积化和差、和差化积记忆口诀及相关练习题
和差化积公式八个口诀
和差化积公式八个口诀
拿起笔来，写下来！口诀一：积前导平方差，积后导平方和。
口诀二：积前导加减同差，积后导加减异差。
口诀三：和差化积往下推，差和化积往上求。
口诀四：积差式因式分，和差式通分式。
口诀五：平方差公式翻倍用，平方和公式负号记。
口诀六：一加一减同除二，二加一减同除三。
口诀七：二次项系数难求解，配方法不忘记。
口诀八：根式平方看正负，二次项系数看大小。
这八个口诀是和差化积公式的重要方法，记住它们，运用它们，可以更好地应对数学考试。
三角函数和差积公式的记忆口诀
三角函数和差积公式的记忆口诀三角函数和差积公式的记忆口诀一、两角和与差的正余弦公式记忆正弦异名加一起，sin(a+b)=sinacosb+cosasinb余弦同名加减异，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb前面是a后面b二、积化和差与和差化积公式记忆积化和差公式：sinα?cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 前正后余正弦加cosα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 前余后正正弦差cosα?cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 余余得值余弦加sinα?sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 全正变号余弦差和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 正弦加正弦正弦在前面sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 正弦减正弦余弦在前面cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 余弦加余弦全都是余弦cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 余弦减余弦变号改正弦记忆数学知识点的诀窍1归类记忆法就是根据识记材料的性质、特征及其内在联系，进行归纳分类，以便帮助学生记忆大量的知识。
比如，学完计量单位后，可以把学过的所有内容归纳为五类：长度单位;面积单位;体积和容积单位;重量单位;时间单位。
这样归类，能够把纷纭复杂的事物系统化、条理化，易于记忆。
2歌诀记忆法就是把要记忆的数学知识编成歌谣、口诀或顺口溜，从而便于记忆。
比如，量角的方法，就可编出这样几句歌诀：“量角器放角上，中心对准顶点，零线对着一边，另一边看度数。
”再如，小数点位置移动引起数的大小变化，“小数点请你跟我走，走路先要找准‘左’和‘右’;横撇带口是个you，扩大向you走走走;横撇加个zuo，缩小向zuo走走走;十倍走一步百倍两步走，数位不够找‘0’拉拉钩。
积化和差以及和差化积最简记忆口诀
三、总结公式 “ sin 和差前后积， cos 和差 cos 负 sin ” 1）首先关注 sin sin 即“ sin 和差”，口诀一“ sin 和差前后积”的形象记忆其实是
sin 和 差
|| 前后积
我们认为“sin”是比较“主要的”，所谓的“前后”就是，sin 和 cos 相乘时，sin 在前 还是在后，如下
|| cos -sin 其中关于 cos+cos 其公式中，函数名全是 cos
cos cos =2 cos
cos
2
2
cos 和 — cos
而关于 cos-cos 其公式中，变换后函数名全是 sin 加多一个负号
cos cos = 2 sin sin
sin
cos
2
2
为 前积
对应 sin 和
cos
sin
2
2
为 后积
对应 sin 差
由口诀“ sin 和差前后积”迅速写出：
sin + sin = sin cos sin 和 — 前积
sin sin = cos sin
2
2
cos 差 — 负 sin
由口诀“ cos 和差 cos 负 sin ”迅速写出：
cos cos = cos cos
cos 和 — cos
cos cos = sin sin
cos 差 — 负 sin
再填入内容可得：
cos cos =2 cos cos
cos
积化和差公式记忆方法
积化和差公式记忆方法
1. 理解积化和差公式的用途：积化和差公式是一种用于将乘法运算转化为加法运算的公式，可以帮助简化复杂的乘法运算。
2. 掌握积化和差公式的基本形式：(a+b)(a-b) = a² - b²。
这是最常用的积化和差公式，可用于将一个完全平方差分解为两个完全平方之差。
3. 理解公式中的符号含义：a和b分别代表两个数，可以是变量，也可以是实数。
4. 利用几何解释记忆公式：将(a+b)和(a-b)分别看作一个正方形的边长，那么
(a+b)(a-b)即代表这两个正方形的面积之差。
5. 使用数字示例演练积化和差公式：选择一组数字，代入公式中进行演算，观察运算结果。
6. 找到公式中的模式：观察多个例子的运算结果，寻找规律和模式，这有助于记忆和理解公式。
7. 利用联想进行记忆：将积化和差公式与其他公式或概念进行联想，例如与平方差公式、勾股定理等关联起来，可以帮助记忆。
8. 创造自己的记忆方法：根据个人的学习习惯和喜好创造记忆方法，例如制作记忆卡片、编写小押韵等。
9. 多做练习题：通过大量的练习题，加深对积化和差公式的记忆和理解。
10. 讨论和解答问题：与他人讨论并解答关于积化和差公式的问题，可以加深对公式的理解和记忆。
三角函数(和差化积、积化和差)公式
记忆口诀（正弦余弦）正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦生动的口诀：帅+帅=帅哥帅-帅=哥帅咕+咕=咕咕哥-哥=负嫂嫂证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设 α+β=θ，α-β=φ那么2φθα+= ，2φθβ-= 把α，β的值代入，即得Sin θ+ sin φ=2sin ⋅+2φθcos 2φθ- 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：()βαβαs i n s i n 221s i n s i n ∙-∙-=∙ ()()[]2sin sin cos cos sin sin cos cos βαβαβαβα+---= ()()[]βαβα--+-=cos cos 21 结果除以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin 和cos 的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β)=1/2[(cos α·cos β+sin α·sin β)-(cos α·cos β-sin α·sin β)] =2sin α·sin β故最后需要除以2。
积化和差公式八个口诀
积化和差公式八个口诀
积化和差公式的口诀：
1. 正弦加正弦，正加正；余弦加余弦，余加余；符号看象限，同号异名一加一。
