第十章 曲线积分与曲面积分 习 题 课PPT精品文档41页
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高等数学曲线积分和曲面积分课件
投影区域为Dxy , R(x, y, z)在S上连续，则
R(x, y, z)dxdy R(x, y,（ z x, y）)dxdy.
S
D xy
其中，当S取上侧时，取“+”号。
其余的类似积分。
11-6 高斯公式
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式
添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
11-1 对弧长的曲线积分
11-2 对坐标的曲线积分
习题11-3 格林公式及其应用
设闭区间D由分段光滑的曲线L围成，函数P x, y及 Qx, y在D上具有一阶连续的偏导数，则有
D
Q x
P y
dxdx
L
Pdx
Qdy成立，其中L取正向。
需要说明以下几点：
（1）格林公式说明了平面闭区域D上的二重积分可通过
沿闭区域D的边界曲线上的曲线积分来表达，即面积分
可以转化为线积分。
（2）格林公式的简单应用：设闭区域D由分段光滑的
曲线L围成，则D的面积A=
1 2
L
xdy
ydx.
（3）在应用格林公式时，首先检验格林公式的条件
是否满足，即P x, y,Q x, y在由分段光滑的闭曲线
所围成的闭区域额D上具有一阶连续偏导数，当条件
不满足时，公式不能用。例如考虑积分
xdy ydx L x2 y2 ,
其中L是区域D的边界曲线，如果D包含原点，那么
P 与 Q 在原点就不存在，就不可能连续，这时就不 y x
能运用格林公式将其转化为二重积分。
解：
解：
曲线积分及曲面积分习题46页PPT
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
计算 重积分
计算上的联系
f(x ,y)d b[y2(x)f(x ,y)d]d y,(x d 面)元
D
a y1(x)
f(x ,y ,z )d V b dy 2 x (x ) dz 2 y (x ,y )f(x ,y ,z )d,(d z体 V)元
闭合
Q P
I
( D
x
)dxdy y
y x 非闭 补充曲线或用公式
例 计算
I (exsinymy)dx(excosym)dy, L
其中L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周 x2 y2 ax, y0.
解 P (exsiy n m ) e yxco y m s y y
Q (exco ys m )exco ys x x
旋度 rA o ( tR Q )i ( P R ) j ( Q P )k y z z x x y
二、典型例题
对坐标的曲线积分
P(x,y)dxQ(x,y)dy的计算法
L
思路
ILPdxQdy
(x,y)
I
PdxQdy非闭
(x0,y0)
P
Q
ILPdxQ dy0f(x,y)d sl i0m i1f(i,i)si
Ln
l i0im 1[P (i, i) xi Q (i, i) yi]
联 系
L P Q d L x ( d P cy o Q c s) o ds s
计 L f(x, y)ds
f[,]
2 2dt
算 三代一定
()
LPdxQdy
[P(,)Q(,)]dt
第10章-曲线积分与曲面积分 高等数学教学课件
f (x, y) d s
f (x, y) d s.
L( A,B)
L( B, A)
性质2 设, 为常数，则
L[ f (x, y) g(x, y)]d s L f (x, y)d s L g(x, y)d s.
性质3 若积分路径L可分成两段光滑曲线弧L1,L2, 则
f (x, y) d s f (x, y) d s f (x, y) d s.
把 L分成n个有向小弧段
¼ A0 A1, ¼ A1A2,L , ¼ Ai1Ai ,L , ¼ An1An, (A0(x0, y0) A, An (xn, yn) B).
令xi xi xi1, yi yi yi1，在¼ Ai1Ai上任取点Mi (i ,i )， i 1, 2,L , n，若当小弧段的长度的最大值 0时，和
若L是闭曲线,即L的两个端点重合,那么f (x, y)
在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为
ÑL f (x, y) d s.
函数f (x, y, z)在曲线弧上对弧长的曲线积分为
n
f (x, y, z) d s lim 0
i 1
f (xi , yi , zi )si.
性质1 对弧长的曲线积分与曲线L的方向无关，即
方程为x =a cos t, y =a sin t, z = kt, 0 t 2p, k>0.
解 Q x' t asint, y' t a cost, z' t k,
[x '(t)]2 [( y '(t)]2 [z '(t)]2 a2 k2 ,
(x2 y2 z2 ds 2p (a2 k 2t2 ) a2 k 2 dt
d r d xi d yj d zk，即有
曲线积分与曲面积分复习课好-PPT文档资料
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（3）计算 直接计算法 ——化为对L的定位参数的定积分。 第一类：从小参数到大参数； 第二类：从起点参数到终点参数。 注意： 先化简； 第二类与定向有关。 间接计算法 用两类曲线积分的联系； 用Green公式及其推论、Stokes公式.
