数列， ∴ b 2+b 4+b 6+⋯+b n =12[1−(14)n ]1−14=23[1−(14)n].数列递推式等比数列的前n 项和 等比数列的通项公式 【解析】 【解答】解：(1)由b n+1=12b n ，得b n+1b n=12，∴ {b n }为等比数列，且首项b 1=1，公比q =12， ∴ {b n }的通项公式为b n =(12)n−1.(2)设a n =b 2n ， 则a n+1a n=b n+2b 2n=(12)2n+1(12)2n−1=(12)2=14 ，∴ {b 2n }是首项为12，公比为14的等比数列， ∴ b 2+b 4+b 6+⋯+b n =12[1−(14)n ]1−14=23[1−(14)n]. 【答案】解：(1)f(x)=2sin x (cos x cos π3+sin x sin π3)=sin x cos x +√3sin 2x =12sin 2x +√32(1−cos 2x) =12sin 2x −√32cos 2x +√32 =sin (2x −π3)+√32. 令2x −π3=kπ(k ∈Z )，得x =kπ2+π6(k ∈Z )，所以函数f(x)的对称中心为(kπ2+π6,√32)(k ∈Z ) .(2)因为存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f(x 0)<m 成立，所以m 大于f(x)的最小值， 由π4≤x ≤3π4，得π6≤2x −π3≤7π6，当2x −π3=7π6，即x =3π4时，f(x)取最小值√3−12，所以m >√3−12，则m 的取值范围为(√3−12,+∞) . 【考点】二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 两角和与差的正弦公式 函数恒成立问题 正弦函数的对称性 正弦函数的定义域和值域 【解析】 【解答】解：(1)f(x)=2sin x (cos x cos π3+sin x sin π3) =sin x cos x +√3sin 2x =12sin 2x +√32(1−cos 2x) =12sin 2x −√32cos 2x +√32 =sin (2x −π3)+√32. 令2x −π3=kπ(k ∈Z )，得x =kπ2+π6(k ∈Z )，所以函数f(x)的对称中心为(kπ2+π6,√32)(k ∈Z ) .(2)因为存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f(x 0)<m 成立，所以m 大于f(x)的最小值， 由π4≤x ≤3π4，得π6≤2x −π3≤7π6，当2x −π3=7π6，即x =3π4时，f(x)取最小值√3−12， 所以m >√3−12，则m 的取值范围为(√3−12,+∞) . 【答案】解：(2)由正弦定理得√3sin A =sin C sin B +√3sin B cos C .因为A +B +C =π，所以√3sin (B +C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，即√3(sin B cos C +cos B sin C )=sin C sin B +√3sin B cos C ， 化简，得√3cos B =sin B . 因为B ∈(0,π)， 所以B =π3.(2)由(1)知B=π.3因为b=4，所以由余弦定理得b2=a2+c2−2ac cos B，，即42=a2+c2−2ac cosπ3化简得a2+c2−ac=16.①因为该三角形面积为4√3，ac sin B=4√3，即ac=16.②所以12联立①②，解得a=c=4．【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值【解析】【解答】解：(2)由正弦定理得√3sin A=sin C sin B+√3sin B cos C. 因为A+B+C=π，所以√3sin(B+C)=sin C sin B+√3sin B cos C，即√3(sin B cos C+cos B sin C)=sin C sin B+√3sin B cos C，化简，得√3cos B=sin B.因为B∈(0,π)，.所以B=π3(2)由(1)知B=π.3因为b=4，所以由余弦定理得b2=a2+c2−2ac cos B，，即42=a2+c2−2ac cosπ3化简得a2+c2−ac=16.①因为该三角形面积为4√3，ac sin B=4√3，即ac=16.②所以12联立①②，解得a=c=4．【答案】解：(1)当a=2时，f′(x)=2x2+5x+3=(x+1)(2x+3).，令f′(x)=0，解得x=−1或−32所以f (x )的单调递增区间为(−∞,−32)，(−1,+∞)， f (x )的单调递减区间为(−32,−1) ，f (x )的极大值为f (−32)=−98， f (x )的极小值为f (−1)=−76．(2)依题意： f ′(x )=ax 2+(2a +1)x +3≤0在[−1,1]上恒成立， 又因为a >0， 所以{a >0,f ′(−1)≤0,f ′(1)≤0,即{ a >0，a ≥2，a ≤−43，无解， 故不存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数. 【考点】已知函数的单调性求参数问题 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】 无 无【解答】解：(1)当a =2时，f ′(x )=2x 2+5x +3=(x +1)(2x +3). 令f ′(x )=0，解得x =−1或−32， 所以f (x )的单调递增区间为(−∞,−32)，(−1,+∞)， f (x )的单调递减区间为(−32,−1) ， f (x )的极大值为f (−32)=−98，f (x )的极小值为f (−1)=−76．(2)依题意： f ′(x )=ax 2+(2a +1)x +3≤0在[−1,1]上恒成立， 又因为a >0， 所以{a >0,f ′(−1)≤0,f ′(1)≤0,即{ a >0，a ≥2，a ≤−43，无解， 故不存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数. 【答案】 解：(1)由b n =a n −12n，得b n+1=a n+1−12n+1，将a n+1=2a n +2n+1−1代入上式， 得b n+1=2a n +2n+1−22n+1=a n +2n −12n=a n −12n+1，所以b n+1−b n =1，且b 1=a 1−12=1，所以{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知b n =n ， 所以b n =a n −12n=n ，a n =n ⋅2n +1，所以a n −1=n ⋅2n ，则S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ，① 2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n+1，②由①−②，得−S n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1， 即−S n =2(2n −1)−n ⋅2n+1=(1−n )2n+1−2. 所以S n =(n −1)2n+1+2. 【考点】 数列的求和 等差数列 【解析】 【解答】 解：(1)由b n =a n −12n，得b n+1=a n+1−12n+1，将a n+1=2a n +2n+1−1代入上式， 得b n+1=2a n +2n+1−22n+1=a n +2n −12n=a n −12n+1，所以b n+1−b n =1，且b 1=a 1−12=1，所以{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知b n =n ， 所以b n =a n −12n=n ，a n =n ⋅2n +1，所以a n −1=n ⋅2n ，则S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ，① 2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n+1，②由①−②，得−S n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1， 即−S n =2(2n −1)−n ⋅2n+1=(1−n )2n+1−2. 所以S n =(n −1)2n+1+2. 【答案】解：(1)当m =2时，f ′(x)=2x −2， k =f ′(1)=0，即切线方程为y =−2． (2)当m =1时， f ′(x )=1x −2=1−2x x，则曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线方程为 y −(ln x 0−2x 0)=1−2x 0x 0(x −x 0)，即y =1−2x 0x 0x +ln x 0−1.设直线l 与y =x 2相切于点(x 1,x 12)， 即切线方程为y =2x 1x −x 12，即 {1−2x 0x 0=2x 1,ln x 0−1=−x 12,即1−ln x 0=(1−2x 02x 0)2，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0. 令g (x )=4x 2ln x −4x +1，则g ′(x )=8x ln x +4x −4，g ′′(x )=8ln x +12.令g ′′(x )=0得x =e −32，即g ′(x )在(0,e −32)上单调递减，在(e −32,+∞)上单调递增， 即g ′(x )min =g ′(e −32)=−8e −32−4<0. 当x ∈(0,e −32)时，8ln x +12<0， 即g ′(x )<x (8ln x +12)−4<−4. 当x =1时，g ′(x )=0，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，g ′(x )>0， 即g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减增， 即g (x )min =g (1)=−3<0. 又因为g (1e 2)=−8e 4−4e 2+1=e 4−4e 2−8e 4=e 2(e 2−4)−8e 4>0，且g (e )=4e 2−4e +1>0，所以g (x )=0在(1e 2,1)和(1,e )上各有1个零点，即g (x )=0在(0,1)和(1,+∞)上各有1个零点，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0有两个实根，即满足条件的x 0有两个． 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当m =2时，f ′(x)=2x −2， k =f ′(1)=0，即切线方程为y =−2． (2)当m =1时， f ′(x )=1x −2=1−2x x，则曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线方程为 y −(ln x 0−2x 0)=1−2x 0x 0(x −x 0)，即y =1−2x 0x 0x +ln x 0−1.设直线l 与y =x 2相切于点(x 1,x 12)， 即切线方程为y =2x 1x −x 12，即 {1−2x 0x 0=2x 1,ln x 0−1=−x 12,即1−ln x 0=(1−2x 02x 0)2，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0. 令g (x )=4x 2ln x −4x +1，则g ′(x )=8x ln x +4x −4，g ′′(x )=8ln x +12.令g ′′(x )=0得x =e −32，即g ′(x )在(0,e −32)上单调递减，在(e −32,+∞)上单调递增， 即g ′(x )min =g ′(e −32)=−8e −32−4<0. 当x ∈(0,e −32)时，8ln x +12<0， 即g ′(x )<x (8ln x +12)−4<−4.当x=1时，g′(x)=0，所以当x∈(0,1)时，g′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，即g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减增，即g(x)min=g(1)=−3<0.又因为g(1e2)=−8e4−4e2+1=e4−4e2−8e4=e2(e2−4)−8e4>0，且g(e)=4e2−4e+1>0，所以g(x)=0在(1e2,1)和(1,e)上各有1个零点，即g(x)=0在(0,1)和(1,+∞)上各有1个零点，即4x02ln x0−4x0+1=0有两个实根，即满足条件的x0有两个．。
吉林省榆树市第一高级中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试卷
