积化和差、和差化积记忆口诀及相关练习题
积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲
三角函数式的化简要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法例1. 化简 xx xx x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ∙+--∙ 解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P +==.tan ,sin xyx r y x ==0)(222=-+-=+--=∙+--∙=∴x r y x r y y x r x r y ry x y r y x y r y x y r y x y 原式二: 弦切互化法例2. xx x x x x x 2222tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-∙+∙+化简 解: 原式x x x x x xx x x x x x x x x 2cos )cos 2sin 21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 22222∙+∙=+-∙∙+∙= x x xx x 2sin 22cos cos 12cos 2sin =∙∙=三: 变用公式例3. o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ∙+∙+∙化简解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ∙++= 15tan 50tan )50tan 15tan 1)(5015tan(25tan ∙+-+∙=115tan 50tan )50tan 15tan 1(=∙+∙-=说明: 公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±在解题中运用非常灵活.常常变形为)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用. 四: 连锁反应法例5. o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简解: 原式12cos 24cos 48cos 6sin ∙∙∙=6cos 48cos 24cos 12cos 6sin 6cos ∙∙∙∙= =1616cos 96sin 1616cos 48cos 24cos 12cos 12sin 21=====∙∙∙说明: 此题分子分母同乘以 6cos ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地. 五: 升降次法例6. y x y x y x 2cos 2cos )(cos )(cos 22∙--++化简解: 原式y x y x y x 2cos 2cos 2)22cos(12)22cos(1∙---+++=y x y x y x 2cos 2cos )]22cos()22[cos(211∙---++=12cos 2cos 2cos 2cos 1=∙-∙+y x y x例7. x x 4cos 812cos 2183:+-化简 解: 原式 )12cos 2(81)1cos 2(218322-+--=x x )1cos 4cos 4(41cos 43)1cos 2(41cos 43242222+-+-=-+-=x x x x x x x x x 42242sin )cos 1(cos cos 21=-=+- 六: 基本技巧例8 (1) θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1:++-+化简解: 原式)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2cos sin 2cos cos sin 2sin 22sin )2cos 1(2sin )2cos 1(22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=+++-= θtan = (2) .2cos 2sin ,2tan 的值求已知x x x += 解: x x x cos 2sin ,2tan =∴=1cos 2cos 41cos 2cos sin 22cos 2sin 222-+=-+=+∴x x x x x x x1tan 161sec 61cos 6222-+=-=-=xx x511416=-+= 角的变换角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。
积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲
三角函数式的化简要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法例1. 化简 xx xx x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ∙+--∙ 解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P +==.tan ,sin xyx r y x ==二: 弦切互化法例2. xx x x x x x 2222tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-∙+∙+化简解: 原式x x x x x xx x x x x x x x x 2cos )cos 2sin 21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 22222∙+∙=+-∙∙+∙= 三: 变用公式例3. o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ∙+∙+∙化简解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ∙++=说明: 公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±在解题中运用非常灵活.常常变形为)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用. 