积化和差、和差化积记忆口诀及相关练习题
和差化积公式八个口诀
和差化积公式八个口诀
拿起笔来，写下来！口诀一：积前导平方差，积后导平方和。
口诀二：积前导加减同差，积后导加减异差。
口诀三：和差化积往下推，差和化积往上求。
口诀四：积差式因式分，和差式通分式。
口诀五：平方差公式翻倍用，平方和公式负号记。
口诀六：一加一减同除二，二加一减同除三。
口诀七：二次项系数难求解，配方法不忘记。
口诀八：根式平方看正负，二次项系数看大小。
这八个口诀是和差化积公式的重要方法，记住它们，运用它们，可以更好地应对数学考试。
三角函数和差积公式的记忆口诀
三角函数和差积公式的记忆口诀三角函数和差积公式的记忆口诀一、两角和与差的正余弦公式记忆正弦异名加一起，sin(a+b)=sinacosb+cosasinb余弦同名加减异，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb前面是a后面b二、积化和差与和差化积公式记忆积化和差公式：sinα?cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 前正后余正弦加cosα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 前余后正正弦差cosα?cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 余余得值余弦加sinα?sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 全正变号余弦差和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 正弦加正弦正弦在前面sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 正弦减正弦余弦在前面cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 余弦加余弦全都是余弦cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 余弦减余弦变号改正弦记忆数学知识点的诀窍1归类记忆法就是根据识记材料的性质、特征及其内在联系，进行归纳分类，以便帮助学生记忆大量的知识。
比如，学完计量单位后，可以把学过的所有内容归纳为五类：长度单位;面积单位;体积和容积单位;重量单位;时间单位。
这样归类，能够把纷纭复杂的事物系统化、条理化，易于记忆。
2歌诀记忆法就是把要记忆的数学知识编成歌谣、口诀或顺口溜，从而便于记忆。
比如，量角的方法，就可编出这样几句歌诀：“量角器放角上，中心对准顶点，零线对着一边，另一边看度数。
”再如，小数点位置移动引起数的大小变化，“小数点请你跟我走，走路先要找准‘左’和‘右’;横撇带口是个you，扩大向you走走走;横撇加个zuo，缩小向zuo走走走;十倍走一步百倍两步走，数位不够找‘0’拉拉钩。
积化和差以及和差化积最简记忆口诀
三、总结公式 “ sin 和差前后积， cos 和差 cos 负 sin ” 1）首先关注 sin sin 即“ sin 和差”，口诀一“ sin 和差前后积”的形象记忆其实是
sin 和 差
|| 前后积
我们认为“sin”是比较“主要的”，所谓的“前后”就是，sin 和 cos 相乘时，sin 在前 还是在后，如下
|| cos -sin 其中关于 cos+cos 其公式中，函数名全是 cos
cos cos =2 cos
cos
2
2
cos 和 — cos
而关于 cos-cos 其公式中，变换后函数名全是 sin 加多一个负号
cos cos = 2 sin sin
sin
cos
2
2
为 前积
对应 sin 和
cos
sin
2
2
为 后积
对应 sin 差
由口诀“ sin 和差前后积”迅速写出：
sin + sin = sin cos sin 和 — 前积
sin sin = cos sin
2
2
cos 差 — 负 sin
由口诀“ cos 和差 cos 负 sin ”迅速写出：
cos cos = cos cos
cos 和 — cos
cos cos = sin sin
cos 差 — 负 sin
再填入内容可得：
cos cos =2 cos cos
cos
积化和差公式八个口诀
积化和差公式八个口诀
积化和差公式的口诀：
1. 正弦加正弦，正加正；余弦加余弦，余加余；符号看象限，同号异名一加一。
2. 正弦加余弦，正减余；余弦加正弦，余减正；符号看象限，同名相减一减一。
3. 正弦的平方与余弦的平方和，正加余；正弦的平方与正弦的乘积，一乘一。
4. 余弦的平方与正弦的乘积，一乘一；余弦的平方与余弦的乘积，正加正。
5. 余弦与半角的正弦之差，余减正；半角的余弦与余弦的乘积，正减正。
6. 半角的正弦与余弦之差，正减余；半角的正弦与正弦的乘积，一乘一。
7. 余弦与半角余弦之和，余加余；余弦与半角正弦之差，余减正。
8. 正弦、余弦、正切和余切的和与差，互为倒数。
以上信息仅供参考，如果您还有疑问，建议咨询专业人士。
积化和差公式口诀
积化和差公式口诀积化和差公式，是数学中的基本公式之一，用于计算两个数的积、和、差，是学习数学的必备技能之一。
本文将为读者介绍积化和差公式的口诀，帮助大家更好地掌握这一知识点。
一、积化和差公式的定义积化和差公式是指：对于任意两个实数 a 和 b，有如下公式： a×b = (a+b)×(a-b)+a2-b2其中 a2 和 b2 分别表示 a 和 b 的平方。