榆树一中2019—2020学年度高二上学期第一次月考数学试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1、数列 的一个通项公式是 （ ） A.B. C. D. 2、在中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，如果12=a ，0030,45==C A ,那么c 等于 （ ）A ．B ．C ．212D ．263、在数列{}n b 中，31-=n b n ， 则13b b -的值为 （ ） A ．34 B ．32 C ．31 D ．1 4、已知实数c b a ,, 满足0>>>c b a ，则下列不等式正确的是 ( )A ．b a 11>B ．c a 11>C ．c b b a +<+11D ．ca cb +<+11 5、在等比数列中，且 4,142==a a ，则数列前3项的和是 （ ）A ．3B ．27 C ．314 D ． 6 6、在中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，其面积)(41222b a c S --=， 则角C 的大小是 （ ）A ．2πB ．32πC ．4π D ． 43π 7、等差数列中，是其前n 项和， 111-=a ，27979=-S S ， 则=12S ( )1,3,5,7,9,()21n n N +-∈()1n n N +-∈()n n N+∈()33n n N +-∈{}n a )(0*N n a n ∈>{}n a {}n a n SA ．－11B ．0C ．2D ．－48、在中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，其中 54sin ,9,10===B b a ， 则 不同形状的个数有 （ ）A ．二个B ．一个C ． 0个D ．以上都有可能 9、已知实数,,y x 若实数m 既是 23323与的等差中项，又是x 9与y 3的等比中项，则y x +2的值为 （ ）A ．3B ．4C ．1D ．210、已知等差数列{}n b 中，是它的前项和，若001312><S S 且 则当最小时的值为 （ ）A ．8B ．6C ．13D ．12 11、已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若322cos =C ，23=a 33cos cos =+B a A b ，则边b 的值为 （ ）A ． 7B ． 8C ． 10D ． 912、已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数， 都有131-+=n n T S n n ，则=++++82673115)(2b b a b b a a （ ） A ．137 B ．1315 C ． D ．1516 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13、已知在数列中，若=1，，则=3a14、如图所示,已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于km 2（千米）,灯塔A 在观察站C 的北偏东,灯塔B 在观察站C 的南偏东,则灯塔A 与灯塔B 的距离为 n S n n S n {}{},n n a b n ,n n S T n 715{}n a 1a 123(1)n n a a n +=+≥020040（ 14题图） （ 15题图） 15、如图,在ABC ∆中，030=B ,D 是边BC 上一点, 7,5,3,AC AD DC ===则AB 的长为16、已知数列满足13)1(1+=--+n a a n n n ，则的前40项和为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17、（本题满分10分）已知等差数列中，7,141==a a ．( Ⅰ )求数列的通项公式； （本小题满分5分） ( Ⅱ )若数列的前项和100=kS ，求的值．（本小题满分5分） 18、（本小题满分12分）在中，角A ，B ，C 所对的边分别为，且，. （Ⅰ）若，求的值； （本小题满分6分） （Ⅱ）若的面积，求b 的值. （本小题满分6分）19、（本小题满分12分）若数列满足11=a ，n a a n n +=+1 ，( Ⅰ ) 求42a a 与的值 （本小题满分6分）( Ⅱ )设111-=+n n a b ，且{}n b 前n 项和n S ，若使1019>n S 恒成立， 求n 的最小值 （本小题满分6分）20、（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，若,3π=B{}n a {}n a {}n a {}n a {}n a k k ABC ∆c b a ,,2=a 54cos =B 3=b A sin ABC ∆3=∆ABC S且边c b a ,,成等比数列，( Ⅰ ) 求角A 的大小； （本小题满分6分）( Ⅱ ) 若3=a ，求△ABC 外接圆面积． （本小题满分6分）21、（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，且bc a c b +=+222 ( Ⅰ ) 若A C B 2sin sin sin =⋅,判断ABC ∆的形状 （本小题满分6分）( Ⅱ ) 若c b ,是函数4013)(2+-=x x x f 的零点，求a 的值（本小题满分6分）22、（本题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足231(*)=-∈n n S a n N ，数列{}n b 满足112a b =．231+=+n n b b（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （本小题满分6分）（Ⅱ）设)1(3log+⋅=n b n n a c ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．（本小题满分6分。
2020-2021学年吉林吉林高三上数学月考试卷
2020-2021学年吉林吉林高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|x 2−x −6≤0}，B ={x|x ∈N }，则A ∩B =( ) A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}2. 下列函数中最小正周期为π的函数的个数是( ) ①y =|sin x|；②y =cos (2x +π3)；③y =tan 2x .A.0B.1C.2D.33. 下列向量中不是单位向量的是( ) A.(1,0) B.(1,1)C.(cos α,sin α)D.a→|a →|(|a →|≠0)4. 为了得到函数y =cos (12x +π4)的图象，可将函数y =cos 12x 的图象( )A.向左平移π4个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π2个单位D.向右平移π2个单位5. 设角α的始边为x 轴非负半轴，则“角α的终边在第二、三象限”是“cos α<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 等差数列{a n }中，a 5+a 10+a 15=30，则a 22−2a 16的值为( ) A.−10 B.−20C.10D.207. 已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞）是单调增函数，若f (1−a )<f (2)，则实数a 的取值范围是( ) A.−1<a <3 B.a <−1或a >3 C.−3<a <1D.a <−3或a >18. 已知e 1→，e 2→是夹角为60∘的单位向量，若a →=e 1→+λe 2→，b →=2e 1→−3e 2→，且a →⊥b →，则λ=( ) A.−32 B.23C.14D.789. 已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A.y =(e x −1e x +1)cos x B.y =2|x|−x 2−2 C.y =2|x|−|x|+2D.y =(x 2−1)cos x10. 某兴趣小组对函数f (x )的性质进行研究，发现函数f (x )是偶函数，在定义域R 上满足f (x +1)=f (x −1)+f (1)，且在区间[−1,0]为减函数．则f (−3)与f (−52)的关系为( )A.f (−3)≥f (−52) B.f (−3)>f (−52) C.f (−3)≤f (−52) D.f (−3)<f (−52)11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为1：25，则cos (α−β)的值为( )A.2425 B.1C.725D.012. 已知函数f (x )={ln x,x ≥1,x e x ,x <1,g (x )=kx +f ′(2)，对∀x 1∈R ，∃x 2∈[−3,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则k 的取值范围是( )A.(−∞,−13e −16] B.[13e +16,+∞)C.[−13e−16,13e+16]D.(−∞,−13e −16]∪[13e +16,+∞)二、填空题已知复数z =2−3i ，则|z +1|=________.已知函数f(x)=a 1−x (a >0且a ≠1），若f (2021)>f (2020)，则实数a 的取值范围是________.有一个数阵排列如下：则第40行从左至右第6个数字为________.如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪ABC ，经测量得AB =30m ，AC =40m ，BC =10√13m ，在保护草坪的同时，为了方便游人行走，现打算铺设一条小路DE （其中点D 在边AB 上，点E 在边AC 上），若DE 恰好将该草坪的面积平分，则D ，E 两点间的最小距离为________m ．三、解答题已知数列{b n }满足b 1=1，b n+1=12b n . (1)求{b n }的通项公式；(2)求b 2+b 4+b 6+⋯+b 2n 的值．已知函数f (x )=2sin x cos (x −π3)，x ∈R .(1)求函数f (x )的对称中心；(2)若存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f (x 0)<m 成立，求实数m 的取值范围．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边， √3a =c sin B +√3b cos C . (1)求角B 的大小；(2)若b =4，且△ABC 的面积等于4√3，求a ，c 的值．已知函数f (x )=13ax 3+2a+12x 2+3x .(1)当a =2时，求函数f (x )的单调区间与极值；(2)是否存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数？若存在，请求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．已知数列{a n }的首项a 1=3，且满足a n+1=2a n +2n+1−1. (1)设b n =a n −12n，证明{b n }是等差数列；(2)求数列{a n −1}的前n 项和S n .设函数f (x )=m ln x −2x .(1)当m =2时，求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线；(2)当m =1时，曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线与y =x 2相切，求满足条件的x 0的个数．参考答案与试题解析2020-2021学年吉林吉林高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】先求出集合A，再利用交集运算求解即可.【解答】解：∵A={x|x2−x−6≤0}={x|−2≤x≤3}，B={x|x∈N}，∴A∩B={0,1,2,3}.故选D.2.【答案】C【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】根据三角函数性质求各自的最小正周期即可.【解答】解：①y=|sin x|的周期为y=sin x的周期的一半，故y=|sin x|的最小正周期为T=2π2=π；②y=cos(2x+π3)的最小正周期为T=2π2=π；③y=tan2x的最小正周期为T=π2，故最小正周期为π的函数有2个.故选C．3.【答案】B【考点】单位向量向量的模同角三角函数基本关系的运用【解析】分别计算各个选项向量的模,看是否为1即可. 【解答】解：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.由题意可知，选项A，C，D中向量的模均为1，所以均为单位向量；选项B中向量的模为2+12=√2，不是单位向量.故选B.4.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角函数的图象变换得解.【解答】解：∵y=cos(12x+π4)=cos12(x+π2)，∴将函数y=cos12x向左平移π2个单位即可得到函数y=cos(12x+π4)的图象.故选C.5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断三角函数值的符号【解析】利用余弦函数在各象限的符号得解.【解答】解：由角α的终边在第二、三象限，可以得到cosα<0，而当cosα<0时，角α的终边可能在x轴的负半轴上，不一定在第二、三象限，所以“角α的终边在第二、三象限”是“cosα<0”的充分不必要条件.故选A.6.【答案】A【考点】等差中项等差数列的性质【解析】利用等差数列的性质求出a10，再次利用性质化简求值即可.【解答】解：由等差数列的性质可知：a5+a10+a15=3a10=30，∴a10=10，∴ a 22−2a 16=a 22−(a 10+a 22)=−a 10=−10. 故选A . 7.【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质 函数单调性的性质【解析】直接利用函数的奇偶性及单调性，构造不等式即可. 