三角函数的积化和差与和差化积
三角函数的积化和差与和差化积
sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ1
sinα-β=sinαcosβ-cosαsingβ2
cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ3
cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ4 请同学们注意观察这四个公式,考虑一下能否利用 这些公式得出一些新关系来． 把1式与2式相加可得 sinα+β+sinα-β=αsinαcosβ． 把1式与2式相减可得 sinα+β-sinα-β=αcosαsinβ． 3、4两式作类似的加、减还可以得到：
三角函数的恒等变换,由于三角公式较多、用起来也较 活,所以应当掌握变形的一般规律,而一般规律的获 得主要靠自己的实践以及理性上的升华.通过一个阶 段的学习与练习,应是有一定体会的．一般说三角变 换问题,首先要关注问题中的角,特别是角的和、差、 倍、半关系,当然这些关系也不是一成不变的,如适 当时候,我们也可以把α看作是
进行到此,本题的化简能进行下去吗 可试着使用正弦函数的倍角公式化简．
2cos36°sin18°
2
和差化积公式的左边全是同名函数的和或 差,只有负数绝对值相同的同名函数的和与 差才能直接运用公式化成积的形式,如果是 一个正弦与一余弦的和或差必须先用诱导 公式化成同名函数后,再运用积化和差公式 化成积的形式．
练习 1．求sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值, 2．求cos37.5°·cos22.5°的值,
1．sin20·cos70°+sin10°·sin50° 2． cos37.5°·cos22.5°
而sin20°·sin40°·sin80°
三角函数的和差化积
我们知道,每个数学公式都有两方面的应用,即正用 与逆用．积化和差公式也不例外,那么,积化和差公 式的逆用应怎么称呼呢 应称为三角函数的和差化积公式． 由三角函数的积化和差公式的逆用,我们可得以下 几个公式： sinα+β+sinα-β=2sinαcosβ； sinα+β-sinα-β=2cosαsinβ； cosα+β+cosα-β=2cosαcosβ； cosα+β-cosα-β=-2sinαsinβ． 为了突出这组公式是三角函数的和差化积公式并能 方便地记忆,可作如下的换元：
3.3三角函数的积化和差与和差化积
例2 把下列各式化成积的形式： 把下列各式化成积的形式： (1) cos3θ + cos θ (2) sin 54 + sin 22 (3) sin 5 x sin 3x (4) cos 40 + cos52 (5) cos 40 cos52
1.积化和差公式 1.积化和差公式
1 cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α β )] 2 1 sin α sin β = [cos(α + β ) cos(α β )] 2 1 sin α cos β = [sin(α + β ) + sin(α β )] 2 1 cos α sin β = [sin(α + β ) sin(α β )] 2
三角函数的 积化和差与和差化积
1.积化和差公式 1.积化和差公式
1 cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α β )] 2 1 这组公式称为三角函数的积化和差公式。 这组公式称为三角函数的积化和差公式 )] sin α sin β = [cos(α + β ) cos(α β。 2 只要求熟悉公式结构，不要求记忆。 只要求熟悉公式结构，不要求记忆。其特 1 点是化成和之后都是同名的三角函数， 点是化成和之后都是同名的三角函数，注 sin α cos β = [sin(α + β ) + sin(α β )] 意每个公式前面的系数。 意每个公式前面的系数。 2 1 cos α sin β = [sin(α + β ) sin(α β )] 2
2.和差化积公式 2.和差化积公式
x+ y x y sin x + sin y = 2sin cos 2 2 x+ y x y sin x sin y = 2 cos sin 2 2 x+ y x y cos x + cos y = 2 cos cos 2 2 x+ y x y cos x cos y = 2 sin sin 2 2
三角函数和差化积与积化和差公式
2和差化积和积化和差公式1、正弦、余弦的和差化积cos cos 2 si n sin 【注意右式前的负号】2 2 sin( a + B )=sin a cos B +cos a sin B ,sin( a - B )=sin a cos B - cos a sin B , 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin( a + B )+sin( a - B )=2sin a cos B,设 a + B = 9 , a - B =©那么 -------- , —2 2把a,B 的值代入，即得sin 9 + sin © =2 sin ------ cos --------2 2 2、正切和差化积cot a± cot B= -sin(---- —sin ?si n tan a +cot B= cos ?sin在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
