人教版数学八年级上册 十字相乘法
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数学人教版八年级上册十字相乘法分解因式
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什么是因式分解？ 把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做 把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解 因式.
前面我们都学习了哪些分解因式的方法？ 提取公因式法、公式法
公式法中常用的乘法公式
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
(1)X2-7x+12 (4)x2-11x-12 (2)x2-4x-12 (5)x2+13x+12 (3)x2+8x+12 (6)x2-x-12
对于x2+px+q （1）当q＞0时，a、b﹍﹍，且a、b的符号与p的符号﹍﹍。
异号 a、b中绝对值较大的因数 （2）当q＜0时，a、b﹍﹍，且﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍与 p的符号相同。 同号 相同
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一:分解因式
( x 7 )( x 1 )步骤： x 6 x 7
2
7 x 1 x 7 x 6 x
x
①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
顺口溜：
竖分常数交叉验，
横写因式不能乱。
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
1、口答计算结果
(x+3)(x+4)= (x+3)(x- 4)= (x- 3)(x+4)= (x- 3)(x- 4)= x2+7x+12 x2-x-12 x2+x-12 x2-7x+12
2、提问：你有什么快速计算类似以 上多项式的方法吗？
两个一次二项式相乘的积
整式的乘法
一个二次三项式
什么是因式分解？ 把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做 把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解 因式.
前面我们都学习了哪些分解因式的方法？ 提取公因式法、公式法
公式法中常用的乘法公式
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
(1)X2-7x+12 (4)x2-11x-12 (2)x2-4x-12 (5)x2+13x+12 (3)x2+8x+12 (6)x2-x-12
对于x2+px+q （1）当q＞0时，a、b﹍﹍，且a、b的符号与p的符号﹍﹍。
异号 a、b中绝对值较大的因数 （2）当q＜0时，a、b﹍﹍，且﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍与 p的符号相同。 同号 相同
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一:分解因式
( x 7 )( x 1 )步骤： x 6 x 7
2
7 x 1 x 7 x 6 x
x
①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
顺口溜：
竖分常数交叉验，
横写因式不能乱。
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
1、口答计算结果
(x+3)(x+4)= (x+3)(x- 4)= (x- 3)(x+4)= (x- 3)(x- 4)= x2+7x+12 x2-x-12 x2+x-12 x2-7x+12
2、提问：你有什么快速计算类似以 上多项式的方法吗？
两个一次二项式相乘的积
整式的乘法
一个二次三项式
人教版数学八年级上册-第14章 十字相乘法-课件
1、x4-13x2+36
2、x2+3xy-4y2
3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
五、拓展延伸
例4、把 6x2-23x+10 分解因式
十字相乘法的要领是：“头尾分解， 交叉相乘，求和凑中，观察试验”。
1、8x2-22x+15 2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2 4、10(y+1)2-29(y+1)+10
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7
x 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
顺口溜：
x7x 6x
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
x2 8x 15 (x 5)(x 3) 小结：
用十字相乘法把形如
x
5
x
3
x2 px q
二次三项式分解因式使
q ab, p a b项是正数时，分解的两个数必同 号，即都为正或都为负，交叉相乘之和得 一次项系数。当常数项是负数时，分解的 两个数必为异号，交叉相乘之和仍得一次 项系数。因此因式分解时，不但要注意首 尾分解，而且需十分注意一次项的系数， 才能保证因式分解的正确性。
例2、把 y4-7y2-18 分解因式
三、巩固练习
把下列各式分解因式
1. x2-11x-12