【解答】解：由函数f (x )为偶函数，且f (1−a )<f (2)，得：f(|1−a |)<f(2). 又因为函数f (x )在区间[0,+∞)是单调增函数， 所以|1−a |<2，解得−1<a <3. 故选A . 8.【答案】 C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算 【解析】根据条件便可以得到|e 1→|=1，|e 2→|=1，e 1→⋅e 2→=12，而根据a →=e 1→+λe 2→与b→=2e 1→−3e 2→垂直，从而有(e 1→+λe 2→)⋅(2e 1→−3e 2→)=0，进行数量积的运算即可得出关于λ的方程，解方程便可得出λ的值．【解答】解：根据题意，得|e 1→|=|e 2→|=1，e 1→⋅e 2→=12. ∵ a →⊥b →，∴ (e 1→+λe 2→)⊥(2e 1→−3e 2→)， ∴ (e 1→+λe 2→)⋅(2e 1→−3e 2→) =2e 1→2+(2λ−3)e 1→⋅e 2→−3λe 2→2=2+12(2λ−3)−3λ=0， 解得：λ=14． 故选C ． 9.【答案】 B【考点】 函数的图象 【解析】利用特殊得函数值，排除即可. 【解答】解：由图象可知：f (0)<0，A ，当x =0时，y =1−11+1×cos 0=0，故A 错误； C ，当x =0时，y =20−0+2>0，故C 错误； D ，令y =(x 2−1)cos x =0， 解得x =±1，或cos x =0， 即x =±1或x =π2+kπ，k ∈Z ， 即该函数的零点个数大于2，故D 错误. 故选B . 10.【答案】 B【考点】 函数的周期性奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】首先求出f (1)，再判断函数的周期，再结合单调性即可比较大小. 【解答】解：令x =0，则f(1)=f(−1)+f(1)， 又因为f (x )是偶函数，则f (1)=f (−1)， 所以f (1)=0，所以f(x +1)=f(x −1)，即f(x +2)=f(x)， 故函数f (x )为周期函数，且周期为2， 所以f (−3)=f (−1)，f (−52)=f (−12). 又函数f (x )在区间[−1,0]为减函数， 则f (−1)>f (−12)，即f(−3)>f (−52). 故选B . 11. 【答案】 A 【考点】 诱导公式两角和与差的余弦公式 同角三角函数基本关系的运用【解析】设出大正方形边长，由面积比得到小正方形边长，再结合边长关系，用三角函数表示，再利用三角恒等变化化简，即可求出. 【解答】解：设大正方形的边长为1，由于面积之比为1：25， 可得小正方形的边长为15，则cos α−sin α=15， sin β−cos β=15， 由图可得cos α=sin β，sin α=cos β， ∴ (cos α−sin α)(sin β−cos β)=cos αsin β−sin αsin β−cos αcos β+sin αcos β =sin 2β+cos 2β−cos (α−β) =1−cos (α−β)=125，∴ cos (α−β)=2425. 故选A ． 12.【答案】 D【考点】利用导数研究函数的最值 函数恒成立问题【解析】首先根据题意将问题转化为f(x)min ≥g(x)min ，利用导数求出f(x)min ，再对k 讨论求出g(x)min ，代入不等式即可求解. 【解答】解：由题意可知，f(x)min ≥g(x)min . 因为f(x)={ln x,x ≥1,x e x ,x <1.所以当x ≥1时，f(x)≥0， 当x <1时，f ′(x)=(x +1)e x ，若x <−1时，f ′(x)<0，f (x )为减函数； 若−1<x <1时，f ′(x)>0，f (x )为增函数， 所以f(x)min =f(−1)=−1e <0， 所以f(x)min =−1e .当x >1时，f ′(x)=1x ，f ′(2)=12，所以g(x)=kx +12.若k ≥0时，g(x)min =g(−3)=−3k +12≤−1e，解得k ≥13e+16；若k <0时，g(x)min =g(3)=3k +12≤−1e ，解得k ≤−13e −16， 所以k 的取值范围是(−∞,−13e −16]∪[13e +16,+∞). 故选D .二、填空题【答案】3√2【考点】 复数的模 【解析】先求出z +1，再利用复数的模的运算求解即可. 【解答】解：∵ z =2−3i ，∴ |z +1|=|3−3i |=√32+(−3)2=3√2. 故答案为：3√2. 【答案】 (0,1) 【考点】指数函数单调性的应用 【解析】先由f (2021)>f (2020)确定函数的单调性，然后对函数进行变形，最终确定a 的取值范围. 【解答】解：∵ f (2021)>f (2020)， ∴ 函数f (x )=a 1−x =(1a )x−1为增函数，∴ 1a >1，即0<a <1. 故答案为：(0,1). 【答案】 1030 【考点】 数列的应用 数列的求和等差数列的前n 项和【解析】根据已知寻找规律，第一行第6个数是16，第二行第6个数是23，从而确定第40行的第6个数. 【解答】解：观察每行的第6个数可知：第一行的第6个数是16，第二行的第6个数是23，通过计算第三行的第6个数是31， 则第40行的第6个数为：16+7+8+9+10+⋯+45 =16+39(7+45)2=1030.故答案为：1030.【答案】10√6 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 余弦定理 正弦定理【解析】先利用余弦定理求出A 的余弦值，再利用面积相等求出AD ⋅AE ，最后再利用余弦定理以及重要不等式计算D,E 之间的最小距离即可. 【解答】解：在三角形ABC 中，由余弦定理得： cos A =AB 2+AC 2−BC 22AB ⋅AC=302+402−(10√13)22×30×40=12.由题意知：S △ABC =12AB ⋅BC sin A =2S △DAE =2×12AD ⋅AE sin A ，所以AD ⋅AE =12AB ⋅AC =12×30×40=600.在三角形ADE 中，由余弦定理得： cos A =AD 2+AE 2−DE 22AD⋅AE=12，所以DE 2=AD 2+AE 2−600≥2AD ⋅AE −600=1200−600=600， 当且仅当AD =AE 时等号成立， 所以DE ≥√600=10√6.故D ，E 两点间的最小距离为10√6m . 故答案为：10√6. 三、解答题 【答案】解：(1)由b n+1=12b n ，得b n+1b n=12，∴ {b n }为等比数列，且首项b 1=1，公比q =12， ∴ {b n }的通项公式为b n =(12)n−1.(2)设a n =b 2n ，则a n+1a n=b n+2b 2n=(12)2n+1(12)2n−1=(12)2=14，∴ {b 2n }是首项为12，公比为14的等比数列， ∴ b 2+b 4+b 6+⋯+b n =12[1−(14)n ]1−14=23[1−(14)n]. 【考点】 数列递推式等比数列的前n 项和 等比数列的通项公式 【解析】 【解答】解：(1)由b n+1=12b n ，得b n+1b n=12，∴ {b n }为等比数列，且首项b 1=1，公比q =12， ∴ {b n }的通项公式为b n =(12)n−1.(2)设a n =b 2n ， 则a n+1a n=b n+2b 2n=(12)2n+1(12)2n−1=(12)2=14 ，∴ {b 2n }是首项为12，公比为14的等比数列，∴ b 2+b 4+b 6+⋯+b n =12[1−(14)n]1−14=23[1−(14)n]. 【答案】解：(1)f(x)=2sin x (cos x cos π3+sin x sin π3) =sin x cos x +√3sin 2x =12sin 2x +√32(1−cos 2x) =12sin 2x −√32cos 2x +√32 =sin (2x −π3)+√32.令2x −π3=kπ(k ∈Z )，得x =kπ2+π6(k ∈Z )，所以函数f(x)的对称中心为(kπ2+π6,√32)(k ∈Z ) . (2)因为存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f(x 0)<m 成立，所以m 大于f(x)的最小值， 由π4≤x ≤3π4，得π6≤2x −π3≤7π6，当2x −π3=7π6，即x =3π4时，f(x)取最小值√3−12， 所以m >√3−12，则m 的取值范围为(√3−12,+∞) . 【考点】二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 两角和与差的正弦公式 函数恒成立问题 正弦函数的对称性 正弦函数的定义域和值域 【解析】 【解答】解：(1)f(x)=2sin x (cos x cos π3+sin x sin π3) =sin x cos x +√3sin 2x =12sin 2x +√32(1−cos 2x) =12sin 2x −√32cos 2x +√32 =sin (2x −π3)+√32. 令2x −π3=kπ(k ∈Z )，得x =kπ2+π6(k ∈Z )，所以函数f(x)的对称中心为(kπ2+π6,√32)(k ∈Z ) .(2)因为存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f(x 0)<m 成立，所以m 大于f(x)的最小值， 由π4≤x ≤3π4，得π6≤2x −π3≤7π6，当2x −π3=7π6，即x =3π4时，f(x)取最小值√3−12， 所以m >√3−12，则m 的取值范围为(√3−12,+∞) . 【答案】解：(2)由正弦定理得√3sin A =sin C sin B +√3sin B cos C .因为A +B +C =π，所以√3sin (B +C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，即√3(sin B cos C +cos B sin C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，化简，得√3cos B =sin B . 因为B ∈(0,π)， 所以B =π3.(2)由(1)知B =π3.因为b =4，所以由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac cos B ， 即42=a 2+c 2−2ac cos π3， 化简得a 2+c 2−ac =16.① 因为该三角形面积为4√3， 所以12ac sin B =4√3，即ac =16.②联立①②，解得a =c =4． 【考点】两角和与差的正弦公式 余弦定理 正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】 【解答】解：(2)由正弦定理得√3sin A =sin C sin B +√3sin B cos C .因为A +B +C =π，所以√3sin (B +C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，即√3(sin B cos C +cos B sin C )=sin C sin B +√3sin B cos C ， 化简，得√3cos B =sin B . 因为B ∈(0,π)， 所以B =π3.(2)由(1)知B =π3.因为b =4，所以由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac cos B ， 即42=a 2+c 2−2ac cos π3， 化简得a 2+c 2−ac =16.① 因为该三角形面积为4√3， 所以12ac sin B =4√3，即ac =16.② 联立①②，解得a =c =4．【答案】解：(1)当a =2时，f ′(x )=2x 2+5x +3=(x +1)(2x +3). 令f ′(x )=0，解得x =−1或−32，所以f (x )的单调递增区间为(−∞,−32)，(−1,+∞)， f (x )的单调递减区间为(−32,−1) ， f (x )的极大值为f (−32)=−98，f (x )的极小值为f (−1)=−76．(2)依题意： f ′(x )=ax 2+(2a +1)x +3≤0在[−1,1]上恒成立，又因为a >0， 所以{a >0,f ′(−1)≤0,f ′(1)≤0,即{ a >0，a ≥2，a ≤−43，无解， 故不存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数. 【考点】已知函数的单调性求参数问题 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】 无无【解答】解：(1)当a =2时，f ′(x )=2x 2+5x +3=(x +1)(2x +3). 令f ′(x )=0，解得x =−1或−32，所以f (x )的单调递增区间为(−∞,−32)，(−1,+∞)，f (x )的单调递减区间为(−32,−1) ，f (x )的极大值为f (−32)=−98， f (x )的极小值为f (−1)=−76．(2)依题意： f ′(x )=ax 2+(2a +1)x +3≤0在[−1,1]上恒成立，又因为a >0， 所以{a >0,f ′(−1)≤0,f ′(1)≤0,即{ a >0，a ≥2，a ≤−43，无解， 故不存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数. 