2. 正弦加余弦，正减余；余弦加正弦，余减正；符号看象限，同名相减一减一。
3. 正弦的平方与余弦的平方和，正加余；正弦的平方与正弦的乘积，一乘一。
4. 余弦的平方与正弦的乘积，一乘一；余弦的平方与余弦的乘积，正加正。
5. 余弦与半角的正弦之差，余减正；半角的余弦与余弦的乘积，正减正。
6. 半角的正弦与余弦之差，正减余；半角的正弦与正弦的乘积，一乘一。
7. 余弦与半角余弦之和，余加余；余弦与半角正弦之差，余减正。
8. 正弦、余弦、正切和余切的和与差，互为倒数。
以上信息仅供参考，如果您还有疑问，建议咨询专业人士。
高三C专题(和差化积与积化和差公式2星)
专题：和差化积与积化和差公式 ★★教学目标掌握积化和差与和差化积公式的基本运用，利用公式进行简单的三角式的变形 【方法基础、运用简单，注重公式的直接应用】知识梳理5 min.【理解公式推导的关键是会用和角与差角的三角比公式，因为积化和差公式都是从它们推导得到的.课前在知识梳理前进行检查.】 1. 积化和差公式1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--2. 和差化积公式sin sin 2sincos.22αβαβαβ+-+=sin sin 2cos sin .22αβαβαβ+--=cos cos 2cos cos .22αβαβαβ+-+=cos cos 2sin sin .22αβαβαβ+--=-口诀一：伞加伞，伞在前；伞减伞，鱼在前；鱼加鱼，两条鱼；鱼减鱼，负两把伞.口诀二：帅加帅 = 帅哥；帅减帅 = 哥帅；姑加姑 = 姑姑；哥减哥 = 负嫂嫂.【上述公式有必要的情况下，可以在课堂上进行推导，详细过程请查看课本.】典例精讲32 min.例1． （★★）函数()sin sin 32f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是_________，最小值是_________. 解：()sin sin sin cos 323f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由积化和差公式，得 113sin cos sin(2)sin sin(2)3233234x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤+=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 因此()f x 的最小正周期是π，最小值是3142-. 【本题方法不唯一，也可以利用和角公式展开三角比后，利用半角公式及辅助角公式合并，求得结果.】 例2． （★★）求证：333sin3sin cos3cos cos 2θθθθθ+=.()()22=sin sin 3sin cos cos3cos θθθθθθ+证明：左边()()()()()2222222311sin cos 2cos 4cos cos 4cos 22211cos 2sin cos cos 4cos sin 22111cos 2cos 4cos 2cos 21cos 42221cos 22cos 2cos 22θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ=-+⋅+=++⋅-=+=+=⋅==右边所以，原等式成立.例3． （★★）求证：()()22cos cos =sin sin αβαβαβ--+-. 证明：（方法一）22cos cos αβ-()()=cos cos cos -cos αβαβ+--=2cos cos -2sin sin 2222αβαβαβαβ++⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭-2sin cos 2sin cos 2222αβαβαβαβ++-⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()sin sin αβαβ=-+-所以，原等式成立.（方法二）由2cos 2=2cos 1αα-，得2cos 21cos =2αα+.代入原式的左边，得22cos cos αβ-cos 21cos 2122αβ++=-cos 2cos 22αβ-=()()sin sin .αβαβ=-+- 课堂检测1. （★★）函数sin()cos 6y x x π=-的最小值等于_____________.解：34-2. （★★）函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 . 解：()sin()cos()cos cos()266f x x x x x πππ=+-=-由积化和差公式，得 113cos cos()cos cos(2)cos(2)6266264x x x x ππππ⎡⎤-=++=++⎢⎥⎣⎦因此()f x 的最大值是1324+. 3. （★★）求证下列式子：()()22cos cos =cos sin αβαβαβ+--；证明：()()()()cos cos =cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+--+ ()()()2222222222222222222222coscos sin sin cos 1sin 1cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin αβαβαβαβααββαβααββαβαβ=-=---=---=--+=--4. （★★）求证：sin sin tan cot sin sin 22αβαβαβαβ++-=⋅-证明：sin sin sin sin αβαβ+-2sincos222cos sin22αβαβαβαβ+-=+-sincos22cos sin 22αβαβαβαβ+-=+-g tan cot 22αβαβ+-=g 回顾总结：3 min.默写积化和差公式与和差化积公式.（详见知识梳理）。
积化和差公式口诀
积化和差公式口诀积化和差公式，是数学中的基本公式之一，用于计算两个数的积、和、差，是学习数学的必备技能之一。
本文将为读者介绍积化和差公式的口诀，帮助大家更好地掌握这一知识点。
一、积化和差公式的定义积化和差公式是指：对于任意两个实数 a 和 b，有如下公式： a×b = (a+b)×(a-b)+a2-b2其中 a2 和 b2 分别表示 a 和 b 的平方。
二、积化和差公式的口诀为了帮助大家更好地记忆积化和差公式，我们可以使用下面的口诀：一正一负积化和差，平方相减最后加。
这个口诀的意思是：当两个数一正一负时，可以将它们的积化成它们的和与差的平方相减，最后再加上它们的平方。
三、积化和差公式的应用积化和差公式在数学中应用广泛，主要用于解决以下问题：1. 计算两个数的积当我们需要计算两个数的积时，可以直接使用积化和差公式。
例如，计算 3×4 的积，可以使用公式：3×4 = (3+4)×(3-4)+32-42 = -12. 计算两个数的和当我们需要计算两个数的和时，可以使用积化和差公式的反向思维。