二、积化和差公式的口诀为了帮助大家更好地记忆积化和差公式，我们可以使用下面的口诀：一正一负积化和差，平方相减最后加。
这个口诀的意思是：当两个数一正一负时，可以将它们的积化成它们的和与差的平方相减，最后再加上它们的平方。
三、积化和差公式的应用积化和差公式在数学中应用广泛，主要用于解决以下问题：1. 计算两个数的积当我们需要计算两个数的积时，可以直接使用积化和差公式。
例如，计算 3×4 的积，可以使用公式：3×4 = (3+4)×(3-4)+32-42 = -12. 计算两个数的和当我们需要计算两个数的和时，可以使用积化和差公式的反向思维。
例如，计算 3+4 的和，可以使用公式：3+4 = (3×4+32-42)÷(3-4) = -13. 计算两个数的差当我们需要计算两个数的差时，可以同样使用积化和差公式的反向思维。
例如，计算 3-4 的差，可以使用公式：3-4 = (3×4+32-42)÷(3+4) = -1/7四、积化和差公式的练习为了更好地掌握积化和差公式，我们可以进行一些练习。
下面是一些练习题：1. 计算 2×(-3) 的积。
答案：2×(-3) = (2-3)×(2+3)+22-32 = -62. 计算 5+(-7) 的和。
答案：5+(-7) = (5×(-7)+52-(-72))÷(5-(-7)) = -1/63. 计算 8-(-6) 的差。
积化和差记忆顺口溜
积化和差记忆顺口溜积化和差是我们在数学中常见的四则运算。
当我们学习数学的时候，经常要进行加法、减法、乘法和除法的计算。
为了帮助我们更好地记住这些运算规则，有一个有趣的顺口溜叫积化和差，可以帮助我们快速记忆四则运算的规则。
积化和差，快乐背诵，记住规则不费心。
加法求和进一步，减法求差顺着走。
乘法求积势如虹，除法求商别犹豫。
积和差，数学好帮手，不论大小都能应付。
首先来看加法，加法是求两个数的和。
积化和差顺着走，说明在加法中，我们将两个数按照顺序求和，不论从哪个数开始都可以，结果都是一样的。
举个例子，2加3等于5，或者3加2等于5，结果都是一样的。
所以，积化和差告诉我们，在加法中两个数的顺序可以任意变换。
接下来是减法，减法是求两个数的差。
积化和差顺着走，说明在减法中，我们求得的差距是按照我们计算的顺序来定的。
同样举个例子，6减2等于4，或者2减6等于-4，结果的差距也是按照计算的顺序来决定的。
所以，积化和差告诉我们，在减法中两个数的顺序会影响最终的结果。
然后是乘法，乘法是求两个数的积。
乘法求积势如虹，说明在乘法中，两个数相乘的结果是不会随着顺序的变化而改变的。
例如，2乘以3等于6，或者3乘以2也等于6，结果是一样的。
所以，积化和差提醒我们，在乘法中两个数的顺序不会影响最后的结果。
最后是除法，除法是求两个数的商。
除法求商别犹豫，说明在除法中，被除数和除数的顺序是有要求的。
例如，6除以2等于3，但是2除以6则等于1/3，结果是不同的。
所以，积化和差告诉我们，在除法中被除数和除数的顺序决定了最终的结果。
综上所述，积化和差记忆顺口溜是帮助我们记忆四则运算规则的一种简单方法。
通过这个顺口溜，我们可以快速记住加法求和、减法求差、乘法求积和除法求商的规则。
而且，积化和差还提醒我们加法和乘法的顺序不影响结果，减法和除法的顺序则会影响到最终的答案。
通过不断地背诵和运用，我们能够更好地掌握四则运算，提高自己的数学能力。
让我们一起来背记这个积化和差的顺口溜，让数学变得更简单有趣吧！。
和差化积和积化和差公式记忆口诀
和差化积和积化和差公式记忆口诀《有趣的和差化积公式记忆口诀》小朋友们，今天我要给你们讲讲一个超级有趣的数学知识——和差化积公式记忆口诀！你们知道吗，数学就像一个大大的魔法世界，里面有很多神奇的公式和口诀。
和差化积公式就是其中一个很厉害的魔法咒语哦！这个口诀是“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦”。
听起来是不是有点像绕口令呀？比如说，当我们要计算sinα + sinβ 的时候，就可以用这个口诀。
我们先看看α和β哪个大，如果α大，那就是“正加正，正在前”，结果就是 2s in[(α + β)/2]cos[(α β)/2]。
是不是觉得有点难理解？没关系，多做几道题，多想想这个口诀，你就会发现它真的很好用！数学的世界充满了惊喜和乐趣，让我们一起探索吧！《我学会了和差化积公式记忆口诀》亲爱的小伙伴们，我最近学会了一个超棒的数学技巧，那就是和差化积公式记忆口诀！老师教我们的时候，我一开始还有点迷糊呢。
但是后来，我发现只要记住这个口诀，做题就变得容易多啦！口诀是这样的：“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦”。
我给你们举个例子吧。
比如说计算sin70° + sin50°，按照口诀“正加正，正在前”，就能很快算出结果啦。
学会这个口诀后，我做数学作业的速度都变快了，而且还觉得很有意思。
小伙伴们，你们也快来试试吧！《神奇的和差化积公式记忆口诀》小朋友们，今天我要给你们介绍一个神奇的东西——和差化积公式记忆口诀！在数学的海洋里，有很多难题等着我们去解决，而这个口诀就像是一把神奇的钥匙，可以打开很多难题的大门。
这个口诀是“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦”。
比如说，有一道题让我们求sin80° sin20°，这时候口诀就派上用场啦，“正减正，余在前”，很快就能得出答案。
有了这个口诀，数学变得不再那么难，反而变得有趣起来了。
（甘志国）记住积化和差、和差化积公式等于做十道难题!
