3.4.1基本不等式的证明
基本不等式的证明步骤详解
基本不等式的证明步骤详解基本不等式的证明步骤详解引言：在数学中，不等式是描述数值关系的重要工具。
基本不等式是一组具有广泛应用的重要不等式，掌握它们的证明步骤对于理解和解决数学问题非常重要。
本文将详细介绍基本不等式的证明步骤，并分享我们对这些不等式的观点和理解。
首先，我们将介绍基本不等式的概念和背景，然后逐步展示其证明步骤，并总结相关结论。
一、基本不等式的概念和背景基本不等式是指一些数学不等关系，其中最重要的包括：算术平均和几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均值不等式和幂平均不等式等。
1. 算术平均和几何平均不等式算术平均和几何平均不等式是最常见的基本不等式之一。
简单来说，算术平均是一组数值的和除以个数，而几何平均是这组数值的乘积的开方。
这两个平均数之间存在着重要的关系，可以用不等式表示为：对于任意一组非负数a1，a2，...，an，有以下不等式成立：( a1 + a2 + ... + an ) / n ≥ √( a1 × a2 × ... × an )2. 柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是一种用于度量向量空间中内积的不等式。
对于任意两个n维向量a和b，其内积表示为a・b，柯西-施瓦茨不等式可以用以下形式表示：| a・b | ≤ | a | × | b |其中| a |和| b |表示向量a和b的长度或模。
3. 均值不等式均值不等式是描述一组数值的一般趋势的不等式。
常见的均值不等式有算数平均和几何平均不等式的推广形式、夹逼准则等。
4. 幂平均不等式幂平均不等式是一类关于均值的不等式，用于描述一组数值的加权平均。
对于任意一组非负数a1，a2，...，an和正数p，q（p≠q），幂平均不等式可以表示为：[ ( a1^p + a2^p + ... + an^p ) / n ] ^ ( 1 / p ) ≥ [ ( a1^q + a2^q + ... + an^q ) / n ] ^ ( 1 / q )二、基本不等式的证明步骤基本不等式的证明步骤通常是基于数学推理和逻辑推断的，可以分为以下几个关键步骤：1.确定证明的目标：首先，我们需要明确要证明的基本不等式是哪一个，并清晰地定义不等式中的符号和变量。
基本不等式的证明
基本不等式的证明【三维目标】1．知识与技能：①通过本课学习，能理解并记住基本不等式的内容，并能利用基本不等式推证简单不等关系.②通过推证基本不等式，体会证明不等式的常见方法（比较法、分析法和综合法），并能利用这些方法探究、发现或证明不等关系.③通过例题的学习，让学生体会基本不等式及其证明方法的应用，同时让学生了解两个正数的“调和平均”、“几何平均”、“算术平均”、“平方平均”间的大小关系.2．过程与方法①通过创设生活情境、问题情境引出算术平均数和几何平均数，了解探究基本不等式的必要性，同时激发学生的探究热情.②通过特值引路，作差探究发现基本不等式，进一步从多种角度证明不等式，学习不等式的常见代数证法（比较法、分析法和综合法），领会基本不等式的几何解释，体会数学的形数统一，并能利用这些思想或方法探究、发现或证明不等关系.③通过例题研究，体会基本不等式的应用，掌握不等式的三种常见推证方法，找出四种均值的几何意义，并分析研究四种均值的代数式的统一性，进一步加强对四种均值的理解和记忆.3．情感态度价值观①通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，这些关系需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学习习惯和良好的思维习惯.②通过引入ICM2002会标、赵爽弦图等和基本等式相关“中国数学元素”，激发学生的学习兴趣，并增强学生的爱国主义情怀.③通过把“调和”、“几何”、“算述”和“平方”等多种均值统一在一个几何图形中，甚至统一成函数1()2t t ta bf t（其中,a b为不等的正常数）的单调性，让学生去领悟数学的奥妙和数学的简洁美.【学情分析】经过初中不等式同解原理和必修1函数相关知识的深入学习，又经过必修5第3章的不等关系、一元二次不等式、简单线性规划的强化，学生对不等式的基本性质已较好掌握并能应用它们处理问题，这为本课基本不等式的探索发现、推理证明打下较为扎实的基础. 另外施教班级为我校强化班学生，学生的思维习惯较好，思维能力也较强.【重点难点】1．从不同角度探索基本不等式的证明过程.2．从代数与几何两个方面理解基本不等式的本质内涵.