高中数学选修2-2：合情推理
高二数学选修2-2(B版)_总结归纳：推理与证明
推理与证明对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．一．推理部分1．知识结构：2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．例如：已知2()53f n n n =-+-，可以(1)10f =>，(2)30,f =>(3)30,(4)10f f =>=>，于是推出：对入任何n N *∈，都有()0f n >；而这个结论是错误的，显然有当5n =时，(5)30f =-<．因此，归纳法得到的结论有待证明．例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．④推理过程：从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 猜想．3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：已知的一般原理（M 是P ）；ⅱ小前提：所研究的特殊情况（S 是M ）；ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（S 是P ）；集合简述：ⅰ大前提：x ∈M 且x 具有性质P ；ⅱ小前提：y ∈S 且S ⊆M ；ⅲ结论： y 也具有性质P ；例题1．若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,,n x x x ，总满足[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤，称函数()f x 为D 上的凸函数；现已知()sin f x x =在(0,)π上是凸函数，则ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是 ．解答：由[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤（大前提）因为()sin f x x =在(0,)π上是凸函数 （小前提）得()()()3()3A B C f A f B f C f ++++≤ （结论）即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤=因此，sin sin sin A B C ++的最大值是2 注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型4.和情推理与演绎推理的关系：①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；例2．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >且1a ≠） （1）5＝2＋3请你推测(5)g 能否用(2),(3),(2),(3)f f g g 来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.解答:（1）由(3)(2)(3)(2)f g g f +＝332a a -+222a a --＋332a a --222a a -+ ＝552a a -- 又(5)g ＝552a a -- 因此，(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +（2）由(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +即(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +于是推测()g x y +＝()()()()f x g y g x f y + 证明：因为：()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提） 所以()g x y +＝2x y x ya a ++-， ()g y ＝2y y a a --，()f y ＝2y ya a -+，（小前提及结论） 所以()()()()f x g y g x f y +＝2x x a a -+2y y a a --＋2x x a a --2y ya a -+ ＝2x y x ya a ++-＝()g x y + 解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论()g x y +＝()()()()f x g y g x f y +．二．证明部分1．知识结构2．综合法与分析法①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．例3．已知：0a b >>，求证：22()()828a b a b a b ab a b-+-<-< 证明：因为0a b >> 所以22()()828a b a b a b ab a b-+-<< ⇔222()()()44a b a b a b a b--<< ⇔|22a b a b<< ⇔2a b a b a b<< ⇔121b a a b < ⇔1b a a b<又由已知0a b >>1b a a b<<成立． 由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．(2)1b a a b<,(0a b >>)是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.例4.求证抛物线22(0)y px p =>，以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 证明：（如图）作AA ／、BB ／垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ／垂直准线. 要证明以AB 为直径的圆与准线相切只需证｜MM ／｜＝12｜AB ｜ 由抛物线的定义：｜AA ／｜＝｜AF ｜，｜BB ／｜＝｜BF ｜所以｜AB ｜＝｜AA ／｜＋｜BB ／｜因此只需证｜MM ／｜＝12（｜AA ／｜＋｜BB ／｜） 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的. 所以以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 以上解法同学们不难以综合法作出解答.解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.3.数学归纳法一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：（1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；（2）（归纳递推）假设ｎ＝k （0(,)k n k n ≥∈*时命题成立，证明当1n k =+ 时命题也成立。
高中数学 课时跟踪检测(十二)合情推理(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试
课时跟踪检测（十二） 合情推理一、题组对点训练对点练一 数(式)中的归纳推理1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n等于( )A ．2(n ＋1)2B ．2n (n ＋1)C ．22n －1D ．22n －1解析：选B 由a 1＝1，S 2＝22·a 2＝a 1＋a 2得a 2＝13，由a 1＋a 2＋a 3＝9×a 3得a 3＝16，由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝42·a 4得a 4＝110，…，猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B.2．将正整数排列如下图： 12 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 …则2 018出现在 A ．第44行第81列 B ．第45行第81列 C ．第44行第82列D ．