指数对数幂函数对比

指数函数

概念：一般地，函数y=a^x(a＞0，且a≠1）叫做指数函数,其中x是自变量，函数的定义域是R.

注意:⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义.

指数函数的图像与性质：

规律:1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2。当a＞1时,底数越大,图像上升的越快，在y轴的右侧,图像越靠近y轴；

当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧,图像越靠近y轴.

在y轴右边“底大图高"；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀:“大增小减"。即:当a＞1时,图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4。指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法:

1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；

2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；

3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较;

4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较

底数的平移：

在指数上加上一个数，图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数,图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数

1.对数函数的概念

由于指数函数y=a x 在定义域(—∞,+∞)上是单调函数，所以它存在反函数,

我们把指数函数y=a x （a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1）.

因为指数函数y=a x 的定义域为（-∞,+∞）,值域为（0，+∞），所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为（-∞，+∞）。

2.对数函数的图像与性质

对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y=x 。 据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质.

为了研究对数函数y=log a x(a ＞0,a ≠1）的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数

y=log 2x,y=log 10x ，y=log 10x ，y=log 2

1x ，y=log

10

1x 的草图

由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x（a＞0，a≠1)的图像的特征和性质。见下表.

］

图

象

a＞1 a＜1

性质（1)x＞0

（2）当x=1时，y=0

(3）当x＞1时,y＞0

0＜x＜1时,y＜0

(3)当x＞1时，y＜0

0＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞）上是增函数(4)在（0，+∞)上是减函数

补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2

当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b,则y1＞y2

比较对数大小的常用方法有：

(1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断。 (2)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. （3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较。 (4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较。

3。指数函数与对数函数对比

幂函数

幂函数的图像与性质

幂函数n

y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握

n y x =，当11

2,1,,,323

n =±±±

的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：

① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限．

② 11

,,1,2,332a =

时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1

,1,22

a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．

④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．

n

y x =

奇函数 偶函数 非奇非偶函数

1n >

01n <<

0n <

y x =

2

y x =

3

y x =

12

y x =

1y x -=

定义域 R R R {}|0x x ≥ {}|0x x ≠

奇偶性

奇 奇 奇 非奇非偶

奇 在第Ⅰ象限的增减性 在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递减

O

x

y

O

x

y

O

x

y O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

幂函数y x α

=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：

①所有幂函数y x α

=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；

②当21

,

3,2,1=α时函数y x α

=的图像都过原点)0,0(；

③当1=α时，y x α

=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；

④当3,2=α时，y x α

=的的图像在第一象限是“凹型"曲线（如1c )

⑤当21

=

α时，y x α

=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）

⑥当1-=α时，y x α

=的的图像不过原点)0,0(,且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）

当0>α时，幂函数y x α

=有下列性质：

（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；

(2)在第一象限内都是增函数；

(3)在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的; （4)在第一象限内，过点)1,1(后,图象向右上方无限伸展。

当0<α时,幂函数y x α

=有下列性质：

（1）图象都通过点)1,1(；

（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的;