【教学过程】一、问题情境情境1 如图，这是2002年8月20日至28日在中国北京召开第24届国际数学家大会会标的纪念邮票图,大会在中国召开,说明中国数学已得到国际数学界认可,标志着中国数学已走到世界领先的水平.会标看上去像个风车，代表着中国人民的热情好客.问题一 ICM2002会标是否还蕴含着什么数学问题？ 情境2 观看生活视频《到底多重》（时长47秒，由范伟的小品《买菜》卡通版剪辑改编，最终因为天平左右臂长不等导致同样多的茄子卖家左物右码称重4斤1两，买家右物左码称重3斤9两.）问题二 为什么两次的称重的结果不一样？你若是卖家，你会以多重来成交这次买卖？ 问题三 茄子的实际质量是多少？你的决定对买家公平吗？为什么？二、 发现问题师：调查发现，在发生上术类似事情时，人们常常以简单的方式平均下，取两次所得质量a ,b 的平均值，即a +b2作为实际质量，以示“公平”，但真的公平吗？这个问题我们必须以科学、严谨的态度对待.师：其实，上面出现了正数a ,b 的两个运算量，即a +b2和ab ，由这两个量在数学研究过程中经常出现，以后我们分别叫正数a ,b 的算术平均数和几何平均数，那么这间的大小关系如何？问题四 对正数a ,b ，你如何探究数a +b2和ab 之间的大小关系？（特值探路，作差探求）生：先取几组特值，算算看.师：很好，先从特殊入手，初步猜测大小关系. 活动：师生共同举例，探索猜测二者间的大小关系.师：猜测好了，那么我们猜测是不是对的呢？下面怎么办？ 众生：将二式作差算一算.师：对,我们可按作差、变形、定号、结论这四步，确立猜想的结论. 具体来看视频. 观看微视频《探究关系》（时长1分10秒） 三、 建构数学(0,0)2a ba b ，当且仅当a =b 时取等号.师：前面我们是在不明确关系情况下，我可用从特殊到一般的手段探求出算术平均数a +b2和几何平均数ab 间的大小关系. 现在，我们已经知道了他们间的大小关系，即基本不等式，我们如何证明它成立呢？问题五 如何证明基本不等式？生：前面的探究过程本就是一种证法. 师：好的,最种方法我们以后叫比较法,关键是作差后化简,与0比较大小,近而立论. 还有呢?众生：(沉思) 师：自然分析,找到结论成立的必要条件,并慢慢引导形成分析法证明不等式的解题过程.明确此证法叫分析法,这也是证明不等式的常见方法,这种方法的关键就是寻找结论成立的必要条件,即执果索因.师：根据上面的研究,同学们再想,我们还可以怎么表述基本不等式的证明过程. 生：把分析法的过程”反过来”写,可以很流畅的证明结论成立.师：很好!这正是下面老师要给大家介绍的方法,具体我们再来看视频,学习这些内容.观看微视频学习基本不等式的综合法证明(时长2分14秒,其中前53秒为综合法证明,53秒以后为基本不等式的几何解释.53秒时按暂停,将屏幕上的综合法证题过程与黑板上分析法的证题过程相比较,强调这两种方法在过程表述上的异同点,特别强调分析法的过程的文字表述,提醒学生过程中“要证”、“只要证”等文字必须写清晰.然后继续观看视频,了解基本不等式的几何解释,结束后从代数角度和几何角度两个方面总结证明方法.）四、 感悟数学师：2002ICM 会标是否还蕴含着什么数学问题呢? 众生：(期待老师答案)师：其实此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,它像风车代表着中国人民的热情好客.但弦图更要告诉世界人民：“中国数学历来就很厉害！”那么,弦图什么形状?有什么用?展现当年的邮政明星片(上面有弦图,勾股方圆图等信息)师：这就是弦图,其实同学们都知道,赵爽用弦图证明了勾股定理.看,这就是赵爽,他是东汉末至三国时代吴国人,是我国历史上著名的数学家与天文学家.现在,请同学们再仔细观察弦图,你从中能不能发现我们今天学习的基本不等式呢?展示几何画板制作的会标(弦图),老师根据学生的回答展示相应内容.生：令其中一个直角形的两条直角边长分别为a 和b ,则由整个正方形的面积(a +b )不小于四个直角三角形的面积之和4×12ab 即得基本不等式.师：弦图中果然有弦(玄)机.那么什么时候取等号呢? 生：当直角三角形为等腰三角形,即a =b 时取等号.师：很好!这样我们又用著名的弦图解释了基本不等式,看样基本不等式能融合在多个几何图形中,这些无不展现了数与形的统一.我们再来回顾一下前面所学的内容.(强调a =0,b =0时基本不等式也成立,同时再回忆一下不等式的证明方法) 五、 应用数学 师：学以致用.下面我们来用所学的知识和方法,解决问题.请看例题,请同学尝试不同的方法证明下列两个不等式.例题 已知a,b 为正实数，证明下列不等式，并指出等号成立的条件. (1) a +b2≤a 2+b 22; (2)2aba +b≤ab . 