若是异名，必须用 若是高次函数，必须用 降幕公式 降为一次3、积化和差公式证明： 左边=tan a± tan B= — sincos cos=sin ?cos cos ?sincos ?coscos( ) cos ?sin=sin()=右边 cos ? cossin ?sin cos cos (注意：此时 差的余弦 在和的余弦前面) 证明过程 sin a +sin B =2sin[( a +B )/2] -cos[( a -B )/2］的证明过程tan a± tan B = si n( )cos ? costan a -co t B = 诱导公式化为同名;积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明 即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：其他的3个式子也是相同的证明方法。
结果除以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin 和cos 的值域都是［-1,1］ 的值域应该是［-2,2］，而积的值域确是［-1,1］，因此除以2是必须的。
三角函数的积化和差与和差化积公式
三角函数的积化和差与和差化积公式三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
而三角函数的积化和差与和差化积公式是三角函数中常用的变形公式。
本文将详细介绍三角函数的积化和差与和差化积公式以及其应用。
一、三角函数的积化和差公式1. 正弦函数的积化和差公式：对于任意两个角A和B，正弦函数的积化和差公式可以表示为：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB这两个公式常用于将正弦函数的和差形式转化为积的形式。
2. 余弦函数的积化和差公式：对于任意两个角A和B，余弦函数的积化和差公式可以表示为：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB这两个公式常用于将余弦函数的和差形式转化为积的形式。
二、三角函数的和差化积公式1. 正弦函数的和差化积公式：对于任意两个角A和B，正弦函数的和差化积公式可以表示为：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB这两个公式常用于将正弦函数的积形式转化为和差的形式。
2. 余弦函数的和差化积公式：对于任意两个角A和B，余弦函数的和差化积公式可以表示为：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB这两个公式常用于将余弦函数的积形式转化为和差的形式。
三、应用示例下面通过几个具体的应用示例来说明三角函数的积化和差与和差化积公式的应用。
例1：已知sinA=3/5，cosB=4/5，求sin(A+B)和sin(A-B)的值。
根据三角函数的积化和差公式，可以得到：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB = (3/5)(4/5) + sqrt(1 - (3/5)^2) * sqrt(1 - (4/5)^2) = 12/25 + sqrt(1 - 9/25) * sqrt(1 - 16/25) = 12/25 +sqrt(16/25) * sqrt(9/25) = 12/25 + 4/5 * 3/5 = 12/25 + 12/25 = 24/25sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB = (3/5)(4/5) - sqrt(1 - (3/5)^2) * sqrt(1 - (4/5)^2) = 12/25 - sqrt(1 - 9/25) * sqrt(1 - 16/25) = 12/25 - sqrt(16/25) * sqrt(9/25) = 12/25 - 4/5 * 3/5 = 12/25 - 12/25 = 0所以，sin(A+B) = 24/25，sin(A-B) = 0。
三角函数和差化积与积化和差公式
和差化积和积化和差公式1、正弦、余弦的和差化积2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-⋅+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-⋅+=- 2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-⋅+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-⋅+-=- 【注意右式前的负号】在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次3、积化和差公式))((][2cos cos sin sin βαβαβα+--=•（注意：此时差的余弦在和的余弦前面）或写作： ))((][2cos cos sin sin βαβαβα--+-=•（注意：此时公式前有负号） ()()[]2cos cos cos cos βαβαβα++-=• ()()[]2sin sin cos sin βαβαβα-++=• ()()[]2sin sin sin cos βαβαβα--+=• 证明积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：()βαβαsin sin 221sin sin •-•-=• ()()[]2sin sin cos cos sin sin cos cos βαβαβαβα+---= ()()[]βαβα--+-=cos cos 21 其他的3个式子也是相同的证明方法。
