积化和差和差化积记忆口诀及相关练习题
和差化积和积化和差的公式都哪些 有什么方便的记忆方法
和差化积和积化和差的公式都哪些有什么方便的记忆方法三角函数始终都是数学学习中的一大障碍，不少人经常抱怨三角函数太杂公式太多，以下是关于三角函数中和差化积和积化和差的公式和差化积和积化和差的公式和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]记忆方法积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方法。
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域来判断。
sin 和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域却是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如:cos(α-β)-cos(α+β)=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)=2sinαsinβ故最后需要除以2。
和差化积如何只记两个公式甚至一个我们可以只记上面四个公式的第一个和第三个。
而第二个公式中的-sinβ=sin（β+π），也就是sinα-sinβ=sinα+sin（β+π），这就可以用第一个公式解决。
同理第四个公式中，cosα-cosβ=cosα+cos（β+π），这就可以用第三个公式解决。
如果对诱导公式足够熟悉，可以在运算时把cos全部转化为sin，那样就只记住第一个公式就行了。
和差化积,积化和差公式
和差化积,积化和差公式一、引言在数学中，和差化积和积化和差是一类常用的公式，它们在代数运算中发挥着重要的作用。
本文将详细介绍和差化积和积化和差公式的定义、应用以及相关的例题，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
二、和差化积公式和差化积是将两个数的和或差转化为它们的乘积的方法。
其公式如下：1.两个数的和化为积：当两个数a和b相加得到c时，我们可以通过以下公式将其转化为积的形式：$c=a+b$则有：$a+b=(a+b)^2-b^2=a^2+2ab+b^2-b^2=a^2+2ab$2.两个数的差化为积：当两个数a和b相减得到c时，我们可以通过以下公式将其转化为积的形式：$c=a-b$则有：$a-b=(a-b)^2-a^2=a^2-2ab+b^2-a^2=-2a b+b^2$三、积化和差公式积化和差是将两个数的乘积转化为它们的和或差的方法。
其公式如下：1.两个数的积化为和：当两个数a和b相乘得到c时，我们可以通过以下公式将其转化为和的形式：$c=a b$则有：$a b=\f ra c{1}{4}[(a+b)^2-(a-b)^2]$2.两个数的积化为差：当两个数a和b相乘得到c时，我们可以通过以下公式将其转化为差的形式：$c=a b$则有：$a b=\f ra c{1}{4}[(a+b)^2-(b-a)^2]$四、应用举例下面通过几个实例来说明和差化积和积化和差公式的具体应用。
例题1将下面的式子用和差化积公式化简：$(a+b)^2-(a-b)^2$解答：根据和差化积公式，我们有：$(a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2a b+b^2)-(a^2-2a b+b^2)=4ab$因此，原式化简后为$4ab$。
例题2将下面的式子用积化和差公式化简：$12a b$解答：根据积化和差公式，我们有：$12a b=\f ra c{1}{4}[(12a+12b)^2-(12a-12b)^2]=\f ra c{1}{4}(144a^2+288ab+144b^2-144a^2+288ab-144b^2)=72ab$因此，原式化简后为$72a b$。
积化和差公式八个口诀
积化和差公式八个口诀
积化和差公式的口诀：
1. 正弦加正弦，正加正；余弦加余弦，余加余；符号看象限，同号异名一加一。
2. 正弦加余弦，正减余；余弦加正弦，余减正；符号看象限，同名相减一减一。
3. 正弦的平方与余弦的平方和，正加余；正弦的平方与正弦的乘积，一乘一。
4. 余弦的平方与正弦的乘积，一乘一；余弦的平方与余弦的乘积，正加正。
5. 余弦与半角的正弦之差，余减正；半角的余弦与余弦的乘积，正减正。
6. 半角的正弦与余弦之差，正减余；半角的正弦与正弦的乘积，一乘一。
7. 余弦与半角余弦之和，余加余；余弦与半角正弦之差，余减正。
8. 正弦、余弦、正切和余切的和与差，互为倒数。
以上信息仅供参考，如果您还有疑问，建议咨询专业人士。
积化和差记忆口诀
积化和差记忆口诀
《积化和差记忆口诀一》
积化和差要记清，正弦余弦有关系。
一个正弦乘余弦，分成和差两部分。
前半和来后半差，如同兄弟分两边。
和中正弦加余弦，差里正弦减余弦。
只要记住这个诀，计算起来很轻松，小朋友们要牢记，数学难题不再怕。
《积化和差记忆口诀二》
小朋友们听我说，积化和差有口诀。
一二三四排好队，依次记忆不混乱。
一正一余积化和，和里余弦放前面。
二正二余积化差，差中余弦在后面。
三正三余积化和，和中正弦在前头。
四正四余积化差，差里正弦跟在后。
《积化和差记忆口诀三》
积化和差别犯难，口诀帮你来解难。
一句口诀记心间，做题速度快如箭。
正弦余弦积化和，一半和差就出来。
和是正弦加余弦，差是正弦减余弦。
形象记忆很简单，就像搭积木一般，小朋友们快快来，轻松掌握不费力。
《积化和差记忆口诀四》
来呀来呀小朋友，积化和差有妙招。
一积分成两个样，和差形式要记牢。
正弦乘余弦是一，和差之中有规律。
和是正余相加起，差是正余相减兮。
想象一下像拼图，一块一块拼整齐，这样记忆超有趣，数学变得好容易。
《积化和差记忆口诀五》
积化和差要学会，口诀朗朗上口头。
一乘二乘要分清，和差各自有特点。
正弦余弦积化和，和里正弦余弦合。
积化差时也不难，正弦余弦有变换。
就像走路分左右，一步一步向前走，小朋友们加油记，数学知识全掌握。
积化和差与和差化积] · [提高] · [知识点+典型例题]
