四川大学精品课程高等数学下,徐小湛 课件考题评讲2 Euler(学生版)
合集下载
四川大学大二公共课专业高等数学竞赛模拟试题及答案2
四川大学高等数学竞赛模拟试题〔四〕一、 填空题〔每题5分，共50分〕1．假设),99100()23)(12()(---=x x x x x f 则=')0(f 。
2．当x 大于21趋向于21时，x arccos 3-π与bx a )21(-为等价无穷小，则=a ，=b 。
3．函数32z xy u =在点)1,2,1(-处沿曲面228222=++z y x 的外法向的方向导数为 。
4．级数∑∞=+12)1(1n nn 的和等于 。
5．设函数0>ϕ且可微，计算由曲面0)()()()(=-+-y b z x a z ϕϕ与柱面222c y x =+及平面)0,0,0(0>>>=c b a z 所围的空间区域的体积=V 。
6．椭球面142222=++z y x 与平面07=-++z y x 之间的最短距离= 。
7．设1lim )(2212+++=-∞→n n n x xx x x f λ 是连续函数，则=λ 。
8．⎰∞+-= 072dx ex x 。
9．dx x y dy y ⎰⎰-122)1cos( = 。
10．直线l 过点)0,2,1(-M 且与两条直线⎩⎨⎧=+-=+5312:1z y x z x l ，⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=3412z t y tx 垂直，则l 的参数方程为 。
二、〔每题6分，共18分〕 1．计算dxdy y x y x y x ⎰⎰≤+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--163222222)(2,163min2．设)(),(x z z x y y ==是由方程)(y x xf z +=和0),,(=z y x F 所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dxdzdx dy ,。
3．证明：11)21ln(10 44<+<+⎰xdx 。
三、〔7分〕求极限⎰⎰⎰≤+++∞→++2222)32(1lim 2225t z y x t dxdydz z y x t四、〔7分〕当)0(>k 取何值时，曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=y z x kyx 2222是圆？并求此圆的圆心坐标以及该圆在zox 平面，yoz 平面上的投影。
【2019年整理】计算旋转体体积的“柱壳法”
May 2012
附：国内外微积分教材有关“柱壳法”的介 绍
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
美国微积分教材有关“柱壳法”的介绍 Volumes by Cylindrical Shells
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
四川大学数学学院 徐小湛
用“圆片法”求绕 x 轴的旋转体体积：
Vx
sin2 xdx 2
0
2
y sin x
0
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
用“柱壳法”求绕 y 轴的旋转体体积：
Vy
2
x sin xdx
0
2 2
y sin x
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
y f (x)
四川大学数学学院 徐小湛
a
b
May 2012
用以下方法求体积元素： 体积元素是一层柱壳的体积的近似值
y f (x)
y x x dx
V [(x dx)2 x2 ]y [2xdx (dx)2 ]y
(2xdx) y 2 xydx dV
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
dV 2 xydx
体积元素是一层柱壳 的体积的近似值
b
b
V dV 2 xydx 柱壳法
a
a
柱壳
柱 壳 半 径
柱
柱 壳 的 高
壳 的 厚 度
度
a
b
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
附：国内外微积分教材有关“柱壳法”的介 绍
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
美国微积分教材有关“柱壳法”的介绍 Volumes by Cylindrical Shells
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
四川大学数学学院 徐小湛
用“圆片法”求绕 x 轴的旋转体体积：
Vx
sin2 xdx 2
0
2
y sin x
0
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
用“柱壳法”求绕 y 轴的旋转体体积：
Vy
2
x sin xdx
0
2 2
y sin x
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
y f (x)
四川大学数学学院 徐小湛
a
b
May 2012
用以下方法求体积元素： 体积元素是一层柱壳的体积的近似值
y f (x)
y x x dx
V [(x dx)2 x2 ]y [2xdx (dx)2 ]y
(2xdx) y 2 xydx dV
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
dV 2 xydx
体积元素是一层柱壳 的体积的近似值
b
b
V dV 2 xydx 柱壳法
a
a
柱壳
柱 壳 半 径
柱
柱 壳 的 高
壳 的 厚 度
度
a
b
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
高等数学(同济第六版)D8-4名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
f ( x2 y2 , z) 0.
曲线 C : f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转的旋转曲面 :
f ( y, x2 z2 ) 0.