【答案】 解：(1)由b n =a n −12n，得b n+1=a n+1−12n+1，将a n+1=2a n +2n+1−1代入上式， 得b n+1=2a n +2n+1−22n+1=a n +2n −12n=a n −12n+1，所以b n+1−b n =1，且b 1=a 1−12=1，所以{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知b n =n ，所以b n =a n −12n=n ，a n =n ⋅2n +1， 所以a n −1=n ⋅2n ，则S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ，① 2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n+1，②由①−②，得−S n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1， 即−S n =2(2n −1)−n ⋅2n+1=(1−n )2n+1−2. 所以S n =(n −1)2n+1+2. 【考点】 数列的求和 等差数列 【解析】 【解答】 解：(1)由b n =a n −12n，得b n+1=a n+1−12n+1，将a n+1=2a n +2n+1−1代入上式， 得b n+1=2a n+2n+1−22n+1=a n +2n−12n=a n −12n+1，所以b n+1−b n =1，且b 1=a 1−12=1，所以{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知b n =n ， 所以b n =a n −12n=n ，a n =n ⋅2n+1，所以a n −1=n ⋅2n ，则S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ，① 2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n+1，②由①−②，得−S n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1， 即−S n =2(2n −1)−n ⋅2n+1=(1−n )2n+1−2. 所以S n =(n −1)2n+1+2. 【答案】解：(1)当m =2时，f ′(x)=2x −2， k =f ′(1)=0，即切线方程为y =−2． (2)当m =1时， f ′(x )=1x −2=1−2x x，则曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线方程为y −(ln x 0−2x 0)=1−2x 0x 0(x −x 0)，即y =1−2x 0x 0x +ln x 0−1.设直线l 与y =x 2相切于点(x 1,x 12)， 即切线方程为y =2x 1x −x 12，即 {1−2x 0x 0=2x 1,ln x 0−1=−x 12,即1−ln x 0=(1−2x 02x 0)2，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0. 令g (x )=4x 2ln x −4x +1，则g ′(x )=8x ln x +4x −4，g ′′(x )=8ln x +12.令g ′′(x )=0得x =e −32，即g ′(x )在(0,e −32)上单调递减，在(e −32,+∞)上单调递增， 即g ′(x )min =g ′(e −32)=−8e−32−4<0.当x ∈(0,e −32)时，8ln x +12<0，即g ′(x )<x (8ln x +12)−4<−4. 当x =1时，g ′(x )=0，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，g ′(x )>0， 即g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减增， 即g (x )min =g (1)=−3<0. 又因为g (1e 2)=−8e 4−4e 2+1=e 4−4e 2−8e 4=e 2(e 2−4)−8e 4>0，且g (e )=4e 2−4e +1>0，所以g (x )=0在(1e 2,1)和(1,e )上各有1个零点，即g (x )=0在(0,1)和(1,+∞)上各有1个零点，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0有两个实根，即满足条件的x 0有两个． 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当m =2时，f ′(x)=2x −2，k =f ′(1)=0，即切线方程为y =−2．(2)当m =1时， f ′(x )=1x −2=1−2x x，则曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线方程为 y −(ln x 0−2x 0)=1−2x 0x 0(x −x 0)，即y =1−2x 0x 0x +ln x 0−1.设直线l 与y =x 2相切于点(x 1,x 12)， 即切线方程为y =2x 1x −x 12，即 {1−2x 0x 0=2x 1,ln x 0−1=−x 12,即1−ln x 0=(1−2x 02x 0)2，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0. 令g (x )=4x 2ln x −4x +1，则g ′(x )=8x ln x +4x −4，g ′′(x )=8ln x +12.令g ′′(x )=0得x =e −32，即g ′(x )在(0,e −32)上单调递减，在(e −32,+∞)上单调递增， 即g ′(x )min =g ′(e −32)=−8e −32−4<0. 当x ∈(0,e −32)时，8ln x +12<0，即g ′(x )<x (8ln x +12)−4<−4. 当x =1时，g ′(x )=0，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，g ′(x )>0， 即g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减增， 即g (x )min =g (1)=−3<0. 又因为g (1e )=−8e −4e +1 =e 4−4e 2−8e 4=e 2(e 2−4)−8e 4>0，且g (e )=4e 2−4e +1>0，所以g (x )=0在(1e 2,1)和(1,e )上各有1个零点，即g (x )=0在(0,1)和(1,+∞)上各有1个零点，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0有两个实根，即满足条件的x 0有两个．。
吉林省部分名校2021～2022学年高三上学期10月考文科数学试题参考答案
2021年高三10月份考试数学（文科）参考答案一、单选题1..已知集合A ={x |x ≤3,x ∈N *},B ={-1,0,1,2,3},则A ∩B =（ ） A..{0,1,2,3} B..{1,2,3} C..{0,1,2} D..{2,3}【答案】B【分析】首先列举法表示出集合A ,然后根据交集的概念即可求出结果. 【详解】由题意得,A ={1,2,3},所以A ∩B ={1,2,3}.故选：B . 2..设()212i z =-,则z =（ ） A..5 B..17 C..29 D..41【答案】A【分析】利用复数的乘法化简复数z ,利用复数的模长公式可求得z . 【详解】因为()2212i 14i 4i 34i z =-=-+=--,因此,()()22345z =-+-=.故选：A.3..三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成,该图可用来解释下列哪个不等式（ ）A..如果,a b b c >>,那么a c >；B..如果0a b >>,那么22a b >；C..对任意实数a 和b ,有222a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立；D..如果a b >,0c >,那么ac bc >.. 【答案】C【分析】设图中直角三角形的直角边长分别为,a b ,22a b +进而可表示出阴影面积以及外围正方形的面积,由图可得结果.【详解】设图中全等的直角三角形的直角边长分别为,a b ,22a b +图中四个直角三角形的面积和为1422a b ab ⨯⨯⨯=,外围正方形的面积为222a b =+.由图可知,四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积,所以222ab a b ≤+,当且仅当a b =时,等号成立.故选：C.4..袋子中有6个相同的球,分別标有数字1,2,3,4,5,6,从中随机取出两个球,则取出球的数字之和是8的概率为（ ） A..16B..536C..115D..215【答案】D【分析】列举出所有基本事件,分别求出总事件和所求基本事件的个数,再根据古典概型公式即可得解.【详解】基本事件共有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种,其中数字和为8的基本事件有2种,所以取出球的数字之和是8的概率为215, 故选：D.5..对3个非零平面向量,,a b c ,下列选项中正确的是 A..若0a b λμ+=,则0λμ== B..若a b a c ⋅=⋅,则b c = C..若()()a b c a c b ⋅=⋅,则b c = D..,,a b c 两两之间的夹角可以都是钝角 【答案】D【分析】向量两个特殊情况：共线和零向量,可排除A,B ；向量不满足交换律所以C 错.. 【详解】(1) a 与b 在同一条直线上,故A 错 （2）a 可能为0向量,故B 错（3）向量运算不满足交换律,所以C 错（4）,,a b c 两两之间的夹角可以都是钝角,如都为120 故选D6..数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,其前n 项和为n S .若11n n S ka +=-,则k =（ ） A..1 B..2 C..3 D..4【答案】D【分析】利用等比数列,求出通项n a ,利用求和公式求得1n S +,代入即可得解.【详解】由数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,12n na()1111122112n n n S +++⨯-=-=∴-由11n n S ka +=-,得112121n n k +--=⨯-,即1122n n k +-=⨯,11242n n k +-∴==, 故选：D.7..某四棱锥的三视图所示,已知该四棱锥的体积为433,则它的表面积为A..8B..12C..443+D..20【答案】B【分析】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱,底面为正方形,根据三视图的数据即可求出该四棱柱的表面积.【详解】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱,如图所示,底面边长为2,设四棱锥的高为h ,则依题意有143223V h =⨯⨯=所以3h =所以侧面的高为221142h h =+ 所以四棱锥的侧面积11=422=82S ⨯⨯⨯,所以该四棱锥的表面积为：2=8+22=12S ⨯.故选：B8..已知O 为坐标原点,抛物线2:8C y x =上一点A 到焦点F 的距离为6,若点P 为抛物线C 的准线上的动点,则PO PA +的最小值为（ ）A..4B..43C..46D..63【答案】C 【分析】求出坐标原点O 关于准线的对称点B 的坐标,由PO PB =,则PO PA PB PA AB +=+≥,根据两点间的距离公式即可求解. 【详解】解：由题意,抛物线28y x =的准线方程为2x =-, ∵6AF =,∴点A 到准线的距离为6,即点A 的横坐标为4,不妨设点A 在第一象限, 则点A 的坐标为()4,42,∵坐标原点O 关于准线的对称点B 的坐标为()4,0-, ∴PO PB =,∴PO PA +的最小值为()()22444246AB =++=.故选：C.9..某礼品店销售的一装饰摆件如图所示,由球和正三棱柱加工组合而成,球嵌入正三棱柱内一部分且与上底面三条棱均相切,正三棱柱的高为4,底面正三角形边长为6,球的体积为323π,则该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为（ ）A..5B..6C..7D..8【答案】C【分析】利用球的体积公式求出半径,求出正三角形内切圆半径,利用勾股定理求出球心到上底面距离即可得解【详解】设球的半径为R ,三棱柱上底面正三角形的内切圆半径为r ..由球的体积为323π可得343233R ππ=,解得2R =.. 因为正三棱柱的高为4,底面正三角形边长为6,所以底面正三角形的内切圆半径为316323r =⨯⨯=,正三棱柱的高为4,设球心为O ,正三角形的内切圆圆心为1O , 取11B C 的中点M ,并将这三点顺次连接,则由球的几何知识得1OO M △为直角三角形,所以()22221231OO R r =-=-=,于是该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为2147++=..故选：C10..已知函数21()xx f x e x e=++..则使不等式(21)()f m f m -<成立的实数m 的范围为（ ） A..1m < B..1mC..113m << D..13m <【答案】C【分析】根据函数表达式可得,函数为偶函数,当0x >时,可通过求导判断函数的单调性,从而确定整个函数的单调性,根据单调性求解参数的取值范围【详解】因为21()xx f x e x e =++,()21()x x f x e x ef x -=+=+,所以()f x 为R 上的偶函数,且'1()2xx f x e x e=+-,易得'()f x 单调递增且'(0)0f =,所以,当0x >时,'()0f x >恒成立,()f x 单调递增,根据偶函数的对称性得,0x <时,()f x 单调递减,若(21)()f m f m -<,则有21m m -<,两边同时平方得：()2221m m -<,解得：113m <<故选：C11..