四: 连锁反应法例5. o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简解: 原式12cos 24cos 48cos 6sin ∙∙∙=6cos 48cos 24cos 12cos 6sin 6cos ∙∙∙∙==1616cos 96sin 1616cos 48cos 24cos 12cos 12sin 21=====∙∙∙说明: 此题分子分母同乘以 6cos ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地. 五: 升降次法例6. y x y x y x 2cos 2cos )(cos )(cos 22∙--++化简解: 原式y x y x y x 2cos 2cos 2)22cos(12)22cos(1∙---+++=例7. x x 4cos 812cos 2183:+-化简解: 原式 )12cos 2(81)1cos 2(218322-+--=x x )1cos 4cos 4(41cos 43)1cos 2(41cos 43242222+-+-=-+-=x x x x x x x x x 42242sin )cos 1(cos cos 21=-=+- 六: 基本技巧例8 (1) θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1:++-+化简解: 原式)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2cos sin 2cos cos sin 2sin 22sin )2cos 1(2sin )2cos 1(22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=+++-=θtan = (2) .2cos 2sin ,2tan 的值求已知x x x +=解: x x x cos 2sin ,2tan =∴= 角的变换角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。
积化和差口诀速记
积化和差口诀速记
以下是五个符合要求的口诀：
《积化和差口诀一》
积化和差要记清，一个正弦一个余弦分得明。
正余相加得二倍，余弦在前正弦跟。
正余相减也二倍，正弦在前余弦存。
就像搭积木一样稳，顺序不能乱分寸。
积化和差轻松认，数学学习乐趣深。
《积化和差口诀二》
小朋友们听我言，积化和差有妙诀。
一正一余放两边，二倍关系在中间。
和的时候余弦先，差的时候正弦前。
形象记忆并不难，如同走路一步步缓。
多练几遍记得全，数学成绩笑开颜。
《积化和差口诀三》
积化和差别害怕，朗朗上口好办法。
一正弦来二余弦，先后顺序不能差。
二倍出来作用大，和差变化都靠它。
好比搭起小高塔，稳稳当当不会垮。
记住口诀向前跨，数学天地任你耍。
《积化和差口诀四》
来听我说积化和差诀，简单易懂好理解呀。
一个正弦配余弦，一二清楚记得呀。
二倍之中有乾坤，和差变化有区分呀。
就像游戏有规则，一步一步不犯错呀。
小朋友们快快来，牢记口诀真厉害呀。
《积化和差口诀五》
积化和差要学好，这个口诀要记牢。
一正一余很重要，二倍关系不能少。
和用余弦差正弦，顺序一定不能忘。
想象它们手牵手，一起解题乐悠悠。
多做练习多巩固，知识大门轻松入。
三角函数和差积公式的记忆口诀
三角函数和差积公式的记忆口诀三角函数和差积公式的记忆口诀一、两角和与差的正余弦公式记忆正弦异名加一起，sin(a+b)=sinacosb+cosasinb余弦同名加减异，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb前面是a后面b二、积化和差与和差化积公式记忆积化和差公式：sinα?cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 前正后余正弦加cosα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 前余后正正弦差cosα?cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 余余得值余弦加sinα?sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 全正变号余弦差和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 正弦加正弦正弦在前面sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 正弦减正弦余弦在前面cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 余弦加余弦全都是余弦cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 余弦减余弦变号改正弦记忆数学知识点的诀窍1归类记忆法就是根据识记材料的性质、特征及其内在联系，进行归纳分类，以便帮助学生记忆大量的知识。
比如，学完计量单位后，可以把学过的所有内容归纳为五类：长度单位;面积单位;体积和容积单位;重量单位;时间单位。
这样归类，能够把纷纭复杂的事物系统化、条理化，易于记忆。
2歌诀记忆法就是把要记忆的数学知识编成歌谣、口诀或顺口溜，从而便于记忆。
比如，量角的方法，就可编出这样几句歌诀：“量角器放角上，中心对准顶点，零线对着一边，另一边看度数。
”再如，小数点位置移动引起数的大小变化，“小数点请你跟我走，走路先要找准‘左’和‘右’;横撇带口是个you，扩大向you走走走;横撇加个zuo，缩小向zuo走走走;十倍走一步百倍两步走，数位不够找‘0’拉拉钩。
积化和差以及和差化积最简记忆口诀
三、总结公式 “ sin 和差前后积， cos 和差 cos 负 sin ” 1）首先关注 sin sin 即“ sin 和差”，口诀一“ sin 和差前后积”的形象记忆其实是
sin 和 差
|| 前后积
我们认为“sin”是比较“主要的”，所谓的“前后”就是，sin 和 cos 相乘时，sin 在前 还是在后，如下
|| cos -sin 其中关于 cos+cos 其公式中，函数名全是 cos
cos cos =2 cos
cos
2
2
cos 和 — cos
而关于 cos-cos 其公式中，变换后函数名全是 sin 加多一个负号
cos cos = 2 sin sin
sin
cos
2
2
为 前积
对应 sin 和
cos
sin
2
2
为 后积
对应 sin 差
由口诀“ sin 和差前后积”迅速写出：
sin + sin = sin cos sin 和 — 前积
sin sin = cos sin
2
2
cos 差 — 负 sin
由口诀“ cos 和差 cos 负 sin ”迅速写出：