曲线 C : f ( x, y) 0 绕 x 轴旋转的旋转曲面 :
f ( x, y2 z2 ) 0.
曲线 C : f ( x, z) 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面 :
z
2
2
表示什么曲线 ?
( x a )2 y2 ( a )2 表示
2
2
母线平行于 z 轴,准线是xOy
o ay
x
面上以点 ( a ,0) 为中心,半径 2
为 a 的圆周的柱面 . 2
表达上半球面与圆柱面旳交线C.
二、空间曲线旳参数方程
x x(t)
y
y(t )
空间曲线旳参数方程
z z(t)
当给定 t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 1．如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y2 a 2
上以角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平
行于z 轴的正方向上升（其中 、 v 都是常
数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立
类似地能够定义曲线C在其他坐标 面上旳投影.
投影曲线
三、空间曲线在坐标面上旳投影
投影(曲线)旳拟定
设空间曲线C旳一般方程为
投影柱面
方程组中旳两个方程消去变量z后可 得一种有关x, y旳方程
H(x y)0 这就是曲线C有关xOy面旳投影柱面旳方程.
曲线C在xOy面上旳投影曲线旳方程为
投影曲线
F(x, y, z) 0 C : G( x, y, z) 0
曲线 C : f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转的旋转曲面 :
f ( y, x2 z2 ) 0.
曲线 C : f ( x, y) 0 绕 x 轴旋转的旋转曲面 :
f ( x, y2 z2 ) 0.
曲线 C : f ( x, z) 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面 :
z
2
2
表示什么曲线 ?
( x a )2 y2 ( a )2 表示
2
2
母线平行于 z 轴,准线是xOy
o ay
x
面上以点 ( a ,0) 为中心,半径 2
为 a 的圆周的柱面 . 2
表达上半球面与圆柱面旳交线C.
二、空间曲线旳参数方程
x x(t)
y
y(t )
空间曲线旳参数方程
z z(t)
当给定 t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 1．如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y2 a 2
上以角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平
行于z 轴的正方向上升（其中 、 v 都是常
数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立
类似地能够定义曲线C在其他坐标 面上旳投影.
投影曲线
三、空间曲线在坐标面上旳投影
投影(曲线)旳拟定
设空间曲线C旳一般方程为
投影柱面
方程组中旳两个方程消去变量z后可 得一种有关x, y旳方程
H(x y)0 这就是曲线C有关xOy面旳投影柱面旳方程.
曲线C在xOy面上旳投影曲线旳方程为
投影曲线
F(x, y, z) 0 C : G( x, y, z) 0
锦城下期期末《高等数学》第二套复习题评讲(STU)
分享学习心得和体会
学习方法
学生分享自己在学习《高等数学》过程中的有效学 习方法和经验，如时间规划、笔记整理、习题练习 等。
学习感悟
学生谈谈自己对《高等数学》学习的认识和体会， 包括对数学知识的理解、数学思维的培养以及数学 在实际应用中的价值等。
学习建议
学生根据自己的学习经历，向其他同学提出学习《 高等数学》的建议和意见，促进共同进步。
解题思路不清晰
部分学生在解题时缺乏明确的思 路，无法将复杂问题分解为简单 问题逐一解决，导致解题过程混 乱、答案错误。
计算能力有待提高
部分学生在计算过程中粗心大意， 出现计算错误、漏算等问题，导 致最终答案不准确。
个性化辅导方案制定
针对基础知识薄弱的学生
建议加强基础知识的复习，重点掌握基本概 念、定理和公式，并通过大量练习加深对知 识点的理解和记忆。
持续进步
相信学生们在未来的学习中会不断取得进步和成就，希望他们能够保 持谦虚、勤奋的学习态度，不断挑战自己，实现更高的目标。
THANK YOU
感谢聆听
积分的计算与应用
