大学物理习题及解答(运动学、动量及能量)

1-1.质点在Oxy 平面内运动，其运动方程为j t i t r )219(22-+=。求：（1）质点的轨迹方程；（2）s .t 01=时的速度及切向和法向加速度。 1-2.一质点具有恒定加速度j i a 46+=，在0=t 时，其速度为零，位置矢量i r 100=。求：（1）在任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点在oxy 平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。

1-3. 一质点在半径为m .r 100=的圆周上运动，其角位置为342t +=θ。（1）求在s .t 02=时质点的法向加速度和切向加速度。（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，θ值为多少？（3）t 为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？

题3解： (1)由于342t +=θ，则角速度212t dt d ==θω，在t = 2 s 时，法向加速度和切向

加速度的数值分别为 222s 2t n s m 1030.2-=⋅⨯==ωr a

2

2s t t s m 80.4d d -=⋅==t r a ω

(2)当2t 2n t 212a a a a +==时，有2n 2t 3a a

=，即 22212)24(3)r t (tr = s 29.0s 321

==t

此时刻的角位置为 rad

.t 153423=+=θ (3)要使t n a a =，则有

2212)24()t (r tr =

s .t 550=

3-1如图所示，在水平地面上，

有一横截面2m 20.0=S 的直角弯管，管中有流速为1s m 0.3-⋅=v 的水通过，求弯管所受力的大小和方向。

解：在t ∆时间内，从管一端流入（或流出）水的质量为t vS m ∆=∆ρ,弯曲部分AB 的水的动量的增量则为

()()A B A B v v t vS v v m p -∆=-∆=∆ρ

依据动量定理p I ∆=，得到管壁对这部分水的平均冲力

()A B v v I F -=∆=Sv t ρ

从而可得水流对管壁作用力的大小为

N 105.2232⨯-=-=-='Sv F F ρ

作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧。

3-2一物体在介质中按规律3ct x =作直

线运动，c 为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由00=x 运动到l x =时，阻力所作的功。（已知阻力系数为k ）

解：由运动学方程3ct x =，可得物体的

速度

2

3d d ct t x v ==

按题意及上述关系，物体所受阻力的大小为

3/43/242299x kc t kc kv F ===

则阻力的功为

3/73/203/43/2007

27d 9d 180cos d l kc x x kc x F W l l l -=-==⋅=⎰⎰⎰ x F

3-3一质量为kg 20.0的球，系在长为m 00.2的细绳上，细绳的另一端系在天花板上。把小球移至使细绳与竖直方向成 30角的位置，然后由静止放开。求：（1）在绳索从 30角到 0角的过程中，重力和张力所作的功；（2）物体在最低位置时的动能和速率；（3）在最低位

置时的张力。

解：（1）如图所示，重力对小球所作

的功只与始末位置有关，即

()J 53.0cos 1=-=∆=θmgl h P W P

在小球摆动过程中，张力F T 的方

向总是与运动方向垂直，所以张力

的功

0d T T =⋅=⎰s F W

（2）根据动能定理，小球摆动过

程中，其动能的增量是由于重力对它作功的结果。初始时动能为零，因而，在最低位置时的动能为

J 53.0P

k ==W E

小球在最低位置时的速率为 1

P k s m 30.222-⋅===m W m E v

（3）当小球在最低位置时，由牛顿定律可得 l mv P F 2

T =- N 49.22

T =+=l mv mg F

3-4一质量为m 的质点，系在细绳的一

端，绳的另一端固定在平面上。此质点在粗糙水平面上作半径为r 的圆周运动。设质点的最初速率是0v 。当它运动一周时，其速率为2/0v 。求：（1）摩擦力作的功；（2）滑动摩擦因数；（3）在静止以前质点运动了多少圈？

解：（1）摩擦力作功为

20202k0k 832121mv mv mv E E W -=-=-= （1）

（2）由于摩擦力是一恒力，且

mg F f μ=，故有

mg r F W μπ2180cos fs -== （2）

由式（1）、（2）可得动摩擦因数为

rg v πμ16320=

（3）由于一周中损失的动能为2083mv ，则在

静止前可运行的圈数为

圈34k0==W E n

3-5如图所示，质量为m 、

速度为v 的钢球，射向质量为

m '的靶，靶中心有一小孔，内

有劲度系数为k 的弹簧，此靶

最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动，求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。

解：以小球与靶组成系统，设弹簧的最大压缩量为x 0，小球与靶共同运动的速率为v 1。由动量守恒定律，有

()1

v m m mv '+= （1）

又由机械能守恒定律，有 ()20212212121kx v m m mv ++'= （2）

由式（1）、（2）可得 ()v m m k m m x '+'=0

3-6以质量为m 的弹丸，穿过如图所示的摆锤后，速率由v 减少到2/v 。已知摆锤的质量为m '，摆线长度为l ，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