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I Pdx Qdy
（2）两类曲面积分的联系 0 d S n dS (cos , cos , cos ) dS
( dydz ,dzdx ,dxdy )
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（3）计算 直接计算法 第一类：化为对某两个直角坐标（的定位参 数）的二重积分； 第二类：将对x、y的曲面积分化为对x、y的二 重积分。 注意： 先化简；第二类与定向有关。 间接计算法 用两类曲面积分的联系； 用高斯公式。
L
(x ,y )
Q P ( ) dxdy I Pdx Qdy P Q P Q 闭合 I x y (x ,y D 0 0) y x y x 补充曲线再用公式 I Pdx Qdy 0
非闭
L
闭合
非闭
基本 方法
xx ( t) yy ( t)
O ( 0 , 0 ) A ( 1 , 1 ) L y sin x 中 为 由 点 到 点 的 曲 线 . 2
思路:
(x ,y )
Q Байду номын сангаасP 非闭 ( ) dxdy 闭合 I I Pdx Qdy P Q P Q x y (x ,y D 0 0) y x y x I Pdx Qdy 0 非闭 补充曲线再用公式
（3）计算 直接计算法 ——化为对L的定位参数的定积分。 第一类：从小参数到大参数； 第二类：从起点参数到终点参数。 注意： 先化简； 第二类与定向有关。 间接计算法 用两类曲线积分的联系； 用Green公式及其推论、Stokes公式.
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I Pdx Qdy
（2）两类曲面积分的联系 0 d S n dS (cos , cos , cos ) dS
( dydz ,dzdx ,dxdy )
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（3）计算 直接计算法 第一类：化为对某两个直角坐标（的定位参 数）的二重积分； 第二类：将对x、y的曲面积分化为对x、y的二 重积分。 注意： 先化简；第二类与定向有关。 间接计算法 用两类曲面积分的联系； 用高斯公式。
L
(x ,y )
Q P ( ) dxdy I Pdx Qdy P Q P Q 闭合 I x y (x ,y D 0 0) y x y x 补充曲线再用公式 I Pdx Qdy 0
非闭
L
闭合
非闭
基本 方法
xx ( t) yy ( t)
O ( 0 , 0 ) A ( 1 , 1 ) L y sin x 中 为 由 点 到 点 的 曲 线 . 2
思路:
(x ,y )
Q Байду номын сангаасP 非闭 ( ) dxdy 闭合 I I Pdx Qdy P Q P Q x y (x ,y D 0 0) y x y x I Pdx Qdy 0 非闭 补充曲线再用公式
第十章 曲线积分和曲面积分(最全)word资料
第十章 曲线积分和曲面积分1. 设L 为03,02x x y =≤≤, 则4_________.L dS =⎰2. 设L 是连结原点和点(1,1)P 的直线段, 则_______.Lxds =⎰3. 设L 是园周222(0)x y a a +=>, 则________.=⎰4. 设是以点O (0, 0)、A （2， 0）、B （2， 1）为顶点的三角形边界,方向为逆时针方向, 则________.Lydx xdy -=⎰5. 设L 是园周222(0)x y aa +=>上位于第一卦象由点(,0)A a 到点(0,)B a 的一段弧, 则22(1)_________.Lxydx x dy ++=⎰6. 若线段AB 垂直于x 轴,则(,)________.ABP x y dx =⎰若线段AB 垂直于y 轴,则(,)________.ABP x y dy =⎰7. 设L 是0,0x y ==及2x y +=所围成的三角形的正向边界,()2________.Lx y dx xdy +-=⎰.6A , .6B -, .3C , .3D -8. 设L 为取顺时针方向的园周222x y ay +=, 则________.Lydx xdy -=⎰2.2A a π, 2.2B a π-, 2.C a π-, 2.D a π9. 设L 是园域222x y x +≤-的正向边界, 则22()()________.Lx y dx x y dy -+-=⎰.2A π-, .0B , 3.2C π, .2D π10. 