2. x2+4x-12
3. x2-5x-14 4. y2-11y+24
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-2)]( x + 1 )
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公式推导
归纳总结
x2 + ( a + b )x + a b = x2 + ax + bx + ab
= x(x + a) + b(x + a) = (x + a) (x + b) ∴ x2 + ( a + b )x + a b = (x + a) (x + b)
一次项系数-7 =(-1)+(-6) ≠2+3 ≠(-2) +(-3)
(1)解: x2 -7x+6 =(x-1)(x-6)
因式分解时常数项因数分解的一般规律：
1.常数项是正数时，它分解成两个同号因 数，它们和一次项系数符号相同。
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例2. 人教版八年级上册数学因式分解十字相乘法优质PPT
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练习：在 横线上 填 、符号
__ x2 4x 3 =（x + 3）（x _+_ 1）
- x2 2x 3 =（x __ 3）（x _+_ 1）
- - y2 9y 20 =（y__ 4）（y __ 5）
运用公式必须同时具备的三个条件：
(1)二次项系数式是1的二次三项式
(2)常数项是两个数之积
(3)一次项系数是常数项的两个因数之和
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因式分解--十字相乘法 教学设计- 人教版数学八年级上册
124)3(2--x x 221811)4(y xy x ++
第（4）小题学生可能会出现问题，就是182y 分解时，不是分解成2和9，而是分解成2y 和9y 。
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
【拓展练习】
209)5(24+-x x
6)(5))(6(2-+-+y x y x
6552)7(22-+-+-y x y xy x
（五）自主小结，达成共识
1、这堂课中你学到什么？你有什么感受？
2、你还有什么问题需要解决。
（六）教学反思：
本课时属数学教材八年级上学期第十四章《整式乘法与分解因式》的补充内容，由于这一内容在九年级解一元二次方程中有很大的应用价值，此内容并不会增加学生负担，学习此内容可开阔学生视野，锻炼学生的思维，所以，我安排了此课时。
学生的掌握难度并不大，增补在介绍十字相乘法时，先从乘法公式引入，使学生分清二次项系数、一次项系数、常数项，再进行十字相乘。
最后出现的问题在交叉相乘以后对分解式的书写，正确的应是横向书写，所以要多强调、多指导、多个别指出学生的错误。
对于不足，本节课的最大问题是教学环节之间的衔接没有处理好，环与环之间的扣没扣好，表现在课堂上就是显得很不紧凑。
另外，对学生的探究指导不够充分。
数学人教版八年级上册因式分解之十字相乘法
1、 “拆常数项，凑一次项” ：从拆常数项作为找 p、q 的切入口； 2、当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的
符号相同；
当常数项为负数时， 把它分解为两个异号因数的积， 其中绝对值较大的因数的符号与
一次项系数的符号相同． 3、可用整式的乘法（即温故知新第 3 题规律）检验十字相乘法分解因式的结果
（二）十字相乘法之归纳章： 由区派学生代表回答上述问题，教师投影展示，并引入课题 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 特征：1、等号左边是二次项系数为 1 的二次三项式； 2、左边常数项可以写成两个因数的乘积，这两个因数的和恰好是一次 项系数； 3、等号右边可分解成这两个因数分别和 x 的和的乘积； （三）十字相乘法之游戏章： 将三个可用十字相乘法因式分解的二次三项式分给 3 个区，再将相应的 p、q 打散分给 另外的 6 个区，拿到多项式的 3 个区原地不动，另外 6 个区找寻合适的 p、q，再和多 项式站在一起.（划线为分发） x2+4x+3=(x+1)(x+3) ； x2+3x-10=(x-2)(x+5)； x2-10x+24=(x-4)(x-6). 教师提问：能否有较快的方法准确找到 p、q？ （四）十字相乘法之巩固章： 例 1: x2+3x+2=(x+1)(x+2) x x +1 +2 教师提问： 1、＋1、＋2 为什么要带符号？ 2、完成 x2－3x+2 因式分解 “十字”的由 来，更加形象 快捷，加深印 象； 教师展示例 1，教识学生 画交叉十字 ) 来因式分解； 学生回答教 师提问； =-1 )( ) 学生一齐得 学生先独立 完成填空， 教 师利用一体 +1× =1 机拍下学生 填空四题，用 了不同于 x 的 t，学生易错； 另外这四题 的 p、q 的绝 对值相等，负 同，意在让学 生学会确定 p、q 的负号； 学生讨论交 流 检验能确保 因式分解的 准确率 提问设计为 避免负号漏 写易错点； 学生参与游 戏， 由代表举 着数牌并走 动 提问引出下 个章 游戏的形 式，趣味化， 提高学生学 习兴趣，并巩 固以上所学 特征 由区派学生 代表回答上 述问题， 教师 投影展示 将特征具体 化，培养学生 归纳总结的 能力
14.3因式分解(十字相乘法)课件八年级上册数学人教版【02】
x2+(p+q)x-pq 因式分解得：？
x
q
px +qx =(p+q)x
利用十字交叉线来分解二次三项式的分解因式的方法叫做十字 相乘法.