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积化和差与和差化积知识讲解一、三角恒等变换的公式1.两角和与差的三角函数公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=2.倍角公式sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=- 3. 半角公式sin2α=cos 2α=1cos sin tan2sin 1cos ααααα-===+ 4.万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-5.积化和差公式1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--；1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--6.和差化积公式sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=；cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sinsin 22αβαβαβ+--=- 二、公式的推导推导过程：sin()sin[()]sin cos()cos sin()αβαβαβαβ-=+-=-+-sin cos cos sin αβαβ=-cos()sin[()]sin[()()]22ππαβαβαβ+=-+=-+-sin()cos()cos()sin()cos cos sin sin()22ππαβαβαβαβ=--+--=+- cos cos sin sin αβαβ=-cos()sin[()]sin[()]22ππαβαβαβ-=--=-+ sin()cos cos()sin cos cos sin sin 22ππαβαβαβαβ=-+-=+ sin()sin cos cos sin tan()cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-两边同时除以cos cos αβ可得tan()αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-tan tan()tan tan tan()tan[()]1tan tan()1tan tan a αβαβαββαβαβ+---=+-==--+然后把上面各式中的β代换为α，则可得到二倍角公式 sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= 22cos 2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=-再利用22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-sin 2tan2cos2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222ααααααααα-=== sin 2cossinsin 222tan21cos cos2cos cos222ααααααααα===+ 【说明】这里没有考虑cossin022αα==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论一下．三、主要方法1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用1）并项功能：2）升次功能3）降次功能4）一个重要的构造令（）2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=±2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==22sin cos cos )ba b a b αααα+=++sin β=cos β=cos cos sin )αβαβ+sin β=可知：sin cos a b αα+2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452︒︒=︒-︒=︒-︒=, ()()22αααββαββ=-+=+-=⋅()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα⎛⎫-=-+=-=-- ⎪⎝⎭ππππππ244362αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2464αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法 常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理比如：221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用， 例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式() sin cos y a b αααϕ=+=+的应用，其中tan b aϕ=，ϕ所在的象限由,a b 的符号确定．典型例题一．选择题（共10小题）1．（2013•市中区校级一模）若、，，且tanα＜cotβ，那么必有（）A．＞B．＜C．α＞βD．α＜β【解答】解：∵α、β∈（，π），∴﹣π＜﹣β＜﹣，＜﹣β＜π，又cotβ=tan（﹣β）=tan（﹣β），tanα＜cotβ，∴tanα＜tan（﹣β），α、﹣β∈（，π），又y=tanx在（，π）上单调递增，∴α＜﹣β，即α+β＜．故选：B．2．（2016秋•重庆期末）已知α∈[，]，β∈[﹣，0]，且（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，8β3+2cos2β+1=0，则sin（+β）的值为（）A．0 B．C．D．