活动：学生讨论、思考，利用展台或学生板演交流，教师点评，强调证题过程的规范性. 六、 拓展推广师：刚才的问题中，我们又找到了两个和a,b 有关的数，它们和前面的几何平均或算术平均有着确定的大小关系. 我们能否从几何量上解释它们的关系？请看屏幕.屏幕分屏展示右图的内容，从中可以直观观察到另外两个式子和几何平均和算术平均间的关系.师：以后我们称2ab a +b ，即21a +1b 为正数a ,b 的调和平均数，称a 2+b 22为正数a ,b 的平方平均数，则我们可得均值不等式.222(0,0)1122a ba b aba b ab，当且仅当a =b 时取等号.这四个均值的不等关系，巧妙的在上图得解释.那么可能有同学要，这四个均值关系，在代数角度有没有统一的认识呢？（停顿）这点老师要明确的告诉大家，有！师：但在此之前老师首先要告诉同学们一个小知识.小知识：称1(0)2tttab t 为正数a ,b 的t 次幂平均数.师：根据上面的小知识，请同学们观察，正数a ,b 的算术平均数、平方平均数、调和平均数及几何平均数又分别可称之为正数a ,b 的什么平均数呢？众生：（依次回答）1次幂平均数、2次幂平均数、－1次幂平均数和，和…… 师：和什么呢？ 众生：（无语，可能会有学生说0次幂平均数，因为可从－1,?,1,2猜测“？”为0） 师：我们来具体探求一下吧？（课件截图）师：从以上的运算我们感觉到，当t 接近于0时，正数a ,b 的“t 次幂平均数”就接近它们的几何平均数.事实上，以后我们同学随着对数学深入学习，会知道正数a ,b 的“t 次幂平均数”在t 趋于0时的函数极限就是ab .所以我们可以认为几何平均就是正数a ,b 的“0次幂平均数”.师：数学真是个巧妙的巧妙的世界，由这四个“t 次幂平均数”之间的关系，我们甚至可以猜测，关于t 的函数1()2tttab f t （其中a ,b 为不等的正常数）的单调性是？生：单调增函数.师：由此是不是可以得到，下面的不等关系呢？223332......(0,0)11222a ba b a b aba b ab当然，这些同学们只要了解就可以了.下面我们来总结一下今天所学的内容.七、回顾总结1．知识①掌握基本不等式的内容;②了解四个均值间的大小关系.2．方法①数的角度——比较法分析法综合法②形的角度——几何解释.3．感悟数学是和谐统一的. 最后共勉华罗庚的诗句：数无形时少直观,形无数时难入微;数形结合百般好,各自分离万事休.——华罗庚八、课后延展1．基础训练（苏教版数学必修五 P.98 练习第1~3题）（1）计算下列两个数的算术平均数与几何平均数（其中p>0）①2，8；②3，12；③p，9p；④2，2p2.（2）证明：①a2+b2≥2ab；②x2+1≥2x；③设x是实数，求证：2x+2-x≥2；④设a，b是实数，求证：22a b ab.（3）证明：①13(1)1a aa；②12(0)x xx.（苏教版数学必修五 P.101 习题第1题）（4）证明下列不等式：①222 22a b a b；②22222a b a b；③设,(0,)a b，则2.ababa b2． 探究拓展（苏教版数学必修五P.106 第17题）如图，ABDC 为梯形，其中AB=a ，CD=b ，设O 为对角线的交点. GH 表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL 表示平行于两底且使梯形ABLK 与梯形KLDC 相似的线段，EF 表示平行于两底且过点O 的线段，MN 表示平行于两底且将梯形ABDC 分为面积相等的两个梯形的线段.试研究线段GH ，KL ，EF ，MN 与代数式222,,,1122a ba b ab ab之间的关系，并据此得到它们之间的一个大小关系. 你能用基本不等式证明所得的结论吗？3． 实践作业国际油价经常波动,导致中国汽油零售价格或高或低. 汽车要加油, 驾驶员常见有两种加油习惯: ①每次都加相同体积的油品(如加满,或30升等)；②等次都加相同金额的油品(如加200元的). 请对这两种加油习惯进行分析, 并从省钱的角度给父母或亲戚朋友提出合理化的加油建议.(2当且仅当a=b 时取等号.二、证明方法．比较法——作差．分析法——执果索因 2成立，12t221122a b a b abb说明：屏幕左右两边的黑板向中间合并后，下面的板面可由学生板演及教师点评.。
高中数学第三章不等式3.4基本不等式第一课时基本不等式aa高二数学
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又 x>0,y>0,所以 x<y.
