2020年四川省乐山市中考数学试卷及答案解析

2020年四川省乐山市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．（3分）12的倒数是（ ） A ．−12 B ．12 C ．﹣2 D ．22．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为（ ）A ．1100B ．1000C ．900D ．1103．（3分）如图，E 是直线CA 上一点，∠FEA ＝40°，射线EB 平分∠CEF ，GE ⊥EF ．则∠GEB ＝（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°4．（3分）数轴上点A 表示的数是﹣3，将点A 在数轴上平移7个单位长度得到点B ．则点B 表示的数是（ ）A ．4B ．﹣4或10C ．﹣10D ．4或﹣105．（3分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠BAD ＝120°，O 是对角线BD 的中点，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，连结OA ．则四边形AOED 的周长为（ ）A．9+2√3B．9+√3C．7+2√3D．86．（3分）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤2的解集是（）A．x≤﹣2B．x≤﹣4C．x≥﹣2D．x≥﹣47．（3分）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为1），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（）A．B．C．D．8．（3分）已知3m＝4，32m﹣4n＝2．若9n＝x，则x的值为（）A．8B．4C．2√2D．√29．（3分）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC 绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（）A ．π4B ．π−√32C ．π−√34D ．√32π 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x 与双曲线y =k x 交于A 、B 两点，P 是以点C （2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP ，Q 为AP 的中点．若线段OQ 长度的最大值为2，则k 的值为（ ）A ．−12B ．−32C ．﹣2D ．−14二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．（3分）用“＞”或“＜”符号填空：﹣7 ﹣9．12．（3分）某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，40．则这组数据的中位数是 ．13．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C 处测得扶梯顶端B 的仰角为60°，A 、C 之间的距离为4m ．则自动扶梯的垂直高度BD ＝ m ．（结果保留根号）14．（3分）已知y ≠0，且x 2﹣3xy ﹣4y 2＝0．则x y 的值是 ． 15．（3分）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E 为AD 的中点，连结BE 交AC 于点F ．则AF AC = ．16．（3分）我们用符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：（1）当﹣1＜[x ]≤2时，x 的取值范围是 ；（2）当﹣1≤x ＜2时，函数y ＝x 2﹣2a [x ]+3的图象始终在函数y ＝[x ]+3的图象下方．则实数a 的范围是 ．三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分．17．（9分）计算：|﹣2|﹣2cos60°+（π﹣2020）0．18．（9分）解二元一次方程组：{2x +y =2，8x +3y =9．19．（9分）如图，E 是矩形ABCD 的边CB 上的一点，AF ⊥DE 于点F ，AB ＝3，AD ＝2，CE ＝1．求DF 的长度．四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．20．（10分）已知y =2x ，且x ≠y ，求（1x−y +1x+y ）÷x 2y x 2−y 2的值． 21．（10分）如图，已知点A （﹣2，﹣2）在双曲线y =k x 上，过点A 的直线与双曲线的另一支交于点B （1，a ）．（1）求直线AB 的解析式；（2）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，连结AC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ．求线段CD 的长．22．（10分）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．根据上面图表信息，回答下列问题：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为°；（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、2.75%、3.5%、10%、20%，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．23．（10分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：车型每车限载人数（人）租金（元/辆）商务车6300轿车4（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？̂上一点，DE⊥AB于点E，24．（10分）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是AC交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AF＝FG．̂；（1）求证：点D平分AC（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．25．（12分）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是；（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．