记住积化和差、和差化积公式等于做十道难题！甘志国(该文已发表 河北理科教学研究，2012(3)：26-28)三角函数中的积化和差、和差化积公式分别是：三角函数中的积化和差、和差化积公式分别是：ïïþïïýü--+=--++=--+=-++=)cos()cos(sin sin 2)cos()cos(cos cos 2)sin()sin(sin cos 2)sin()sin(cos sin 2b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ①ïïïïþïïïïýü-+-=--+=+-+=--+=+2sin 2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin j q j q j q j q j q j q j q j q j q j q j q j q ②在上世纪的高中数学教科书(人教版，下同)它们是以公式的形式给出的，并且运用广泛，高考时也运用较多(并要求熟记这些公式)；但到了上世纪九十年代后期，它们虽然也是教科书上的公式，但在高考时不要求记忆这些公式(在高考试卷的开头总是给出它们)，只要会套用它们就行了；到了新千年，它们在教科书中仅以例题、练习题的形式给出(比如，普通高中课程标准实验教科书《数学4·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下简称《数学4》)第140页的例2及第142页练习的第2,3题)，高考时也可以不用它们来解题(所以高考试卷上也没给出这些公式). 但笔者要说明的是：但笔者要说明的是：(1)记住这两组公式是很容易的——运用整体记忆法：只须按顺序记住其框架——记住这两组公式是很容易的——运用整体记忆法：只须按顺序记住其框架——ïïþïïýü-=-+=-=+=cos#cos@sin sin 2cos#cos@cos cos 2sin#sin@sin cos 2sin#sin@cos sin 2b a b a b a b a其中“@”表示“)(b a +”，“#”表示“)-(b a ”. ïïþïïýü*-=-*=+*=-*=+sin&sin 2cos cos cos&cos 2cos cos sin&cos 2sin sin cos&sin 2sin sin j q j q j q j q 其中“*”表示“2j q +”，“&”表示“2jq -”. (2)证明这两组公式是很容易的：对于①，只须用学生熟知的和差角公式把右边展开；jq j q +jq jq p 3p 333333-333233333p 333pp p p p p p p p ，púùp p p 33332qp p p 333323÷öp p ú22,-1)p图1 p p)pp pp2=cos2p8，22330，问：当522中，由正弦定理，得sin sin OM OP OPM OMP =ÐÐ，所以()sin 45sin 45OP a °=°+. ()sin 45sin 75OP a °=°+12=´()()1sin 454sin 45sin 75OP a a °=´°+°+)602cos(30cos 2)1202cos(30cos 2)45(sin )75(sin 22°-+°=°+-°=°+°+--=a a a a 43．+(2所以所求j 的值为Î+=(2ppj). 评注 若用和差化积公式②的第二个公式可得更简洁的解法：若用和差化积公式②的第二个公式可得更简洁的解法： 函数)s i n ()(j +=是偶函数0)s i n ()s i n (=+-+-Ûj j 恒成立0)s i n (c o s 2=-Ûj 恒成立Î+=Û=Û(20cos pp j j ) 所以所求j 的值为Î+=(2ppj). 例 (莫斯科大学数学力学系入学考试试题2009年第5(I)5(I)题也即口试第一题题也即口试第一题题也即口试第一题))叙述并证明正弦和差化积公式、余弦和差化积公式. 例 (2011年华约自主招生试题第11题)已知D 不是直角三角形. (1)证明：tan +tan +tan =tan tan tan ；(2)若tan +tan3tan -1=tan，且s i n 2,s i n 2,s i n 2的倒数成等差数列，求-o c os s2的值. 解答例10的第(2)问就要用到积化和差、和差化积公式，答案为1或64. 例 (2013年华约自主招生试题第2题)已知51cos cos ,31sinsin =-=+，求)sin(),(cos -+的值. 求例11中)sin(-的值就要用到和差化积公式，本题的答案为1715,225208-. 所以从一定程度上来说：记住积化和差、和差化积公式等于做十道难题！所以从一定程度上来说：记住积化和差、和差化积公式等于做十道难题！。
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积化和差、和差化积记忆口诀及相关练习题
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积化和差
记忆口诀：
积化和差得和差,余弦在后要相加；异名函数取正弦,正弦相乘取负号。
和差化积
１
.下列等式错误的是( )
A ．s ｉn （A ＋Ｂ)＋sin （A -
B )=2sin Ａcos Ｂ
Ｂ.si ｎ(Ａ＋B ）－s ｉｎ(A -Ｂ)=２ｃos Ａs ｉn Ｂ
记忆口诀：
正加正,正在前；正减正,余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦。
C．cos(A＋Ｂ)＋cos（A－B)=２cos A cos B
D．cｏｓ（Ａ＋B）－cｏs(A-Ｂ)＝２sin A cｏs B
2．sin１5°sin75°＝（ )
A.＼f（1,8）
B. Ｃ. D．1
3．siｎ105°+ｓin15°等于( )
