数学必修五数列解题技巧

高考数学数列部分知识点梳理

一数列的概念

1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨

⎧≥-==-)2()

1(11n S S n S a n n n

2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数

M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.

一、等差数列

1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。前n 项和公式2

)

(1n n a a n S +=或

d n n na S n )1(2

1

1-+=.

2）等差中项：b a A +=2。

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列. 4）等差数列的性质：

⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .

⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a ) ⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；

⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n S n 是等差数列；

⑹当项数为)(2+∈N n n ，则n

n a a S S nd S S 1

,+=

=-奇偶奇偶； 当项数为)(12+∈-N n n ，则n

n S S a S S n 1

,-=

=-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则

（是常数）是公差为

的等差数列；

(8)设，

，，则有

；

(9)

是等差数列的前项和，则

；

(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为

，则

①．为等差数列，公差为

；

②．

（即

）为等差数列，公差；

③．（即）为等差数列，公差为.

二、等比数列

1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n =②当1≠q 时，

q q

a a q q a S n n n --=

--=11)1(11. 2）等比中项：b a G ⋅=2。

；

3）等比数列的判定方法：⑴定义法：

q a a n

n =+1

（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列；⑵中项法：22

1++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列. 4）等比数列的性质：

⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列； （2）

),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n

（3）若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；

（4）若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列. （5）设，

是等比数列，则

也是等比数列。

（6）设

是等比数列，是等差数列，且

则

也是等比数列（即等比数列中等距离

分离出的子数列仍为等比数列）； （7）设是正项等比数列，则

是等差数列； （8）设

，

，

，则有

；

（9）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为

，则

①．为等比数列，公比为

；

②．

（即

）为等比数列，公比为

；

三、解题技巧： A 、数列求和的常用方法：

1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。

2、错项相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列） 即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。

3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列

11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭和1n n a a +⎧⎫+（其中{}n a 等差）。可裂项为：

11

1111

()n n n n a a d a a ++=-⋅，

111

()n n n n a a d

a a ++=+

B 、等差数列前n 项和的最值问题：

1、若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。

（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最大⇔1

0n n a a +≥⎧⎨≤⎩；