初高中数学衔接教材(学生)

初高中数学衔接教材

一：数与式

1. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；

（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；

（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；

（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；

（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；

（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．

例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．

）； )；

(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．

（4）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ）

2．根式

一般地，形如0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方

的式子称为无理式. 例如 32a b ，等是无理式，而212

x +

+，

22x y + 1．分母（子）有理化

2．二次根式a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1 （20)a ≥； （30)x <．

例2 (3-．

．

．

练 习

1．填空：

（1

＝__ ___； （2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；

3．分式

1．分式的意义

形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B 具有下列性质： A A M B B M ⨯=⨯； A A M B B M ÷=÷． 2．繁分式：像a

b c d

+，2m n p m n p

+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 例1 若54(2)2

x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值．

例2 计算：1111223910

+++⨯⨯⨯；

练 习

1．填空题：对任意的正整数n ，

1(2)n n =+ （ ） 2.若

223x y x y -=+，则x y ＝ （ ）

4．计算

1111 (12233499100)

++++⨯⨯⨯⨯．

二.因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式：

（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；

（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．

练习

一、填空题：

1、把下列各式分解因式：

（1）=-+652x x ______________。 （2）=+-652x x ______________。

（3）=++652x x ______________。 （4）=--652x x ______________。

（5）()=++-a x a x 12_________ 。 （6）=+-18112x x ____________。

2、()()24 3 x x x x --=+-

3、若()()422

-+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。

2．提取公因式法

例2 分解因式：

（1） ()()b a b a -+-552

（2）32933x x x +++

课堂练习：

一、填空题：

1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________。

2、()()()•-=-+-y x x y n y x m __________________。

3、()()()•-=-+-2

22y x x y n y x m ____________________。 4、()()()•--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________。

5、()()•--=++---z y x z y x z y x m ______________________。

6、5

23623913x b a x ab --分解因式得_____________________。

7．计算99992+= 3：公式法

例3 分解因式： （1）164+-a

（2）()()2223y x y x --+

课堂练习

一、222b ab a +-，22b a -，33b a -的公因式是______________

二、把下列各式分解

1、()()229n m n m ++--

2、3

132-x

3、()22444+--x x

4、122

4+-x x

4．分组分解法

例4 （1）x y xy x 332-+-

课堂练习：用分组分解法分解多项式

（1）by ax b a y x 222222++-+-

5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．

若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.

例5 把下列关于x 的二次多项式分解因式：

（1）221x x +-；

练 习

1．选择题：

多项式22

215x xy y --的一个因式为 （ ）

（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -

2．分解因式： （1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3； （3）x 2－2x －1；