三角函数和差化积与积化和差公式
三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克*
和差化积和积化和差公式
正弦、余弦的和差化积 2cos
2sin
2sin sin β
αβ
αβα-⋅+=+
2
sin
2cos 2sin sin β
αβαβα-⋅+=- 2
cos
2
cos
2cos cos β
αβ
αβα-⋅+=+
2
sin
2
sin
2cos cos β
αβ
αβα-⋅+-=- 【注意右式前的负号】
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克*
是和还是差？
这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。
规律为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。
如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β和α-β的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。
正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。
因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。
但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。
创作编号：BG7531400019813488897SX
创作者：别如克*。
和差化积、积化和差、万能公式
正、余弦和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
三角函数和差化积与积化和差公式
2和差化积和积化和差公式1、正弦、余弦的和差化积cos cos 2 si n sin 【注意右式前的负号】2 2 sin( a + B )=sin a cos B +cos a sin B ,sin( a - B )=sin a cos B - cos a sin B , 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin( a + B )+sin( a - B )=2sin a cos B,设 a + B = 9 , a - B =©那么 -------- , —2 2把a,B 的值代入，即得sin 9 + sin © =2 sin ------ cos --------2 2 2、正切和差化积cot a± cot B= -sin(---- —sin ?si n tan a +cot B= cos ?sin在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
若是异名，必须用 若是高次函数，必须用 降幕公式 降为一次3、积化和差公式证明： 左边=tan a± tan B= — sincos cos=sin ?cos cos ?sincos ?coscos( ) cos ?sin=sin()=右边 cos ? cossin ?sin cos cos (注意：此时 差的余弦 在和的余弦前面) 证明过程 sin a +sin B =2sin[( a +B )/2] -cos[( a -B )/2］的证明过程tan a± tan B = si n( )cos ? costan a -co t B = 诱导公式化为同名;积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明 即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：其他的3个式子也是相同的证明方法。
结果除以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin 和cos 的值域都是［-1,1］ 的值域应该是［-2,2］，而积的值域确是［-1,1］，因此除以2是必须的。
三角函数的积化和差与和化积公式
三角函数的积化和差与和化积公式三角函数是数学中的重要概念，而三角函数的积化和差与和化积公式是解决三角函数乘积和和的关系的重要工具。
本文将介绍三角函数的积化和差公式和和化积公式，并对其应用进行论述。
一、三角函数的积化和差公式三角函数的积化和差公式是指将两个三角函数的乘积表示为和或差的形式，从而简化计算。
常见的三角函数的积化和差公式有正弦函数、余弦函数和正切函数的积化和差公式。
1. 正弦函数的积化和差公式正弦函数的积化和差公式表达式如下：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB其中，A和B分别表示两个角。
2. 余弦函数的积化和差公式余弦函数的积化和差公式表达式如下：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB3. 正切函数的积化和差公式正切函数的积化和差公式表达式如下：tan(A ± B) = (tanA ± tanB)/(1 ∓ tanA*tanB)其中，A和B分别表示两个角，且A和B的切比雪夫乘积不等于1或-1。
二、三角函数的和化积公式三角函数的和化积公式是指将两个三角函数的和表示为积的形式，便于计算和求解。
常见的三角函数的和化积公式有正弦函数、余弦函数和正切函数的和化积公式。
1. 正弦函数的和化积公式正弦函数的和化积公式表达式如下：sinA + sinB = 2sin((A + B)/2)cos((A - B)/2)sinA - sinB = 2cos((A + B)/2)sin((A - B)/2)2. 余弦函数的和化积公式余弦函数的和化积公式表达式如下：cosA + cosB = 2cos((A + B)/2)cos((A - B)/2)cosA - cosB = -2sin((A + B)/2)sin((A - B)/2)3. 正切函数的和化积公式正切函数的和化积公式表达式如下：tanA + tanB = (sin(A + B))/(cosAcosB)tanA - tanB = (sin(A - B))/(cosAcosB)三、应用举例三角函数的积化和差与和化积公式在数学和物理等领域中有广泛的应用。
探索三角函数的和差化积与积化和差的应用
探索三角函数的和差化积与积化和差的应用三角函数是数学中的重要概念，常用于解决与角度相关的问题。
而和差化积与积化和差是利用三角函数的性质，将和、差与积、商的关系进行转化，从而简化计算或推导过程。
在本文中，我们将通过实例来探索三角函数的和差化积与积化和差的应用。
一、三角函数的和差化积1. 和差化积的公式在三角函数中，和差化积是将两个三角函数的和（或差）转化为一个三角函数的乘积。