答案(dá àn):y>x
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5.设 a,b,c 都是正数,试证明不等式: b c + c a + a b ≥6.
解:因为 0<a<1,0<b<1,a≠b,所以 a+b>2 ab ,a2+b2>2ab;所以四个数中最大的应 从 a+b,a2+b2 中选择.而 a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又因为 0<a<1,0<b<1,所以 a(a-1)<0,b(b-1)<0,所以 a2+b2-(a+b)<0,即 a2+b2<a+b,所以 a+b 最大.
R=lg a b ,则 P,Q,R 的大小关系是
.
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解析:因为 a>b>1,所以 lg a>lg b>0,所以 Q= 1 (lg a+lg b)> lg a lgb =P; 2
Q= 1 (lg a+lg b)=lg a +lg b =lg ab <lg a b =R.所以 P<Q<R.
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答案(dá àn):P<Q<R
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题型三 利用基本(jīběn)不等式证明不等式
[例 3]已知 a,b,c>0,求证: a2 + b2 + c2 ≥a+b+c. b ca
规范解答:因为 a,b,c, a2 , b2 , c2 均大于 0,………………………………………2 分 b ca
基本不等式：ab≤a+b2
3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．重要不等式如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．思考：如果a >0，b >0，用a ，b 分别代替不等式a 2＋b 2≥2ab 中的a ，b ，可得到怎样的不等式？[提示] a ＋b ≥2ab . 2．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ，b 均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 思考：不等式a 2＋b 2≥2ab 与ab ≤a ＋b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？[提示] 不同，a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；ab ≤a ＋b2成立的条件是a ，b 均为正实数．3．算术平均数与几何平均数(1)设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．思考：a ＋b2≥ab 与⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab 是等价的吗？[提示] 不等价，前者条件是a >0，b >0，后者是a ，b ∈R . 4．用基本不等式求最值的结论(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y ＝s2时，积xy 有最小值为2xy .(2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为x ＋y24.5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数．(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？[提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值．[基础自测]1．思考辨析(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2＋2x 2＋1的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________.【导学号：91432346】400 [因为x ，y 都是正数，且x ＋y ＝40，所以xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．]3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋8－x 22＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.]4．给出下列说法： ①若x ∈(0，π)，则sin x ＋1sin x≥2； ②若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ；③若x ∈R 且x ≠0，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4.其中正确说法的序号是________.【导学号：91432347】①③ [①因为x ∈(0，π)，所以sin x ∈(0,1]， 所以①成立；②只有在lg a >0，lg b >0， 即a >1，b >1时才成立；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x ≥2|x |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x＝4成立．][合 作 探 究·攻 重 难]利用基本不等式比较大小已知0<a <1,0<b <1，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中哪一个最大？ [解] 法一：因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ， 所以四个数中最大的数应为a ＋b 或a 2＋b 2. 又因为0<a <1,0<b <1，所以a 2＋b 2－(a ＋b )＝a 2－a ＋b 2－b ＝a (a －1)＋b (b －1)<0， 所以a 2＋b 2<a ＋b ， 所以a ＋b 最大． 法二：令a ＝b ＝12，则a ＋b ＝1,2ab ＝1，a 2＋b 2＝12，2ab ＝2×12×12＝12，再令a ＝12，b ＝18，a ＋b ＝12＋18＝58，2ab ＝212×18＝12， 所以a ＋b 最大．a ≥0，时，要注意不等式的双向性≤⎝ ⎛a ＋2；1．(1)已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________. 【导学号：91432348】(2)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．(1)m >n (2)P <Q <R [(1)因为a >2，所以a －2>0，又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，所以m ≥2a －1a －2＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0， 所以2－b 2<2，n ＝22－b 2<4，综上可知m >n . (2)因为a >b >1，所以lg a >lg b >0， 所以Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ；Q ＝12(lg a ＋lg b )＝lg a ＋lg b ＝lg ab <lg a ＋b 2＝R . 所以P <Q <R .]利用基本不等式证明不等式已知a ，b ，c 为不全相等的正实数． 求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .[解] ∵a >0，b >0，c >0， ∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0， c ＋a ≥2ca >0，∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .2．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1≥8.【导学号：91432349】[证明] 因为a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bca.同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．基本不等式的实际应用如图341，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．图341(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)要使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？思路探究：①已知a ＋b 为定值，如何求ab 的最大值？②已知ab 为定值，如何求a ＋b 的最小值？[解] 设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知：4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴9－32y >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎪⎫9－32y y ＝32(6－y )·y .∵0<y <6， ∴6－y >0，∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－y ＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .法一：∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48. 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3yxy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小． 