正多边形和圆 同步讲义 08(教师版)

正多边形和圆

同步讲义08

一、圆的内接四边形

1．定义：四边形的各个顶点都在同一个圆上，则称该四边形是圆的内接四边形，圆是四边形的外接圆。 如图1，

D

图1

2．性质：圆的内接四边形，对角互补，一个外角等于它的内对角。

如图2，∠A+∠DCB=180°；∠B+∠ADC=180°∠DCE=∠A

D

图2

二、圆的外切四边形

1．定义：四边形的各边与圆都相切，则称四边形是圆的外切四边形，圆是四边形的内切圆。

如图3

O

H G F

E D C

B A

图3

2．性质：圆的外切四边形，对边的和相等。AB+CD=AD+BC

三、圆的外切（或内接）正多边形

1．正多边形的定义：

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2．正多边形与圆的有关定理：把圆分成n(n≥3)等份，

（1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；

（3）任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆

3．正多边形的其它性质

（1）正多边形都是轴对称图形，每条对称轴都通过正n边形的中心；偶数边的正多边形是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

（2）边数相同的正多边形相似。

4．正多边形的有关概念

正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心，也是内切圆的圆心，如图点O

正多边形的半径：外接圆的半径，如图4，OA

正多边形的边心距：内切圆的半径，如图4，OM

正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角,如图∠AOB

图4

5．正n边形的有关计算

基本思路，是化为三角形解题。常用辅助线，是连半径，作边心距。正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。如图5

B A O r R

图5

（1）每个内角=

（2）每个外角=

（3）中心角=

（4）正n 边形的边长；

（5）内切圆的半径r=

（6）正n 边形的周长P=

（7）中n 边形的面积S=

（8）一个圆的内接正n 边形和外切正n 边形是相似形，相似比是两个正多边形的半径之比。实际上，对外切圆

而言，相似比为r:R=，以圆的外切正六边形和内接正六边形为例。如图6，

（9）一个正n 边形的内切圆和外接圆的相似比为R:r=，以正六边形为例，如图6

B O

r

R

图6

四、例题：

1．圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（）

A．12 B．6 C．12D．6

2．若一个正三角形的周长与一个正六边形的周长相等，试求这个正三角形与这个正六边形的面积之比。

3．如图7，是两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比.

图7

五、练习

1．正八边形的中心角是（）

A．45°B．135°C．360°D．1080°

2．若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（）

A．30°B．60°C．90°D．120°

3．半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（）

A．8cm B．4cm C．8cm D．4cm

4．同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（）

A．

6

2B．

3

4C．

6

3D．

4

3

5．如图8，圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r．下列等式成立的是（）

A．a=2rsin36°B．a=2rcos36°C．a=rsin36°D．a=2rsin72°

图8

6．如图9，在一张圆形纸片上剪下一个面积最大的正六边形纸片ABCDEF，它的边长是24cm，的长度是（）

图9

A．6πcm B．8πcm C．36πcm D．96πcm

7．若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于（）

A．2 B．1 C．D．2

8．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）

A．3B．9C．18D．36

9．正三角形的外接圆半径与内切圆的半径之比是（）

A．1：2 B．1：C．：1 D．2：1

10．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）

A．2B．3C．4D．6

11．周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是（）A．S3＞S4＞S6 B．S6＞S4＞S3 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3

12．如图10，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ的度数为（）

图10

A．60°B．65°C．72°D．75°

13．已知某个正多边形的内切圆的半径是，外接圆的半径是2，则此正多边形的边数是（）A．八B．六C．四D．三

14．如图11，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（）

图11

A．30°B．45°C．50°D．60°

15．一个正n边形的面积是240cm2，周长是60cm，则边心距是__________

16．若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是__________

17．如图12所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接六边形的面积为__________

图12

18．如图13，正方形EFGH的外接圆⊙O是正方形ABCD的内切圆，则AB：EF的值为__________．