计算积分I =⎰, 其中L 是抛物线2x y =上点()0,0O 与点()1,1B 之间的一段弧. ()1112⎛⎫⎪⎝⎭11. 计算积分I =22(2)(2)L x y dx x y dy -+-⎰, 其中L 为沿上半椭园22221x y a b+=由点(,0)A a 到点(,0)B a -的一段弧, 3223ab a π⎛⎫-⎪⎝⎭12. 设L 是摆线()()sin 1cos x R t t y R t =-⎧⎨=-⎩从()0,0到()2,0R π的一拱,求曲线积分()2LI R y dx xdy =-+⎰. ()22R π- 13. 计算积分sin LI ydx xdy =+⎰, 其中L 为()sin 0y xx π=≤≤与x 所围的闭曲线,取顺时针方向. ( 2 ) 14. 计算积分22LI xy dx x ydy =+⎰, 其中L 为正向园周曲线222x y a +=. 212a π⎛⎫ ⎪⎝⎭15. 计算积分()()332y y LI yxe dx xy xe y dy =+++-⎰, 其中L 为正向园周曲线222x y a +=. ( 0 ) 16. 计算积分LI xdx =⎰, 其中L 为园周曲线222x y a +=在第一卦象中的部分,取顺时针方向. 214a π⎛⎫- ⎪⎝⎭17. 验证2322(32)(32)x xy dx x y y dy +++是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数. ()3232(,)u x y x x y y =++18. 计算积分()sin ()cos x x L I e y b x y dx e y ax dy ⎡⎤=-++-⎣⎦⎰, 其中L 为园周 222x y ax +=, 方向为顺时针方向, ,a b 为常数. ( 2()a b a π- )19. 试求常数λ, 使曲线积分()()00,,x y x y I xy dx x ydy λλ=+⎰与路径无关,并求I 的值.222200112,22I x y x y λ⎛⎫==- ⎪⎝⎭第十章 曲线积分和曲面积分参考答案1. 6,2.2, 3. 22a π, 4. 2-, 5. a 6. 0, 0, 7. B, 8. A, 9. D.第四章三相交流电路4－1 三相电源三相对称正弦电动势三相正弦电动势用A相、B相、C相表示。
微积分第十章课件
对于积分∫Γf(x,y,z)ds也有相应的性质，读者 可自行写出.
三、 第一类曲线积分的计算
定理1
设有曲线
三、 第一类曲线积分的计算
【例1】
求半径为R,中心角为 2α的圆弧L的质心(设线密 度ρ=1).
解取坐标系如图102所示.
图 10-2
三、 第一类曲线积分的计算
三、 第一类曲线积分的计算
(1)抛物线y=x2上从O(0,0) 到B(1,1)的一段弧.
(2)抛物线x=y2上从O(0,0) 到B(1,1)的一段弧.
(3)有向折线OAB，从点 O(0,0)沿x轴到点A(1,0)，再从 点A(1,0)沿直线x=1到点B(1,1).
图 10-6
二、 第二类曲线积分的计算
二、 第二类曲线积分的计算
第十章 曲线积分与曲面积分
第一节 第一类曲线积分 第二节 第二类曲线积分 第三节 格林公式平面曲线积分与路径无关的条件
第十章 曲线积分与曲面积分
第四节 第一类曲面积分 第五节 第二类曲面积分 第六节
与路径无关的条件
第 一节
第一类曲线积分
一、第一类曲线积分的概念
引列
设有一曲线形物体所 占的位置是xOy面内的一 段曲线L，它的端点是A， B，它的质量分布不均匀， 其线密度为ρ(x,y)，试求该 物体的质量M(见图10-1).
根据第一类曲线积分的定义，引例中曲线形物体的质量当 线密度ρ(x,y)在L上连续时，就等于ρ(x,y)在L上的第一类曲线积 分，即
M=∫Lρ(x,y)ds.
一、第一类曲线积分的概念
二、 第一类曲线积分的性质
性质1
设α，β为常数，则 ∫L［αf(x,y)+βg(x,y)］ds=α∫Lf(x,y)d s+β∫Lg(x,y)ds.
三、 第一类曲线积分的计算
定理1
设有曲线
三、 第一类曲线积分的计算
【例1】
求半径为R,中心角为 2α的圆弧L的质心(设线密 度ρ=1).
解取坐标系如图102所示.
图 10-2
三、 第一类曲线积分的计算
三、 第一类曲线积分的计算
(1)抛物线y=x2上从O(0,0) 到B(1,1)的一段弧.
(2)抛物线x=y2上从O(0,0) 到B(1,1)的一段弧.