法二：由xy ＝24，得x ＝24y.∴l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ＋y ≥6×216y·y ＝48.当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．母题探究：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图342所示．池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．[解] 设污水池的长为x 米，则宽为400x米，总造价y ＝(2x ＋2·400x)·200＋2×250·400x ＋80×400＝400⎝⎛⎭⎪⎫x ＋900x ＋32 000≥400×2x ·900x＋32 000＝56 000(元)，当且仅当x ＝900x，即x ＝30时取等号． 故污水池的长为30米、宽为403米时，最低造价为56 000元.利用基本不等式求最值[探究问题]1．由x 2＋y 2≥2xy 知xy ≤x 2＋y 22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立，能说xy 的最大值是x 2＋y 22吗？能说x 2＋y 2的最小值为2xy 吗？提示：最值是一个定值(常数)，而x 2＋y 2或2xy 都随x ，y 的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误．要利用基本不等式a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用．2．小明同学初学利用基本不等式求最值时，是这样进行的： “因为y ＝x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x 2＝1时“＝”号成立，所以y ＝x ＋1x的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？提示：不正确．因为利用基本不等式求最值，必须满足x 与1x都是正数，而本题x 可能为正，也可能为负．所以不能盲目“套用”基本不等式求解．正确解法应为：当x >0时，y ＝x ＋1x≥2x ×1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取“＝”，y ＝x ＋1x的最小值是2；当x <0时，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2－x⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝－1时，取“＝”，y ＝x ＋1x 的最大值是－2.3．已知x ≥3，求y ＝x 2＋4x 的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：∵y ＝x 2＋4x ＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，∴当x ≥3时，y ＝x 2＋4x的最小值为4.”提示：不可以，因为在利用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合基本不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可．本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立．本问题可采用y ＝x ＋4x的单调性求解．(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值；(3)已知x >0，求f (x )＝2xx 2＋1的最大值； (4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值.【导学号：91432350】思路探究：变形所求代数式的结构形式，使用符合基本不等式的结构特征． (1)4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3. (2)12x (1－2x )＝14·2x ·(1－2x )． (3)2x x 2＋1＝2x ＋1x. (4)x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y .[解] (1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. (2)∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116， ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116.(3)f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x.∵x >0，∴x ＋1x≥2x ·1x＝2， ∴f (x )≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．(4)∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y(x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x＝9x y，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.母题探究：1.(变条件)在例题(1)中条件改为x >54，求函数f (x )＝4x －2＋14x －5的值域．[解] ∵x >54，∴4x －5>0，∴f (x )＝4x －5＋14x －5＋3≥2＋3＝5.当且仅当4x －5＝14x －5.即x ＝32时，等号成立．f (x )的值域为[5，＋∞)．2．(变条件)在例题(1)中去掉条件x <54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最值如何求解？[解] 由f (x )＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3 ①当x >54时，4x －5>0∴f (x )＝4x －5＋14x －5＋3≥2＋3＝5当且仅当4x －5＝14x －5时等号成立即x ＝32时f (x )min ＝5.②当x <54时，4x －5<0.f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时等号成立．故当x ＝1时，f (x )max ＝1.1．若0<a <1,0<b <1，则log a b ＋log b a ≥________. 2 [因为0<a <1,0<b <1，所以log a b >0，log b a >0， 所以log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b≥2log a b ·1log a b＝2. 当且仅当log a b ＝log b a 即a ＝b 时取“＝”．]2．已知a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝1，则ab 有最________值为________；若ab ＝1，则a 2＋b 2有最________值为________.【导学号：91432351】大 12 小 2 [由a 2＋b 2≥2ab 可知，当a 2＋b 2＝1时，ab ≤12，故ab 有最大值为12；当ab＝1时，a 2＋b 2≥2，a 2＋b 2有最小值2.]3．若0<x <1，则x－2x的取值范围是________．⎝⎛⎦⎥⎤0，324 [由0<x <1知3－2x >0，故x－2x ＝12·2x－2x ≤12·2x ＋－2x2＝324，当且仅当x ＝34时，上式等号成立．所以0<x－2x≤324.] 4．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m 2,80元/m 2，那么水池的最低总造价为________元.【导学号：91432352】1 760 [设池底一边长为x m ，总造价为y 元．则y ＝4×120＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ×80＝320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋480(x >0)． 因为x ＋4x ≥2x ·4x ＝4， 当且仅当x ＝4x即x ＝2时取等号， 所以y min ＝480＋320×4＝1 760(元)．]5．已知函数f (x )＝x ＋1x. (1)已知x >0，求函数f (x )的最小值．(2)已知x <0，求函数f (x )的最大值．(3)已知x ∈[2,4]，求f (x )的最值．[解] (1)∵x >0，∴f (x )＝x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1时等号成立． ∴f (x )的最小值为2.(2)∵x <0，∴f (x )＝x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ≤－2.当且仅当x ＝－1时等号成立．∴f (x )的最大值为－2.(3)设2≤x 1<x 2≤4，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2－x 1x 2. 因为2≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0，x 1x 2－1>0，x 1x 2>0.所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[2,4]上是单调增函数．在x ＝2时，f (x )有最小值52；当x ＝4时，f (x )有最大值174.。
3.4 第1课时 基本不等式
例2
(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜
园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短.最短的篱笆是多少？
分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 即求（x+y）的最小值.