十字相乘法的适用范围：二次三项式；
特点：
ax2+bx+c=（a1x+c1）(a2x+c2)
左 二次项分成两
边
个式子相乘
ax：
a1x
常数项分成 两个数相乘
c：
c1
右 横着写 边
3.用十字相乘法进行因式分解
⑴ x2+5x+6； ⑵x2-5x+6； (3) x2+5x-6； (4)x2-5x-6
能力提升： 分解因式： （1）12x2-29x+15
看作一个整体
（2）-20x2+9x+20 （3）21(x-1）2 -31(x-1)-30
解（2）-20x2+9x+20 解（1）12x2-29x+15
（2）x2-y2+5x+3y+4
1.十字相乘法的适用范围：二次三项式；
2.公式：ax2+bx+c（= a1x+c1）(a2x+c2)
3.特点：
左 二次项分成两
边
个式子相乘
ax：
a1x
常数项分成 两个数相乘
右 横着写
c：
c1
边
4.十字相乘法口
a2x
c2
首诀尾：分解，交叉相乘， 求和凑整，横向书写。
a1xc2 +a2xc1 =bx
情境引入：
1.你能很快将x2-2x-3分解因式吗？说说你的想法。
人教版数学八年级上册14.2.3因式分解十字相乘法优秀教学案例
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，鼓励学生分享自己的思路和方法。例如，在讲解十字相乘法时，让学生分组讨论如何运用该方法分解因式。
2.引导学生相互评价，取长补短。例如，在小组讨论后，让学生相互评价对方的方法，选出最佳解法。
3.鼓励学生进行合作学习，共同解决问题。例如，在解决一个复杂的因式分解问题时，让学生分组讨论，共同找到解决方案。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，激发学生的求知欲。例如，在讲解因式分解时，引导学生思考如何快速准确地找到公因式。
2.鼓励学生自主探索，引导学生发现并解决问题。例如，让学生尝试解决一个因式分解的实际问题，从而引出十字相乘法的概念。
3.设计具有梯度的问题，让学生在解决问题过程中逐步深入理解因式分解十字相乘法的原理。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结经验教训。例如，在课后让学生撰写反思日记，回顾本节课所学内容，思考自己的优点和不足。
2.组织学生进行自我评价，鼓励学生树立自信。例如，让学生根据自己的学习情况，给自己在因式分解十字相乘法方面的掌握程度打分，并提出改进措施。
3.进行课堂评价，关注学生的学习成果。例如，在课后对学生的作业和练习进行评价，及时反馈学生的学习情况，鼓励学生继续努力。
（二）过ห้องสมุดไป่ตู้与方法
1.培养学生主动探索、积极思考的学习习惯，提高学生的自主学习能力。
2.引导学生运用观察、归纳、总结等方法，掌握因式分解十字相乘法的原理。
3.培养学生的团队协作精神，提高学生在解决问题过程中的沟通能力。
在教学过程中，我将采用启发式教学方法，鼓励学生主动探索，引导学生发现并总结十字相乘法的规律。通过设置不同难度的题目，让学生在挑战中提升自我，充分体验到数学学习的乐趣。同时，我会组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作精神和沟通能力。
1.组织学生进行小组讨论，鼓励学生分享自己的思路和方法。例如，在讲解十字相乘法时，让学生分组讨论如何运用该方法分解因式。
2.引导学生相互评价，取长补短。例如，在小组讨论后，让学生相互评价对方的方法，选出最佳解法。
3.鼓励学生进行合作学习，共同解决问题。例如，在解决一个复杂的因式分解问题时，让学生分组讨论，共同找到解决方案。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，激发学生的求知欲。例如，在讲解因式分解时，引导学生思考如何快速准确地找到公因式。
2.鼓励学生自主探索，引导学生发现并解决问题。例如，让学生尝试解决一个因式分解的实际问题，从而引出十字相乘法的概念。
3.设计具有梯度的问题，让学生在解决问题过程中逐步深入理解因式分解十字相乘法的原理。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结经验教训。例如，在课后让学生撰写反思日记，回顾本节课所学内容，思考自己的优点和不足。
