函数奇偶性知识点与经典题型归纳

函数奇偶性

知识梳理

1. 奇函数、偶函数的定义

（1）奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，

则这个函数叫奇函数.

（2）偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 的任意一个x ，都有()()f x f x -=，

则这个函数叫做偶函数.

（3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性.

（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数.

注意：（1）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =．

（2）若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数．

2．奇(偶)函数的基本性质

(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．

(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．

3. 判断函数奇偶性的方法

（1）图像法

（2）定义法

○

1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○

2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○

3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

例题精讲

【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数，求b 的值.

解：∵函数 f (x )＝ax 2＋bx 是偶函数，

∴f (－x )＝f (x )．∴ax 2＋bx= ax 2-bx.

∴2bx=0. ∴b ＝0.

【例3】已知函数2

1()f x x =在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象.

题型一 判断函数的奇偶性

【例4】判断下列函数的奇偶性.

（1）2()||(1)f x x x =+；

（2）

1 ()

f x

x

=；

（3）()|1||1|

f x x x

=+--；

（4）()

f x=

（5）()

f x=

（6）

2

2

,0 ()

,0

x x x

f x

x x x

⎧+<

⎪

=⎨

->

⎪⎩

解：（1）2

()||(1)

f x x x

=+的定义域为R，关于原点对称．∵22

()||[()1]||(1)()

f x x x x x f x

-=--+=+=

∴()()

f x f x

-=，即()

f x是偶函数．

（2）

1

()

f x

x

=的定义域为{|0}

x x>

由于定义域关于原点不对称

故()

f x既不是奇函数也不是偶函数．

（3）()|1||1|

f x x x

=+--的定义域为R，关于原点对称．

∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f (x)，

∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．

（4）()

f x={2}，

由于定义域关于原点不对称，

故()

f x既不是奇函数也不是偶函数．

（5）()

f x=的定义域为{1，－1}，

由(1)0

f=且(1)0

f-=，所以()0

f x=

所以()

f x图象既关于原点对称，又关于y 轴对称

故()

f x既是奇函数又是偶函数．

（6）显然定义域关于原点对称．

当x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)；

当x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)．

即

2

2

(),0 ()

(),0

x x x

f x

x x x

⎧-+<

⎪

-=⎨

-->

⎪⎩

即()()

f x f x

-=-

∴()

f x为奇函数．

题型二利用函数的奇偶性求函数值

【例2】若f(x)是定义在R 上的奇函数，f(3)＝2，求f(－3)和f(0)的值.解：∵f(x)是定义在R 上的奇函数，

∴f (－3)＝－f (3)＝－2，

f (0)＝0.

【例5】已知 f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且 f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，求g (1). 解：由 f (x )是奇函数，g (x )是偶函数

得()()f x f x -=-，()()g x g x -=

所以 －f (1)＋g (1)＝2 ①

f (1)＋

g (1)＝4 ②

由①②消掉 f (1)，得 g (1)＝3.

题型三 利用函数的奇偶性求函数解析式

【例6】已知函数()f x 是定义在 R 上的偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝x 3－x 2，

当 x>0 时，求f(x)的解析式.

解：当0x >时，有0x -<

所以3232()()()f x x x x x -=---=--

又因为()f x 在 R 上为偶函数

所以32()()f x f x x x =-=--

所以当0x >时，32()f x x x =--.

【例7】若定义在 R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()x f x g x e +=，求()g x .

解：因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数

所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-

因为()()x f x g x e += ①

所以()()x f x g x e --+-=

所以()()x f x g x e -+-= ②

由①②式消去()f x ，得()2x x

e e g x --=.

课堂练习

仔细读题，一定要选择最佳答案哟！

1. 函数()11f x x x =-- ）

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数

2.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21

()f x x x =+，则(1)f -=（ ）

A.2

B.1

C.0

D.-2

3. f (x )为偶函数，且当 x ≥0 时，f (x )≥2，则当 x ≤0时，有（ ）

A ．f (x )≤2 B．f (x )≥2 C．f (x )≤－2 D.f (x )∈R

4. 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则（

） A.f （0）＜f （－1）＜f （2） B.f （－1）＜f （0）＜f （2）

C.f （－1）＜f （2）＜f （0）

D.f （2）＜f （－1）＜f （0）

5.已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是（

）