1【解答】解：∵（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，可得：（α﹣）3﹣cos（）﹣2=0，即（﹣α）3+cos（）+2=0由8β3+2cos2β+1=0，得（2β）3+cos2β+2=0，∴可得f（x）=x3+cosx+2=0，其，x2=2β．∵α∈[，]，β∈[﹣，0]，∴∈[﹣π，0]，2β∈[﹣π，0]可知函数f（x）在x∈[﹣π，0]是单调增函数，方程x3+cosx+2=0只有一个解，可得，即，∴，那么sin（+β）=sin=．故选：B．3．（2016•池州二模）已知sin（π+α）=，则sin（+2α）=（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵sin（π+α）=﹣sinα=，∴sinα=﹣，则原式=cos2α=1﹣2sin2α=﹣，故选：B．4．（2015春•上饶期末）已知函数f（x）=sin（+x）cos（﹣x），给出下列四个说法：①若x1=﹣x2，则f（x1）=﹣f（x2）；②f（x）的最小正周期是2π；③f（x）在区间[﹣，]上是增函数；④f（x）的图象关于直线x=对称．其中正确说法的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：f（x）=sin（+x）cos（﹣x）=cosxsinx=sin2x，因为它是奇函数，f（x1）=f（﹣x2）=﹣f（x2），所以①正确；∵f（x）的最小正周期是T=，②不正确；③利于2k≤2x≤2k，k∈Z可解得函数在区间[﹣，]上是增函数；正确；④当x=时f（x）取得了最小值，故x=是对称轴，所以正确．故选：B．5．（2018•珠海一模）函数f（x）=asinωx+bcosωx=Asin（ωx+φ），，＞，＞，＜的一个对称中心为，，且f'（x）的一条对称轴为，当ω取得最小值时，=（）A．1 B．C．D．【解答】解：由f（x）=asinωx+bcosωx==Asin（ωx+φ），可得A=，tanφ=，∵f（x）的一个对称中心为，，∴φ=k1π，k1∈Z，①f′（x）=ωAcos（ωx+φ），∴f′（x）的一条对称轴为，∴φ=k2π，k2∈Z，②∵|φ|＜，ω＞0，由①得，φ=，由②得，φ=，则，可得ω=2（k2﹣k1），则ω的最小值为2．∴φ=．此时=φcosφ=．故选：C．6．（2018春•龙岩期中）已知＜＜，，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知＜＜，，∴sin（θ+）==，设α=θ+，则θ=α﹣，且cosα=，sinα=，则tanα==，则tan2α====，则=tan[2（α﹣）+]=tan（2α﹣）====，故选：C．7．（2016春•朔州校级期末）已知α为锐角，且cos（α+）=，则sin2α的值为（）A． B． C． D．【解答】解：【方法一】α为锐角，且cos（α+）=，∴sin（α+）=，∴cos（α+）=cos（α++）=×﹣×=，∴sin2α=﹣cos2（α+）=1﹣2×=．【方法二】α为锐角，且cos（α+）=，∴sin（α+）=，∴sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=2××=，∴cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=﹣；∴sin2α=sin[（2α+）﹣]=sin（2α+）cos﹣cos（2α+）sin=×﹣（﹣）×=．故选：D．8．（2015春•洛阳期末）若sinθ+cosθ=，则cos（2θ+）=（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵sinθ+cosθ=，平方可得1+2sinθcosθ=，∴sin2θ=2sinθcosθ=﹣，则cos（2θ+）=﹣sin2θ=，故选：A．9．（2016•湖北模拟）若α∈（0，π），且sinα+2cosα=2，则tan等于（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：∵α∈（0，π），∴∈（0，），设tan=x，x＞0，∵sinα==，cosα==，∴sinα+2cosα=+2•==2，即x+1﹣x2=1+x2，即x（2x﹣1）=0，解得x=故选：C．10．（2013秋•吉安期末）已知θ为第二象限角，25sin2θ+sinθ﹣24=0，则sin的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，则2kπ＜θ＜2kπ+π，k∈Z，则kπ＜＜kπ+，k∈Z，当k是偶数，设k=2n，则2nπ＜＜2nπ+，n∈Z，此时为第一象限，当k是奇数，设k=2n+1，则2nπ+π＜＜2nπ+，n∈Z，此时为第三象限，则为第一或第三象限，∵25sin2θ+sinθ﹣24=0，∴sinθ=﹣1（舍去）或，∴cos，∴sin==±=，故选：D．二．填空题（共10小题）11．（2014秋•雁峰区校级期末）已知，则=．【解答】解：∵，故答案为．12．（2013秋•桥东区校级月考）化简：sin（﹣α﹣5π）•cos（）=sin2α．【解答】解：原式=sin（﹣α﹣π）•cos（）=sin α•sin α=sin2α．故答案为：sin2α．13．（2017秋•潮南区期末）已知tan（3π+α）=2，则=2．【解答】解：由tan（3π+α）=2，可得tanα=2，则== ===2，故答案为：2．14．（2018•榆林二模）若，是第二象限的角，则= 10．【解答】解：，是第二象限的角，tan，cosα==则====10．故答案为：10．15．（2018•双流区模拟）已知sin（α﹣）=，α∈（0，π），则tanα=﹣．【解答】解：∵sin（）=，α∈（0，π），∴∈（﹣，），∴cos（）==，∴sinα=sin[（）+]=sin（）cos+cos（）sin==，cosα=cos[（）+]=cos（）cos﹣sin（）sin==，tanα===﹣．故答案为：﹣．16．（2017秋•诸暨市校级月考）计算：=．【解答】解：===tan（45°﹣15°）=tan30°=，答案：．17．（2018•城关区校级模拟）若α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为1，或﹣．