(3)有向折线OAB，从点 O(0,0)沿x轴到点A(1,0)，再从 点A(1,0)沿直线x=1到点B(1,1).
图 10-6
二、 第二类曲线积分的计算
二、 第二类曲线积分的计算
第十章 曲线积分与曲面积分
第一节 第一类曲线积分 第二节 第二类曲线积分 第三节 格林公式平面曲线积分与路径无关的条件
第十章 曲线积分与曲面积分
第四节 第一类曲面积分 第五节 第二类曲面积分 第六节
与路径无关的条件
第 一节
第一类曲线积分
一、第一类曲线积分的概念
引列
设有一曲线形物体所 占的位置是xOy面内的一 段曲线L，它的端点是A， B，它的质量分布不均匀， 其线密度为ρ(x,y)，试求该 物体的质量M(见图10-1).
根据第一类曲线积分的定义，引例中曲线形物体的质量当 线密度ρ(x,y)在L上连续时，就等于ρ(x,y)在L上的第一类曲线积 分，即
M=∫Lρ(x,y)ds.
一、第一类曲线积分的概念
二、 第一类曲线积分的性质
性质1
设α，β为常数，则 ∫L［αf(x,y)+βg(x,y)］ds=α∫Lf(x,y)d s+β∫Lg(x,y)ds.
高等数学 曲线积分PPT课件
P( x, y)dx
L
2 f ( x, y)dx L 关于x轴对称，f ( x, y)为y的奇函数
L1
0
L 关于y轴对称，f ( x, y)为x的偶函数
Q(x, y)dy
L
2 Q( x, y)dy L 关于y轴对称，f ( x, y)为x的奇函数
L1
第6页/共41页
三、对坐标的曲线积分的计算方法
y x
du Pdx Qdy, (x, y)G —单连域.
第9页/共41页
四、两类曲线积分之间的联系
L Pdx Qdy L (P cos Q cos )ds.
其中, 为有向曲线弧 L 在点( x, y) 处的切向量的方向角.
五、对坐标的曲线积分的解题方法
第10页/共41页
解题方法流程图
1．直接计算法：（化为定积分计算） “描述代入”法 （1）参数方程：
设 L : x (t), y (t); t 从 变到 ; 则
P( x, y)dx Q( x, y)dy
{P[(t), (t)](t) Q[(t), (t)] (t)}dt
L
设 : x (t), y (t), z (t) ; t 从 变到 ; 则
L
1
第3页/共41页
（4）参数方程：若 : x (t), y (t), z (t) ( t ); 则
f ( x, y, z)ds
f [(t), (t),
(t)]
2(t) 2(t) 2(t) dt
注： 被积函数可用积分曲线方程化简！
四、对弧长的曲线积分的应用
1．几何应用 求曲线的弧长 s ds.
43
而被积函数 2xy 3x2 4 y2中又含有3x2 4 y2 ,故可将 3x2 4 y2 12
曲线积分与曲面积分复习课件
z z 面积元素 dS 1 x y dxdy 2dxdy
求 D yz
求 Dxy
求 Dxz
2 2 I f [ x, y, z( x , y )] 1 z x z2 I f [ x( y, z ), y, z ] 1 x 2 y dxdy y x z dxdz
Dyz
Dxy
2 I f [ x , y( x, z ), z )] 1 y x yz2 dxdz Dxz
第十章 曲线积分与曲面积分
习题课（三）
对面积的曲面积分（第一型曲面积分）
一、对面积的曲面积分的定义
1．定义:
f ( x, y, z )dS lim f ( , ,
0 i 1 i i
n
i
)S i
2．物理意义:
M ( x , y , z )dS
表示面密度为 ( x, y, z )的曲面 的质量。
五、对面积的曲面积分的应用
1．几何应用 求曲面的面积： S dS
2．物理应用 质量 M ( x , y , z )dS 质心 1
1 z M
1 x x( x , y, z )dS y M M
y( x, y,
z )dS
z( x, y,
从而 ( z 2 x
4 y )dS 3
D xy
4
61 dxdy 3
4 61 1 2 3 4 61 3 2
注： 本题亦可框图中线路1或线路3的解题方法来求解。
【例2】计算曲面积分 ( xy yz zx )dS，其中 为锥面
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R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzdx (xy)dxd
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
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Green公式,Guass公式,Stokes公式 之间的关系
LPdQ x d y D( Q x P y)dx或dyLQd P xd y D( P x Q y)dxdy
A(M)为平面向量场
计算上的联系
f(x ,y)d b[y2(x)f(x ,y)d]d y,(x d 面)元
D
a y1(x)
f(x ,y ,z )d V b dy 2 x (x ) dz 2 y (x ,y )f(x ,y ,z )d,(d z体 V)元
a y 1 (x ) z 1 (x ,y )
f(x ,y )d s bf[x ,y (x )1 ] y 2 d,(d x 线 s ( 曲 元 ))
x
y
z
PQ R
(Px
Q y
R)dv z
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（三）场论初步
梯度 graduu iu juk x y z
通量 度
Pdy Q dzd zR dxdxdy
diA vPQR x y z
环流量 PdQ x d R y dz
旋度 rA o ( tR Q )i ( P R ) j ( Q P )k y z z x x y
(dx面 dy元 (投 素 )影 )
其中 L P d Q x d (P c y o Q s c o )dss
PdydQ z dzdxRdxdy
(PcosQcos Rcos)ds
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理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