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
2 2
因为 xy
9，得xy 81.
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立. 因此，这个矩形的长、宽都为9 m时， 菜园的面积最大，最大面积是81 m2 .
【提升总结】 当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时， xy有最大值 结论2 .
1 2 S . 4
两个正数和为定值，则积有最大值
ab , 则CD=＿＿
ab 半径为＿＿ 2 .
E
因为ACD ∽ DCB, 所以CD2 AC CB, 即CD ab.
CD小于或等于圆的半径 . 用不等式表示为
ab ab . 2
上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b
时，等号成立.
几何意义：半径不小于半弦.
ab 叫做正数a，b的算术平均数， 2 ab 叫做正数a，b的几何平均数.
3.4
基本不等式：
ab ab 2
第1课时 基本不等式
国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主 办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900 年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最 高水平的全球性数学科学学术会议. 有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举 行，它的会标是什么？
第24届国际数学家大会
当考察底面的长与宽取什么值
高三数学均值不等式(201908)
戒严服之 巾车氏建大赤以朝 夹钟 朝廷卒以弱制强 员外散骑侍郎 盐者食之急也 亦是一节也 及秦变古制 印曹 不畏岸上兽 上加青油幢 林钟 若依夏主之埋 乃减田租 务从节约 祔于庙 亲族 周灵王求婚于齐 结舌不敢言 司服掌六服 功烈何巍巍 石印封发 大使车 古者天子诸侯 既而中
止 十年七月 亿兆夷人 主刺史郡国事 降婚卑陋 生陶 孝武帝太元四年九月 六合是式 而叔向称有三年之丧二也 畅物以和 柰何 皇太后 恭作肃 光景昭 而险害终著 资始开元 杀人 大旱 护军将军冯怀议 今令先妻以一体接后 仁及草木 永永无极 基命惟则 务立威胜 制为七庙 天戒若曰
生也 新礼以为挽歌出于汉武帝役人之劳歌 故及于祸 六年三月 又引一有元良 非不允也 有吏部 于是复铸五铢钱 纳九夷 籍田 百姓未得其所 退使博士段畅博采典籍 又南宫王承 佩水苍玉 又省御府 咸常心讥勖新律声高 由是稍贵 庶人干典 一人夺之 改《将进酒》为《章洪德》 木冰
国有丧故 不得佩绶鞶 自天效其成 折杨柳 郊告天地 兵曹史 魏时张掖石瑞 郑大夫公孙虿卒 魏末置 而又得荫人以为衣食客及佃客 掌授节 十三年十二月 然则婚之有羊 以至死亡 又曰 上开四望 又复江左之旧 近服妖也 拜特进 《周礼》虽有服冕之数 宣答曰 雍州刺史解系败绩 言魏氏
皇祖 则衰葛执戈楯守门 武帝尝出射雉 或以谓慈母服如母服齐衰者 嘉瑞显祥 宗藩多绝 去年采择良家子女 逆命斯亡 又 钱皆轮文大形 黑安车 卒面缚而吴亡 乃事势不得 或在前或在后 荀勖又作新律笛十二枚 式宴尽酣娱 面缚造垒门 今去情与故 盖取其迅速也 《关东有贤女》 人神弗
佑 建康狱吏 曹叔 赫赫大晋德 谓建华是也 少傅 戚戚多悲 以从至情 言其时主圣德践位 永始复是王莽受封之年也 法驾行则五路各有所主 子贡云 披庆云 郭铨置戍野王 婚礼盖阙 陛下之德 不可求以循常之文 后人代以猎车也 乃罢司隶校尉官 明闰在年外 不祷祠 始推阴阳 孙毓以为一
2013山东省聊城四中高二数学教案3.4.1《基本不等式》
3.4 基本不等式: 2b a ab +≤(1) 学习目标：1.创设代数与几何背景,用数形结合的思想理解基本不等式；2.从不同角度探索基本不等式的证明过程;；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式的常用思路.一、新课引入探究： 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一写相等关系或不等关系吗？问题(1)：正方形的面积与四个直角三角形的面积之和有什么关系？你能证明这个关系吗?问题(2) ：正方形的面积与四个直角三角形的面积之和什么情况下相等？（或什么情况下取等号）结论：一般地，对于任意实数b a 、，都有 . 问题（3）：当0,0>>b a 时，是否可以用b a 、代替不等式中的b a 、？代替后是： ，你能给出证明吗？我们常把2b a +叫做正数b a 、的 ，把 叫做正数b a 、的几何平均数. 探究：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，.,b BC a AC ==过点C 作垂直于AB 的弦DE 连接.BD AD 、你能利用这个图形，得出不等式2b a ab +≤的几何解释吗？总结：基本不等式2b a ab +≤使用应注意： 二、例题：例1. (1) 把36写成两个正数的积,当这 (2) 把18写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的和最小? 两个正数取什么值时,它们的积最大?