【解答】解：∵α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），∴3cos2α﹣3sin2α=cosα﹣sinα，∴cosα﹣sinα=0，或3（cosα+sinα）=．若cosα﹣sinα=0，则α=，sin2α=1；若3（cosα+sinα）=，平方求得sin2α=﹣，故答案为：1，或﹣．18．（2017秋•黄陵县校级期末）2sin222.5°﹣1=﹣．【解答】解：根据题意，原式=2sin222.5°﹣1=﹣（1﹣2sin222.5°）=﹣cos45°=﹣，故答案为：﹣．19．（2012•天宁区校级模拟）已知奇函数＞，＜＜的最小正周期为π，那么f（x）在（0，π）上的增区间是，．【解答】解：函数可化为=2cos（ωx+φ）∵函数的最小正周期为π∴ω=2∵函数为奇函数∴f（0）=0∴2cosφ=0∵0＜φ＜π∴φ=∴f（x）=﹣2sin2x由+2kπ≤2x≤+2kπ，可得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴f（x）在（0，π）上的增区间是，故答案为：，20．（2016春•云南校级月考）已知sinα=，且α为锐角，则cos=．【解答】解：∵sinα=，且α为锐角，∴＜＜，∴1＞＞，∴=，=1，解得cos=．故答案为：．三．解答题（共20小题）21．（2016秋•南岗区校级期末）化简；（1）（2）cos20°+cos160°+sin1866°﹣sin（﹣606°）【解答】解：（1）原式==﹣1；（2）原式=cos20°﹣cos20°+sin（5×360°+66°）﹣sin（﹣2×360°+114°）=sin66°﹣sin114°=sin66°﹣sin（180°﹣66°）=sin66°﹣sin66°=0．22．（2016春•平顶山校级月考）判函数f（x）=lg（sinx+）的奇偶性．【解答】解：∵＞|sinx|，∴sinx+＞0，即函数的定义域为（﹣∞，+∞），则f（﹣x）=lg（﹣sinx+）=lg=﹣lg（sinx+）=﹣f（x），即函数f（x）是奇函数．23．（2016春•浦东新区期末）已知0＜α＜，sinα=（1）求的值；（2）求tan（α﹣）的值．【解答】解：（1）∵0＜a＜，sinα=，∴=．∴===20；（2）由（1）可知：．∴tan（α﹣）===．24．（2014秋•吉林期末）已知α是第三象限角，且f（α）=．（2）若tan（π﹣α）=﹣2，求f（α）的值；（3）若α=﹣420°，求f（α）的值．【解答】解：（1）f（α）===﹣cosα．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）∵tan（π﹣α）=﹣2，∴tanα=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∵α是第三象限角，∴，∴f（α）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）∵，∴f（α）=﹣cosα=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）25．（2013秋•缙云县校级期末）已知sin（π+α）=2cos（π﹣α），计算：（1）（2）sin2α+sinαcosα﹣2cos2α【解答】解：∵sin（π+α）=2cos（π﹣α），∴﹣sinα=﹣2cosα，∴tanα=2．（1）原式===．（2）原式===．26．（2017秋•峨山县校级期末）已知α为第三象限角，（2）若，求f（α）的值．【解答】解：（1）∵α为第三象限角，==﹣cosα．（2）∵，∴﹣sinα=，解得：sinα=﹣，可得：cosα=﹣=﹣．∴f（α）=﹣cosα=．27．（2018春•福建期中）已知f（α）=（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，且＜＜，求sinα+cosα的值；（3）若，求f（α）的值．【解答】解：（1）f（α）====sinαcosα﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（（4分））（2）f（α）=，可得sinαcosα=，（sinα+cosα）2=1+=，且＜＜，sinα＜0，cosα＜0，所以sinα+cosα＜0，∴sinα+cosα=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3），sin（﹣）cos（﹣）=﹣sin cos=﹣sin cos=﹣sin=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）28．（2018春•兴庆区校级期中）已知α∈（，），且sin（π﹣α）+cos（2π+α）=．求值：（1）sinα﹣cosα．（2）tanα．【解答】解：∵已知α∈（，），且sin（π﹣α）+cos（2π+α）=，即sinα+cosα=，平方可得1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=﹣．∴sinα﹣cosα===．（2）∵sinα+cosα=，sinα﹣cosα=，∴sinα=，cosα=，∴tanα===﹣．29．（2017秋•华安县期末）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．【解答】解：（1）原式==﹣cosα；（2）∵cos（α﹣）=﹣sinα，∴sinα=﹣，又α是第三象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣，∴f（α）=﹣cosα=．30．（2018•商丘二模）在△ABC中，内角A，B，C所对一对的边分别为a，b，c，若sin（A+C）=2sinAcos（A+B），且C=．（Ⅰ）求证：a，b，2a成等比数列；（Ⅱ）若△ABC的面积是2，求c边的长．【解答】（1）证明：∵A+B+C=π，sin（A+C）=2sinAcos（A+C），∴sinB=﹣2sinAcosC，在△ABC中，由正弦定理得，b=﹣2acosC，∵，∴b=a，则b2=2a2=a•2a，∴a，b，2a成等比数列；（2）解：S=absinC=ab=2，则ab=，由（1）知，b=，联立两式解得a=2，b=2，由余弦定理得，×．