第5讲 对数与对数函数(章节练习)

第5讲 对数与对数函数

【2013年高考会这样考】

1．考查对数函数的定义域与值域． 2．考查对数函数的图象与性质的应用．

3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质． 4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系． 【复习指导】

复习本讲首先要注意对数函数的定义域，这是研究对数函数性质．判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据，同时熟练把握对数函数的有关性质，特别注意底数对函数单调性的影响．

基础梳理

1．对数的概念 (1)对数的定义

如果a x ＝N (a ＞0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． (2)几种常见对数

对数形式 特点

记法 一般对数 底数为a (a ＞0且a ≠1)

log a N 常用对数 底数为10 lg N 自然对数

底数为e

ln_N

2.(1)对数的性质

①a log a N ＝N ；②log a a N ＝N (a ＞0且a ≠1)． (2)对数的重要公式

①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)；

②log a b ＝1

log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .

(3)对数的运算法则

如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么

①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M

N

＝log a M －log a N ；

③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝n

m log a M .

3．对数函数的图象与性质

a ＞1

0＜a ＜1

图象

性质

定义域：(0，＋∞)

值域：R 过点(1,0)

当x ＞1时，y ＞0当0＜x ＜

1，y ＜0

当x ＞1时，y ＜0当0＜x ＜1

时，y ＞0

是(0，＋∞)上的增函数

是(0，＋∞)上的减函数

4.反函数

指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．

一种思想

对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明． 两个防范

解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围． 三个关键点

画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1. 四种方法

对数值的大小比较方法

(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)． (4)化同真数后利用图象比较．

双基自测

1．(2010·四川)2 log 510＋log 50.25＝( )．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4 解析 原式＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 答案 C

2．(人教A 版教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c

D ．c ＜a ＜b

解析 将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 答案 C

3．(2012·黄冈中学月考)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)

D ．[1，＋∞)

解析 设y ＝f (x )，t ＝3x ＋1. 则y ＝log 2t ，t ＝3x ＋1，x ∈R .

由y ＝log 2t ，t >1知函数f (x )的值域为(0，＋∞)． 答案 A

4．(2012·汕尾模拟)下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是

( )．

A ．(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－1，4

3 C.⎣⎡⎭

⎫0，32 D ．[1,2) 解析 法一 当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x ≤1，即1≤x ＜2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D.

法二 f (x )＝|ln(2－x )|的图象如图所示．

由图象可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D. 答案 D

5．若log a 2

3>1，则a 的取值范围是________．

答案⎝⎛⎭⎫23，1

考向一 对数式的化简与求值

【例1】►求值：(1)log 89log 23；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；

(3)12lg 3249－4

3

lg 8＋lg 245. [审题视点] 运用对数运算法则及换底公式． 解 (1)原式＝log 2332log 23＝2

3.

(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg

105

＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5)＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1. (3)法一 原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋1

2(2lg 7＋lg 5)

＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝1

2. 法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝

lg 10＝1

2

.

对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的

运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化． 【训练1】 (1)若2a ＝5b ＝10，求1a ＋1

b 的值．

(2)若x log 34＝1，求4x ＋4－

x 的值． 解 (1)由已知a ＝log 210，b ＝log 510， 则1a ＋1

b ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. (2)由已知x ＝log 43，

则4x ＋4－

x ＝4log 43＋4－log 43＝3＋13＝103

.

考向二 对数值的大小比较

【例2】►已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，