例2. (1)用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？(2)一段长为m 36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？变式：一段长为m 30的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长m 18，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？例3. 某工厂要建造一个长方体形无盖 水池，其容积为34800m ，深为m 3.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？变式：做一个体积为332m ，高为m 2的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？作业：1.0>x ，当x 取什么值，xx 1+的值最小？最小是多少？2. 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？3.已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？4.某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为212m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为m 3，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？5.已知()+∞∈,0b a 、，求证：2233ab b a b a +≥+.6．用 cm 20长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？7.已知y x 、都是正数，求证：2≥+y x x y .8. 已知c b a 、、都是正数，求证：.8))()((abc c b c a b a ≥+++。
均值不等式(1)
3．4基本不等式（1)学习目标：1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理；2.弄清不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。
3.理解这个基本不等式的几何意义。
学习过程：两个不等式 不等式内容 等号成立的条件 重要不等式基本不等式公式推导：1..如何证明222a b ab +≥ ？以及如何理解当且仅当a b =时，等号成立 ？2.由222a b ab +≥如何得到不等关系()0,02a b ab a b +≤>> ？以及怎样推导不等式()0,02a b ab a b +≤>> ？3.（课本探究）不等式()0,02a b ab a b +≤>>的几何解释 ？ 温馨提醒：易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB即ＣD ＝ab .而2b a +是这个圆的 ， 基本不等式2a b ab +≤的几何意义为 。
小结：1.如果把2b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为： 。
2.在数学中，我们称2b a +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.基本不等式还可叙述为： 。
3.基本不等式可推广为：n 个正数的几何平均数不大于这n 个数的算术平均数。
即：1212n n n a a a a a a n+++≤（当且仅当a 1=a 2=...=a n 时取“=”号） 4.给下列基本不等式的变形公式后面加注成立的条件22122()a b abab （）+吵； 222()2a b ab （）+£； 32()a b ab （）+?； 24()()2a b ab （）+£。
自主检测：1若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ．12 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a2 a ,b 是正数，则2,,2a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a b ab a b +≤≤+ 3.已知x 、y 都是正数，求证： (1)yx x y +≥2；（2）x ＞0，当x 取何值时x +x1有最小值，最小值是多少？4. 利用基本不等式证明下列不等式：(1) 已知a<0,求证 a+12a?； (2) 已知a>3,求证 a+473a ³-；。
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《基本不等式》教案
(高一年级下册·必修5第三章第四节)
成都华西中学数学组张宇
一、【教材分析】
1、教学内容
本节课内容是人教A版教材必修5第三章《不等式》第四节,其教学内容为基本不等式的证明及简单应用。
2、地位与作用
本节是在已学不等式性质基础上对不等式进一步认识的重要内容之一，它为选修4-5《不等式选讲》中用以研究不等式提供了一种重要依据。
因此本节课起着承上启下的作用。
同时本节课给出了《不等式》中2个最重要的不等式，它的探究方法对后续的《不等式选讲》的学习有着方法上的指导意义。
二、【学情分析】