∴c=．31．（2018春•绿园区校级月考）已知函数f（x）=2sin sin（x+）cos（x+）﹣sin cos（2x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）若函数f（x）（x＞0）的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得的图象与直线y=交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，…，x n，求数列{x n}的前200项的和．【解答】解：f（x）=sin（2x+）﹣cos（2x+）=sin（2x+﹣）=sin2x，（1）T==π，当2kπ+≤2x≤2kπ+时，kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数的单调减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）．（2）函数f（x）（x＞0）的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得函数图象的解析式为y=sinx，由正弦函数的对称性可知，=，=2π+，…=198π+，∴x1+x2+x3+…+x200=π+5π+9π+…+（4×100﹣3）π==19900π．32．（2018春•沂水县期中）已知角α终边上一点P（﹣1，m）（α是第三象限角），且sin．求下列各式的值（1）；（2）．【解答】解：（1）∵角α终边上一点P（﹣1，m），∴|OP|==，又∵sin=，∴m=±2，又∵α是第三象限角，∴m=﹣2，∴tanα=2．∵===．（2）=+=+=+．33．（2018春•曲阜市校级期中）已知A，B，C的坐标分别为A（0，0），B（﹣1，1），C（cosα，sinα），α∈（0，π）．（Ⅰ）若A，B，C三点共线，求角α的值；（Ⅱ）若D（s，t），且四边形ABCD为平行四边形，求s•t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C的坐标分别为A（0，0），B（﹣1，1），C（cosα，sinα），α∈（0，π），A，B，C三点共线，∴∥，=（﹣1，1），=（cosα，sinα），∴cosα+sinα=0，tanα=﹣1，∴α=．（Ⅱ）∵D（s，t），且四边形ABCD为平行四边形，∴=，而=（cosα﹣s，sinα﹣t），∴cosα﹣s=﹣1，sinα﹣t=1，∴s=cosα+1，t=sinα﹣1，∴st=（cosα+1）•（sinα﹣1）=sinα•cosα+sinα﹣cosα﹣1，令x=sinα﹣cosα=sin（α﹣），∵α∈（0，π），∴α﹣∈（﹣，），∴sin（α﹣）∈（﹣，1]，∴x∈（﹣1，]．∴x2=1﹣2sinα•cosα，即sinα•cosα=，∴st=﹣x2+x﹣=﹣•（x﹣1）2，它是一条开口向下，对称轴为x=1的抛物线，﹣（﹣1﹣1）2＜st≤﹣（1﹣1）2，即﹣2＜s•t≤0，即st的范围为（﹣2，0]．34．（2017春•金城江区校级月考）已知，，．（I）求sin2α的值；（II）求的值．【解答】解：（I），则，又∵，，∴，，∴．所以．（II）由（I）知，又，，所以，所以．35．（2017春•泉山区校级期中）设直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α．（1）求tan2α的值；（2）求的值．【解答】解：（1）直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α，可得tanα=，α是锐角．可得：tan2α==．（2）∵tanα==，α是锐角，又∵sin2α+cos2α=1，∴解得sinα=．cos，∴=+=．36．（2017春•肃南裕县校级期末）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．（1）当x∈（﹣，）时，求f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．【解答】解：（1）f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2﹣1=sin（ωx+φ）﹣cos （ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣）∵函数是奇函数，0＜φ＜π∴φ=，∴f（x）=2sinωx，∵相邻两对称轴间的距离为，∴=π，∴ω=2，∴f（x）=2sin2x，∵x∈（﹣，），∴2x∈（﹣π，），∴f（x）的单调递减区间为（﹣，﹣）；（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，可得函数y=2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）的图象；再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）=2sin（4x﹣）的图象．当x∈[﹣，]时，4x﹣∈[﹣π，]，﹣1≤sin（4x﹣）≤∴函数g（x）的值域为[﹣2，]．37．（2017春•务川县校级期中）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx+1，x∈R．（1）求证f（x）的小正周期和最值；（2）求这个函数的单调递增区间．【解答】解；（1）=cos2x+sin2x+=sin（2x+）+函数的周期T==π∵﹣1≤sin（2x+）≤1∴≤sin（2x+）+≤即≤f（x）≤（2）当﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ⇒x∈[﹣+kπ，+kπ]为函数的单调增区间．38．（2015•安徽模拟）已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，﹣sinx），且f（x）=2•+2．