第45行第82列解析：选D 由题意可知第n 行有2n －1个数，则前n 行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，因为442＝1 936，452＝2 025，且1 936<2 018<2 025，所以2 018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D.3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是( )A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n 2B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n 2D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2解析：选B 观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n －1(n ∈N *)项的和，其首项为n ，右边是项数的平方，故第n 个等式首项为n ，共有2n －1项，右边是(2n －1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，故选B.4．设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．解：f(0)＋f(1)＝130＋3＋13＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33.同理f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33.由此猜想：当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝33.证明：设x1＋x2＝1，则f(x1)＋f(x2)＝13x1＋3＋13x2＋3＝3x1＋3x2＋233x1＋x2＋3(3x1＋3x2)＋3＝3x1＋3x2＋233(3x1＋3x2)＋2×3＝3x1＋3x2＋233(3x1＋3x2＋23)＝33.故猜想成立．对点练二归纳推理在几何中的应用5．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析：选A 由图，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36颗珠子的颜色为白色．6．如图所示，第n个图形是由正n＋2边形拓展而来(n＝1,2，…)，则第n－2个图形共有________个顶点．解析：第一个图有3＋3×3＝4×3个顶点；第二个图有4＋4×4＝5×4个顶点；第三个图有5＋5×5＝6×5个顶点；第四个图有6＋6×6＝7×6个顶点；……；第n 个图有(n ＋3)×(n ＋2)个顶点． 第n －2个图有(n ＋1)×n ＝(n 2＋n )个顶点． 答案：n 2＋n7．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮. 现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． 解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由上面规律，得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n .所以1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n .对点练三 类比推理8．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，且b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积)，得a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9. 9．在平面中，△ABC 的∠ACB 的平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝ACBC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中，平面DEC 平分二面角A CD B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________．解析：平面中的面积类比到空间为体积，故S △AEC S △BEC 类比成V A CDEV B CDE.平面中的线段长类比到空间为面积，故ACBC 类比成S △ACD S △BDC .故有V A CDE V B CDE ＝S △ACDS △BDC. 答案：V A CDE V B CDE ＝S △ACDS △BDC10．在矩形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．解：如图①，在矩形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1，证明如下：如图②，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.二、综合过关训练1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 018的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49解析：选D 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16 807,76＝117 649，…， 所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4.又2 018＝4×504＋2， 所以72 018的末两位数字与72的末两位数字相同，为49.2．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A *D ，A *C 的分别是( ) A ．(1)，(2) B ．(1)，(3) C ．(2)，(4)D ．(1)，(4)解析：选C 由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A 代表竖线，字母B 代表大矩形，字母C 代表横线，字母D 代表小矩形，∴A *D 是(2)，A *C 是(4)．3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析：选C 记三角形数构成的数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225.4．将正偶数2,4,6,8，…按下表的方式进行排列，记a ij 表示第i 行和第j 列的数，若a ij＝2 018，则i ＋j 的值为( )第1 列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行2 4 6 8 第2行 1614 12 10 第3行18 20 22 24 第4行 3230 28 26 第5行34 36 38 40 ………………A ．257B ．256C ．255D ．254解析：选C 由表所反映的信息来看，第n 行的最大偶数为S n ＝8n (n ∈N *)，则8(i －1)<2 018≤8i ，由于i ∈N *，解得i ＝253；另一方面，奇数行的最大数位于第5列，偶数行的最大数位于第1列，第252行最大数为8×252＝2 016，此数位于第252行第1列，因此2 018位于第253行第2列，所以i ＝253，j ＝2，故i ＋j ＝253＋2＝255，故选C.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列． 解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 答案：T 8T 4T 12T 86．如图(1)，在三角形ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC ，则AB 2＝BD ·BC .若类比该命题，如图(2)，三棱锥A BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是不是真命题．解：命题是：三棱锥A BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有S 2△ABC ＝S △BCM ·S △BCD .此命题是一个真命题．证明如下：在图(2)中，延长DM 交BC 于E ，连接AE ，则有DE ⊥BC . 因为AD ⊥平面ABC ， 所以AD ⊥AE .又AM ⊥DE ，所以AE 2＝EM ·ED .于是S 2△ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·EM ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·ED ＝S △BCM ·S △BCD .7．