cos cos = cos cos
cos 和 — cos
cos cos = sin sin
cos 差 — 负 sin
再填入内容可得：
cos cos =2 cos cos
cos
积化和差和和差化积公式记忆窍门
积化和差
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
和差化积
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
我们背公式时往往要么不是死记硬背，要么便是不停的推导增强熟练度来记忆，其实我们可以通过公式的逻辑结构来记忆，这个公式其实对于高中生用得更多一些，不久前做了一道满综合的题目是无意中想起了当时总结的记忆法，只要大家按我说的方法来记忆，保证20秒内牢记这些公式，下面我来说说记忆的方法：
对于积化合差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos，其次，右边中间的和与差取决于左边第二项，若是cos，则是+，若是sin，则是-，最后记得sin*sin时要添上一个负号。
对于和差化积公式来说，第一，若等号左边全是sin，则右边异名，若等号左边全是cos，则等号右边同名，第二，等号左边中间的正负号决定了右边第二项，若是正，则是cos，若是负，则是sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子，最后记得cos-cos要添一个负号。
希望对大家有所帮助，小弟班门弄斧了。
瞬间记住三角函数和差化积积化和差公式
积化和差
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
和差化积
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
对于积化和差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos，其次，右边中间的和与差取决于左边第二项，若是cos，则是+，若是sin，则是-，最后记得sin*sin时要添上一个负号。
对于和差化积公式来说，第一，若等号左边全是sin，则右边异名，若等号左边全是cos，则等号右边同名，第二，等号左边中间的正负号决定了右边第二项，若是正，则是cos，若是负，则是sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子，最后记得cos-cos要添一个负号。
24.积化和差与和差化积【学生版】(正式版)(含答案)
积化和差与和差化积【课前预习】 一、知识梳理 1.积化和差公式：sin cos αβ= ，cos sin αβ= ，cos cos αβ= ，sin sin αβ= .2.和差化积sin sin αβ+= ，sin sin αβ-= ， cos cos αβ+= ，cos cos αβ-= .二、基础练习1.若1tan 4tan αα+=，则sin 2α= . 2.已知(,0)2πα∈-，且4cos 5α=，则tan 2α= .3.不用计算器，化简7sin sin 2424ππ= .4.不用计算器，化简5sin sin 1212ππ+= .5.设θ为锐角，且4cos cos cos 217ππθ+=，则θ= .6.函数sin(2)cos23y x x π=-+的最小正周期是 .7.函数sin()cos 6y x x π=-的最小值是 .8.已知30,0,cos()225ππαβαβ<<-<<-=，且3tan 4α=，求sin β的值.【例题解析】例1.(1)求函数sin()cos()33y x x ππ=-+的最小正周期. (2)求函数sin sin()3y x x π=-+的最大值.例2.若23παβ+=，(1)求cos cos αβ+的最大值；(2)求22sin sin αβ+的取值范围.例3.已知11sin sin ,cos cos 32αβαβ-=--=，求cos()αβ-和sin()αβ+的值.例4.在ABC ∆中，求证：sin sin sin 4cos cos cos 222A B C A B C ++=积化和差与和差化积姓名 班级【巩固练习】1.已知cos()6x π-=，则cos cos()3x x π+-= . 2.已知3sin()cos()144x x ππ++=，则cos 4x = .3.已知23παβ-=，且1cos cos 3αβ+=，则cos()αβ+= .4.已知1cos cos 3αβ+=-，1sin sin 2αβ+=，则cos()αβ+的值为_____.5.若tan (0)m m α=≠，则sin α=（ ）B. C. D.06.若04παβ<<<，sin cos ,sin cos a b ααββ+=+=，则( )(多选题)A.a b <B.a b >C.1ab <D.2ab <7.若,αβ满足0,0,(0,)2παβαβ>>+∈，且cos cos a αβ=+，sin sin b αβ=+，sin()c αβ=+，则c b a ,,的大小关系是( )A.a b c <<B.b a c <<C.c a b <<D.c b a << 8.求证：22cos cos sin()sin()αβαβαβ-=-+-9.设0,02παβ><<，且56παβ+=，求222sin cos y αβ=--的最小值.10.已知ABC ∆的内角,,()A B C A B C ≤≤满足2B A C =+sin sin 2AA C =+，求角,,ABC 的值.【提高练习】11.已知角,αβ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，,(0,)αβπ∈.且β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= . 12.化简22222sin sin ()sin ()33A A A ππ+++-=_______.【课前预习】 一、知识梳理 1.积化和差公式：sin cos αβ=1[sin()sin()]2αβαβ++-，cos sin αβ=1[sin()sin()]2αβαβ+--， cos cos αβ=1[cos()cos()]2αβαβ++-，sin sin αβ=1[cos()cos()]2αβαβ-+--. 2.和差化积sin sin αβ+=2sincos22αβαβ+-，sin sin αβ-=2sincos22αβαβ-+，cos cos αβ+=2coscos22αβαβ+-，cos cos αβ-=2sinsin22αβαβ+--.二、基础练习1.若1tan 4tan αα+=，则sin 2α= .122.已知(,0)2πα∈-，且4cos 5α=，则tan 2α= .247-3.