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并求出此时的x的取值；（Ⅱ）函数f（x）图象与y轴的交点、y轴右侧第一个最低点、与x轴的第二个交点分别记为P，Q，R，求•的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2•+2=2sinxcosx，﹣2sinx•sinx+2=sin2x+2•=2sin（2x+）+1，故当2x+=2kπ+，k∈z时，即x=kπ+（k∈z）时，f（x）取得最大值为3．（Ⅱ）由f（0）=2，知P（0，2）．由2x+=2kπ+，得x=kπ+（k∈z），此时f（x）=﹣1，则Q（，﹣1）．而由2x+=2kπ﹣，得x=kπ﹣（k∈z），故R（，0），从而=（﹣，3），=（，1），因此=﹣+3×1=3﹣．39．（2014•湖北校级二模）已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【解答】解：（1）∵当x=π时，f（x）取得最小值∴sin（π+θ）=﹣1即sinθ=1又∵0＜θ＜π，∴（2）由（1）知f（x）=cosx∵，且A为△ABC的内角∴由正弦定理得知或当时，，当时，综上所述，或40．（2016春•船营区校级月考）阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）=2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③令α+β=A，α﹣β=β 有α=，β=代入③得sinA+sinB=2sin cos．（Ⅰ）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA﹣cosB=﹣2sin sin；（Ⅱ）求值：sin220°+cos250°+sin20°cos50°（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）【解答】解（Ⅰ）证明：因为cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣①cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣②…（1分）①﹣②得cos（α+β）﹣cos（α﹣β）=﹣2sinαsinβ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣③…（2分）令α+β=A，α﹣β=B，有α=，β=，代入③得cosA﹣cosB=﹣2sin sin．…（5分）（Ⅱ）sin220°+cos250°+sin20°cos50°=1+（cos100°﹣cos40°）+（sin70°﹣sin30°）…（8分）=1﹣sin70°sin30°+sin70°﹣sin30°=．…（12分）。
三角函数的和差化积与积化和差练习题
三角函数的和差化积与积化和差练习题在学习三角函数的和差化积与积化和差之前，首先我们需要了解一些基本的三角函数的公式。
三角函数包括正弦函数(sin)，余弦函数(cos)，正切函数(tan)，它们在数学中有着重要的应用和意义。
接下来，我们将通过练习题来巩固和加深对三角函数的和差化积与积化和差的理解。
1. 把以下的和差化积公式填入空格：(1) sin(A + B) = ______(2) cos(A - B) = ______(3) tan(A + B) = ______[答案](1) sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB(2) cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB(3) tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)2. 利用和差化积公式化简以下三角函数：(1) sin(45° + 30°) = ______(2) cos(60° - 45°) = ______(3) tan(60° + 45°) = ______[答案](1) sin(45° + 30°) = sin45° * cos30° + cos45° * sin30° = (√2/2) * (√3/2) + (√2/2) * (1/2) = (√6 + √2) / 4(2) cos(60° - 45°) = cos60° * cos45° + sin60° * sin45° = (1/2) * (√2/2) + (√3/2) * (√2/2) = (√2 + √6) / 4(3) tan(60° + 45°) = (tan60° + tan45°) / (1 - tan60° * tan45°) = (√3 + 1) / (1 - √3)3. 将以下三角函数的积化和差，利用积化和差公式化简：(1) sin20° * cos40° = ______(2) cos60° * cos30° = ______(3) tan75° * tan15° = ______[答案](1) sin20° * cos40° = (1/2) * (sin(40° + 20°) + sin(40° - 20°)) = (1/2) * (sin60° + sin20°) = (1/2) * (√3/2 + sin20°)(2) cos60° * cos30° = (1/2) * (cos(60° + 30°) + cos(60° - 30°)) = (1/2) * (cos90° + cos30°) = (1/2) * (0 + √3/2) = √3/4(3) tan75° * tan15° = [(tan(75° - 15°) + tan(75° + 15°)) / (1 - tan75° * tan15°)] = [(tan60° + tan90°) / (1 - tan75° * tan15°)] = (√3 + ∞) / (1 - tan75°* tan15°)通过以上练习题，我们可以加深对三角函数的和差化积与积化和差的理解和掌握。
24.积化和差与和差化积【教师版】(正式版)