如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N *，m ≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m 分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数； (2)若把(1)中的数列记为{a n }，归纳该数列的通项公式； (3)求a 10，并说明a 10表示的实际意义； (4)已知a n ＝9 900，问a n 是数列第几项？解：(1)当m ＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m ＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a 1＝2×3，a 2＝3×4，a 3＝4×5，…，所以猜想a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，n ∈N *. (3)a 10＝11×12＝132.a 10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n ＋1)(n ＋2)＝9 900，所以n ＝98，即a n 是数列的第98项，此时方阵为99行100列．。
高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》测试(1) 新人教B版选修2-2
合情推理与演绎推理一、归纳推理 例1．（1）观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？变式1.设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示）变式2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?(2)猜想:圆内两两相交的n (n ≥2)条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?强化训练1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .2.由107＞85,119＞108,2513＞219,…若a ＞b ＞0,m ＞0，则m a m b ++与a b 之间的大小关系为 .3.下列推理是归纳推理的是 （填序号）.①A ，B 为定点，动点P 满足|PA |+|PB |=2a ＞|AB |，得P 的轨迹为椭圆 ②由a 1=1，a n =3n -1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 ③由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2，猜想出椭圆2222b y a x +=1的面积S =πab④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 .二、类比推理（一）数列中的类比例1.在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式n a a a +⋅⋅⋅++21),19(1921+-∈<+⋅⋅⋅++=N n n a a a n 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式 成立.强化练习1.定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
苏教版数学高二- 选修2-2试题 合情推理
2.1.1 合情推理双基达标 限时20分钟1．下列推理中，是归纳推理的有________．①A 、B 为定点，动点P 满足PA ＋PB ＝2a>AB ，得P 的轨迹为椭圆．②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜出数列的前n 项和S n 的表达式．③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab. ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 是从特殊到一般的推理．答案 ②2．下面几种推理是合情推理的是________．①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和是180°；③某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n 边形内角和是(n －2)·180°.答案 ①②④3．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________________”，这个类比命题的真假性是__________．答案 夹在两平行平面间的平行线段相等 真命题4．观察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n 个等式为________．答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1(1＋2＋3＋…＋n)5．如图(1)有面积关系：S△PA′B′S△PAB ＝PA′·PB′PA·PB ，则图(2)有体积关系：V PA′B′C′V P-ABC ＝________.解析 把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得V PA′B′C′V P-ABC＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC . 答案 PA′·PB′·PC′PA·PB·PC6．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和S n ，则有如下性质：①通项：a n ＝a m ＋(n －m)d ；②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m 、n 、p 、q ∈N *)；③若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p (m 、n 、p ∈N *)；④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质，并判断所得结论的真假． 解 在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为S n ，则可以得到：①通项：b n ＝b m ·q n －m (真命题)；②若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q (m ，n ，p ，q ∈N *)(真命题)；③若m ＋n ＝2p ，则b m ·b n ＝b 2p(m ，n ，p ∈N *)(真命题)； ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列(假命题)．综合提高 限时25分钟7．当a ，b ，c ∈(0，＋∞)时，由a ＋b 2≥ab ，a ＋b ＋c 3≥3abc ，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是________．解析 a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n (a i ＞0，i ＝1,2，…，n)是基本不等式的一般形式，这里等号当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时成立．结论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的．答案 a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n (a i ＞0，i ＝1,2，…，n) 8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________ ，T 16T 12成等比数列．解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12，T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此，T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 18T 12成等比数列． 