重点掌握不定积分和定积分的 计算方法和应用，难点在于如 何根据被积函数的特征选择合 适的积分方法，以及如何运用 定积分来解决实际问题。
知识体系构建
80%
知识框架
以极限、导数和积分为核心，将 高等数学的知识点串联起来，形 成一个完整的知识框架。
100%
知识关联
明确各知识点之间的联系和区别 ，例如导数与微分的关系、不定 积分与定积分的联系等，以便更 好地理解和运用这些知识点。
注意检查填写的内容是否符合题目要 求和数学逻辑。
计算题步骤规范及注意事项
步骤规范 明确题目所求，写出已知条件和未知量。 根据所学知识，选择合适的计算方法和公式。
高等数学下 第2版
同理可算得余弦函数的拉氏变换
s L[cos t ] 2 s 2
二 两个重要函数
1. 单位阶梯函数I (t )
0 t 0 单位阶梯函数 I (t ) 的图像如下页左图所示， 1 t 0
1 由例1知，它的拉氏变换 L[ I (t )] ，将 I (t ) 的图像向右 s 0 t a 平移 a 个单位，即得 I (t a) 1 t a
F (s) e
0 st
sin tdt
0
1
e st d cos t 1 s s (
0
1 s2
1
s
e
st
cos tdt
0
e st sin tdt )
由此可得
2
F (s)
F ( s) 2 s 2
例4 求狄拉克函数 (t a) 的拉氏变换。
s 解：由 L[ (t )] 1 及 L[ f (t )] e F (s) 可得：
L[ (t a)] eas L[ (t )] eas
同理可得：
e as L[ I (t a)] s
e as L[sin(t a)] 1 s2
设 a b ，则
0 t a或t b I (t a) I (t b) at b 1
其图像如下页右图所示。
y
y
1
1
0
x
0
a
b
x
2. 狄拉克函数
定义：设
0 1 (t ) 0 t0 0t t
当 0 时，函数序列 的极限 (t ) lim (t ) 称为 0 狄拉克函数或单位脉冲函数，记为 函数。
高教社2024高等数学第五版教学课件-6.3 二阶微分方程
表达式有关。下面举例详细说明，请大家注意把握其数学思想方法。
例6 解二阶常系数线性非齐次微分方程
″ − 2 ′ − 3 = (3 + 1) 2
解 （1）求原方程所对应的齐次方程的通解
特征方程为
2 − 2 − 3 = 0
特征根
1 = 3, 2 = −1
所以齐次方程的通解为：
1 3 + 2 −
″ + ′ + = ()
（6.3.7）
的一个特解，则
= 1 1 + 2 2 + ∗
（6.3.8）
是二阶常系数线性非齐次微分方程（6.3.7）通解。其中1 , 2 为任意常数。
定理3中，齐次方程两个线性无关的解已容易求出，剩下的问题是如
何求非齐次方程（6.3.7）的特解 ∗ 。其实，该特解与右边自由项()
2 + 4 + 13 = 0
其解为共轭复根 1,2 = −2 ± 3
所以原方程的通解为 = −2 (1 3 + 2 3 )
（6.3.6）
2、二阶常系数线性非齐次微分方程
定理3 若1 , 2 是齐次方程
″ + ′ + = 0
的两个线性无关的特解， ∗ 是非齐次方程
第六章 常微分方程
第三节 二阶微分方程
一、可降阶的二阶微分方程
【引例1】解微分方程
解
两边积分一次
两边再积分一次
2
2
=
(是常数)
= ′ = = + 1
1
2
= (+ 1 ) = 2 + 1 + 2
例6 解二阶常系数线性非齐次微分方程
″ − 2 ′ − 3 = (3 + 1) 2
解 （1）求原方程所对应的齐次方程的通解
特征方程为
2 − 2 − 3 = 0
特征根
1 = 3, 2 = −1
所以齐次方程的通解为：
1 3 + 2 −
″ + ′ + = ()
（6.3.7）
的一个特解，则
= 1 1 + 2 2 + ∗
（6.3.8）
是二阶常系数线性非齐次微分方程（6.3.7）通解。其中1 , 2 为任意常数。
定理3中，齐次方程两个线性无关的解已容易求出，剩下的问题是如
何求非齐次方程（6.3.7）的特解 ∗ 。其实，该特解与右边自由项()
2 + 4 + 13 = 0
其解为共轭复根 1,2 = −2 ± 3
所以原方程的通解为 = −2 (1 3 + 2 3 )
（6.3.6）
2、二阶常系数线性非齐次微分方程
定理3 若1 , 2 是齐次方程
″ + ′ + = 0
的两个线性无关的特解， ∗ 是非齐次方程
第六章 常微分方程
第三节 二阶微分方程
一、可降阶的二阶微分方程
【引例1】解微分方程
解
两边积分一次
两边再积分一次
2
2
=
(是常数)
= ′ = = + 1
1
2
= (+ 1 ) = 2 + 1 + 2
高等数学公式(一元函数部分)(川大徐小湛)-98页
定义域：(k , k )
2
2
(k 0, 1, 2, ...)