结果除以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin 和cos 的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如： cos(α-β)-cos(α+β)=1/2[(cosα·co sβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]=2sinα·sinβ故最后需要除以2。
三角函数的积化和差与和差化积
三角函数的积化和差与和差化积一、教学目的:1。
了解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程，了解此组公式与两角和差的正弦、余弦公式的联系，从而培养逻辑推理能力。
2. 掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。
二、重点、难点：掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。
三、新课讲解：（一）三角函数的积化和差与和差化积公式 1、公式的推导 ())(sin cos cos sin sin βαβαβαβα++=+S ，()sin sin cos cos sin ()αβαβαβαβ-=--，S ()cos cos cos sin sin ()αβαβαβαβ+=-+，C ()cos cos cos sin sin ()αβαβαβαβ-=+-，C()()()()S S S S αβαβαβαβ+-+-+-，()()()()C C C C αβαβαβαβ+-+-+-，，得()()()()()()()()sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++-=+--=++-=+--=-2222即()()[]sin cos sin sin αβαβαβ=++-<>121()()[]cos sin sin sin αβαβαβ=+--<>12()()[]cos cos cos cos αβαβαβ=++-<>123 ()()[]sin sin cos cos αβαβαβ=-+--<>124公式<1>〈2〉<3〉<4〉叫做积化和差公式.其特点为：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角α、β,等式右边为它们的和差角。
三角函数的积化和差与和化积与差化积公式
三角函数的积化和差与和化积与差化积公式三角函数是数学中重要的概念之一，它有着广泛的应用。
在三角函数的研究中，积化和差与和化积与差化积公式是常用的工具。
本文将介绍这两个公式的概念和具体应用，并通过例子详细说明。
一、积化和差公式积化和差公式是将两个三角函数的乘积转化为和或差的形式。
对于任意两个三角函数，我们有如下的公式：sin(A)sin(B) = (1/2)[cos(A-B) - cos(A+B)]cos(A)cos(B) = (1/2)[cos(A-B) + cos(A+B)]sin(A)cos(B) = (1/2)[sin(A-B) + sin(A+B)]在这些公式中，A和B代表角度。
通过这些公式，我们可以将乘积的形式转化为和或差的形式，便于进行计算和简化表达式。
下面通过一个例子来说明。
例子：计算 sin(60°)sin(30°)根据积化和差公式，我们有：sin(60°)sin(30°) = (1/2)[cos(60°-30°) - cos(60°+30°)]= (1/2)[cos(30°) - cos(90°)]= (1/2)[√3/2 - 0]= √3/4因此，sin(60°)sin(30°)的值为√3/4。
这个例子展示了如何使用积化和差公式将乘积转化为和或差的形式，并进一步进行计算。
二、和化积与差化积公式相反地，和化积与差化积公式是将两个三角函数的和或差转化为乘积的形式。
对于任意两个三角函数，我们有如下的公式：sin(A)+sin(B) = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]sin(A)-sin(B) = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]cos(A)+cos(B) = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]cos(A)-cos(B) = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]通过这些公式，我们可以将和或差的形式转化为乘积的形式，便于进行计算和简化表达式。
三角函数和差化积与积化和差公式