其中，和差化积的公式针对不同的三角函数有所差异，具体的公式如下：（1）正弦函数的和差化积公式：\[sinA+sinB = 2sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})\]\[sinA-sinB = 2cos(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})\]（2）余弦函数的和差化积公式：\[cosA+cosB = 2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})\]\[cosA-cosB = -2sin(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})\]（3）正切函数的和差化积公式：\[tanA+tanB = \frac{sin(A+B)}{cosAcosB}\]\[tanA-tanB = \frac{sin(A-B)}{cosAcosB}\]注意：以上公式中的A和B为任意实数。
2. 应用实例下面通过具体的实例来说明和差化积的应用。
实例1：求解sin75°的值。
根据和差化积的公式，可将sin75°转化为sin(45°+30°)，然后利用公式进行计算：\[sin75°=sin(45°+30°)=2sin(\frac{45°+30°}{2})cos(\frac{45°-30°}{2})\]\[=2sin(\frac{75°}{2})cos(\frac{15°}{2})\]接下来，我们利用半角公式将sin(\(\frac{75°}{2}\))和cos(\(\frac{15°}{2}\))进行进一步转化。
瞬间记住三角函数和差化积积化和差公式
积化和差
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
和差化积
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
对于积化和差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos，其次，右边中间的和与差取决于左边第二项，若是cos，则是+，若是sin，则是-，最后记得sin*sin时要添上一个负号。
对于和差化积公式来说，第一，若等号左边全是sin，则右边异名，若等号左边全是cos，则等号右边同名，第二，等号左边中间的正负号决定了右边第二项，若是正，则是cos，若是负，则是sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子，最后记得cos-cos要添一个负号。
三角函数的和差化积公式和积化和差公式的应用
三角函数的和差化积公式和积化和差公式的应用三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学、工程学等领域有广泛的应用。
其中，三角函数的和差化积公式和积化和差公式是三角函数的重要性质，它们在解决三角函数的复杂运算和化简表达式时起着关键的作用。
一、和差化积公式的应用和差化积公式是指将两个三角函数的和（或差）表示为一个三角函数的积的形式。
其中，最常用的和差化积公式有以下几种：1. 正弦函数的和差化积公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB这个公式的应用非常广泛，特别是在求解三角方程和化简复杂的三角函数表达式时。
例如，当我们需要求解sin2x+sinx=0时，可以利用和差化积公式将sin2x拆分为2sinxcosx，然后得到sinx(2cosx+1)=0，进而得到sinx=0或cosx=-1/2。
这样，我们就将原方程转化为求解sinx=0和cosx=-1/2的两个简单方程。
2. 余弦函数的和差化积公式：cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB这个公式在求解三角方程和化简复杂表达式时也非常有用。
例如，当我们需要求解cos2x+cosx=0时，可以利用和差化积公式将cos2x拆分为cos^2x-sin^2x，然后得到cosx(cosx-1)(cosx+1)=0，进而得到cosx=0或cosx=1或cosx=-1。
这样，我们就将原方程转化为求解cosx=0、cosx=1和cosx=-1的三个简单方程。
二、积化和差公式的应用积化和差公式是指将两个三角函数的积表示为一个三角函数的和（或差）的形式。
其中，最常用的积化和差公式有以下几种：1. 正弦函数的积化和差公式：sinAcosB = (1/2)[sin(A+B) + sin(A-B)]这个公式在求解三角方程和化简复杂表达式时也非常有用。
例如，当我们需要求解sin2xsinx=1/2时，可以利用积化和差公式将sin2xsinx拆分为(1/2)[sin(2x+x)+sin(2x-x)]，然后得到(1/2)[sin3x+sinx]=1/2，进而得到sin3x+sinx=1。
和差化积积化和差万能公式
和差化积积化和差万能公式Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】正、余弦和差化积公式指三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
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和差化积和积化和差公式
1、正弦、余弦的和差化积
2
cos 2sin 2sin sin βαβ
αβα-⋅+=+
2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-⋅+=- 2cos 2cos 2cos cos β
αβ
αβα-⋅+=+
2sin 2sin 2cos cos β
αβ
αβα-⋅+-=- 【注意右式前的负号】
在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次
3、积化和差公式
))((][2cos cos sin sin βαβαβα+--=•（注意：此时差的余弦在和的余弦前面）
或写作： ))((][2cos cos sin sin βαβαβα--+-=•（注意：此时公式前有负号） ()()[]2cos cos cos cos βαβαβα++-=• ()()[]2sin sin cos sin βαβαβα-++=• ()()[]2
sin sin sin cos βαβαβα--+=• 证明
积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：
()βαβαsin sin 221sin sin •-•-
=• ()()[]2
sin sin cos cos sin sin cos cos βαβαβαβα+---= ()()[]βαβα--+-=cos cos 21 其他的3个式子也是相同的证明方法。
结果除以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin 和cos 的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如： cos(α-β)-cos(α+β)
=1/2[(cosα·co sβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]
=2sinα·sinβ
故最后需要除以2。