已知12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左､右焦点,过1F 作b y x a=-的垂线分别交双曲线的左､右两支于,B C 两点(如图).若22CBF CF B ∠∠=,则双曲线的渐近线方程为（ ）A..3y x =±B..2y x =C..)31y x =±D..)31=±y x【答案】C【分析】根据已知条件和双曲线的定义可求得12BF a =,24BF a =,再在12BF F △中运用余弦定理建立关于a ,b ,c 的方程,可求得双曲线的渐近线方程得选项.【详解】由22CBF CF B ∠∠=,设2BC CF m ==,由122CF CF a -=得,12BF a =,所以24BF a =,2222221122121124416cos 28BF F F BF a c a BF F BF F F ac∠++-+-==⋅⋅,又112tan F C a k BF F b ∠==得12cos b BF F c∠=, 22244168a c a bac c+-∴=,令1a =,化简得：2220b b --=,得13b =所以渐近线方程为)31y x =±,故选：C.12..已知0a <,不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立,则a 的取值范围（ ） A..[,1]e -- B..[,0)e - C..(,1)-∞- D..(,]e -∞-【答案】B【分析】变换得到(ln )ln ax a x xe x e --≥⋅,设()x f x xe =,等价于()(ln )a f x f x -≥,即min (),ln x a x -≤令()ln x g x x=,根据函数的单调性得到最值得到答案. 【详解】由1ln 0a x x e a x +⋅+≥得()ln x axe x a x -≥⋅-,即(ln )ln a x a x xe x e --≥⋅,设(),>1()xf x xe x =,则()()'()+1>0>1x f x x e x =，,所以函数()f x 在(1,)x ∈+∞上是增函数,所以不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立,等价于()(ln )a f x f x -≥, 所以ln a x x -≥,即ln x a x ≥-对任意的1x >恒成立, 因为1x >,所以ln 0x >,即ln x a x-≤对任意的1x >恒成立,即min ()ln xa x -≤, 令()ln x g x x=,则'2ln 1()(ln )x g x x -=,由()0g x '=,得x e =, 所以当(1,)x e ∈时,()0g x '<,函数()g x 在区间(1,)e 为减函数,当(,)x e ∈+∞时,()>0g x ',函数()g x 在区间(,)e +∞为增函数,所以当x e =时,()g x 取得最小值()g e e =,所以a e -≤,所以a e ≥-,又由已知得0a <,所以a 的取值范围为[0)e -，.故选：B.方法点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为min ()0f x >,若()0f x <恒成立,转化为max ()0f x <.二、填空题13..已知角θ的终边过点(4,3)-,则sin (2θ)等于________.. 【答案】2425-【分析】根据终边上的点写出sin ,cos θθ,再由sin(2)2sin cos θθθ=求值即可. 【详解】由题设,34sin ,cos 55θθ=-=,∴24sin(2)2sin cos 25θθθ==-. 故答案为：2425-14..记n S 分别为等差数列{}n a 的前n 项和,若212n a n =-,则10S =__________. 【答案】100【分析】利用通项公式求得11019,1a a ==,结合等差数列求和公式求得结果. 【详解】11019,1a a ==,所以前10项的和为10S =191101002+⨯=. 故答案为：100.15..已知实数x ,y 满足不等式组40210330x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则221x y x +++的最大值为______..【答案】238【分析】画出可行域,22211x y y x x ++=+++,1yx +表示可行域内的点与定点()1,0-连线的斜率,数形结合可求得最大值. 【详解】画出如图可行域,因为22211x y yx x ++=+++,令1yt x =+,则t 表示可行域内的点(),P x y 与定点()1,0B -连线的斜率.. 由图可知,当点P 为点57,33A ⎛⎫⎪⎝⎭时,连线斜率最大,所以max7735813t ==+, 所以221x y x +++的最大值为238..故答案为：23816..在正方体1111ABCD A B C D -中,有下列结论： ①//BD 平面11CB D ；②异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒；③三棱柱111ABD A B D -的体积是三棱锥1A ABD -的体积的四倍； ④在四面体11ACB D 中,分别连接三组对棱的中点的线段互相垂直平分. 其中正确的是________（填出所有正确结论的序号）. 【答案】①④【分析】根据正方体的几何特征,证明线面平行,求异面直线夹角,求体积关系,分析正四面体对棱连线特点. 【详解】因为11//BD B D ,11B D ⊂平面11CB D ,BD ⊄平面11CB D ,所以//BD 平面11CB D ,故①正确； 因为//AD BC ,所以异面直线AD 与1CB 所成的角等于1BCB ∠,在正方形11BCC B 中,145BCB ∠=︒,故②错误；三棱柱111ABD A B D -的体积是三棱锥1A ABD -的体积的三倍,故③错误； 由正方体的性质可知,正方体三条对面中心连线线段相互垂直平分.四面体11ACB D 是正四面体,其棱中点即正方体每个面的中心,对棱中点连线必经过正方体的中心,由对称性知,连接正四面体11ACB D 每组对棱中点的线段互相垂直平分,则④正确.故答案为：①④ 三、解答题17..已知a ,b ,c 分别为ABC 内角A ,B ,C 的对边,3a =,7b =,()tan 3B π+=- （1）求sin A 的值； （2）求ABC 的面积. 【答案】（1）33sin A =（2153. 【分析】（1）由()tan B π+可求出sin B ,利用正弦定理可求出sin A ；（2）由余弦定理可求出c ,再借助于三角形面积即可求出结果. 【详解】（1）()tan tan 3B B π+==-23B π=, 由正弦定理得372sin sin 3Aπ=,∴33sin A （2）由余弦定理得22222cos3b ac ac π=+-,整理得23400c c +-=,解得5c =或8-（舍去）,ABC 的面积113153sin 3522ABC S ac B ==⨯⨯=△. 18..某地从今年3月份正式启动新冠肺炎疫苗的接种工作,前4周的累计接种人数统计如下表： 前x 周12 3 4累计接种人数y （千人） 2.5 3 4 4.5 （1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）政府部门要求在2个月内（按8周算）完成8千人的疫苗接种工作,根据（1）中所求的回归方程,预计接下来4周是否需要加快接种工作的速度..参考公式：线性回归方程y a bx =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221,ni ii nii x ynxy b a y bx xnx==-==--∑∑..【答案】（1）0.7 1.5ˆ7y x =+；（2）需要加快接种工作的速度..【详解】（1）1234 2.534 4.52.5,3.544x y ++++++====, 2ˆ38.54 2.5 3.50.7, 3.50.7 2.5 1.75304 2.5ˆba -⨯⨯===-⨯=-⨯, 因此回归方程为0.7 1.5ˆ7yx =+.. （2）令8x =,得0.78 1.757ˆ.35y=⨯+=, 因为7.358<,所以接下来4周需要加快接种工作的速度..19..如图在三棱锥P -ABC 中,平面PAB ⊥平面PBC ,PB ⊥BC ,PD =DB =BC =AB =AD =2.（1）证明：PA ⊥平面ABC ； （2）求点B 到平面ACD 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2221【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得P A ⊥BC ,再由P A ⊥AB 利用线面垂直的判定定理即可证明,（2）利用三棱锥的体积公式得出1232D ABC P ABC V V --==,再由等体法13B ACD D ABC ACD V V Sd --==⋅=即可求解. 【详解】（1）侧面P AB ⊥底面PBC ,PB ⊥BC ,所以BC ⊥侧面P AB 又P A ⊂侧面P AB ,所以P A ⊥BC 又PD =DB =DA ,所以P A ⊥AB 又AB BC =B ,所以P A ⊥平面ABC （2）由（1）可知：P A ⊥平面ABC ,在直角三角形P AB 中,PA =D 是PB 的中点,所以三棱锥D -ABC 为三棱锥P -ABC 体积的12.故1126D ABC P ABC ABC V V SPA --==⋅=由已知：AC AD ==又AD =2,ACD △底边AD 上的高为h =故ACD △面积为：ACDS设点B 到平面ACD 的距离为d ,则13B ACD D ABC ACD V V Sd --==⋅==解得d =点B 到平面ACD 的距离为720..已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ,其长轴长为4,1F ,2F 为左右焦点,P 为椭圆C 上一动点,且21PF PF •最大值为1 . （1）求椭圆C 的方程.（2）若直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,且OB OA OP 21+=λ (O 为坐标原点,λ为负实数),已知41-=•OB OA k k , 求λ的值.【答案】（1）),(00y x P 设,则2202021c y x PF PF -+=•,长轴2a=4,即a=2.122221==-≤•b c a PF PF ,则椭圆方程为1422=+y x ————（5分） （2）设A(11,y x ),B （22,y x ）,则412121-==•x x y y k k OB OA ,即402121=+x x y y ——（6分）因为OB OA OP 21+=λ,则P 点坐标为（212121,21y y x x ++λλ）,把P 点代入椭圆1422=+y x ,则有1)21()21(41221221=+++y y x x λλ————（9分） 142121=+y x ,142222=+y x ,化简可得,1412=+λ,所以λ＜0——（11分） 则λ=23-——————（12分） 21..已知函数()()2ln 2x a x f x x =+-+.（1）当1a =-时,求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时,若()f x 的极大值点为1x ,求证：()112ln 22f x <-+. 【答案】（1）单调递增区间为()0,1,单调递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）当1a =-时,可得()2ln 2f x x x x =-++,利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间； （2）分析可得8a >,1212x x +=,12102x x a=>,则12104x x <<<,21121ax ax =-,化简得出()()11113ln 2212f x x x =++-,构造函数()()13ln 2212g x x x =++-,其中104x <<,利用函数单调性得出()14g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭,即可证得结论成立.【详解】（1）当1a =-时,函数()2ln 2f x x x x =-++,()0,x ∈+∞.()()()221112121x x x x f x x x x x-+--++'=-+==, 当01x <<时,()0f x '>；当1x >时,()0f x '<.可得函数()f x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减. 因此函数()f x 的单调递增区间为()0,1,单调递减区间为()1,+∞； （2）当0a >时,()21212ax ax f x ax a x x-+'=+-=, 令2210ax ax -+=,28a a ∆=-.当0∆≤时,即当08a <≤,则()0f x '≥,函数()f x 在()0,∞+上单调递增,无极值,不满足题意,舍去；由0∆>,解得8a >,设方程2210ax ax -+=的两个实数根分别为1x 、2x 且12x x <. 