2.组织学生进行自我评价，鼓励学生树立自信。例如，让学生根据自己的学习情况，给自己在因式分解十字相乘法方面的掌握程度打分，并提出改进措施。
3.进行课堂评价，关注学生的学习成果。例如，在课后对学生的作业和练习进行评价，及时反馈学生的学习情况，鼓励学生继续努力。
（二）过ห้องสมุดไป่ตู้与方法
1.培养学生主动探索、积极思考的学习习惯，提高学生的自主学习能力。
2.引导学生运用观察、归纳、总结等方法，掌握因式分解十字相乘法的原理。
3.培养学生的团队协作精神，提高学生在解决问题过程中的沟通能力。
在教学过程中，我将采用启发式教学方法，鼓励学生主动探索，引导学生发现并总结十字相乘法的规律。通过设置不同难度的题目，让学生在挑战中提升自我，充分体验到数学学习的乐趣。同时，我会组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作精神和沟通能力。
人教版八年级数学上册《因式分解之十字相乘法》课件
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
例1．利用十字相乘法分解因式 （1）x2+6x+5；（2）x2－2x－8；（3）－x2－7x+18．
= －(x2+7x － 18)
【点拨x】 方1法技巧：在x分解的2 过程中：（1x）首-先2整理成ax2+bx+c的形式；（2）在 利用十x字相5乘法时，常数x 项是-4正数时，一般x把常9数项分成两个同号相乘的形式，常
数项是负数时，一般把常数项分成两个异号相乘的形式；（3）二次项是负的，一 般把 所有的项先放到负括号里，然后再对括号里的项进行十字相乘法．
【答案】（1）(x+1)(x+5)；（2）(x+2)(x-4)；（3）－(x－2)(x+9)
x1
x -2
【点拨】使用2十x 字相3 乘法分解二3次x 项系4 数不为1的题目时，需要把二次
项系数和常数项一起分解，交叉相乘，然后相加配成中间的一次项，需
要多次配凑．
【答案】（1）(x+1)(2x+3)；（2）(x－2)(3x+4)．
指点迷津
1．本小章节考试趋势： 本小章节主要在选择题中考查，是提公因式和套公式方法法的延
续和补充，对于二次三项式因式分解又增添了一方法．
2．注意几点易错知识点
因式分解之十字相乘法
课标引路
学习目标
知识梳理
1．十字相乘法的概念：
利用十字交叉线分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法， 即对二次三项式x2+bx+c若存在p+q=b，p•q=c，则有： x2+bx+c =(x+p)(x+q) 2．十字相乘法的解题技巧与注意事项：
例1．利用十字相乘法分解因式 （1）x2+6x+5；（2）x2－2x－8；（3）－x2－7x+18．
= －(x2+7x － 18)
【点拨x】 方1法技巧：在x分解的2 过程中：（1x）首-先2整理成ax2+bx+c的形式；（2）在 利用十x字相5乘法时，常数x 项是-4正数时，一般x把常9数项分成两个同号相乘的形式，常
数项是负数时，一般把常数项分成两个异号相乘的形式；（3）二次项是负的，一 般把 所有的项先放到负括号里，然后再对括号里的项进行十字相乘法．
【答案】（1）(x+1)(x+5)；（2）(x+2)(x-4)；（3）－(x－2)(x+9)
x1
x -2
【点拨】使用2十x 字相3 乘法分解二3次x 项系4 数不为1的题目时，需要把二次
项系数和常数项一起分解，交叉相乘，然后相加配成中间的一次项，需
要多次配凑．
【答案】（1）(x+1)(2x+3)；（2）(x－2)(3x+4)．
指点迷津
1．本小章节考试趋势： 本小章节主要在选择题中考查，是提公因式和套公式方法法的延
续和补充，对于二次三项式因式分解又增添了一方法．
2．注意几点易错知识点
因式分解之十字相乘法
课标引路
学习目标
知识梳理
1．十字相乘法的概念：
利用十字交叉线分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法， 即对二次三项式x2+bx+c若存在p+q=b，p•q=c，则有： x2+bx+c =(x+p)(x+q) 2．十字相乘法的解题技巧与注意事项：