积化和差与和差化积 (教师版) (正式版)【课前预习】 一、知识梳理 1.积化和差公式：sin cos αβ=1[sin()sin()]2αβαβ++-，cos sin αβ=1[sin()sin()]2αβαβ+--， cos cos αβ=1[cos()cos()]2αβαβ++-，sin sin αβ=1[cos()cos()]2αβαβ-+--. 2.和差化积sin sin αβ+=2sincos22αβαβ+-，sin sin αβ-=2sincos22αβαβ-+，cos cos αβ+=2coscos22αβαβ+-，cos cos αβ-=2sinsin22αβαβ+--.二、基础练习1.若1tan 4tan αα+=，则sin 2α= .122.已知(,0)2πα∈-，且4cos 5α=，则tan 2α= .247-3.不用计算器，化简7sin sin 2424ππ= .144.不用计算器，化简5sin sin 1212ππ+= .5.设θ为锐角，且4cos cos cos 217ππθ+=，则θ= .1021π 解：410cos cos cos 2sin sin()sin cos7216424221ππππππθ=-=--== 6.函数sin(2)cos23y x x π=-+的最小正周期是 .π7.函数sin()cos 6y x x π=-的最小值是 .34- 解：1sin()cos [sin(2)sin()]6266x x x πππ-=-+-8.已知30,0,cos()225ππαβαβ<<-<<-=，且3tan 4α=，求sin β的值.解：33447sin sin[()]555525βααβ=--=⨯-⨯=-【例题解析】例1.(1)求函数sin()cos()33y x x ππ=-+的最小正周期.(2)求函数sin sin()3y x x π=-+的最大值.解：(1)min T π= (2)max 2cos()sin(),166y x y ππ=+-= 例2.若23παβ+=，(1)求cos cos αβ+的最大值.(2)求22sin sin αβ+的取值范围.解：(1) cos cos 2cos cos()cos()3παβαβαβ+=-=-cos cos αβ⇒+最大值为1 (2)221cos21cos21sin sin 1(cos2cos2)222αβαβαβ--+=+=-+11cos()cos()1cos()2αβαβαβ=-+-=+-又1cos()1αβ-≤-≤，所以22sin sin αβ+的取值范围是13[,]22。
（甘志国）记住积化和差、和差化积公式等于做十道难题!
记住积化和差、和差化积公式等于做十道难题！甘志国(该文已发表 河北理科教学研究，2012(3)：26-28)三角函数中的积化和差、和差化积公式分别是：三角函数中的积化和差、和差化积公式分别是：ïïþïïýü--+=--++=--+=-++=)cos()cos(sin sin 2)cos()cos(cos cos 2)sin()sin(sin cos 2)sin()sin(cos sin 2b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ①ïïïïþïïïïýü-+-=--+=+-+=--+=+2sin 2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin j q j q j q j q j q j q j q j q j q j q j q j q ②在上世纪的高中数学教科书(人教版，下同)它们是以公式的形式给出的，并且运用广泛，高考时也运用较多(并要求熟记这些公式)；但到了上世纪九十年代后期，它们虽然也是教科书上的公式，但在高考时不要求记忆这些公式(在高考试卷的开头总是给出它们)，只要会套用它们就行了；到了新千年，它们在教科书中仅以例题、练习题的形式给出(比如，普通高中课程标准实验教科书《数学4·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下简称《数学4》)第140页的例2及第142页练习的第2,3题)，高考时也可以不用它们来解题(所以高考试卷上也没给出这些公式). 但笔者要说明的是：但笔者要说明的是：(1)记住这两组公式是很容易的——运用整体记忆法：只须按顺序记住其框架——记住这两组公式是很容易的——运用整体记忆法：只须按顺序记住其框架——ïïþïïýü-=-+=-=+=cos#cos@sin sin 2cos#cos@cos cos 2sin#sin@sin cos 2sin#sin@cos sin 2b a b a b a b a其中“@”表示“)(b a +”，“#”表示“)-(b a ”. ïïþïïýü*-=-*=+*=-*=+sin&sin 2cos cos cos&cos 2cos cos sin&cos 2sin sin cos&sin 2sin sin j q j q j q j q 其中“*”表示“2j q +”，“&”表示“2jq -”. (2)证明这两组公式是很容易的：对于①，只须用学生熟知的和差角公式把右边展开；jq j q +jq jq p 3p 333333-333233333p 333pp p p p p p p p ，púùp p p 33332qp p p 333323÷öp p ú22,-1)p图1 p p)pp pp2=cos2p8，22330，问：当522中，由正弦定理，得sin sin OM OP OPM OMP =ÐÐ，所以()sin 45sin 45OP a °=°+. ()sin 45sin 75OP a °=°+12=´()()1sin 454sin 45sin 75OP a a °=´°+°+)602cos(30cos 2)1202cos(30cos 2)45(sin )75(sin 22°-+°=°+-°=°+°+--=a a a a 43．+(2所以所求j 的值为Î+=(2ppj). 评注 若用和差化积公式②的第二个公式可得更简洁的解法：若用和差化积公式②的第二个公式可得更简洁的解法： 函数)s i n ()(j +=是偶函数0)s i n ()s i n (=+-+-Ûj j 恒成立0)s i n (c o s 2=-Ûj 恒成立Î+=Û=Û(20cos pp j j ) 所以所求j 的值为Î+=(2ppj). 