两角和与差化积公式
积化和差和和差化积公式(教师版)
积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课一、基本公式复习1、两角和与差公式及规律sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan().1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=2二倍角公式及规律3、积化和差与和差化积公式1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2tan .21cos αααααααααα+⎧=⎪⎧⎪⎪-⎪⎪⇒±==⎨⎨⎪⎪⎪-⎪⎩=⎪+⎩222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2tan .21cos αααααααααα+⎧=⎪⎧⎪⎪-⎪⎪⇒±==⎨⎨⎪⎪⎪-⎪⎩=⎪+⎩2sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22ααααααααα⇒==±=±sin 22sin cos .ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=- 22tan tan 2.1tan ααα=-1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--sin sin 2sincos.22αβαβαβ+-+=和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sin θ+sin φ=2sin cos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
三角函数公式和积化和差公式汇总
三角函数公式和积化和差公式汇总三角函数公式的积化和差是解决三角函数的重要方法，可以将不同角度的三角函数表示为同一角度的三角函数的和或差。
下面是一些常用的三角函数公式：两角和公式：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-XXX)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+XXX)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式：tan2A = 2tanA/(1-tan2A)Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式：sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana·tan(π/3+a)·XXX(π/3-a)半角公式：sin(A/2) = √[(1-cosA)/2]cos(A/2) = √[(1+cosA)/2]tan(A/2) = √[(1-cosA)/(1+cosA)]cot(A/2) = √[(1+cosA)/(1-cosA)]和差化积：sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)sina-sinb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)cosa+cosb = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cosa-cosb = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) tana+tanb= (sin(a+b))/(cosacosb)积化和差：sinasinb = -(1/2)[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = (1/2)[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = (1/2)[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = (1/2)[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式：sin(-a) = -sinacos(-a) = cosasin(π/2-a) = cosacos(π/2-a) = sinasin(π/2+a) = cosacos(π/2+a) = -sina三角函数公式的积化和差、和差化积以及诱导公式都是解决三角函数问题的重要方法，掌握这些公式可以更加方便地计算三角函数的值。
三角函数和差积公式的记忆口诀
三角函数和差积公式的记忆口诀三角函数和差积公式的记忆口诀一、两角和与差的正余弦公式记忆正弦异名加一起，sin(a+b)=sinacosb+cosasinb余弦同名加减异，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb前面是a后面b二、积化和差与和差化积公式记忆积化和差公式：sinα?cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 前正后余正弦加cosα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 前余后正正弦差cosα?cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 余余得值余弦加sinα?sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 全正变号余弦差和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 正弦加正弦正弦在前面sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 正弦减正弦余弦在前面cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 余弦加余弦全都是余弦cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 余弦减余弦变号改正弦记忆数学知识点的诀窍1归类记忆法就是根据识记材料的性质、特征及其内在联系，进行归纳分类，以便帮助学生记忆大量的知识。
比如，学完计量单位后，可以把学过的所有内容归纳为五类：长度单位;面积单位;体积和容积单位;重量单位;时间单位。
这样归类，能够把纷纭复杂的事物系统化、条理化，易于记忆。
2歌诀记忆法就是把要记忆的数学知识编成歌谣、口诀或顺口溜，从而便于记忆。
比如，量角的方法，就可编出这样几句歌诀：“量角器放角上，中心对准顶点，零线对着一边，另一边看度数。
”再如，小数点位置移动引起数的大小变化，“小数点请你跟我走，走路先要找准‘左’和‘右’;横撇带口是个you，扩大向you走走走;横撇加个zuo，缩小向zuo走走走;十倍走一步百倍两步走，数位不够找‘0’拉拉钩。
两角和差化积公式
两角和差化积公式两角和差化积公式是代数学中的重要公式之一，用于将两个角的和或差转化为积的形式。
这个公式在解决三角函数的计算问题中非常有用，能够简化计算过程，提高计算效率。
我们来看两角和差化积公式的表达形式。