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其中p，q是不相等的正数. 三种方案哪种提价最多？
１
ｐ
１
ｑ
ｑ + ｐ = p+q
对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式 ，这种方法叫做十字相乘法．
例题 用十字相乘法分解因式：
１ １ 3+ 2+
得换一种拆分方式 现在数是对的， 3 2 符号不对，怎么办呢？ 46
4 ≠ -8 6 ≠ -8
归纳
用十字相乘法分解因式的步骤：
１
-2
１
-6
1．分解首尾系数
3
2．交叉相乘
1
3．相加验证
-1
4．横向写出因式
-1 -3
+ -9 =-10
十字相乘法的适用范围 大家已经学习了十字相乘法，有没有想过，十字相乘法主要是 针对哪一类多项式的因数分解呢？
二次三项式
注意：不是所有二次三项式都能因式分解．
练习 答案：（5x+3）（x-4）
练习 答案：（7x-6）（x-1）
补充题
提示：二次项是负的，可以先提取出来． 答案：-（y+6）（y-2）
补充题 答案：（5x-4y）（x+2y）
补充题 答案：（3x-y）（5x+4y）
整体思想 答案：（a+b-1）（a+b-3）
整体思想 答案：（xy-9）（xy+2）
整体思想
整体思想 答案：（2x-1）（5x+8）
整体思想
双十字相乘法
2
1
1
-2
-1
2
-4+1=-3
总结
这节课我们学会了什么？ 用十字相乘法分解因式的步骤：
1
-2
1
-6
-2 + -6 = -8
1．分解首尾系数 2．交叉相乘 3．相加验证
4．横向写出因式
复习巩固 1.计算：
复习巩固 2.计算：
复习巩固 3.分解因式：
复习巩固
复习巩固
综合运用 6.计算：
十字相乘法
知识回顾
1．口答计算结果： x的系数是两数之和
(1)(x+3)(x+4)
常数项是两数之积
(2)(x+3)(x-4)
(3)(x-3)(x+4) (4)(x-3)(x-4）
2．能说说你的诀窍吗？
（x+p）（x+q）=
思考
实际在使用此公式时， 关键是需要把常数项拆成两个数的___积_____， 使得这两个数相加等于___一__次__项__系___数_____． 下面我们就来试试
1．分解首尾系数 2．交叉相乘
-2 + -6 = -8 3．相加验证
4．横向写出因式
首一的十字相乘法
什么是十字相乘法？ 如何用十字相乘法分解二次系数为1的二次三项式？
练习 用十字相乘法分解因式：
（1）（x+2）（x+5）
（2）（x-4）（x+2）
练习 用十字相乘法分解因式：
（1）（y-3）（y-4）
分解因式： 7=3+4
12=3×4
分解因式： 8=2+6 12=2×6
分解因式： 13=1+12 12=1×12
分解因式： -7=（-3）+（-4） 12=（-3）×（-4）
反思
7=3+4 12=3×4
8=2+6 12=2×6
-7=(-3)+(-4)
12=(-3)×(-4)
13=1+12 12=1×12
综合运用 7.分解因式：
综合运用
综合运用
综合运用
(1)请你再选择两个类似的部分试一试， 看看是否符合这一规律； (2)换一个月的月历试一下，是否有同样 的规律？ (3)请你利用整式的运算对以上的规律 加以证明．
拓广探索
拓广探索 12.某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有 三种方案： （1）第一次提价p%，第二次提价q%； （2）第一次提价q%，第二次提价p%；
（2）（x+9）（x-2）
练习 用十字相乘法分解因式：
（1）（x+7）（x-1）
（2）（x-2）（x-4）
练习 用十字相乘法分解因式：
（1）（x+2）（x-1） （2）（x-5）（x+3）
思考
刚才我们分解的都是二次项系数为1的情况， 如果二次项系数不是1，也能用这个方法分解吗？
用十字相乘法分解因式：ห้องสมุดไป่ตู้
你能说说这种分解的步骤吗？
归纳
试着把常数项分成两个整数的积
然后看这两个数之和是否等于一次项系数
是否
否
相等
是
写出分解结果
思考
不难发现，如果常数项的因数比较多， 可能需要多次试数才能成功．