例 (莫斯科大学数学力学系入学考试试题2009年第5(I)5(I)题也即口试第一题题也即口试第一题题也即口试第一题))叙述并证明正弦和差化积公式、余弦和差化积公式. 例 (2011年华约自主招生试题第11题)已知D 不是直角三角形. (1)证明：tan +tan +tan =tan tan tan ；(2)若tan +tan3tan -1=tan，且s i n 2,s i n 2,s i n 2的倒数成等差数列，求-o c os s2的值. 解答例10的第(2)问就要用到积化和差、和差化积公式，答案为1或64. 例 (2013年华约自主招生试题第2题)已知51cos cos ,31sinsin =-=+，求)sin(),(cos -+的值. 求例11中)sin(-的值就要用到和差化积公式，本题的答案为1715,225208-. 所以从一定程度上来说：记住积化和差、和差化积公式等于做十道难题！所以从一定程度上来说：记住积化和差、和差化积公式等于做十道难题！。
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积化和差和差化积记忆
口诀及相关练习题
集团文件版本号：（M928-T898-M248-
积化和差
记忆口诀：
积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦
相乘取负号。
和差化积
1．下列等式错误的是( )
A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB
B．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cosAsin
B
C．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cosAcosB
D．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sinAcos
B
2．sin15°sin75°＝( )
记忆口诀：
正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减
余，负正弦。
A.18 B.14 C.12 D．1
3．sin105°＋sin15°等于( )
A.32 B.22 C.62 D.
6
4
4．sin37.5°cos7.5°＝________.
5.sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( )
A.34 B.32 C.12 D.
3
4
6.cos72°－cos36°的值为( )
A．3－23 B.12 C．－12 D．3＋
23
7.在△ABC中，若sinAsinB＝cos2C2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三
角形
8．函数y＝sinx－π6cosx的最大值为( )
A.12 B.14 C．1
D.
2
2
9．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos2α－sin2β等于
( )
A．－23 B．－13 C.13 D.
2
3
10．函数y＝sinx＋π3－sinx(x∈[0，π2])的值域是( )
A．[－2,2] B.－12，32 C.12，1
D.
12，3
2
答案
1解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A、
B、C正确．
2解析：选B.sin15°sin75°＝－12[cos(15°＋75°)－
cos(15°－75°)]
＝－12(cos90°－cos60°)＝－12(0－12)＝14.
3解析：选C.sin105°＋sin15°＝2sin
105°＋15°
2
cos
105°－15°
2
＝2sin60°cos45°＝62.
答案：2＋14＝1222＋12＝2＋14.＝12(sin45°＋sin30°)
4解析：sin37.5°cos7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋
sin(37.5°－7.5°)]
5解析：选A.
sin70°cos20°－sin10°sin50°＝12(sin90°＋sin50°)＋
1
2
(cos60°－cos40°)
＝12＋12sin50°＋14－12cos40°＝34.
6解析：选C.
原式＝－2sin72°＋36°2sin72°－36°2＝－
2sin54°·sin18°＝－2cos36°cos72°
＝－2·sin36°cos36°cos72°sin36°＝－sin72°cos72°sin36°＝－
sin144°2sin36°＝－1
2
，故选C.
7解析：选B.由已知等式得12[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝12(1＋
cosC)，
又A＋B＝π－C.所以cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC.
所以cos(A－B)＝1，又－π
＝B，故△ABC为等腰三角形．故选B.
8解析：选B.y＝sinx－π6cosx＝
1
2
sin?x－π6＋x?＋sin
x－π6－x
＝12sin?2x－π6?－12＝12sin2x－π6－14. ∴ymax＝12－14＝14.
9解析：选C.cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos2α＋cos2β)
＝12[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]
＝cos2α－sin2β，
∴cos2α－sin2β＝13.
10解析：选B.y＝sinx＋π3－sinx＝2cosx＋π6sin
π
6
＝cos(x＋π6)．
∵x∈0，π2，
∴π6≤x＋π6≤2π3，
∴y∈－12，32.