当10x x <<或2x x >时,()0f x '>；当12x x x <<时,()0f x '<,故函数()f x 的极大值点为1x , 由韦达定理可得1212x x +=,12102x x a=>,则12104x x <<<,21121ax ax =-. ()2111111111121313ln 2ln 2ln ln 22242ax ax f x x ax ax x ax x x x -=+-+=+-+=-+=-+()11111313ln ln 12221242x x x x =-+=++-⎛⎫- ⎪⎝⎭,令()()13ln 2212g x x x =++-,其中104x <<,则()()()()()()()222221411110212121x x x x g x x x x x x x ----'=-==>---, 所以,函数()g x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,故()1131ln 12ln 24422g x g ⎛⎫<=-+=- ⎪⎝⎭,因此,()112ln 22f x <-+.方法点睛：利用导数证明不等式问题,方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<）,进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22..[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为os x y sin ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中ϕ为参数）,曲线222:20C x y y +-=,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线:l θα=（0ρ≥）与曲线1C ,2C 分别交于点A ,B （均异于原点O ）.（1）求曲线1C ,2C 的极坐标方程； （2）当02πα<<时,求22OA OB +的最小值.【详解】（1）1C 的普通方程为2231x y +=,代入cos ,sin x y ρθρθ==得1C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+, ………………………………………………………………………（3分）2C 的极坐标方程为2sin ρθ=……………………………………………………（5分）（2）联立()0θαρ=≥与1C 的极坐标方程得22s n 312i OA α=+……………（6分）联立()0θαρ=≥与2C 的极坐标方程得224OB sin α=…………………………（7分）则()222222334sin 212sin 226212sin 12sin OA OB αααα+=+=++-≥-++ ∴2262OA OB +-最小值为2. ……………………………………………（10分）23..[选修4-5：不等式选讲]已知为正实数,且满足（1）求的最小值（2）求证：【答案】（1）；（2）证明详见解析.. 【解析】（1）（1）∵,∴,∴,∵,∴当时,的最小值为；（2）考点：配方法求函数最值、均值不等式..。
吉林省榆树市第一高级中学2021届高三上学期第三次模拟考试数学(理)试卷
榆树一中2020-2021学年度高三第三次模拟考试数学（理）试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1、. 设集合{}{}1,2,3,2,3,4A B ==,A B ⋃=( )A.{}1,2,3,4B.{}1,2,3C.{}2,3,4D.{}1,3,42、如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21z z =( ) A.12i 55+ B.21i 55+ C.12i 55-- D.21i 55--3、以下有关命题的说法错误的是( )A ． 命题:若x 2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x 2-3x+2≠0”B ． 是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件C ． 若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ． 对于命题,01:2<++∈∃x x R x p 使得则01,:2≥++∈∀⌝x xR x p 均有 4、如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，060=∠ABC ，F E ,分别为CD BC ,的中点，则=⋅ （ ）A.-3B.-4C.-5D.-65、点A 从()1,0出发,沿单位圆按逆时针方向运动到点B ,若点B 的坐标是34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭, 记 B α∠=,则=-)22cos(απ（ ） A.125- B. 43- C. 2512- D. 2524-6、已知设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则正确的是（ ） A ．若，，则 B ．若，，，则 C ．若，，则 D ．若，，，则 7、若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 ( )A. 320B. 317C. 6D. 215- 8、如图，在地面上共线的三点处测得一个建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且m BC AB 80==，则建筑物的高度为（ ）A. 20B. 620C. 40D. 640m n αβm α⊥n β⊂m n ⊥αβ⊥//αβm α⊥βn//m n ⊥αβ⊥m α⊥βn//m n ⊥αβ⊥m αβ=n m ⊥n β⊥,,A BC9、函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象如图所示，将)(x f 向右平移)(12x g 个单位得π，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2.0πx 时，则与坐标轴)(x g 围成的 封闭图形的面积是 ( )A. 1B. 2C. 3D.410、已知函数⎩⎨⎧≥+-<+=)0(23)0(1)(2x x x x x x f ，函数恰有 三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,41 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4111、如图，过抛物线x y 42= 的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于C B A ,, 点.令 2121,λλλλ+==，CFAB AF BC 则当3πα=时， 212,λλλ+=时，BF BC 的值为（ ）A.2B.3C.4D.512、若函数的定义域为D ，),(,,y x f yD y x =∈∀函数的函数值与y x ,的取值无关，则称),(y x f y =为“常函数”，若{}1)1(22=-+=y x x S 4),(,,-++++=∈∀y x a y x y x f S y x 是“常函数”，则实数a 的取值范围是（ ）sin()0,0,||2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭()()g x f x a =-a 1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,41B. ()2,1C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,41 D. [)∞+.2 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13、已知函数x x x f 12)(+= 则=)21(f __________. 14、曲线()2x f x x e =-在点(0,(0))f 处的切线方程为 15、函数，的单调递增区间是 . 16、已知向量a为单位向量，若32+=+，63≤则+ 的取值范围__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本题12分，每小题6分）已知在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且0cos sin =-A b B a （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若2,5==b a，求ABC ∆的面积．18、（本题12分，每小题6分）已知是等差数列，是等比数列，且，，，（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设,数列的前n 项和. 2,S S N n n ≤*∈∀λ恒成立,求λ的取值范围19、（本题12分，每小题6分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形,AB 11CD ,F E ABCD PB AB CD CD AD ,,,2,且平面⊥=⊥分别为PC 和CD 的 中点21cos cos 2y x x x =⋅--[0,]2x π∈{}n a {}n b 23b =39b =11a b =144a b ={}n a n n n c a b =+{}n c n S（Ⅰ）证明：平面BEF 11平面PAD（Ⅱ）若AD CD PB 2==,求二面角C PD A --的余弦值20、（本题12分，每小题6分）已知椭圆：的右焦点为，右顶点为，设离心率为，且满足，其中为坐标原点（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，求OMN ∆面积的最大值．21、（本题12分，每小题6分）已知函数)(,1)(,)1ln(1)(R a x m x g x x x f ∈+=++= （Ⅰ）判断函数)(x f 在),0(+∞ 的单调性（Ⅱ）若），在（∞+>0)()(x g x f 上恒成立，求实数m 的最大值22、（本题10分，每小题5分）某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，C (22213x y a a +=>F A e 113e OF OA AF +=O C 0,1l C M N温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（Ⅰ）设矩形温室的一边长为米，请用表示蔬菜的种植面积，并求出的取值范围； （Ⅱ）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．x S x。
榆树市第一高级中学2021届高三第四次模拟考试数学(文)试卷及答案
绝密★启用前榆树一中高三数学（文）月考试题学校：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1、设复数z 满足i i z -=+33，则z为（ ）A ．4B ．3C ．5D ．22、已知集合{}022=-+=x x x A ，{}2-==ax x B ，若B B A =⋂,则=a （ ）A ．12-B ．1C ．－1D ．23、已知4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．35C ．45-D ．354、ABC ∆的内角C B A ,, 的对边分别为c b a ,,，已知,3,2==b a设命题 C N c p ,:*∈∃为钝角,关于命题p 有以下四个判断：①p 为真命题； ②C N c p ,*∈∀⌝：不是钝角 ③p 为假命题，④C N c p ,*∈∃⌝：不是钝角其中判断正确的序号是：（ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5、若向量 ,6)2(,2=⋅+=，则 在 方向上的投影为（ ）A ．1B ．21C ．21-D ．-16、设 20201202120202021,2ln ,log===c b a ，则c b a ,, 的大小关系是（ ）A ．c b a>> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a b c >>7、设双曲线144222=+-nn y x 的离心率为),(*N n a n ∈ ， 则数列{}n a 的前10项和为 （ ）A ．150B ．125C ．140D ．1208、函数 xx e e x x f -+=ln )( 的部分图像大致为 （ ）9、已知锐角 ϕ 满足1cos sin 3=-ϕϕ，若要得到函数)(sin 21)(2ϕ+-=x x f 的图像，则可将函数x x g 2sin 21)(=的图像 （ ） A ．向左平移127π 个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移127π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度10、过点)0,2(M 的直线l 将圆18)3()3(:22=++-y x C 分成两段弧，当其中优弧最长时，直线l 的方程是 （ ） A ．063=-+y x B ．023=--y xC ．02=-xD ．0=y11、已知函数2ln )(+=x x f ,若2)(log 2≤af ,则a 的取值范围为 （ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21C ．(]2,11,31⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡D ．