高等数学同济第七版下册习题与答案完整版

高等数学同济第七版下册习题与答案完整版
引言
在学习高等数学课程中，习题是提高理解和掌握知识的重要方式。

然而，有时候我们在学习的过程中可能会遇到一些难题，不知道如何解答。

为了帮助同学们更好地学习和掌握高等数学知识，我们整理了高等数学同济第七版下册的习题与答案完整版，供大家参考。

第一章无穷级数
习题1.1
1.讨论级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 +
2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2}$ 的敛散性。

2.求级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-
1)^n}{n^2}$ 的和。

答案
1.首先，我们将这个级数进行比较审敛法。

考虑到
n3+2n的最高次项为n3，而(2n2+3n−4)2的最高次项为(2n2)2=4n4，因此我们可以得到 $\\frac{n^3 +
2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2} < \\frac{n^3 + 2n}{4n^4}$。

根据比较审敛法的基本原理，只需讨论 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 + 2n}{4n^4}$ 的敛散性。

根据级数的性质，我们可以分别求前两项、前三项的和，并观察和的变化规律。

经过计算，可得前两项的和为 $\\frac{1}{16}$，前三项的和为 $\\frac{5}{96}$。

观察可以发现，当 n 的值逐渐增大时，和逐渐减小，并且趋于一个有限值。

因此，根据比较审敛法，原级数
$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 + 2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2}$ 也收敛。

2.我们可以使用交错级数的性质求解这个问题。

根据交错级数的性质，交错级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty}
\\frac{(-1)^n}{n^p}$ 的和为 $S = \\ln 2$，其中n=1。

对于这个问题，我们可以发现，级数
$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^2}$ 的形式和交错级数一样，只是n=2。

因此，我们可以得出结论，这个级数的和为 $S = \\ln 2$。

第二章重积分
习题2.1
1.数列 $\\{F_n\\}$ 满足递推关系n1=n2=1,n n+2=
n n+1+n n，其中 n 是自然数。

证明：$F_n \\leq
\\left(\\frac{7}{4}\\right)^{n-1}, \\forall n \\in N^*$。

2.求极限 $\\lim_{n \\to \\infty} \\sum_{k=1}^n
\\frac{3}{n} \\left(1 + \\frac{k}{n}\\right)^2$。

答案
1.首先，我们可以手动计算前几个项，观察到n1=
n2=1,n3=2,n4=3,n5=5。

根据这些结果，我们可以猜
测等式$F_n \\leq \\left(\\frac{7}{4}\\right)^{n-1}$ 成立。

接下来，我们使用数学归纳法证明这个猜测。

–当 n = 1 时，$F_n = F_1 = 1 \\leq
\\left(\\frac{7}{4}\\right)^0 = 1$，符合等式。

–假设当 n = k 时，等式 $F_n \\leq
\\left(\\frac{7}{4}\\right)^{n-1}$ 成立，即 $F_k
\\leq \\left(\\frac{7}{4}\\right)^{k-1}$，其中 k 是一
个任意的自然数。

–考虑 n = k + 1 的情况，根据递推关系n n+2=
n n+1+n n，我们可以得到 $F_{k+1} \\leq F_{k+2}$，
即 $F_{k+2} \\geq F_{k+1} \\geq F_k$。

由假设，可以得到 $\\left(\\frac{7}{4}\\right)^{k} \\geq
F_{k+1}$ 和 $\\left(\\frac{7}{4}\\right)^{k-1} \\geq
F_k$。

我们现在需要证明 $F_{k+2} \\leq
\\left(\\frac{7}{4}\\right)^{k+1}$。

–根据递推关系，可以得到 $F_{k+2} = F_{k+1} + F_k \\leq \\left(\\frac{7}{4}\\right)^{k} +
\\left(\\frac{7}{4}\\right)^{k-1} =
\\left(\\frac{7}{4}\\right)^{k-1} \\left(\\frac{7}{4}
+ 1\\right) = \\left(\\frac{7}{4}\\right)^{k-1}
\\left(\\frac{11}{4}\\right) =
\\left(\\frac{7}{4}\\right)^{k-1}
\\left(\\frac{77}{44}\\right) \\leq
\\left(\\frac{7}{4}\\right)^{k-1}
\\left(\\frac{77}{44}\\right)
\\left(\\frac{7}{4}\\right) =
\\left(\\frac{7}{4}\\right)^{k-1}
\\left(\\frac{7}{4}\\right)^{\\log_{\\frac{7}{4}}
\\frac{77}{44}} = \\left(\\frac{7}{4}\\right)^{k-1}
\\left(\\frac{7}{4}\\right)^{\\log_{\\frac{7}{4}}
\\frac{7^2}{4^2}} = \\left(\\frac{7}{4}\\right)^{k-1} \\left(\\frac{7}{4}\\right)^{\\log_{\\frac{7}{4}} 7^2 - \\log_{\\frac{7}{4}} 2^2} =
\\left(\\frac{7}{4}\\right)^{k-1}
\\left(\\frac{7}{4}\\right)^{2 - 2} =
\\left(\\frac{7}{4}\\right)^{k-1}
\\left(\\frac{7}{4}\\right)^{0} =
\\left(\\frac{7}{4}\\right)^{k-1}$。

根据数学归纳法的原理，我们证明了等式 $F_n \\leq \\left(\\frac{7}{4}\\right)^{n-1}$ 对于所有的 n 都成立。

2.这是一个求和问题，我们可以使用定积分来计算这
个极限。

首先，我们将求和式 $\\sum_{k=1}^n
\\frac{3}{n} \\left(1 + \\frac{k}{n}\\right)^2$ 转化为积分的形式，即 $\\lim_{n \\to \\infty} \\sum_{k=1}^n
\\frac{3}{n} \\left(1 + \\frac{k}{n}\\right)^2 =
\\int_{0}^{1} 3x^2 dx$。

对于积分 $\\int_{0}^{1} 3x^2 dx$，我们可以直接求解。

通过计算，可得积分的结果为n3。

接下来，我们计算积分的值在区间 [0, 1] 上的差值，即 $x^3 \\Big|_0^1 = 1 - 0 = 1$。

因此，极限 $\\lim_{n \\to \\infty}
\\sum_{k=1}^n \\frac{3}{n} \\left(1 +
\\frac{k}{n}\\right)^2 = 1$。

结论
通过以上习题与答案的完整版，我们可以更加深入地理解高等数学同济第七版下册的内容。

习题的答案展示了解题的思
路和方法，希望对同学们学习高等数学课程有所帮助。

同时，我们鼓励同学们在学习过程中多做一些习题，并且自己进行思考和分析。

祝大家在高等数学学习中取得好成绩！。