26．（13分）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连结BC ，且tan ∠CBD =43，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连结FB 、FC ，求△BCF 的面积的最大值；②连结PB ，求35PC +PB 的最小值．2020年四川省乐山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．（3分）12的倒数是（ ） A ．−12 B ．12C ．﹣2D ．2 【解答】解：根据倒数的定义，可知12的倒数是2．故选：D ．2．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为（ ）A ．1100B ．1000C ．900D ．110 【解答】解：2000×85+2525+85+72+18=1100（人）， 故选：A ．3．（3分）如图，E 是直线CA 上一点，∠FEA ＝40°，射线EB 平分∠CEF ，GE ⊥EF ．则∠GEB ＝（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【解答】解：∵∠FEA ＝40°，GE ⊥EF ，∴∠CEF ＝180°﹣∠FEA ＝180°﹣40°＝140°，∠CEG ＝180°﹣∠AEF ﹣∠GEF ＝180°﹣40°﹣90°＝50°，∵射线EB平分∠CEF，∴∠CEB=12∠CEF=12×140°=70°，∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20°，故选：B．4．（3分）数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表示的数是（）A．4B．﹣4或10C．﹣10D．4或﹣10【解答】解：点A表示的数是﹣3，左移7个单位，得﹣3﹣7＝﹣10，点A表示的数是﹣3，右移7个单位，得﹣3+7＝4．所以点B表示的数是4或﹣10．故选：D．5．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连结OA．则四边形AOED的周长为（）A．9+2√3B．9+√3C．7+2√3D．8【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝4，AB∥CD，∵∠BAD＝120°，∴∠ADB＝∠CDB＝30°，∵O是对角线BD的中点，∴AO⊥BD，在Rt△AOD中，AO=12AD＝2，OD=√3OA＝2√3，∵OE⊥CD，∴∠DEO＝90°，在Rt △DOE 中，OE =12OD =√3，DE =√3OE ＝3，∴四边形AOED 的周长＝4+2+√3+3＝9+√3．故选：B ．6．（3分）直线y ＝kx +b 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx +b ≤2的解集是（ ）A ．x ≤﹣2B ．x ≤﹣4C ．x ≥﹣2D ．x ≥﹣4【解答】解：∵直线y ＝kx +b 与x 轴交于点（2，0），与y 轴交于点（0，1），∴{2k +b =0b =1，解得{k =−12b =1∴直线为y =−12x +1，当y ＝2时，2=−12x +1，解得x ＝﹣2，由图象可知：不等式kx +b ≤2的解集是x ≥﹣2，故选：C ．7．（3分）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为1），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（ ） A ． B ．C ．D ．【解答】解：由题意，选项D 阴影部分面积为6，A ，B ，C 的阴影部分的面积为5， 如果能拼成正方形，选项D 的正方形的边长为√6，选项A ，B ，C 的正方形的边长为√5， 观察图象可知，选项A ，B ，C 阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得图1的5个图形，可以拼成图2的边长为√5的正方形，故选：D ．8．（3分）已知3m ＝4，32m﹣4n＝2．若9n ＝x ，则x 的值为（ ）A ．8B ．4C ．2√2D ．√2【解答】解：∵3m ＝4，32m ﹣4n＝（3m ）2÷（3n ）4＝2．∴42÷（3n ）4＝2， ∴（3n ）4＝42÷2＝8， 又∵9n ＝32n ＝x ，∴（3n ）4＝（32n ）2＝x 2， ∴x 2＝8， ∴x =√8=2√2． 故选：C ．9．（3分）在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′．则图中阴影部分面积为（ ）A ．π4B ．π−√32C ．π−√34D ．√32π 【解答】解：∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1， ∴AB =√3BC =√3，AC ＝2BC ＝2， ∴90⋅π×22360−90⋅π×3360−（12×1×√3−30⋅π×3360）=π−√32， 故选：B ．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ 长度的最大值为2，则k的值为（）A．−12B．−32C．﹣2D．−14【解答】解：点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ=12BP最大，而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，解得：m2=1 2，∴k＝m（﹣m）=−1 2，故选：A．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．（3分）用“＞”或“＜”符号填空：﹣7＞﹣9．【解答】解：∵|﹣7|＝7，|﹣9|＝9，7＜9，∴﹣7＞﹣9，故答案为：＞．12．（3分）某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，40．则这组数据的中位数是39．【解答】解：把这组数据从小到大排序后为37，37，38，39，40，40，40，其中第四个数据为39，所以这组数据的中位数为39． 故答案为39．13．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C 处测得扶梯顶端B 的仰角为60°，A 、C 之间的距离为4m ．则自动扶梯的垂直高度BD ＝ 2√3 m ．