(]2,11,21⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡12、已知底面为矩形的四棱锥ABCD P -每个顶点都在球O 的球面上，22,2,,===⊥BC AB PB AB PA AD PA且,若球O 的体积为，332π则棱PB 的中点到平面PCD 的距离是 （ ）A ．26 B ．36 C ．23 D ．322第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13、某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名.现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了6名，则在高一年级的学生中应抽取的人数为________. 14、已知曲线x x y 24-=与直线b x y +=2相切，则实数=b _____．15、已知ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为，若3π=B ,且2=c ,ABC ∆面积为34，则ABC ∆周长的是_______16、如图，点F 是抛物线2:4C x y =的焦点，点,A B 分别在抛物线C 和圆22(1)4x y +-=的实线部分上运动，且AB 总是平行于y 轴，则AFB △周长的取值范围是_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（本题12分，每小题6分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(,12*N n a S n n∈-=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ） 不等式)(,62*N n S n∈>,求n 的最小值18、（本题12分，每小题4分）某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计,其中120分(含120分)以上为优秀,绘制了如下的两个频率分布直方图:。
2021届吉林省榆树市第一高级中学高三10月月考数学(理)试卷
2021届吉林省榆树市第一高级中学高三10月月考数学（理）试卷第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1、若 {}4,3,2,1=A ,{}6,5,4,2=N 则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）A ．{}1,3,6B ．{}6,5C ．{}2,4D ．{}1,2,3,4,5,62、下列命题中是真命题的是 （ ） A ．2>x 是1>x 的必要不充分条件 B ．x ∀∈R ，()2lg 10x +≥C ．若q p ∨是真命题，则p 是真命题D ．若x y <，则22x y <的逆否命题3.某班级从6名男生，3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有1名女生参加，那么不同的选派方案种数为 （ ）A 83B 84C 72D 754.设[]==+++∈θθπθππθ，则）（若12cos )2(sin .2,022（ ）A4,6ππ B 2,6ππ C3,6ππ D4,2ππ5、某校200名学生数学竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，则该次数学成绩在[)50,60内的人数为 （ ）A ．20B ．15C ．10D ．56、已知向量,a b 满足||1,||3a b ==2，且a 与b 的夹角为4π，则|2|a b -=（ ） A ．2 B ．32 C ．1 D ．227、函数xx x f 1ln )(+=的图像可能 （ ）A B C D8、已知方程x x 26ln -=的根为0x ，且()0,1x k k ∈+，*k N ∈，则k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59、若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则)6(π-f 的值为（ ）A 1B 3C -1 D-310、已知π1e a =，log e b π=ln πc =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a b c >>11.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形.如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影.其正六边形的边长计算方法如下：110001A B A B B B =-，221112A B A B B B =-，332223A B A B B B =-，…，111n n n n n nA B A B B B ---=-，其中1231201n n B B B B B B B B -=⋅⋅⋅===，*N n ∈.根据每层边长间的规律.建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料.所用材料中.横向梁所用木料与正六边形的周长有关.某一风雨桥亭、塔共5层，若600=B A ，110=B B .则这五层正六边形的周长总和为 ( )A ．100B ．130C ．110D ．12012、已知奇函数()f x 满足)1()1(x f x f +=-，若当(1,1)x ∈-时1()lg1x f x x +=-,且2)2021(=-a f (01)a <<，则实数a = （ ） A992 B 1012C 1032D 1052第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13、已知函数⎩⎨⎧≥+-<+=1,31,24)(x x x x x f , 则)3(f 的值为14、120(1)x dx -+⎰=___________15、已知双曲线与椭圆221166x y +=有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为x y 31±=，则此双曲线方程为_________16、函数[]x y = 称为取整函数，也称高斯函数 ，其中不超过实数x 的最大整数为x 的整数部分，例如[]13.1=，设函数x xe xf x-=)( ，则函数[])()(x f x g =在[]3,2∈x 的值域为_________其中806.20,398.7,71828.232≈≈≈e e e三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17、（10分）已知 函数ax x f =)(经过点)4,2(P ，2)(xbe x g x=（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式;（Ⅱ）设函数)()()(x g x f x F ⋅=，若)(x F 的图像与直线ex y l =:相切，求b 值18、（12分）已知在ABC ∆中， 角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且 02cos 2cos 12=-+C B （Ⅰ）求C B sin :sin 的值 （Ⅱ）若的值求b A a ,3,3π==19、（12分）已知数列是首项为1的等差数列，若432,1,2a a a ++成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列的前项和．20、（12分）如图,在四棱锥ABCD P - 中，底面ABCD 为菱形， 平面 ABCD PAC 底面⊥ ， AC PC PA == （Ⅰ）证明: PB AC ⊥（Ⅱ）若PB 与底面所成的角为045 , 求二面角A PC B --的余弦值21、（12分）已知：函数ax x ax x f -+=)ln()1()( （Ⅰ）当1=a 时， 讨论函数)(x f 的单调性（Ⅱ）若)(x f 在),0(+∞∈x 上单调递增，求实数a 的取值范围22、（12分）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23211（t 为参数）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为12sin 3222=+θρρ（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程（Ⅱ）若)0,1(P ，直线l 与曲线C 交于N M ,， 求PM PN + 的值答案。
吉林省榆树市第一高级中学2020届高三上学期期末考试数学(文)试卷+Word版含答案
数学（文）试题一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。
（ ) 1. 若集合{|0}B x x =≥，且A B A =I ，则集合A 可以是A ．{1,2}B ．{|1}x x ≤C ．{1,0,1}-D ．R2． 已知复数1iz i=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ )A.12i B. 12i - C. 12 D. 12-3． 设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是（ )A. 5-B. 4C. 3-D. 114. 已知0.21.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. b a c << C ． c a b << D. b c a << 5．若)(x f 是定义在[]2,2-上的偶函数，在[]0,2-为增函数，则)2()1(x f x f ≤-的解集为（ )A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,1 C.[]1,1- D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,316． 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率最小值为( )A ．33B ． 23C ．22D ． 217．ABC △的三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,其中3,2b c ==.O 为ABC △ 的外接圆圆心,则AO BC ⋅=u u u r u u u r( ) A. 132B.52 C. 52- D. 68. 执行如图所示的程序框图，当输出210S =时，则输入n 的值可以为( )A. 6B. 7C. 8D. 99． 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积为( )A.143πB.103πC.83π D.53π 10．已知锐角α满足cos()cos 24παα-=，则sin cos αα等于( )A.14B. 14-C.24D. 24-11．抛物线()02:2>=p py x C 焦点F 与双曲线12222=-x y 一个焦点重合，过点F 的直线交C 于点A 、B ，点A 处的切线与x 、y 轴分别交于M 、N ，若OMN ∆的面积为4，则AF 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 12．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为nT，则2017T =（ ） A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。