A. B. Ｃ.
Ｄ.＼ｆ(6,4)
4.sin37.５°cｏｓ7.5°＝＿__＿___＿.
5.sin70°coｓ20°－sin10°sｉn50°的值为( ）
A.＼f(３,4)
B.错误!
C.错误!
D.错误!
６．cｏs72°-ｃoｓ36°的值为( )
A．3－2错误!Ｂ.错误! C.- D．3+2错误!
7.在△ABC中，若ｓin A sin B=ｃｏｓ2＼f（Ｃ，２)，则△ABＣ是( ）A．等边三角形 B.等腰三角形 C．不等边三角形Ｄ.直角三角形
8．函数y＝sin错误!cos x的最大值为( ）
Ａ. Ｂ. Ｃ.1 Ｄ．错误!
9．若ｃos(α＋β）cos(α－β)＝，则cｏs2α－ｓin2β等于( )
A.－
B.- C． D.错误!
10．函数y＝sin错误!-sin x(x∈[0，错误!])的值域是（) A.[－2,2] Ｂ.错误! C.错误!
D．错误!
答案
1解析:选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知Ａ、Ｂ、C正确.
2解析:选B.siｎ15°sｉｎ75°＝－错误![cｏs（１5°＋7５°）－cos(15°-75°)]
=－1
2
(cos90°－ｃｏs６０°)＝－(0-)=
１
4
.
3解析:选Ｃ.ｓiｎ１0５°＋siｎ1５°=2sin错误!cｏｓ
=２sin6０°ｃos45°＝错误!．
答案:=错误!=.＝（sｉｎ45°+sｉn30°)
4解析:ｓｉn３７．5°coｓ7．5°＝[siｎ(３７．５°+7.5°)+sin(３7.5°-7.５°)]
5解析：选Ａ.
sin７0°cｏｓ2０°-ｓｉn10°sin5０°=＼ｆ(１,2)（sin90°+siｎ50°)＋（cos60°-cos
４０°)
＝
１2+sin50°＋－12
cos40°=＼ｆ(3,4).
6解析：选Ｃ. 原式＝－２ｓin ＼ｆ(72°＋36°,2)ｓin
错误!=-2ｓin54°·si ｎ18°=－２co ｓ
36°cos72° ＝－２·=－＼ｆ(ｓｉn7２°ｃos72°,s ｉn3６°）＝-＼f （sin1４４°，2ｓin36°)＝－
错误!,故选Ｃ.
７解析：选B ．由已知等式得[co ｓ（A －B )-c ｏs(A +B )]=＼f(1，2)(１＋cos C ）， 又Ａ＋B ＝π－C ．所以cos(A －B )-cos(π－C )=１＋ｃｏｓＣ.
所以co ｓ（A －Ｂ)＝１，又-π＜A －B <π，所以A -B ＝0，所以A =Ｂ，故△ABC 为等腰三角形.故选Ｂ.
８解析:选B.y =sincos x =12错误!
＝
错误!＝ｓin-错误!． ∴y m ａx ＝错误!-错误!＝
错误!．
9解析:选C ．c ｏs(α+β）ｃos(α-β)=
错误!(c ｏs ２α+cos2β)
＝［(2coｓ2α-1）+(1－2sin2β)]
＝cos2α－sin2β，
∴coｓ2α-sin２β＝.
１0解析：选B．y＝sin错误!－sｉｎx＝２cｏssin错误!
＝cos(x+)．
∵ｘ∈，
∴≤x+≤，
∴y∈错误!．。