多目标决策问题

第十五章多標準決策問題本章內容：

15.1 目標規劃:建立模式及圖解法

15.2 目標規劃:解更複雜的問題

15.3 計分模式

15.4 層級分析法

15.5 用AHP建立優先權

15.6 用AHP建立整體優先順序

線性規劃的基本假設：

1.可加性(Additivity)：目標函數或限制式變數之衡量單位必須相同，如此才能相加減

2.比例性(Proportionality)：就限制式而言，每單位產出所需之資源投入數均為固定，一定倍數的投入可以得到相同倍數的產出

3.確定性(Determinitic)：目標函數係數及限制條件中之技術系數以及擁有資源數量等均為已知且確定的數字，而不含

任何機率分配

4.可分割性(Divisibility)：線性規劃模型解答不一定是整數，可以是任意實數

▓15.1 目標規劃：建立模型及圖解法

例：

尼可投資顧問公司考慮某顧客有80,000元要投資，投資組合限於以下兩種股票：

美國石油$25 $3 0.50

休伯不動產 50 5 0.25

這個顧客第一目標是風險最高水準為700，第二目標是要年回收至少9,000元，試以目標規劃找出最接近滿足所有目標的投資組合。

根據優先順序的說明，本例題“目標”可表示如下：主要目標（優先等級1）

目標1：找一個投資組合，它的風險在700以下。

次要目標（優先等級2）

目標2：找一個投資組合，它所提供的年回收至少9,000元。 建立限制式及目標方程式

1.先決定決策變數

X1＝購買美國石油股的數目

X2＝購買休柏不動產股的數目

2.建立限制條件

25X 1＋50X 2≦80,000（可用資金） 3.建立目標方程式

（1）目標1之目標方程式(組合風險)：

風險指標可小於等於或大於目標值700，目標方程式如下：

0.5X 1＋0.25X 2－d 1+ ＋d 1- ＝700 d 1+ ＝組合風險指標超過目標值700的部份 d 1- ＝組合風險指標少於目標值700

的部份

（2）目標2之目標方程式(年回收)：

年收入指標可大於等於或小於目標值9000，目標方程式如下：

9000532221=+-+-

+d d x x

d+2＝組合年回收大於目標值9000元的量

d-2＝組合年回收小於目標值9000元的量

●建立有逐位優先權的目標函數

●目標1之目標函數(風險)

風險指標不能超過700，吾人是否應關切低過700的目標值？明顯的回答否，因為小於700相當於風險小，但是否應關切超過700的目標值？答案是肯定的，因為投資組合風險指標大過700相當於風險水準高過顧客所願接受者。所以，相當於優先水準1的線性規劃目標函數，必須為求極小化+

d

1值。優先水準1線性規劃P1問題。

Min d1+

s.t. 25X 1＋50X 2≦80,000 可用基金

0.5X 1＋0.25X 2－d 1+ ＋d 1- ＝700 P 1目標

3X 1＋5X 2≧9000 P 2目標 X 1，X 2，d 1+，d 1- ≧0 圖解法

1000

2000

3000

1000

2000

3000

4000休

伯不動產的股數

X 1

美國石油的股數

圖15.2 滿足P1可目標的投資組合

在圖15.2，當P1目標恰好達到d1+＝0及d1-＝0，目標方程化簡為0.5X1＋0.25X2＝700，左下角區域就是滿足可用資金限制及d1+＝0的解點，因為任何d1+＝0的解點都達成優先水準1的目標，此區域內的所有解點相點於風險小於700的組合。

目標2之目標函數(年回收)

找年回收至少9,000元的組合，我們只關切低於9,000元

的情況，因為年回收低於9,000元的組合是不被顧客所接受，所以相當於優先水準2線性規劃目標函數是要極小化d1-值。優先水準2線性規劃P2問題如下：

Min d2-

s.t. 25X1＋50X2≦80,000 可用基金

0.5X1＋0.25X2－d1+＋d1-＝700 P1目標

3X1＋5X2－d2+＋d2-＝9000 P2目標

d1+＝0 維持P1目標的達成X1，X2，d1+，d1-，d2-≧0

當P2目標恰好達到d2+＝0及d2-＝0目標方程式化簡為3X1＋5X2＝9000，在滿足優先順序1目標之解中，X1＝800，X2＝1,200最接近滿足優先水準2目標，因為這個解的年回收為3(800)＋5(1,200)＝8,400(註)。最適解對目標2的達成度比目標低了d2-＝600元（＝9000元－8400元）。

解：買800股美國石油及1200股休伯不動產，達成風險小於700，但年回收只有8400元。

註：多標準決策問題不可能同時滿足所有目標水準，本例中不可能同時滿足優先水準1及優先水準2。

目標規劃圖解法步驟：

1.找出合理解點；它是滿足問題限制的點。

2.找出滿足最高優先目標的合理；如果沒有合理解能達成最高優先目標，找出最接近達成最高優先目標的解。

3.向下移一位優先水準，找出不犧牲任何上一優先目標達成

。

1000

20003000

休

伯不動產的

9000

圖15.3 滿足兩個目標的最適解（P 2問題的解）

目標規劃模式

Min P 1（d 1+ ）＋P 2（d 2- ）

這個P 1及P 2優先水準，並非偏差變數的加權，而只不過是一個簡單的標籤，使我們記住目標的優先順序，現在寫出

美國石油的股數

X 1

目標的可行投資組合

d 2 ﹥0