那有没有什么方法能让试数过程更直观呢？
十字相乘法就可以做到，下面我们来学习一下．
十字相乘法
=(x＋p)(x＋q)
１
ｐ
１
ｑ
ｑ + ｐ = p+q
对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式 ，这种方法叫做十字相乘法．
例题 用十字相乘法分解因式：
１ １ 3+ 2+
得换一种拆分方式 现在数是对的， 3 2 符号不对，怎么办呢？ 46
4 ≠ -8 6 ≠ -8
归纳
用十字相乘法分解因式的步骤：
１
-2
１
-6
1．分解首尾系数
3
2．交叉相乘
1
3．相加验证
-1
4．横向写出因式
-1 -3
+ -9 =-10
十字相乘法的适用范围 大家已经学习了十字相乘法，有没有想过，十字相乘法主要是 针对哪一类多项式的因数分解呢？
二次三项式
注意：不是所有二次三项式都能因式分解．
练习 答案：（5x+3）（x-4）
练习 答案：（7x-6）（x-1）
补充题
提示：二次项是负的，可以先提取出来． 答案：-（y+6）（y-2）
补充题 答案：（5x-4y）（x+2y）
补充题 答案：（3x-y）（5x+4y）
整体思想 答案：（a+b-1）（a+b-3）
整体思想 答案：（xy-9）（xy+2）
整体思想
整体思想 答案：（2x-1）（5x+8）
整体思想
双十字相乘法
2
1
1
-2
-1
2
-4+1=-3
总结
这节课我们学会了什么？ 用十字相乘法分解因式的步骤：
1
-2
1
-6
-2 + -6 = -8
1．分解首尾系数 2．交叉相乘 3．相加验证
4．横向写出因式
复习巩固 1.计算：
复习巩固 2.计算：
复习巩固 3.分解因式：
复习巩固
复习巩固
综合运用 6.计算：
十字相乘法
知识回顾
1．口答计算结果： x的系数是两数之和
(1)(x+3)(x+4)
常数项是两数之积
(2)(x+3)(x-4)
(3)(x-3)(x+4) (4)(x-3)(x-4）
2．能说说你的诀窍吗？
（x+p）（x+q）=
思考
实际在使用此公式时， 关键是需要把常数项拆成两个数的___积_____， 使得这两个数相加等于___一__次__项__系___数_____． 下面我们就来试试
1．分解首尾系数 2．交叉相乘
-2 + -6 = -8 3．相加验证
4．横向写出因式
首一的十字相乘法
什么是十字相乘法？ 如何用十字相乘法分解二次系数为1的二次三项式？
练习 用十字相乘法分解因式：
（1）（x+2）（x+5）
（2）（x-4）（x+2）
练习 用十字相乘法分解因式：
（1）（y-3）（y-4）
分解因式： 7=3+4
12=3×4
分解因式： 8=2+6 12=2×6
分解因式： 13=1+12 12=1×12
分解因式： -7=（-3）+（-4） 12=（-3）×（-4）
反思
7=3+4 12=3×4
8=2+6 12=2×6
-7=(-3)+(-4)
12=(-3)×(-4)
13=1+12 12=1×12
综合运用 7.分解因式：
综合运用
综合运用
综合运用
(1)请你再选择两个类似的部分试一试， 看看是否符合这一规律； (2)换一个月的月历试一下，是否有同样 的规律？ (3)请你利用整式的运算对以上的规律 加以证明．
拓广探索
拓广探索 12.某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有 三种方案： （1）第一次提价p%，第二次提价q%； （2）第一次提价q%，第二次提价p%；
（2）（x+9）（x-2）
练习 用十字相乘法分解因式：
（1）（x+7）（x-1）
（2）（x-2）（x-4）
练习 用十字相乘法分解因式：
（1）（x+2）（x-1） （2）（x-5）（x+3）
思考
刚才我们分解的都是二次项系数为1的情况， 如果二次项系数不是1，也能用这个方法分解吗？
用十字相乘法分解因式：ห้องสมุดไป่ตู้
你能说说这种分解的步骤吗？
归纳
试着把常数项分成两个整数的积
然后看这两个数之和是否等于一次项系数
是否
否
相等
是
写出分解结果
思考
不难发现，如果常数项的因数比较多， 可能需要多次试数才能成功．
那有没有什么方法能让试数过程更直观呢？
十字相乘法就可以做到，下面我们来学习一下．
十字相乘法
=(x＋p)(x＋q)