答案 T 8T 4 T 12T 89．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15…………………………根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左向右的第3个数是________．解析 ∵前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n 2个， ∴第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62. 答案 n 2－n ＋6210．观察下列等式：①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝mcos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋ncos 4α＋pcos 2α－1.可以推测，m －n ＋p ＝________.解析 观察等式可知，cos α的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故m ＝128×4＝512；取α＝0，则cos α＝1，cos 10α＝1，代入等式⑤，得1＝m －1 280＋1 120＋n ＋p －1，即n ＋p ＝－350(1)取α＝π3，则cos α＝12，cos 10α＝－12，代入等式⑤，得 －12＝m ⎝⎛⎭⎫1210－1 280×⎝⎛⎭⎫128＋1 120×⎝⎛⎭⎫126＋n×⎝⎛⎭⎫124＋p×⎝⎛⎭⎫122－1，即n ＋4p ＝－200(2) 联立(1)(2)，得n ＝－400，p ＝50，∴m －n ＋p ＝512－(－400)＋50＝962.答案 96211．就任一等差数列{a n }，计算a 7＋a 10和a 8＋a 9，a 10＋a 40和a 20＋a 30，你发现了什么一般规律？能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系角度分析这个问题．在等比数列中会有怎样的类似的结论？解设等差数列{a n}的公差为d，则a n＝a1＋(n－1)d，从而a7＝a1＋6d，a10＝a1＋9d，a8＝a1＋7d，a9＝a1＋8d.所以a7＋a10＝2a1＋15d，a8＋a9＝2a1＋15d，可得a7＋a10＝a8＋a9.同理a10＋a40＝a20＋a30.由此猜想，任一等差数列{a n}，若m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则有a m＋a n＝a p＋a q成立．类比等差数列，可得等比数列{a n}的性质：若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，则有a m·a n＝a p·a q成立．12.如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB，SAC，SBC与底面ABC所成角分别为α1，α2，α3，三棱SC，SB，SA与底面ABC所成的角为β1，β2，β3，三侧面△SAB，△SAC，△SBC的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想．解如图，在△DEF中，由正弦定理得DE sin F＝EFsin D＝DFsin E.如图，由于平面SAB，SAC，SBC与底面所成的二面角分别为α1，α2，α3，类比可得：在四面体S -ABC中，有S△SAB sin α1＝S△SACsin α2＝S△SBCsin α3，即S1sin α1＝S2sin α2＝S3sin α3.13．(创新拓展)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列(d≠0)．(1)若a20＝40，求d；(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；(3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列，提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)并进行研究，你能得到什么样的结论？解：(1)∵a10＝a1＋9×1＝10，a20＝a10＋10d＝10＋10d＝40.∴d＝3.(2)∵a 30＝a 20＋10d 2＝10(1＋d ＋d 2)(d≠0)， ∴a 30＝10，即a 30为关于d 的二次函数， 由于d ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴a 30∈[152，＋∞)． (3)所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a 10n ，a 10n ＋1，a 10n ＋2，…，a 10(n ＋1)是公差为d n 的等差数列．研究的问题可以是：试写出a 10(n ＋1)关于d 的关系式． 研究的结论可以是：由a 40＝a 30＋10d 3＝10(1＋d ＋d 2＋d 3)推广到一般有： a 10(n ＋1)＝10(1＋d ＋d 2＋…＋d n )(n ∈N *)．。
浙江省杭州市第七中学人教版高一数学 选修2-2 课件：2-1合情推理之归纳推理
an 1 2 an1 1
(n 1)
{an 1}为等比数列
an 1 (a1 1) 2n1
an 2n 1
第六页，编辑于星期日：十五点 三十四分。
例2 一楼梯有12级台阶，某人上楼可以1步1级，
可以1步2级，但不能1步3级或更多，
n n-1
问此人上楼走完12级台阶，
n-2
an aann--12
a2
2 3
2
2, 1
a3
2 4Biblioteka 32 122
a4
5
4
, 1
,由此猜想:an
2 n1
(n
N*)
3. 因为表格中数据都满足： F+V-E=2，
4. 所以猜想:对所有凸多面体都有 F+V-E=2
5. (注: 欧拉定理)
4. 猜想 n 6时, 2n1 (n 1)2 n 7时, 2n1 (n 1)2 n 8时, 2n1 (n 1)2
第二页，编辑于星期日：十五点 三十四分。
例1 (P27 例5 汉诺威塔)
如图，有三根针和套在一根针上的若干金属盘，按下列
规则，把金属盘从一根针上全部移到另一根针上： 1、每次只能移动一个金属盘； 2、较大的金属盘不能放在较小的金属盘上面。 试推测：把n个金属盘从1号针移到3号针，最少需要移
动多少次？
的上面。后来，这个传说就演变为汉诺塔游戏
1.有三根杆子A,B,C。A杆上有若干碟子 2.每次移动一块碟子,小的只能叠在大的上面 3.把所有碟子从A杆全部移到C杆上 事实上移动圆片次数为264-1=18446744073709551615众僧耗尽 毕生精力也不可能完成
第四页，编辑于星期日：十五点 三十四分。
数学选修2-2自主练习：2.1.1合情推理 含解析 精品
自主广场我夯基我达标1.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于( )1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=1 1111234×9+5=11 111A.1 111 110B.1 111 111C.1 111 112D.1 111 113 思路解析：注意观察，寻找规律答案:B2.我们把1、4、9、16、25、…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形，如图2-1-4所示，则第n个正方形数是( )图2-1-4A.n(n-1)B.n(n+1)C.n2D.(n+1)2思路解析：1、4、9、16、25分别为序号的平方，所以第n个正方形数为n2答案:C3.定义A*B、B*C、C*D、D*B分别对应图2-1-5中的图形：图2-1-5则下列图形中可以表示A*D、A*C的分别是( )图2-1-6A.(1)(2)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(1)(4)思路解析：注意观察分析、辨别，找到A、B、C、D分别对应的图形，A为竖线，B为大正方形，C为横线，D为小正方形答案:C4.