值域：(, )
奇偶性：奇函数
周期：
7
余切 y cot x cos x 1 sin x tan x
定义域：(k , (k 1) ) (k 0, 1, 2, ...)
值域：(, ) 奇偶性：奇函数
周期：
正割 y sec x 1 cos x
双曲正切 (Hyperbolic tangent)
y
tanh
x
thx
sh ch
x x
ex ex
ex ex
定义域：(, ) 值域：(1, 1) 奇偶性：奇函数
单调性：单增 有界性：tanhx 1
10
.
反双曲函数 (Inverse hyperbolic function)
反双曲正弦
y arshx ln(x x 2 1) 定义域：(, ) 值域：(, ) 奇偶性：奇函数 单调性：单增
lim(1 1 1 ... 1 ln n) C
n
23
n
.
说明
此结论常用。例如，
lim
n
1 2n
0
例如， lim 2n 。 n
例如，
lim
n
1 n2
0，
lim n 。
n
常用， lim a x 1 的特例。 x0
1
常用， lim x x 1 的特例。 x
此 极 限 说 明 an 是 nk 的 高 阶 无 穷 大 。 例 如 ，
施 笃
设数列
若
{
yn
}
单调增加且
lim
n
yn
，若 lim n
微分方程作图市公开课金奖市赛课一等奖课件
四川大学数学学院 徐小湛
第15页
May 2012
y y 2 y 0
方程通解:
y C1e2 x C2e x
更多曲线
wffc:=diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)-2*y(x)=0: tongjie:=dsolve(wffc,y(x)): toplot:=[seq(seq(rhs(tongjie),_C1=-2..2),_C2=-2..2)]: plot(toplot,x=-1..1,y=-10..10,thickness=3,color=red);
四川大学数学学院 徐小湛
第10页
May 2012
11
with(DEtools): DEplot((x-y(x)^3)*diff(y(x),x)+y(x)=0,y(x),x=-2..2, y=-2..2,[[y(0)=1],[y(0)=0.3],[y(0)=1.5],[y(0)=-0.5],[y(0)=-1],[y(0)=1.5]],linecolor=[blue,black,gold,navy,green,maroon], color=violet,stepsize=0.01,scaling=constrained);
wffc:=diff(y(x),x)=(cos(y(x))-y(x)*cos(x))/(x*sin(y(x))+sin(x)-1):
dsolve(wffc);fangxiangcang:=DEplot(wffc,y(x),x=0..4*Pi,y=0..4*Pi,thickness=2):
jifenquxian:=contourplot(y*sin(x)-x*cos(y)-y,x=0..4*Pi,y=0..4*Pi,contours=20,color=b
第15页
May 2012
y y 2 y 0
方程通解:
y C1e2 x C2e x
更多曲线
wffc:=diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)-2*y(x)=0: tongjie:=dsolve(wffc,y(x)): toplot:=[seq(seq(rhs(tongjie),_C1=-2..2),_C2=-2..2)]: plot(toplot,x=-1..1,y=-10..10,thickness=3,color=red);
四川大学数学学院 徐小湛
第10页
May 2012
11
with(DEtools): DEplot((x-y(x)^3)*diff(y(x),x)+y(x)=0,y(x),x=-2..2, y=-2..2,[[y(0)=1],[y(0)=0.3],[y(0)=1.5],[y(0)=-0.5],[y(0)=-1],[y(0)=1.5]],linecolor=[blue,black,gold,navy,green,maroon], color=violet,stepsize=0.01,scaling=constrained);
wffc:=diff(y(x),x)=(cos(y(x))-y(x)*cos(x))/(x*sin(y(x))+sin(x)-1):
dsolve(wffc);fangxiangcang:=DEplot(wffc,y(x),x=0..4*Pi,y=0..4*Pi,thickness=2):
jifenquxian:=contourplot(y*sin(x)-x*cos(y)-y,x=0..4*Pi,y=0..4*Pi,contours=20,color=b