（结果保留根号）【解答】解：∵∠BCD ＝∠BAC +∠ABC ，∠BAC ＝30°，∠BCD ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BCD ﹣∠BAC ＝30°， ∴∠BAC ＝∠ABC ， ∴BC ＝AC ＝4，在Rt △BDC 中，sin ∠BCD =BDBC， ∴sin60°=BD 4=√32， ∴BD ＝2√3（m ），答：自动扶梯的垂直高度BD ＝2√3m ， 故答案为：2√3．14．（3分）已知y ≠0，且x 2﹣3xy ﹣4y 2＝0．则xy 的值是 4或﹣1 ．【解答】解：∵x 2﹣3xy ﹣4y 2＝0，即（x ﹣4y ）（x +y ）＝0， 可得x ＝4y 或x ＝﹣y ， ∴xy =4或xy=−1，即x y的值是4或﹣1； 故答案为：4或﹣1．15．（3分）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E 为AD 的中点，连结BE 交AC 于点F ．则AF AC=35．【解答】解：连接CE ，∵∠CAD ＝30°，∠ACD ＝90°，E 是AD 的中点， ∴AC =√32AD ，CE =12AD ＝AE ， ∴∠ACE ＝∠CAE ＝30° ∵∠BAC ＝30°，∠ABC ＝90°， ∴AB =√32AC =34AD ，∠BAC ＝∠ACE ， ∴AB ∥CE ， ∴△ABF ∽△CEF ， ∴AF CF =AB CE =34AD 12AD =32，∴AF AC=35，故答案为35．16．（3分）我们用符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么： （1）当﹣1＜[x ]≤2时，x 的取值范围是 0≤x ≤2 ；（2）当﹣1≤x ＜2时，函数y ＝x 2﹣2a [x ]+3的图象始终在函数y ＝[x ]+3的图象下方．则实数a 的范围是 a ＜−1或a ≥32 ． 【解答】解：（1）由题意∵﹣1＜[x ]≤2， ∴0≤x ≤2， 故答案为0≤x ≤2．（2）由题意：当﹣1≤x ＜2时，函数y ＝x 2﹣2a [x ]+3的图象始终在函数y ＝[x ]+3的图象下方，则有x ＝﹣1时，1+2a +3＜﹣1+3，解得a ＜﹣1， 或x ＝2时，4﹣2a +3≤1+3，解得a ≥32， 故答案为a ＜﹣1或a ≥32．三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分． 17．（9分）计算：|﹣2|﹣2cos60°+（π﹣2020）0． 【解答】解：原式=2−2×12+1 ＝2．18．（9分）解二元一次方程组：{2x +y =2，8x +3y =9．【解答】解：{2x +y =2①8x +3y =9②，法1：②﹣①×3，得 2x ＝3， 解得：x =32，把x =32代入①，得 y ＝﹣1， ∴原方程组的解为{x =32y =−1； 法2：由②得：2x +3（2x +y ）＝9， 把①代入上式， 解得：x =32，把x =32代入①，得 y ＝﹣1， ∴原方程组的解为{x =32y =−1． 19．（9分）如图，E 是矩形ABCD 的边CB 上的一点，AF ⊥DE 于点F ，AB ＝3，AD ＝2，CE ＝1．求DF 的长度．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴DC ＝AB ＝3，∠ADC ＝∠C ＝90°． ∵CE ＝1，∴DE =√DC 2+CE 2=√10． ∵AF ⊥DE ，∴∠AFD ＝90°＝∠C ，∠∠ADF +∠DAF ＝90°． 又∵∠ADF +∠EDC ＝90°， ∴∠EDC ＝∠DAF ， ∴△EDC ∽△DAF ， ∴DE AD=CE FD ，即√102=1FD， ∴FD =√105，即DF 的长度为√105．四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．20．（10分）已知y =2x ，且x ≠y ，求（1x−y +1x+y ）÷x 2yx 2−y 2的值．【解答】解：原式=2x (x+y)(x−y)÷x 2yx 2−y 2=2x x 2−y 2×x 2−y 2x 2y =2xy ， ∵y =2x ，∴原式=2x⋅2x=1 解法2：同解法1，得原式=2xy， ∵y =2x ， ∴xy ＝2， ∴原式=22=1． 21．（10分）如图，已知点A （﹣2，﹣2）在双曲线y =kx 上，过点A 的直线与双曲线的另一支交于点B （1，a ）． （1）求直线AB 的解析式；（2）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，连结AC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ．求线段CD 的长．【解答】解：（1）将点A （﹣2，﹣2）代入y =k x，得k ＝4， 即y =4x ，将B （1，a ）代入y =4x ，得a ＝4， 即B （1，4），设直线AB 的解析式为y ＝mx +n ，将A （﹣2，﹣2）、B （1，4）代入y ＝kx +b ，得{−2=−2m +n 4=m +n ，解得{m =2n =2，∴直线AB 的解析式为y ＝2x +2；（2）∵A （﹣2，﹣2）、B （1，4）， ∴AB =√(−2−1)2+(−2−4)2=3√5，∵S△ABC=12×AB×CD=12×BC×3，∴CD=BC×3AB=3√5=4√55．22．（10分）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．根据上面图表信息，回答下列问题：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为20万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为72°；（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、2.75%、3.5%、10%、20%，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．【解答】解：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为9÷45%＝20（万人），扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为360°×420=72°，故答案为：20、72；（2）20﹣39岁人数为20×10%＝2（万人），补全的折线统计图如图2所示；（3）该患者年龄为60岁及以上的概率为：9+4.520×100%=67.5%=0.675；（4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为：0.5×1%+2×2.75%+4×3.5%+9×10%+4.5×20%20×100%=10%．