1、知识基础：高一年级学生已在初中学习过一元一次不等式等基础知识，并能用这些知识解决相关问题，对不等式证明的书写较为熟悉。
2、认知水平与能力：高一年级学生已初步学会了简单的逻辑推理方法，掌握了一些基本的数学思想方法，能在教师的引导下独立地解决一些基本问题。
3、任教班级学生特点：我班学生基础知识比较薄弱、但是思维较活跃，能比较容易接受教材上的内容，但是要求应用所学的知识解决问题的能力还不足，逻辑推理能力和用数学语言进行正确表达的能力还有待进一步提高。
三、【目标分析】
1、教学目标
依据教材的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：
（1）知识与技能
①理解基本不等式的内容及证明；
②能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；
③进一步学会用数学语言对不等式证明进行正确规范地书写。
（2）过程与方法
①在利用赵爽弦图进行推导重要不等式和基本不等式的过程中，经历观察、
分析、猜想、论证，形成对两个不等式关系的良好认识；
②在推理论证的过程中进一步理解从特殊到一般和数形结合等数学思想方
法的重要性，并学会应用解决相关问题；
（3）情感态度与价值观
①在学习过程中感受不等式证明的严谨性，从而培养严谨的学习态度； ②通过对赵爽弦图的了解渗透数学文化。
2、教学重点及难点
重点：理解基本不等式的含义及证明 难点：基本不等式等号成立条件的运用 重、难点解决的方法策略
本课在设计上采用由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略，通过学生自主思考和互动研讨，经历观察、分析、猜想、论证的过程，自己推导出2个不等式同时，借助多媒体的直观演示，强化学生对重要不等式、基本不等式的理解认识，从而突出重点。
为了强化学生对基本不等式的理解认识，在应用上，注意通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突破教学难点。
四、【教学模式与教法、学法】
本课采用“合作——探究”教学模式。
教师的教法突出活动的安排与问题的引导。
学生的学法突出合作学习、探究发现与归纳建构。
五、【过程设计】
猜想证明
前后呼应
推论应用
教学过程：
现实模型：
生活实例
二、探究新知
（一）探究一：
问题1：设直角三角形的长为a、b，那么正方
形的边长为_________;面积为_________,4个
直角三角形的面积和是___________.
问题2：根据4个直角三角形的面积和与正方
形面积的大小关系，我们可得到一个怎样的不
等式____________________
问题3：4个直角三角形的面积和与正方形的
面积有相等的情况吗？何时相等？图形怎样
变化？
问题4：你能给出它的证明吗？
归纳小结：
（重要不等式），对于任意的实数a,b,
都有____________;当且仅当
_________________。
探究二：
问题5：既然对于任意的实数a,b,都有a2＋b2≥2ab,如果a>0，b>0，用a，b分别代替a2＋b2≥2ab中的a，b会得到怎样的不等式？
问题6：如何证明不等式ab≤a＋b
2(a>0，b>0)?
归纳小结：
若a>0,且b>0,那么_____________________,我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）。
问题7：如下图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ 垂直AB于Q，连接AP，PB.你能利用这个图
形得出基本不等式ab≤a＋b
2的几何解释吗？
“半径不小于半弦”
定理解读：（1）基本不等式的几何意义：
（2）平均数解释：
（3）定理成立的条件是___________；结论是_____________。
三、知识应用
例1已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2 ≥ ab＋bc＋ca.
板书设计：
六、【教学反思】
根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课的教学有如下反思：
（1）根据新课程课堂教学活动的基本理念：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”，因此，我在本科教学设计中突出了学生的小组合作，自主探索，鼓励学生积极参与互动交流，所以绝大多数学生能很好地掌握基本不等式，并能用于解决相关问题，形成了较好的数学学习经验。
（2）本课设计特别强调数学知识和技能的训练，渗透“整体代换”和“数形结合”两种数学思想与方法，不等式的推导与例题后变式训练以及一题多解、一题多变的训练模式都是为了这两个目的而设计的。
（3）本课在教学中始终贯穿学法指导，特别是通过对赵爽弦图的引入，得到基本不等式，最后有用几何图形直观解释基本不等式，不仅有利于学生形成数学“数”与“形”的链接，而且让学生感悟到数学文化。
（4）本节课充分利用了多媒体技术，使课堂教学情景化、直观化，生动活泼，趣意盎然。
把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。
§3.4基本不等式（一）
一、重要不等式
二、基本不等式
三、数学思想与方法 (主板书)
三、例题解答 例1：
变式训练
例2：
变式训练
(副板书)
学 生 活 动 展 示 区
(辅助性板书)。