和差化积和积化和差公式1、正弦、余弦的和差化积2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-⋅+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-⋅+=- 2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-⋅+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-⋅+-=- 【注意右式前的负号】在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次3、积化和差公式))((][2cos cos sin sin βαβαβα+--=•（注意：此时差的余弦在和的余弦前面）或写作： ))((][2cos cos sin sin βαβαβα--+-=•（注意：此时公式前有负号） ()()[]2cos cos cos cos βαβαβα++-=• ()()[]2sin sin cos sin βαβαβα-++=• ()()[]2sin sin sin cos βαβαβα--+=• 证明积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：()βαβαsin sin 221sin sin •-•-=• ()()[]2sin sin cos cos sin sin cos cos βαβαβαβα+---= ()()[]βαβα--+-=cos cos 21 其他的3个式子也是相同的证明方法。
结果除以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin 和cos 的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如： cos(α-β)-cos(α+β)=1/2[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]=2sinα·sinβ故最后需要除以2。
三角函数的和差化积公式和积化和差公式的应用
三角函数的和差化积公式和积化和差公式的应用三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学、工程学等领域有广泛的应用。
其中，三角函数的和差化积公式和积化和差公式是三角函数的重要性质，它们在解决三角函数的复杂运算和化简表达式时起着关键的作用。
一、和差化积公式的应用和差化积公式是指将两个三角函数的和（或差）表示为一个三角函数的积的形式。
其中，最常用的和差化积公式有以下几种：1. 正弦函数的和差化积公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB这个公式的应用非常广泛，特别是在求解三角方程和化简复杂的三角函数表达式时。
例如，当我们需要求解sin2x+sinx=0时，可以利用和差化积公式将sin2x拆分为2sinxcosx，然后得到sinx(2cosx+1)=0，进而得到sinx=0或cosx=-1/2。
这样，我们就将原方程转化为求解sinx=0和cosx=-1/2的两个简单方程。
2. 余弦函数的和差化积公式：cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB这个公式在求解三角方程和化简复杂表达式时也非常有用。
例如，当我们需要求解cos2x+cosx=0时，可以利用和差化积公式将cos2x拆分为cos^2x-sin^2x，然后得到cosx(cosx-1)(cosx+1)=0，进而得到cosx=0或cosx=1或cosx=-1。
这样，我们就将原方程转化为求解cosx=0、cosx=1和cosx=-1的三个简单方程。
二、积化和差公式的应用积化和差公式是指将两个三角函数的积表示为一个三角函数的和（或差）的形式。
其中，最常用的积化和差公式有以下几种：1. 正弦函数的积化和差公式：sinAcosB = (1/2)[sin(A+B) + sin(A-B)]这个公式在求解三角方程和化简复杂表达式时也非常有用。
例如，当我们需要求解sin2xsinx=1/2时，可以利用积化和差公式将sin2xsinx拆分为(1/2)[sin(2x+x)+sin(2x-x)]，然后得到(1/2)[sin3x+sinx]=1/2，进而得到sin3x+sinx=1。
三角函数的积化和差与和差化积ppt课件
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6
练习 1．求sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值， 2．求cos37.5°·cos22.5°的值，
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1．sin20·cos70°+sin10°·sin50°
2． cos37.5°·cos22.5°
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而sin20°·sin40°·sin80°
三角函数的积化和差
(一)复习和、差角的正弦与余弦公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
所有这些三角公式都是从一个公式演化而来的，主要是
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例1 求sin42°-cos12°+sin54°的值． 分析：这是三角中常遇到的问题，由于原题是三个三 角函数的和差形式，自然想到要使用和差化积公式， 由于上述问题中现成的同名角函数为sin42°、sin54°， 因而一般做法是将这二个函数做和差化积但本题若采 用此法则无后续手段，问题的解决将十分困难．应该 说这种思考的方向是正确的，但我们不是为和差化积 而和差化积，而是为问题的解决而和差化积的，一般 地说出现多个三角函数的和差时，应选择能出现特殊 角的一组进行．鉴于此，本题应采取下面的解法． 解：原式=sin42°-sin78°+sin54° =-2cos60°sin18°+sin54° =cos54°-sin18° =2sin36°sin18°．