已知f1(x)=cosx,f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),f4(x)=f3′(x)，…，f n(x)=f n-1′(x)，则f2006(x)等于( )A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx思路解析：f1(x)=cosx,f2(x)=f1′(x)=-sinx,f3(x)=f2′(x)=-cosx,f4(x)=f3′(x)=sinx, f5(x)=f5′(x)=cosx……再继续下去会重复出现，周期为4，∴f2006(x)=f2(x)=-sinx.答案:B5.三角形的面积为S=)(21c b a ++r,a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( ) A.V=abc 31B.V=Sh 31 C.V=31(S 1+S 2+S 3+S 4)r(S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径) D.V=31(ab+bc+ac)h(h 为四面体的高) 思路解析：三角形ABC 的内心为O ，连结OA 、OB 、OC ，将OABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ，类比：设四面体A —BCD 的内切球球心为O ，连结OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V=31(S 1+S 2+S 3+S 4)r 答案:C6.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S=2高底⨯，可推知扇形面积公式S 扇等于( ) A.22r B.22l C.2lr D.不可类比 思路解析：我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高为扇形的半径r ，∴S 扇=lr 21. 答案:C7.观察图2-1-7所示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )图2-1-7思路解析：观察可知，每一行，每一列分别都有方形、圆形、三角形，并且各有一白两黑. 答案:A8.图2-1-8所示为一串白黑相间排列的珠子，第36颗珠子应是什么颜色的？图2-1-8思路解析：观察规律为三白两黑，5个周期，第36颗与第1颗颜色一致答案:白色.我综合 我发展9.经计算发现下列不等式：,1025.155.4,102182<+<+21723-++ 102<，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a 、b 都成立的条件不等式：______________. 思路解析：各不等式右边相同，左边两根号内的数之和等于20答案:当a+b=20时，有b a +≤102,a 、b ∈R +10.由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是_________________.思路解析：等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比.答案:各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等11.类比圆的下列特征，找出球的相关特征：(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；(3)圆的周长与面积可求；(4)在平面直角坐标系中，以点(x 0,y 0)为圆心，r 为半径的圆的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=r 2. 思路分析：类比要抓住共同特征，从已有的知识中提出新问题，发现新问题解：(1)在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球；(2)空间中不共面的4个点确定一个球；(3)球有面积与体积；(4)在空间直角坐标系中，以点(x 0,y 0,z 0)为球心，r 为半径的球的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2=r 2.。
湖南省新田县第一中学高中数学选修2-2课件：18合情推理-类比推理
an a1qn1 an amqnm
前n项和
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 2
1)
d
Sn
na1 a1 (1
q
n
1 q
(q 1) ) (q 1)
第八页，编辑于星期日：十六点 三十六分。
例2类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质
解：（1）两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果
第二页，编辑于星期日：十六点 三十六分。
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯
2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜 水艇.
3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类
似的特征;
1)火星也
绕太阳运行、饶轴自转的行星;
2)有大气层,在
一年中也有季节变更;
3)火星上大部分时间
积都等于原来的数，即
a+0=a
a •1 a
第九页，编辑于星期日：十六点 三十六分。
练习
(2005年广东)如图（1）有面积关系：SPAB PA • PB SPAB PA • PB
则图（2）有体积关系： VP－ABC PA • PB • PC VP-ABC PA • PB • PC
B
B
B
B
C
C
P
仍然是一个实数。
（2）从运算的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即
a+b=b+a
ab=ba
(a+b)+c=a+(b+c)
(ab)c=a(bc)
（3）从逆运算的角度考虑，加法和乘法都有逆运算，加法的逆运算 是减法，乘法的逆运算是除法。
高中数学选修2-2课件：2.1 2.1.2 演绎推理
(4)演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有 关．( )
课 时 分 层 作 业
[ 答案]
(1)×(2)×(3)× (4)√
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自 主 预 习 • 探 新 知
2．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该 推理的大前提是( )
A．正方形的对角线相等 B．矩形的对角线相等 C．等腰梯形的对角线相等 D．矩形的对边平行且相等
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
课 时 分 层 作 业
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自 主 预 习 • 探 新 知
[规律方法]
把演绎推理写成“三段论”的一般方法：
1用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前 提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起 来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系
当 堂 达 标 • 固 双 基
A [ 要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和
合 作 探 究 • 攻 重 难
结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理 正确．因为任何实数的平方都大于0，又因为a是实数，所以a2＞0，其中大前 提是：任何实数的平方都大于0，它是不正确的．]
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
制造潜艇．
[ 解析] [ 答案] ①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理． ①
课 时 分 层 作 业
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自 主 预 习 • 探 新 知
[合 作 探 究· 攻 重 难]
演绎推理与三段论
例
(1)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(