五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．23．（10分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：车型 每车限载人数（人）租金（元/辆）商务车 6 300 轿车4（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？ 【解答】解：（1）设租用一辆轿车的租金为x 元， 由题意得：300×2+3x ＝1320， 解得 x ＝240，答：租用一辆轿车的租金为240元；（2）①若只租用商务车， ∵346=523，∴只租用商务车应租6辆，所付租金为300×6＝1800（元）； ②若只租用轿车， ∵344=8.5，∴只租用轿车应租9辆，所付租金为240×9＝2160（元）；③若混和租用两种车，设租用商务车m 辆，租用轿车n 辆，租金为W 元． 由题意，得 {6m +4n =34W =300m +240n ，由6m +4n ＝34，得 4n ＝﹣6m +34，∴W ＝300m +60（﹣6m +34）＝﹣60m +2040， ∵﹣6m +34＝4n ≥0， ∴m ≤173， ∴1≤m ≤5，且m 为整数， ∵W 随m 的增大而减小，∴当m ＝5时，W 有最小值1740，此时n ＝1．综上，租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．24．（10分）如图1，AB 是半圆O 的直径，AC 是一条弦，D 是AC ̂上一点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，连结BD 交AC 于点G ，且AF ＝FG ． （1）求证：点D 平分AĈ； （2）如图2所示，延长BA 至点H ，使AH ＝AO ，连结DH ．若点E 是线段AO 的中点．求证：DH 是⊙O 的切线．【解答】证明：（1）如图1，连接AD 、BC ， ∵AB 是半圆O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∵DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ABD，又∵AF＝FG，即点F是Rt△AGD的斜边AG的中点，∴DF＝AF，∴∠DAF＝∠ADF＝∠ABD，又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC，∴AD̂=DĈ，∴即点D平分AĈ；（2）如图2所示，连接OD、AD，∵点E是线段OA的中点，∴OE=12OA=12OD，∴∠AOD＝60°，∴△OAD是等边三角形，∴AD＝AO＝AH，∴△ODH是直角三角形，且∠HDO＝90°，∴DH是⊙O的切线．六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．25．（12分）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是OE＝OF；（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，又∵∠AEO＝∠CFO，∠AOE＝∠COF＝90°，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，故答案为：OE＝OF；（2）补全图形如图所示，结论仍然成立，理由如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠GCO，∵点O为AC的中点，∴AO＝CO，又∵∠AOE ＝∠COG ，∴△AOE ≌△COG （AAS ），∴OE ＝OG ，∵∠GFE ＝90°，∴OE ＝OF ；（4）点P 在线段OA 的延长线上运动时，线段CF 、AE 、OE 之间的关系为OE ＝CF +AE ， 证明如下：如图，延长EO 交FC 的延长线于点H ，由（2）可知△AOE ≌△COH ，∴AE ＝CH ，OE ＝OH ，又∵∠OEF ＝30°，∠HFE ＝90°，∴HF =12EH ＝OE ，∴OE ＝CF +CH ＝CF +AE ．26．（13分）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连结BC ，且tan ∠CBD =43，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连结FB 、FC ，求△BCF 的面积的最大值；②连结PB ，求35PC +PB 的最小值．【解答】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5）， ∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴D （2，0），又∵tan ∠CBD =43=CD DB， ∴CD ＝BD •tan ∠CBD ＝4，即C （2，4），代入抛物线的解析式，得4＝a （2+1）（2﹣5），解得 a =−49，∴二次函数的解析式为 y =−49(x +1)(x −5)=−49x 2+169x +209； （2）①设P （2，t ），其中0＜t ＜4，设直线BC 的解析式为 y ＝kx +b ，∴{0=5k +b ，4=2k +b.， 解得 {k =−43，b =203.即直线BC 的解析式为 y =−43x +203， 令y ＝t ，得：x =5−34t ，∴点E （5−34t ，t ），把x =5−34t 代入y =−49(x +1)(x −5)，得 y =t(2−t 4)，即F(5−34t ，2t −14t 2)，∴EF =(2t −14t 2)−t =t −t 24，∴△BCF 的面积=12×EF ×BD =32（t −t 24）=−38(t 2−4t)=−38(t −2)2+32， ∴当t ＝2时，△BCF 的面积最大，且最大值为32； ②如图，连接AC ，根据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，∴sin ∠ACD =AD AC =35，过点P 作PG ⊥AC 于G ，则在Rt △PCG 中，PG =PC ⋅sin ∠ACD =35PC ， ∴35PC +PB =PG +PB ， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则PG +PH ≥BH ，∴线段BH 的长就是35PC +PB 的最小值， ∵S △ABC =12×AB ×CD =12×6×4=12，又∵S △ABC =12×AC ×BH =52BH ，∴52BH =12， 即BH =245，∴35PC +PB 的最小值为245．。