例如，计算 3+4 的和，可以使用公式：3+4 = (3×4+32-42)÷(3-4) = -13. 计算两个数的差当我们需要计算两个数的差时，可以同样使用积化和差公式的反向思维。
例如，计算 3-4 的差，可以使用公式：3-4 = (3×4+32-42)÷(3+4) = -1/7四、积化和差公式的练习为了更好地掌握积化和差公式，我们可以进行一些练习。
下面是一些练习题：1. 计算 2×(-3) 的积。
答案：2×(-3) = (2-3)×(2+3)+22-32 = -62. 计算 5+(-7) 的和。
答案：5+(-7) = (5×(-7)+52-(-72))÷(5-(-7)) = -1/63. 计算 8-(-6) 的差。
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1．下列等式错误的是( )
A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin A cos B
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B．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos A sin B C．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cos A cos B D．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin A cos B
2．sin15°sin75°＝( )
A.1
8
B.
1
4
C.
1
2
D．1
3．sin105°＋sin15°等于( )
A.
3
2
B.
2
2
C.
6
2
D.
6
4
4．sin37.5°cos7.5°＝________.
5.sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( )
A.3
4
B.
3
2
C.
1
2
D.
3
4
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6.cos72°－cos36°的值为( )
A ．3－2 3 B.12 C ．－1
2 D ．3＋23
7.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2
C
2
，则△ABC 是( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．不等边三角形
D ．直角三角形
8．函数y ＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫x －π6cos x 的最大值为( )
A.12
B.14 C ．1 D.2
2
9．若cos(α＋β)cos(α－β)＝1
3，则cos 2α－sin 2β等于( )
A ．－23
B ．－13 C.13 D.23
10．函数y ＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋π3－sin x (x ∈[0，π2])的值域是( )
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A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，32
答案
1解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、B 、C 正确．
2解析：选B.sin15°sin75°＝－1
2[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)]
＝－12(cos90°－cos60°)＝－12(0－12)＝14.
3解析：选C.sin105°＋sin15°＝2sin 105°＋15°2cos 105°－15°2
＝2sin60°cos45°＝
6
2
. 答案：2＋14＝12⎝⎛⎭⎫22＋12＝2＋14.＝1
2
(sin45°＋sin30°)
4解析：sin37.5°cos7.5°＝1
2[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
5解析：选A.
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sin70°cos20°－sin10°sin50°＝12(sin90°＋sin50°)＋1
2(cos60°－cos40°)
＝12＋12sin50°＋14－12cos40°＝3
4.
6解析：选C.
原式＝－2sin 72°＋36°2sin 72°－36°2
＝－2sin54°·sin18°＝－2cos36°cos72°
＝－2·sin36°cos36°cos72°sin36°＝－sin72°cos72°sin36°＝－sin144°2sin36°＝－1
2
，故选C.
7解析：选B.由已知等式得12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝1
2(1＋cos C )，
又A ＋B ＝π－C .所以cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C .
所以cos(A －B )＝1，又－π<A －B <π，所以A －B ＝0，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．故
选B.
8解析：选B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6cos x ＝1
2⎣⎡⎦⎤sin x －π6＋x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π6－x
＝12⎣⎡⎦⎤sin 2x －π6－12＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－14. ∴y max ＝12－14＝1
4.
9解析：选C.cos(α＋β)cos(α－β)＝1
2
(cos2α＋cos2β)
＝12
[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2
β)]
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＝cos 2α－sin 2
β， ∴cos 2α－sin 2
β＝13.
10解析：选B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6sin π
6
＝cos(x ＋
π6
)． ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2，
∴
π6≤x ＋π6≤2π3
， ∴y ∈⎣⎡⎦
⎤－12，32.
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