数学分析1-期末考试试卷(B卷)

数学分析1 期末考试试卷（B 卷）

一、填空题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分） 1、设0111,1n n

x x x +==

+， 则 lim n n

x →∞= 。

2、（归结原则）设0()(;)o f x U x δ在内有定义，0

lim

()x x

f x →存在的充要条件是：

3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy 。

4、当x = 时，函数()2x f x x =取得极小值。

5、已知)(x f 的一个原函数是

cos x

x

，则()xf x dx '=⎰

。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分） 1、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ）。

（A ）()f x x 与是等价无穷小。 （B ）()f x x 与是同阶但非等价无穷小。

（C ）()f x x 为的高阶无穷小量。 （D ）()f x x 为的低阶无穷小量。

2、设函数()f x x a =在点处可导，则函数()f x 在x a =处不可导的充分条件是（ ）。

（A ）()0()0.f a f a '==且 （B ）()0()0.f a f a '>>且

（C ）()0()0.f a f a '=≠且 （D ）()0()0.f a f a '<<且 3、若),()

()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，

则)(x f 在),0(+∞内有（ ）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 的导数在x a =处连续，又()

lim

1x a

f x x a

→'=--，则（ ）

。 （A ）x a =是)(x f 的极小值。 （B ）x a =是)(x f 的极大值。

（C ）(,())a f a 是曲线()y f x =的拐点。 （D ）x a =不是)(x f 的极值

点，

(,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点。

5、下述命题正确的是（ ）

（A ）设)(x f 和()g x 在0x 处不连续，则()()f x g x 在0x 处也不连续； （B ）设()g x 在0x 处连续，0()0f x =，则0

lim

()()0x x

f x

g x →=；

（C ）设存在0δ>，使当00(,)x x x δ∈-时，

()()

f x

g x <，并设

lim (),x x f x a -

→=

lim (),x x g x b -

→=，则必有a b <；

（D ）设

lim (),lim ()x x x x f x a g x b

-

-

→→==，a b <，则存在0δ>，使当

00(,)x x x δ∈-时，()()f x g x <。

三、计算题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）

1、 11cos 0sin lim x

x x x -→⎛⎫ ⎪

⎝⎭

求

2

、0

x x →求

3、给定p 个正数()

1121

2

,,,,lim .n n n n p p

n a a a a a a →∞

+++L L 求

4

、设sin (0)sin a x b y a b a b x +⎛⎫=

>> ⎪

+⎝⎭其中，求y '。

5

、求不定积分⎰

6、求不定积分 dx x

x

x ⎰

3

cos sin 。

四、证明下列各题（本题共3个小题，每小题6分，满分18分）

1、试用εδ-语言证明极限22

lim

4x x →=；

2、证明方程0(n x px q n p q ++=为正整数，、为实数），当n 为奇数时最多有三个实根。

3、试用拉格朗日中值定理证明：当0x ≥时

11

01ln(1)x x

<

-<+ 。

五、（本题8分）

设()(,)f x -∞+∞在上二阶导数连续，(0)0f =

()0()0

f x x

g x x

a

x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩

（1） 确定,()a g x ∞∞使在(-,+)上连续；

（2） 证明对以上确定的,()a g x ∞∞在(-,+)上有连续的一阶导函数。

六、（本题4分）

设()f x 在[,)a +∞上连续，且lim ()x f x A →+∞=存在，证明()f x 在[,)a +∞上有界。

答案

一、填空题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分）

1、设0111,1n n

x x x +==

+， 则 lim n n

x →∞=

。 2、（归结原则）设0()(;)o f x U x δ在内有定义，0

lim ()x x

f x →存在的充要条件是：

对任何含于00(;)U x δ且以0x 为极限的数列{}n x ，极限lim ()n f x →∞都存在且相等。

3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy

。

4、当x = 1

ln 2

-

时，函数()2x f x x =取得极小值。 5、已知)(x f 的一个原函数是

cos x x

，则

()xf x dx '=⎰cos sin 2

x

x C x

--+ 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分） 1、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ B ）。

（A ）()f x x 与是等价无穷小。 （B ）()f x x 与是同阶但非等价无穷小。

（C ）()f x x 为的高阶无穷小量。 （D ）()f x x 为的低阶无穷小量。