不用计算器，化简7sin sin 2424ππ= .144.不用计算器，化简5sin sin 1212ππ+= .5.设θ为锐角，且4cos cos cos 217ππθ+=，则θ= .1021π 解：410cos cos cos 2sin sin()sin cos7216424221ππππππθ=-=--== 6.函数sin(2)cos23y x x π=-+的最小正周期是 .π7.函数sin()cos 6y x x π=-的最小值是 .34- 解：1sin()cos [sin(2)sin()]6266x x x πππ-=-+-8.已知30,0,cos()225ππαβαβ<<-<<-=，且3tan 4α=，求sin β的值.解：33447sin sin[()]555525βααβ=--=⨯-⨯=-【例题解析】例1.(1)求函数sin()cos()33y x x ππ=-+的最小正周期. (2)求函数sin sin()3y x x π=-+的最大值.解：(1)min T π= (2)max 2cos()sin(),166y x y ππ=+-=例2.若23παβ+=，(1)求cos cos αβ+的最大值.(2)求22sin sin αβ+的取值范围. 解：(1) cos cos 2coscos()cos()3παβαβαβ+=-=-cos cos αβ⇒+最大值为1(2)221cos21cos21sin sin 1(cos2cos2)222αβαβαβ--+=+=-+11cos()cos()1cos()2αβαβαβ=-+-=+-又1cos()1αβ-≤-≤，所以22sin sin αβ+的取值范围是13[,]22。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D.
3 4
6.cos72°－cos36°的值为( )
1
A．3－2 3
B.2
1 C．－2
D．3＋2 3
7.在△ABC 中，若 sinAsinB＝cos2C2，则△ABC 是(
)
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形
8．函数 y＝sinx－π6 cosx 的最大值为(
A.12
B.14
答案： 24＋1＝21 22＋21＝ 24＋1.＝21(sin45°＋sin30°)
1 4 解析：sin37.5°cos7.5°＝2[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
5 解析：选 A.
1
1
sin70°cos20°－sin10°sin50°＝2(sin90°＋sin50°)＋2(cos60°－cos40°)
2 解析：选 B.sin15°sin75°＝－21[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)] ＝－21(cos90°－cos60°)＝－12(0－21)＝41.
3 解析：选 C.sin105°＋sin15°＝2sin105°2＋15°cos105°2－15° ＝2sin60°cos45°＝ 26.
＝cos(x＋π6 )．
∵x∈0，π2 ，
∴π6 ≤x＋π6 ≤2π3 ，
∴y∈－12， 23.
) C．1
D.
2 2
9．若 cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则 cos2α－sin2β等于(
)
2
1
1
2
A．－3
B．－3
C.3
D.3
10．函数 y＝sinx＋π3 －sinx(x∈[0，π2 ])的值域是(
)
A．[－2,2]
B.－12，
3
2
C.12，1
D.12，
3
2
答案 1 解析：选 D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知 A、B、C 正确．
7 解析：选 B.由已知等式得21[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝12(1＋cosC)，
又 A＋B＝π－C.所以 cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC.
所以 cos(A－B)＝1，又－π<A－B<π，所以 A－B＝0，所以 A＝B，故△ABC 为等腰三角形．故
选 B.
8 解析：选 B.y＝sinx－π6 cosx＝21sin x－π6 ＋x ＋sinx－π6 －x
11
11
3
＝2＋2sin50°＋4－2cos40°＝4.
6 解析：选 C.
原式＝－2sin72°＋2 36°sin72°－2 36°＝－2sin54°·sin18°＝－2cos36°cos72° ＝－2·sin36°csoisn3366°°cos72°＝－sin7s2i°n3c6o°s72°＝－s2isni1n4346°°＝－21，故选 C.
积化和差
记忆口诀： 积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。
和差化积
记忆口诀： 正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦。
1．下列等式错误的是( ) A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB B．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cosAsinB C．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cosAcosB D．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sinAcosB
2．sin15°sin75°＝( )
A.18
B.14
C.12
3．sin105°＋sin15°等于( )
3 A. 2
2 B. 2
6 C. 2
4．sin37.5°cos7.5°＝________.
D．1 6
D. 4
5.sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( )
A.34
B.
3 2
C.12
ymax＝21－14＝41.
9 解析：选 C.cos(α＋β)cos(α－β)＝21(cos2α＋cos2β) ＝21[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)] ＝cos2α－sin2β， ∴cos2α－sin2β＝13.
10 解析：选 B.y＝sinx＋π3 －sinx＝2cosx＋π6 sinπ6