2．积化和差与和差化积公式的推导过程
本身也运用了许多重要的教学思想和方法，
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一、教学目的：
1. 了解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程，了解此组公式与两角和差的正弦、余弦公式的联系，从而培养逻辑推理能力。
2. 掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。
二、重点、难点：
掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。
三、新课讲解：
（一）三角函数的积化和差与和差化积公式
1、公式的推导
())(sin cos cos sin sin βαβαβαβα++=+S ，
()sin sin cos cos sin ()αβαβαβαβ-=--，S
()cos cos cos sin sin ()αβαβαβαβ+=-+，C
()cos cos cos sin sin ()αβαβαβαβ-=+-，C
()()()()S S S S αβαβαβαβ+-+-+-， ()()()()C C C C αβαβαβαβ
+-+-+-，，得 ()()()()()()()()sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ++-=+--=++-=+--=-2222
即()()[]sin cos sin sin αβαβαβ=
++-<>12
1 ()()[]cos sin sin sin αβαβαβ=+--<>12
2 ()()[]cos cos cos cos αβαβαβ=++-<>12
3 ()()[]sin sin cos cos αβαβαβ=-+--<>12
4 公式<1><2><3><4>叫做积化和差公式。
其特点为：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角。
在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积。
为了用
起来方便，在αθϕβθϕ=+=-22
，。
把这些值代入积化和差的公式<1>中，就有 ()sin
cos sin sin sin sin sin sin sin
cos θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ+-=++-⎛⎝ ⎫⎭++--⎛⎝ ⎫⎭⎡⎣⎢⎤⎦⎥=++=+-<>2212222212
2225·∴· 同样可得，
sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ-=+-<>+=+-<>-=-+-<>
2226222
72228···
公式<5><6><7><8>叫做和差化积公式。
其特点为：同名函数的和或差才可化积；余弦的和或差化为同名函数之积；
正弦的和或差化为异名函数之积；等式左边为单角θ与ϕ，等式右边为θϕ+2
与θϕ-2
的形式。
牢记两组公式的区别与联系，才能正确使用之。
2、明确公式是由两角和与差的三角函数公式推导而得，进一步明确三角函数中公式虽然多，但都不是孤立的，另外，弄清公式的来源以及公式的内在联系，才能更好地记忆和使用它们。
3、典例分析
例1. 把下列各式化为和差的形式。
（1）sin cos ππ12512
·
（2）23555cos sin o o ·
（3）()()cos cos x y x y -+·
分析：利用积化和差公式。
点评：（1）牢记积化和差公式，才能正确使用。
（2）如求sin sin ππ838·的值，可不用积化和差公式，用二倍角公式即可求值，即 sin sin sin cos sin πππππ8388812424
··=== 例2. 把下列各式化成积的形式。
（1）cosx -12
（2）sin cos x x + 分析：只要将以上两题稍作变形，如将（1）中12换成cos π3
，（2）中cosx 看作()sin 90o x -即可直接应用公式进行化积。
点评：（1）只有同名函数的和（或差）才能化为积的形式，因此题（1）中
12化为cos
π3，（2）中cosx 化为()sin 90o x -。
（2）对于型如a x b x sin cos +，可化为()a b x 22++sin ϕ也能达到和差化积的形式之目的。
例3. 求值：
（1）sin cos sin cos sin sin 71587158o o o o o o +-·· （2）sin cos sin cos 22208032080o o o o ++
分析：（1）中注意7°与15°和8°的关系；（2）中最常见的想法是降幂扩角及积化和差的应用，但对偶式的应用可能使问题变得更简单。
点评：三角函数变换的灵活性更多地体现在拆角的灵活性上，题（1）对这一点展现地淋漓尽致；（2）中法1属常规方法，只要有扎实的基本功就可以正确完成，而法2很巧妙的运用了对偶式使解答变得简单且浪漫。
这种方法也可以求型如cos cos cos 204080o o o 的求值题，试一下是不是很巧妙？。