对于两个角A和B，其和与差可以表示为：1. 两角和的公式：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)2. 两角差的公式：sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)这些公式可以帮助我们在计算中快速将角度和差转化为积的形式，从而简化计算过程。
接下来，我们通过几个实际问题来说明两角和差化积公式的应用。
问题一：已知sinA = 3/5，sinB = 4/5，求sin(A + B)和sin(A - B)的值。
解析：根据两角和的公式，我们可以得到：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB= (3/5)(4/5) + (4/5)(3/5)= 12/25 + 12/25= 24/25sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB= (3/5)(4/5) - (4/5)(3/5)= 12/25 - 12/25= 0所以，sin(A + B) = 24/25，sin(A - B) = 0。
问题二：已知tanA = 1/3，tanB = 2/5，求tan(A + B)和tan(A - B)的值。
解析：根据两角和的公式，我们可以得到：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)= (1/3 + 2/5) / (1 - (1/3)(2/5))= (5/15 + 6/15) / (1 - 2/15)= 11/15 / (13/15)= 11/13tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)= (1/3 - 2/5) / (1 + (1/3)(2/5))= (5/15 - 6/15) / (1 + 2/15)= -1/15 / (17/15)= -1/17所以，tan(A + B) = 11/13，tan(A - B) = -1/17。
积化和差与和差化积公式(教师版)
积化和差与和差化积公式(教师版) 积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复课一、基本公式复1、两角和与差公式及规律sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβtan(α±β)= (tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)2、二倍角公式及规律sin2α=2sinαcosα。
cos2α=cos²α-sin²α。
tan2α=(2tanα)/(1-tan²α)二倍角公式的推导可以通过和角公式推导而来，例如cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos²α-sin²α3、积化和差与和差化积公式sinαcosβ=(sin(α+β)+sin(α-β))/2cosαsinβ=(sin(α+β)-sin(α-β))/2cosαcosβ=(cos(α+β)+cos(α-β))/2sinαsinβ=-(cos(α+β)-cos(α-β))/2生动的口诀：（和差化积）正加正，正在前，___，___正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然和差化积公式是积化和差公式的逆用形式。
要注意：①前两个公式可以合并为一个：sinθ+sinφ=2sincos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式。
如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。
④合一变形也是一种和差化积。
⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解。
因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。
1、在三角函数的解题中，积化和差与积差化积是密不可分的孪生兄弟。
为了化简或计算，我们要注意交替使用这两个公式。
例如，在处理正、余弦函数的平方时，我们应先考虑降幂公式，再利用和差化积和积化和差公式进行化简或计算。
三角函数公式之间关系
两角和与差的三角函数公式sin(α±β)=sinαcosβ± cosαsinβ诱导公式二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α三角函数的降幂公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α=3sinα-4sin3αcos3α=4cos3α-3cosα半角的正弦、余弦和正切公式万能公式三角函数的积化和差公式三角函数的和差化积公式化asinx±bcosx为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）正弦定理余弦定理a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC三角函数公式：三倍角公式：θθθ3sin 4sin 33sin -=；θθθcos 3cos 43cos 3-=；五、三角恒等变换：三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍；α3是23α的二倍；3α是6α的二倍；απ22±是απ±4的二倍。
②2304560304515o ooooo=-=-=；问：=12sin π ；=12cos π；③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+；⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： oo45tan 90sin cot tan tan sec cos sin 12222===-=+=αααααα（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。
三角函数的和差化积与积化和差的计算
三角函数的和差化积与积化和差的计算三角函数中的和差化积与积化和差是一组常见的基本公式。
它们可以帮助我们快速计算三角函数表达式的简化形式。
本文将介绍三角函数的和差化积与积化和差的计算方法。
