电场强度计算
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电场强度的计算
描述电场的物理量——电场强度
A
F
q
q F E
=
++++
++
q 0
B
F A B
电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所受的电场力。电场强度的计算
（1）点电荷的电场
（3）连续分布电荷的电场
（2）场强叠加原理和点电荷系的电场场点
源点
（1)点电荷的电场
q
r
30e r r r r q q F
==
,041
πε=E 0q F r
r q 3
041πε=F
E
+
E r
E
r
r
q i q 0
q 对的作用q i
q 2q
q 1
（2)电场强度叠加原理和点电荷系的场强n F F F F +++=21i
F
0q F E =0
21q F F F n +++=
n
E E E
+++=21∑=i
E E 1
F 2
F i
F ∑==n i i
F 1
电场强度叠加原理场点
点电荷系的电场
q 1
+
q 2
-i
i i i r q r E
3
041πε=
∑=i
E E 2
r 2
E E 1
E 1
r
电荷面分密度
电荷体密度
电荷线分布密度
d S
d V
l
d (3) 连续带电体的电场：体分布、面分布、线分布
V ΔΔ=→Δq lim
0τρl
q lim 0l ΔΔ=→ΔηS
q lim 0S ΔΔ=→Δσ电荷面分布
电荷体分布
电荷线分布d S
d V
d q
P
.l q d d η=所以, 电荷元：q d S q d d σ=dV
d ρ=q r
E
3
0d 41d r q πε=
计算时将上式在坐标系中进行分解，再对坐标分量积分。
r
E
d l
d •体电荷分布的带电体的电场
r r dV E V
∫∫∫=3
04περ•面电荷分布的带电体的电场r
r dS E S
∫∫
=
3
04πεσ•线电荷分布的带电体的电场r
r dl
E l
∫=
3
04πε
η计算时将上式在坐标系中进行分解，再
对坐标分量积分，即先分后和：
,
∫=x x dE E ,
∫=y y dE E ∫=Z
Z dE E 解题思路及步骤：
1、根据题意建立坐标系
;
2、确定电荷密度:4、根据库仑定律确定电荷元的电场强度dE ：
6、积分求场强分量：3、求电荷元电量dq;
7、求总场的大小和方向
2
2
2Z
y x E E E E ++=x
y x i dE E i i ,,,==∫关键是得到电荷元的微分形式，即dq
r E
3
0d 41d r q πε=5、确定dE 在坐标系中分量形式：x
y x i ,,,=i dE 注意使用对称性
解：
例1. 求电偶极子中垂面上的电场。
r
]
)([222
l r q ++−=E E 041
πε=
=E +E 2θ
cos ]
)([22
2
412
l r
q
+=πε
2
122
2
2/])([l r l +×
2
/3220)4/(41
l r ql
+=
πεP
+q
+q
−2
/l 2
/l θ
θ
−
E +
E E
若r l
>>用矢量形式表示为：
2
/3224/l r )(+−
=P E
041πε3
r P E
041πε−
=r
P
+q
+q
−2
/l 2
/l θ
θ
−
E +E
E l
P
q =+
P l
电偶极矩（电矩）
例2.求一均匀带电直线在P 点的电场解：建立直角坐标系取线元d x
带电
x q d d λ=20d 41d r x
E λπε=
θ
λπεcos d 41d 2
0r x E x =θ
λπεsin d 41d 2
0r x
E y =x
r
E x d cos 412
0θλ
πε∫
=x
r E y d sin 412
0θλ
πε∫=将投影到坐标轴上
E
d x
d x
y
θ
P
E
d θ
a
r
x
积分变量代换
θ
θcsc sin /a a r ==θ
ctg a x ×−=θ
θθθd a a x 2csc /==2
sin d d 代入积分表达式
θθθ
θ
πελ
θθ
d 22
20
2
1
4csc csc cos a a ∫=x
r E x d cos 412
0θλ
πε∫
=x
d x
y θP
E
d θ
2
θ
1
θa
r
x
x r
E x d cos 412
0θλ
πε∫
=θθθθπελθθd csc csc cos 42
22021a a E x ∫=∫=2
1d cos 40θθθθπελa
)sin (sin 4120θθπελ
−=
a
同理可算出
)cos (cos 4210θθπελ
−=
a
E y x
d x
y
θ
P E
d θ
2
θ1
θa
r
x
均匀带电直线的总场强：
)cos (cos 4210θθπελ
−=
a
E y )sin (sin 4120θθπελ
−=a
E x ))
cos((2102
212
1
2θθπελ−−=
+=a E E E y x 当直线长度
记住：无限长均匀带电直线的场强
{0=x E a
a E y 00224πελ
πελ=×=
a
E E y 02πελ
=
=∞
→L 01→θπ
θ
→2
极限情况，例3 半径为R 的均匀带电圆环总电量为q ，求轴线上任一点x 处的电场。（课堂练习）
x
R
p
由对称性
2
0d 41
d r q E
πε=
==z y E E 解：