a f ( x ) d F x ( b ) F ( a )( F ( x ) f ( x ))
价 (2 ) C P d Q x d 0 ,闭 y C 曲 D线
命 ( 3 )在 D 内 U ( x , 存 y ) 使 d P u 在 Q dx d 题 (4) 在D内,PQ
y x
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曲面积分
对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
定 义
n
n
f(x,y,z)d sl i0 im 1f(i,i,i) si R (x ,y,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i)( S i)xy
L
a
f(x ,y )d x bf[x ,y (x )d ],(d x 线 x (投 元 ))影 素
L
a
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f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)] 1zx2 zy2dxdy
Dxy
(ds面元(曲 素 ))
R (x,y,z)dxd fy [x,y,z(x,y)d ] xdy
D xy
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
计算 重积分
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积分概念的联系
n
f(M )dl i0m f(M )i,f(M )点函数 i 1
定积分 当 R1上区 [a,b间 ]时 ,
f(M)d
b
f(x)d.x
a
二重积分 当R2上区D时 域,
f(M)df(x,y)d. D
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曲线积分 当R2上平面L时 曲 , 线
f(M)dLf(x,y)d.s
三重积分 当R3上区时 域 ,
f(M)df(x,y,z)dV
曲线积分 当R3上空间时 曲, 线
f(M)d f(x,y,z)d.s
曲面积分 当R3上曲S时 面 ,
f(M)df(x,y,z)dS. S 上页 下页 返回
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
D( Q x P y)dx d L Py dQ xd (沿 y L 的)正向
格林公式
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3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
算 三代一定
()
LPdxQdy
[P(,)Q(,)]dt
二代一定 (与方向有关)
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与路径无关的四个等价命题
条 在 单 连 通 开 区 域 D上 P(x,y)Q ,(x,y)具 有 件 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ,则 以 下 四 个 命 题 成 立 .
等 (1) 在 D 内 LPd Q x 与 dy路径无
一、主要内容
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
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（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的 曲线积分
对面积的 曲面积分
曲
曲
线 定联计 定联计 面
积 义系算 义系算 积
分
分
对坐标的 曲线积分
对坐标的 曲面积分
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曲线积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
定
n
P(x,y)d xQ (x,y)dy
义
Lf(x,y)d sl i0m i1f(i,i)si
Ln
l i0im 1[P (i, i) xi Q (i, i) yi]
联 系
L P Q d L x ( d P cy o Q c s) o ds s
计 L f(x, y)ds
f[,]
2 2dt
L A 推ds 广D(ro A k t A )d (M x)为 dy空间 L(A 向 n )d量 sD 推d 场 广A id vxdy
A d S(ro A n t)dS (A n )d sdA id vv
Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
PdydzQdzdx Rdxdy
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二、典型例题
例 1 计 算 I (x22x)ydx (x2y4)d, y L
其 中 L为 由 点 O(0,0)到 点 A(1,1)的 曲 线 ysi nx. 2
思路:
ILPdxQdy
(x,y)
非闭
I PdxQdy (x0,y0)
P
Q
P
Q
闭合
I (QP)dxdy D x y
ILPdQ x d 0y闭合 y x y x 非闭 补充曲线或用公式
联 系
PdydQzdzdRxdxd (yP c oQ sco s R co)dsS
计
f(x, y,z)ds
R(x,y,z)dxdy
算
f[x,y,z(x,y)]1zx 2z2 ydxdyR[x,y,z(x,y)d] xdy
D xy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
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