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吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高三10月月考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若{}1,2,3,4A =，{}2,4,5,6N =，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{1,3,6}B ．5,6C ．{2,4}D ．{1,2,3,4,5,6}2．下列命题中是真命题的是（ ） A ．2x >是1x >的必要不充分条件 B ．x ∀∈R ，()2lg 10x +≥ C ．若p q ∨是真命题，则p 是真命题D ．若x y <，则22x y <的逆否命题3．已知双曲线2221,(0)x y a a-=>的焦距为4，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C D 4．设0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若()22sin ()cos 212πθπθ+++=，则θ=（ ） A ．,64ππB ．,24ππC ．,63ππD ．,62ππ 5．某校200名学生数学竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则该次数学成绩在[50,60)内的人数为（ ）A ．20B ．15C ．10D ．56．已知向量,a b 满足||1a =，||2b =，且a 与b 的夹角为4π，则|2|a b -=（ ）A B ．C ．1D ．27．函数ln 1()x f x x+=的图像可能（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知方程ln 62x x =-的根为0x ，且*0(,1),x k k k N ∈+∈，则k =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．若函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则()6f π-的值为（ ）A ．1B ．1-CD ．10．已知1a e π=，logb π=c =a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a b c >>11．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影．其正六边形的边长计算方法如下：110001A B A B B B =-，221112A B A B B B =-，332223A B A B B B =-，…，111n n n n n n A B A B B B ---=-，其中*1231201,N n n B B B B B B B B n -====∈．根据每层边长间的规律．建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若006A B =，011B B =．则这五层正六边形的周长总和为（ ）A ．100B ．110C ．120D ．13012．已知奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，若当[]0,1x ∈时，()2f x x =，且1(2021)(01)2f a a -=<<，则实数a =（ ）A ．12B ．13C ．23D ．34二、填空题13．已知函数()42,13,1x x f x x x +<⎧=⎨-+≥⎩，则()3f 的值为_____________.14．一张方桌有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，,,B C D 三人随机坐到其他三个位置上，则C 与D 不相邻的概率为________．15．如图，在△ABC 中，90A ︒∠=，AB =D 在斜边BC 上，且2BD DC =，则AB AD ⋅的值为_____.16．设()f x '是函数()f x 的导函数，若对任意实数x ，都有()()()0x f x f x f x '-+>⎡⎤⎣⎦，且()12020f e =，则不等式()20200xxf x e -≥的解集为_______.三、解答题 17．已知函数()af x x 经过点(2,4)P ，2()xe g x x=.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式;（Ⅱ）设函数()()()F x f x g x =⋅，求()F x 在点(1,(1))Q F 处的切线方程.18．已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且21cos 2cos 20B C +-=. （Ⅰ）求sin :sin B C 的值 （Ⅱ）若a =3A π=，求b 的值.19．已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，若22a +，31a +，4a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAC ⊥底面ABCD ，PA PC AC ==.（Ⅰ）证明:AC PB ⊥（Ⅱ）若PB 与底面所成的角为45︒，2PA =，求P ABCD -的体积.21．已知函数3211()ln 2()32f x x x x ax a R =-++∈. （Ⅰ）当12a =-时，求函数()f x 的单调区间 （Ⅱ）设3211()()232g x f x x x =+-+，若函数()g x 在221,x e e⎡⎤∈⎦⎢⎣有两个零点，求a 的取值范围22．在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2223sin 12ρρθ+=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程（Ⅱ）若(1,0)P ，直线l 与曲线C 交于,M N ，求PN PM +的值参考答案1．C 【解析】 【分析】图中阴影部分表示集合公共部分，即交集. 【详解】图中阴影部分表示集合的交集，得{}2,4A B =.故选：C. 2．B 【解析】 【分析】分别根据充分不必要条件的定义，函数lg y x =的值域，复合命题的真假判断，不等式的性质可逐项判断得出答案. 【详解】A. 2x >⇒1x >，1x >不一定得到2x >，如=1.5x ，所以2x >是1x >的充分不必要条件，错误；B. x ∀∈R ，则211x +≥，所以()2lg 10x +≥，正确；C. 若p q ∨是真命题，则p 真q 假、p 假q 真，或p 真q 真，错误；D. 若2,1x y =-=，则22x y >，原命题错误，所以逆否命题错误. 【点睛】（1）充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（2）复合p q ∨命题真假的判断，若p q ∨是真命题，则p 真q 假、p 假q 真，或p 真q 真；若p q ∨是假命题，则p 假q 假. 3．C 【解析】 【分析】由双曲线焦距求得c ，根据222c a b =+求得a 的值，由此得到离心率. 【详解】由已知得2,1c b ==，由222c a b =+，解得222413a c b =-=-=，所以e =故选：C . 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由已知双曲线方程和焦距找到关于a b c 、、的等量关系.4．D 【解析】 【分析】 由()22sin ()cos 212πθπθ+++=，得22cos cos 21θθ+=，从而可得cos2sin θθ=或cos2sin θθ=-，得212sin sin θθ-=或212sin sin θθ-=-，然后再结合0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求出答案 【详解】 解：由()22sin ()cos 212πθπθ+++=，得22cos cos 21θθ+=，所以22cos 2sin θθ=，所以cos2sin θθ=或cos2sin θθ=-，212sin sin θθ-=或212sin sin θθ-=-，由212sin sin θθ-=，得(sin 1)(2sin 1)0θθ+-=， 解得sin 1θ=-或1sin 2θ=， 因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2θ=，得6πθ=， 由212sin sin θθ-=-，得(sin 1)(2sin 1)0θθ-+=， 解得sin 1θ=或1sin 2θ=-， 因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 1θ=，得2πθ=， 综上，6πθ=或2πθ=故选：D5．C 【解析】 【分析】由频率分布直方图，先求出该次数学成绩在[)50,60内的频率，由此能求出该次数学成绩在[)50,60内的人数.【详解】由频率分布直方图得，该次数学成绩在[)50,60内的频率为：()110.040.030.02100.052---⨯=， ∴该次数学成绩在[)50,60内的人数为2000.0510⨯=， 故选：C 6．A 【解析】 【分析】 由于22|2|(2)44a b a b a a b b -=-=-⋅+【详解】解：因为||1a =，||2b =，且a 与b 的夹角为4π， 所以22|2|(2)44a b a b a a b b -=-=-⋅+224cosa ab b π=-+== 故选：A 7．D 【解析】 【分析】根据函数是奇函数可排除AB ，取特殊值可排除C. 【详解】可知()f x 的定义域为{}0x x ≠关于原点对称，()()ln 1ln 1x x f x f xx x-++-==-=--，()f x ∴是奇函数，图象关于原点对称，故AB 错误； ()ln 31303f +=>，故C 错误，故D 正确. 故选：D. 8．A 【解析】 【分析】将方程的根转化为函数的零点，用零点存在性定理判断零点所在的区间. 【详解】方程ln 62x x =-的根为0x函数()ln 26f x x x =+-的零点为0x 当2k =时，区间为()2,3而()2ln 2226ln 22f =+⨯-=-，又2ln 2ln 2e <= 所以()2ln 220f =-<而()3ln3236ln3ln10f =+⨯-=>=，即()30f > 由零点存在性定理知，在区间()2,3内有零点 故选：A. 【点睛】方程的根即为对应函数的零点，也为函数与x 轴交点的横坐标，故求方程的根可转化为函数的零点问题.判断零点所在的区间，用到零点的存在性定理. 9．B 【解析】 【分析】由振幅求A ，由图中34T 求ω，最后将一个特殊点代入求ϕ.由图可知振幅A=2 311341264T πππ=-= T π∴=又2T πω∴=2ω∴=∴()2sin(2)f x x ϕ=+将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得22sin()3πϕ=+且0ϕπ<< 6πϕ∴= ()2sin(2)6πf x x ∴=+ ()2sin()2sin 16366f ππππ⎛⎫∴-=-+=-=- ⎪⎝⎭故选：B.10．A【解析】【分析】根据指数函数及对数函数的性质分别判断a ,b .c 的范围,即可得解.【详解】因为101a e e π=>=，121log log ()log 2b e e πππ===，1ln 2c π==， 又log 1log 1e og ππππ<<，即1(0,)2b ∈，由2ln ln ln e e π<<，即1(,1)2c ∈，所以a c b >>，故选：A11．C【分析】根据等差数列的定义，结合已知可以判断数列{}(N ,15)n n n n A B *∈≤≤是等差数列，利用等差数列前n 项和公式进行求解即可.【详解】由已知得：111n n n n n n A B A B B B ---=-，12312011n n B B B B B B B B -=⋅⋅⋅====，因此数列{}(N ,15)n n n n A B *∈≤≤是以1006a A B ==为首项，公差为1d =-的等差数列，设数列{}(N ,15)n n n n A B *∈≤≤前5项和为5S ， 因此有5111554565412022S a d =+⨯⨯⋅=⨯-⨯⨯⨯=， 所以这五层正六边形的周长总和为56620120S =⨯=.故选：C.12．D【解析】【分析】由函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，知函数关于1x =对称，又函数是奇函数，即关于(0,0)对称，从而函数()f x 的周期是4，可知(2021)(1)f a f a -=-，代入即可得出答案.【详解】由函数是奇函数，则函数关于(0,0)对称，又函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，所以函数关于1x =对称，所以函数()f x 的周期是4，(2021)(4505+1)(1)f a f a f a ∴-=⨯-=-又01a <<，011a ∴<-<1(1)2(1)2f a a ∴-=-=，解得34a = 故选：D.【点睛】 结论点睛：函数对称性常用结论：若函数()f x 满足()()f a x f a x =-+，则函数的图像关于直线x a =对称；（2）若函数()f x 满足()()f x b f x b -=+-+，则函数的图像关于点(,0)b 中心对称． 函数周期性常用结论：设函数()y f x =，0x a ∈>R ，①若()()f x a f x a +=-，则函数的T =2a ；②若()()f x a f x +=-，则函数的T =2a ； ③若1()()f x a f x +=，则函数的T =2a ；④函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的T =2||b a - ； ⑤若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =2||b a -； ⑥若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =4||b a -. 13．0【解析】【分析】代入解析式计算()3f 即可.【详解】()3330f =-+=.故答案为：014．13【解析】【分析】易知,,B C D 三人随机坐到其他三个位置上，共有6种坐法，而C 与D 不相邻的坐法有2种，根据古典概型的概率公式，计算即可.【详解】由题意，,,B C D 三人随机坐到其他三个位置上，有6种坐法，其中C 与D 不相邻的坐法有2种，即C 与D 分别坐在A 的两边，所以C 与D 不相邻的概率为2163=. 故答案为：1315．1【解析】【分析】 以,AC AB 为基底，表示出AD ，进而可求出AB AD ⋅.【详解】由2BD DC =，可知13CD CB =， 所以()11213333AC CD AC AC AD CB C A A A AB C B =+=+++=+=， 由90A ︒∠=，可知0AB AC ⋅=，由AB =23AB =， 所以22102113133333AB AD AB AC AB AC A A B B ⎛⎫⨯= ⎪⎝⋅=⋅+=⋅+=+⎭. 故答案为：1.16．[)1,+∞【解析】【分析】首先设()()x xf x g x e=，利用导数求出()g x 的单调性，再将不等式()20200x xf x e -≥转化为()()1g x g ≥，即可得到答案。