1. 两角和差的计算公式设有两个角A和B，则它们的和或差可以表示为以下形式：1）和差的正弦：sin(A ± B) = sinA·cosB ± cosA·sinB2）和差的余弦：cos(A ± B) = cosA·cosB ∓ sinA·sinB3）和差的正切：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA·tanB)2. 和差化积的计算公式将两个角的和或差化简为一个角的三角函数，可以使用以下公式：1）正弦的和差化积：sin(A + B) = sinA·cosB + cosA·sinBsin(A - B) = sinA·cosB - cosA·sinB2）余弦的和差化积：cos(A + B) = cosA·cosB - sinA·sinBcos(A - B) = cosA·cosB + sinA·sinB3）正切的和差化积：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA·tanB)tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA·tanB)3. 积化和差的计算公式将一个角的正弦、余弦或正切转化为两个角的和或差形式，可以使用以下公式：1）正弦的积化和差：sinA·sinB = 1/2·[cos(A - B) - cos(A + B)]sinA·cosB = 1/2·[sin(A + B) + sin(A - B)]2）余弦的积化和差：cosA·cosB = 1/2·[cos(A - B) + cos(A + B)]sinA·cosB = 1/2·[sin(A + B) - sin(A - B)]3）正切的积化和差：tanA·tanB = (tanA + tanB) / (1 - tanA·tanB)tanA·tanB = (tanA - tanB) / (1 + tanA·tanB)这些和差化积与积化和差的计算公式在解决三角函数表达式时非常有用。
和差化积积化和差万能公式
和差化积积化和差万能公式Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】正、余弦和差化积公式指三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
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课
题
两角和与差化积公式 1. 熟练运用诱导公式求三角函数的值； 2. 灵活运用两角和与差的三角公式,
教学目标
教学内容 课前练习： 例1
sin(−α ) − sin(900° − α ) 所得的结果是 tan(α − 360°) − cos(180° + α ) − cos(−α − 360°)
．
练 1 已知
1 − 3 cos(π − θ ) 2 cos(3π − θ ) = ，则 的值等于_______. cos(−θ ) − 3 9 sin(−θ + 5π )
π 3 5π + α) = ，求 cos( − α)的值。 6 3 6
2 已知 cos(
3 已知 sin(α-π)=2cos(α-2π),求下列三角函数的值： sin(π + α ) + 5 cos(2π − α ) π 3π 3 sin( − α ) − cos( + α ) 2 2
知识回顾： 知识回顾： 两角和与差的正弦余弦正切公式 1.两角和与差的余弦公式： cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ； 2.两角和与差的正弦公式： sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ； 3.两角和与差的正切公式： tan(α ± β ) =
例 4（1）已知 cos α =
π π α = (α + ) −
4
4
2β = (a + β ) − (a − β )
α =(
α+β
2
)+(
α −β
2
)
4 3 , cos(α + β ) = ，且α , β 均为锐角，求 cos β 的值； 5 5
（2）已知
π
4
<α <
3π π π 3 3π 5 ， 0 < β < ， cos( − α ) = ， sin( + β ) = ，求 sin(α + β ) 的值； 4 4 4 5 4 13
3 常用的辅助角公式
a)
π 3 1 sin α ± cos α = sin(α ± ); 2 2 6 π
6 ); );
b) 3 sin α ± cos α = 2 sin(α ± c) sin θ ± cos θ = 2 sin(θ ±
π
4
d ) 2 (sin x ± cos x) = 2sin ( x ±
练 1 已知
π
2
< β <α <
3π 12 3 , cos(α − β ) = , sin(α + β ) = − , 求coa 2 β 的值； 4 13 5
2 已知 α , β ∈
3 π 12 π 3π , π , sin (α + β ) = − , sin β − = ,则 cos α + = __________ 5 4 13 4 4
5.已知 α , β 为锐角， cos α =
4 1 , tan(α − β ) = − , 求 cos β 的值； 5 3
6. 如果 tan(α + β ) = A.
10 11
3 π 1 π ； , tan( β − ) = , 那么 tan(α + ) 的值为（ ） 4 4 2 4 2 2 B. C. D. 2 11 5
a 2 + b 2 sin(α + β ),
β ≤ 2π )由cos β =
a a2 + b2
, sin β =
b a2 + b2
确定.
题型讲解： 二 题型讲解： 1 和差公式的应用（顺用 逆用） ： 例 2 已知 cos α =
3 π π ， α ∈ 0, ，求 sin α − 的值； 5 6 2
tan α ± tan β ； 1 m tan α tan β
变形为
tan α ± tan β = tan(α ± β )(1 m tan α tan β ) ； tan α + tan β + tan(α + β ) tan α tan β = tan(α + β ) ；
4.辅助角公式： a sin α + b cos α = 其中 β (通常取0 ≤
1பைடு நூலகம்3
1 , 则 cos(α − β ) = _____; 2
练 1 若 sin α − sin β = − , cos α + cos β =
1 3
1 , 则 cos(α + β ) = _____; 2
2 构造角
α = (α + β ) − β = (α − β ) + β
2a = (a + β ) + (a − β ) 2α + β = (α + β ) + α
2 已知 cos(π + α ) = − ，
π 1 3π < α < 2π ．求： sin( 2π − α ) ， tan( − α ) 的值． 2 2 2
3． 已知
1 − tan A π = 2 + 3 , 则 cot( + A) 的值为_______； 1 + tan A 4
4. 求 (1 + tan 1o )(1 + tan 2 o )(1 + tan 3o ) L (1 + tan 44 o ) 的值；
例6
π
4
);
2 3 sin α − 2 cos α
练1
6 sin α + 8 cos α
三．小结： 小结：
四．作业： 作业： 练 1（1） cos(31o + a ) cos(14 o − a ) − sin(31o + a ) cos(76 o + a ) =____; （2） sin163°sin223°+ cos 163 o sin313°等于 （3） tan 15 o + tan 30 o + tan 15 o tan 30 o = __________. （4）若 α = 20o ， β = 25o ，则 (1 + tgα )(1 + tgβ ) 的值为 ； 。
练 1 已知 sin a =
5 π 10 π , a ∈ (0, ), cos β = , β ∈ (0, ), 5 2 10 2
（2） 求 α − β ；
（1） 求 cos(α − β ), sin(α − β ) 的值；
例 3 若 sin α − sin β = − , cos α − cos β =